Qxur jissejħu appoġġi tal-wiċċ, li l-wiċċ medjan tagħhom mhuwiex ċatt imma konvess b’mod notevoli. L-imġiba statika tagħhom tiddevja b’mod sinifikanti mill-imġiba tal-pjanċa. Meta jkollhom forma xierqa, l-istress tagħhom ikun ħafna inqas, ir-rigidezza tagħhom tkun akbar b’mod proporzjonali, u l-kalkolu fil-maġġoranza tal-każijiet ikun aktar sempliċi.
L-istress ta’ kull qoxra jista’ jiġi mqassam f’żewġ partijiet: stress membranari u liwi. L-istresses membranari, b’mod simili bħall-istresses f’pjanċa mgħobbija fil-pjan tagħha, jistgħu jiġu espressi permezz ta’ forzi sezzjonali fil-pjan tat-tanġent – dawn huma, pereżempju, fis-sezzjoni x=const. il-forza normali _Nx=_σx*t u l-forza ta’ qtugħ _Nxy=_τxy*t, fejn t hija l-ħxuna tal-qoxra. L-istresses minħabba l-liwi huma l-istess bħal fil-pjanċi u jistgħu jiġu rrappreżentati minn mumenti tal-liwi Mx, mumenti torsjonali Mxy u forzi ta’ qtugħ Qx.
Il-karatteristiċi essenzjali tal-qxur ibbażaw ruħhom fuq il-fatt li, bħala regola, l-istresses minħabba l-liwi la jkollhom il-kobor u lanqas l-importanza tal-istresses membranari, hekk li spiss jistgħu jiġu kompletament injorati. F’dan il-każ, l-istresses kollha jkunu mqassma b’mod uniformi fuq il-ħxuna tal-qoxra u jaġixxu tanġentjalment fuq il-wiċċ medju. Il-kalkoli li jibbażaw ruħhom fuq dawn l-assunzjonijiet jidħlu fil-qafas tat-teorija membranari tal-qxur.
Teorija membranali ta’ qxur rotazzjonalment simetriċi taħt tagħbija rotazzjonalment simetrika
Formoli ġenerali
Għall-linji koordinati jittieħdu l-meridjani u ċ-ċrieki paralleli fil-wiċċ medjan tal-qoxra, u għalhekk il-koordinati huma: l-ażimut ϑ (“lonġitudni ġeografika”) u l-inklinazzjoni φ tat-tangenta għall-meridjan lejn pjan perpendikolari għall-assi ta’ simetrija (fig. 1a). Skont dan, il-forzi tal-qtugħ huma: il-forza normali Nφ fid-direzzjoni tal-meridjan u l-forza normali Nϑ fiċ-ċirku (fig. 1b). Il-forzi ta’ shearing Nφϑ ma jidhrux f’tensjoni simetrika rotazzjonali. It-tagħbija għal kull unità ta’ wiċċ tiġi indikata kif ġej (fig. 1b): Y tangenzjali għall-meridjan, pożittiva fid-direzzjoni li fiha jiżdied φ, Z normali għall-qoxra, pożittiva lejn l-assi ta’ simetrija.
Fig. 1
Fig. 2
Ħa jkun ir-raġġ tal-kurvatura tal-meridjan r1. Huwa funzjoni tal-angolu φ, għalhekk bl-ekwazzjoni _r1=r1(_φ) jiġi determinat il-forma tal-meridjan. Din tista’ titqies bħala l-ekwazzjoni tal-meridjan u tgħid, pereżempju.
għaċ-ċirku r1=a=const.
għall-parabola r1=a/cos3__φ
għall-ellissi r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Għall-kalkolu tal-forza normali N__φ fid-direzzjoni tal-meridjan għandu jitwaqqaf il-kundizzjoni ta’ ekwilibriju tal-parti tal-qoxra li tinsab fuq iċ-ċirku parallel φ (fig. 2). Ir-riżultanta R tat-tagħbijiet Y u Z li jaġixxu fuq din il-parti hija vertikali, minħabba s-simetrija. Il-kobor tagħha jinkiseb permezz ta’ integrazzjoni fuq il-wiċċ tal-qoxra minn φ’=0 sa φ’=φ. Il-wiċċ tal-element tal-qoxra huwa dF=r1d__φ’*rd__ϑ, għalhekk il-komponent vertikali tat-tagħbija huwa (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Għall-parti ċirkolari kollha tal-qoxra li tinsab bejn iċ-ċrieki φ’ u φ’+dφ’ ir-riżultanta tat-tagħbija esterna hija:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
minn fejn, billi nintegraw fuq φ’ għad-daqs tal-qoxra li jinsab fuq iċ-ċirku parallel φ’=φ, tinkiseb:
Eq. 1
Dan it-tagħbija tintlaqa’ mill-forzi normali fid-direzzjoni tal-meridjan, li jaġixxu fuq il-perimetru taċ-ċirku osservat; il-komponent vertikali tar-riżultant ta’ dawn il-forzi huwa 2__πr * N__φ sin__φ, u għalhekk, bl-ugwaljanza, tinkiseb il-forza normali mfittxija
Ekw. 2
Jekk il-qoxra fil-parti ta’ fuq tinqata’ tul ċirku φ=φ0 (eż. fetħa għad-dawl f’koppla), il-limitu ta’ isfel tal-integral hu, naturalment, φ0, u mhux żero. Jekk fuq it-tarf tal-qoxra li tkun iffurmata b’dan il-mod jaġixxi wkoll it-tagħbija R0, din ukoll għandha tiżdied mar-riżultant R (fig. 3).
Fig. 3
Biex tiġi ddeterminata l-forza normali N__ϑ għandu jiġi stabbilit il-kundizzjoni ta’ ekwilibriju tal-element tal-qoxra perpendikulari għall-pjan tangenzjali (fig. 4). Ir-riżultanti tat-tagħbija esterna f’din id-direzzjoni hija Z r1 d__φ r d__ϑ. Il-forzi N__φ*r d__ϑ li jinsabu fil-pjan meridjanali jagħmlu bejniethom angolu żgħir d__φ, għalhekk ir-riżultanti tagħhom fid-direzzjoni tan-normal għall-qoxra hija N__φ r d__ϑ*dφ. Bl-istess mod, il-forzi Nϑ r1 dφ li jinsabu fil-pjan taċ-ċirku orizzontali u jagħmlu bejniethom angolu dϑ għandhom riżultanti Nϑ r1 dφ*dϑ li wkoll tinsab fil-pjan taċ-ċirku orizzontali u għalhekk, man-normal għall-qoxra, tagħmel angolu 0,5_π-φ_, b’tali mod li fil-kundizzjoni ta’ ekwilibriju jidħol biss il-komponent tagħhom Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. Il-kundizzjoni ta’ ekwilibriju għalhekk tgħid
jew, meta jinqasam b’r r1 dϑ dφ:
Wieħed.3
Hawnhekk, bl-r2=r/sinφ hija indikata t-tieni raġġ prinċipali tal-kurvatura tal-qoxra.
Fig. 4
Kupola ċirkolari
Meta l-forma tal-meridjan tkun mogħtija analitikament bl-ekwazzjoni r1=r1(φ) u meta għat-tagħbijiet Y(φ) u Z(φ) ikunu mogħtija espressjonijiet analitiċi, il-forzi tat-tqattigħ fil-qoxra jistgħu dejjem jiġu determinati permezz ta’ integrazzjoni f’forma magħluqa jew numerikament, billi jintuża r-regola ta’ Simpson. Għal koppla ċirkolari b’dijametru a, hawn taħt jingħataw il-forzi tat-tqattigħ għal xi każijiet ta’ tagħbija:
L-aħħar formula, li għal φ=0 tagħti forzi ta’ qtugħ infinitament kbar, tapplika biss f’ċerta distanza mill-punt fejn taġixxi l-forza. Fil-viċinanza immedjata tal-post fejn taġixxi l-forza, anki meta din tkun imqassma fuq il-wiċċ ta’ ċirku b’dijametru finit iżda żgħir, it-tagħbija tiġi ttrasmessa l-aktar permezz ta’ liwi.
Il-forom għal qxur miftuħa fil-parti ta’ fuq jistgħu jiġu derivati minn dawk preċedenti, jekk fuq il-ħlas reali jiżdied tagħbija fittizja P fil-quċċata, li d-daqs tagħha jiġi determinat hekk, jekk il-forza normali totali fid-direzzjoni tal-meridjan li taġixxi fuq it-tarf ta’ fuq tal-qoxra φ=φ0 tkun Nφ=0, jew tkun ugwali għal xi valur determinat mill-forzi esterni li l-qoxra tirċievi hawn.
Qoxra konika
Fig. 5
Fil-każ ta’ qoxra konika, l-inclinazzjoni tal-meridjan φ ma tistax tintuża bħala koordinata, għax għandha l-istess valur fil-punti kollha. Minflokha jiġi introdott id-distanza s mill-quċċata tal-koppla mkejla tul il-ġeneratriċi (fig. 5). Il-forza normali fid-direzzjoni tal-meridjan għalhekk tiġi indikata b’Ns. Il-formoli meħtieġa jistgħu jinkisbu minn dawk imsemmija taħt 1 meta jsir il-passaġġ limitu. Mill-ekwazzjoni (2) jinkiseb b’dan il-mod
u mill-ekwazzjoni (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Għall-aktar każijiet importanti ta’ tagħbija japplikaw dawn il-formuli:
Proċedura grafika għal forma arbitrarja tal-meridjan
Fig. 6
Meta l-kurva tal-meridjan ma tingħatax b’espressjoni analitika, iżda, ngħidu aħna, grafikament, id-determinazzjoni tar-raġġ tal-kurvatura tkun wisq diffiċli u wisq mhux preċiża. F’dak il-każ huwa aktar adatt li jintuża proċess grafiku (sl. 6).
Il-qoxra tinqasam b’numru akbar ta’ pjani φ=const., jiġu kkalkolati l-piżijiet Δ_R_ taż-żoni anulari li jinsabu bejn il-pjani u l-aħjar li jiġu mqassma mill-ewwel fuq 2_π_. Dawn il-forzi ΔR/2π jitqiegħdu fil-pjan tal-forzi (fig. 6b). Jekk imbagħad, pereżempju, permezz tal-punt ta’ tqassim 7 tinġibed linja parallela mat-tanġent għall-meridjan fil-punt tal-meridjan 7, l-orizzontali li tgħaddi mill-punt ta’ fuq tal-pjan tal-forzi taqtagħha fuqu tul R1/2π sinφ7 li minnu, abbażi tal-ekwazzjoni (2), billi tinqasam bl-r rispettiv, tinkiseb il-forza normali korrispondenti fid-direzzjoni tal-meridjan.
Għad-determinazzjoni tal-forzi fiċ-ċrieki jservi l-kundizzjoni ta’ bilanċ tal-forzi orizzontali fuq element wieħed tal-qoxra. Jekk jaġixxu biss tagħbijiet vertikali, din il-kundizzjoni tgħid hekk (fig. 4):
Meta hawnhekk dφ jiġi sostitwit bid-differenza finit Δφ, li tikkorrispondi għat-tqassim adottat tal-qoxra, u meta minflok r1 dφ tiddaħħal it-tul Δs tal-element tal-meridjan, minn dan jinkiseb
Fil-bracket fuq in-naħa tal-lemin hemm cut-off fuq il-linja orizzontali fil-pjan tal-forzi. Għalhekk, in-naħa tal-lemin kollha tirrappreżenta s-segmenti bejn il-punti ta’ qsim fuq din il-linja. Sabiex inkunu nistgħu naqrawhom b’biżżejjed preċiżjoni, il-pjan tal-forzi għandu jitfassal b’attenzjoni u f’kejl biżżejjed kbir.
Ċrieki miġbuda u mbuttati
Kull qoxra simmetrika rotazzjonali hija limitata b’ċirku orizzontali wieħed jew tnejn (fig. 7). F’dawn it-trufijiet, fil-prinċipju tista’ tirċievi biss dawk it-tagħbijiet u r-reazzjonijiet tal-appoġġ li għandhom direzzjoni tat-tanġent mal-meridjan. Jekk il-forzi esterni jkollhom direzzjoni oħra, bħal pereżempju t-tagħbija P mill-parti ta’ fuq tal-kostruzzjoni jew ir-reazzjoni S tal-qiegħ tar-riżervwar muri fil-fig. 97, dawn il-forzi għandhom, kif muri fil-figura, jiġu mqassma f’komponenti fid-direzzjoni taċ-ċirku orizzontali u tat-tanġent mal-meridjan. Il-komponent P/sinφ0 jew S/sinφu huwa ugwali għall-forza normali fid-direzzjoni tal-meridjan Nφ li taġixxi f’dak il-post, filwaqt li għall-akkoljenza tal-forza orizzontali Pctgφ0 jew Sctgφu hemm bżonn ċirku li jġorr tensjoni, jiġifieri pressjoni, u li fih din it-tagħbija radjali tqajjem forza normali + P r0 ctgφ0, jiġifieri -S ru ctgφu. Tali ċrieki, apparti fit-truf tal-qoxra, għandhom jitqiegħdu wkoll fil-postijiet kollha fejn il-linja tal-meridjan għandha qsim. Dawn dejjem jikkawżaw disturb tal-istat membranari tat-tensjoni.
Fig. 7
Tensjonijiet minħabba liwi f’qoxriet rotazzjonalment simetriċi
Il-formoli tat-teorija tal-membrana ma fihomx numru biżżejjed ta’ kostanti ta’ integrazzjoni biex ikunu jistgħu jiġu ssodisfati l-kundizzjonijiet kollha tal-limitu li fil-fatt jikkorrispondu għall-kompitu impost. B’mod speċjali fil-każ ta’ qxur simetriċi bir-rotazzjoni, ma jkunx possibbli li permezz ta’ għażla xierqa ta’ kostanti ta’ integrazzjoni jintlaħaq li d-dilatazzjoni εϑ = Nϑ/Et fid-direzzjoni taċ-ċirku tul ix-xifer tal-qoxra tkun ugwali għad-dilatazzjoni korrispondenti ta’ xi parti kostruttiva oħra li hemm marbuta magħha b’mod riġidu f’dak il-punt. L-istess japplika wkoll għal qxur li tul ċirku orizzontali wieħed il-kurvatura tal-meridjan, il-ħxuna tal-qoxra jew it-tagħbija għal kull unità ta’ erja jinbidlu b’pass wieħed. U anke meta qoxra tul xi xifer ma tkunx imsaħħa b’ċirku, iżda f’dan il-post tkun mgħobbija b’forzi li għandhom komponent fid-direzzjoni tan-normal għall-qoxra (eż. it-tagħbija P fil-fig. 7 meta wieħed jimmaġina li ċ-ċirku tneħħa), ma tistax tirċievi tali tagħbijiet biss permezz tal-forzi tal-membrana. F’każijiet bħal dawn, il-forza ta’ qtugħ u l-mumenti tal-liwi (fig. 8) għandhom rwol essenzjali fit-tqassim tal-forzi fil-qoxra, u dan irid jittieħed inkunsiderazzjoni fil-kalkolu statiku.
Fig. 8
Il-kalkolu eżatt tal-qoxra għall-liwi, ħlief għall-aktar każ speċjali sempliċi tal-qoxra ċilindrika, huwa kompitu diffiċli ħafna. Għal qxur b’ħitan irqaq tista’ tinbena teorija approssimattiva sempliċi u ferm utli li tibbaża ruħha fuq il-fatt magħruf mit-teorija stretta, li t-tensjonijiet minħabba l-liwi jillimitaw ruħhom għal żona relattivament dejqa ħdejn it-tarf u jonqsu malajr hekk kif tiżdied id-distanza mit-tarf. Dan jippermetti li numru kbir ta’ termini fl-ekwazzjoni differenzjali eżatta jitħallew barra, u b’hekk din tieħu forma simplifikata.
Jekk ġewwa l-kurva tal-fruntiera li hija l-unika waħda ta’ interess κ tiġi sostitwita b’valur medju, u dan kważi dejjem hu possibbli, is-soluzzjoni tal-ekwazzjoni hija
Eq. 4 u 5
fejn a1, b1, a2, b2 huma kostanti ta’ integrazzjoni. Peress li s-soluzzjoni hija interessanti biss fil-viċinanza tat-tarf φ=φ0, huwa xieraq li d-distanza angolari ω=φ0-φ jew ω=φ-φ0 minn dan it-tarf tiddaħħal bħala koordinata, u bit-trasformazzjoni tas-soluzzjoni msemmija hawn fuq tinkiseb it-tieni espressjoni indikata. Hawnhekk jidhru biss żewġ kostanti ta’ integrazzjoni A, B jew C, ψ, peress li t-tieni parti tas-soluzzjoni li fiha l-fattur eκω, u għalhekk ma tonqosx meta ω jiżdied, tista’ tiġi eskluża mill-kunsiderazzjoni.
Ibbażat fuq l-ekwazzjoni 5 jinkisbu l-valuri li ġejjin għall-forzi ta’ sezzjoni u għat-tidwir κ tat-tanġent tal-meridjan:
Tensjonijiet minħabba l-liwi f’riżervwarji f’forma ta’ ċilindru ċirkolari
Ejja nassumu li tank ċilindriku ta’ għoli h huwa mimli bl-ilma (fig. 9), imbagħad f’għoli x ‘il fuq miż-żewġ tankijiet il-pressjoni tal-ilma hija p=γ(h-x). Jekk f’dan l-għoli, minn żewġ sezzjonijiet orizzontali b’distanza dx. jinqata’ minn ġewwa t-tank ċirku u dan jinqasam tul wieħed mid-dijametri f’żewġ partijiet, il-kundizzjoni ta’ ekwilibriju ta’ waħda minnhom tagħti l-forza membrana fiċ-ċirku Nφ=pa. Jekk il-ħxuna tat-tank f’dan il-post hija t, l-estensjoni fiċ-ċirku hija εφ=Nφ/Et u għalhekk iż-żieda fir-raġġ tat-tank (deflessjoni) hija
Fuq ix-xifer t’isfel x=0 għalhekk
Fig. 9
La waħda u lanqas l-oħra, bħala regola, ma hija f’konformità mal-kundizzjonijiet tat-tarf, għax id-deformazzjoni tal-ħajt hija mfixkla minħabba l-konnessjoni mal-qiegħ tat-tank. F’din il-konnessjoni bejn il-qiegħ u l-ħajt taċ-ċilindru jidhru l-forzi trasversali Qx0 u l-mumenti Mx0 (fig. 11), li l-valur tagħhom għandu jiġi ddeterminat b’tali mod li, flimkien mal-forzi membrana li għadhom kemm ġew ikkalkolati fil-qoxra, jikkawżaw din id-deformazzjoni fit-tarf tal-qoxra li l-qiegħ jippermetti.
Fig. 10, 11, 12, rispettivament
Fil-fig. 11 jidher l-element tal-qoxra dx*a dφ bil-forzi li jaġixxu fuqu. Il-kundizzjoni ta’ bilanċ tal-forzi fid-direzzjoni tan-normal fuq il-qoxra tagħti
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
minn fejn, billi naqsmu b’dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Mill-kundizzjoni li l-mument madwar it-tangenta orizzontali għaċ-ċilindru huwa żero jinkiseb:
dM/dx = M’x = Qx
Billi neliminaw il-forza trasversali Qx minn dawn iż-żewġ ekwazzjonijiet, jirriżulta
a M’’x + Nφ = p a.
Eq. 6
F’din l-ekwazzjoni dawn il-forzi sezzjonali mhux magħrufa jistgħu jiġu espressi permezz tad-deflessjoni w. Għal Nφ diġà nstab Nφ=Etw/a, u l-mument huwa proporzjonali għall-kurvatura tal-meridjan w’’, jiġifieri Mx=Kw’’, fejn, bħall-pjanċi, K=Et3/12(1-μ2) hija l-ebusija tal-qoxra, li tista’ tkun varjabbli ma’ x. Jekk dawn l-espressjonijiet għall-forzi medji jiddaħħlu fl-ekwazzjoni (6), tinkiseb l-ekwazzjoni differenzjali tat-teorija tar-riżervwar:
Għal reżervwar li l-ħxuna tal-ħajt tiegħu hija kostanti s-soluzzjoni hija:
Wieħed.7
fejn λ4=3(1-μ2)/a2t2. Jekk λh hu kbir (ngħidu aħna, akbar minn 3), ikun aktar konvenjenti li minflok il-funzjonijiet iperboliċi jiġu introdotti dawk esponenzjali, u għalhekk:
Wieħed.8
Imbagħad il-kostanti A1, B1 jistgħu jiġu determinati indipendentement minn xulxin mill-kundizzjonijiet tal-limitu fit-tarf ta’ isfel, u l-kostanti A2, B2 mill-kundizzjonijiet tal-limitu fit-tarf ta’ fuq, fejn bħala regola jinkiseb A2=B2=0. Fuq il-bażi tal-ekwazzjoni (8) u (7) jinkisbu l-forzi ta’ qtugħ, meta l-kalkolu jsir fid-direzzjoni inversa u kullimkien tiġi introdotta l-ekwazzjoni (8) u (7); għalhekk eż. għal A2=B2=0:
Meta l-ħitan tar-reżervwar ikunu mwaħħlin b’mod riġidu fil-pjanċa, fil-qiegħ tar-reżervwar li jkun biżżejjed oħxon biex jitqies riġidu, il-kostanti A1, B1 għandhom jiġu ddeterminati mill-kundizzjonijiet li x=0, w=0 u w’=0 u għalhekk jinkiseb:
Jekk il-qiegħ tat-tank ikun pjanċa jew qoxra elastika, il-forzi trasversali Qx u l-mumenti Mx tul iċ-ċirku tat-tarf bejn il-qiegħ u l-ħajt taċ-ċilindru għandhom jiġu determinati permezz tal-metodi tat-teorija ta’ sistemi statikament indeterminati abbażi tar-rekwiżit li Mx u w’ għaż-żewġ partijiet ikollhom l-istess valur.