Оболонками називають поверхневі несучі елементи, середня поверхня яких не плоска, а помітно опукла. Їхня статична поведінка істотно відрізняється від поведінки плити. Коли вони мають придатну форму, їхні напруження значно менші, їхня жорсткість відповідно більша, а розрахунок у більшості випадків простіший.
Напружений стан кожної оболонки можна розкласти на дві частини: мембранне напруження і згин. Мембранні напруження, подібно до напружень у пластині, навантаженій у своїй площині, можна виразити за допомогою перерізних сил у дотичній площині — це, наприклад, у перерізі x=const. нормальна сила _Nx=_σx*t і зсувна сила _Nxy=_τxy*t, де t — товщина оболонки. Напруження внаслідок згину такі самі, як і в пластинах, і можуть бути представлені моментами згину Mx, крутними моментами Mxy та зсувними силами Qx.
Важливі властивості оболонок ґрунтуються на тому, що, як правило, напруження внаслідок згину не мають ані величини, ані значення мембранних напружень, тож їх часто можна повністю знехтувати. У такому разі всі напруження рівномірно розподілені по товщині оболонки та діють дотично до середньої поверхні. Розрахунки, що ґрунтуються на цих припущеннях, належать до мембранної теорії оболонок.
Мембранна теорія осесиметричних оболонок під осесиметричним навантаженням
Загальні формули
За координатні лінії беруть меридіани та паралельні кола на середній поверхні оболонки, тож координатами є: азимут ϑ (“географічна довгота”) і нахил φ дотичної до меридіана відносно площини, перпендикулярної до осі симетрії (рис. 1a). Відповідно, поперечні сили: нормальна сила Nφ у напрямку меридіана і нормальна сила Nϑ у кільці (рис. 1b). Зсувні сили Nφϑ не виникають при обертово-симетричному напруженні. Навантаження на одиницю площі позначається так (рис. 1b): Y дотично до меридіана, додатне в напрямку, в якому φ зростає, Z перпендикулярно до оболонки, додатне до осі симетрії.
Мал. 1
Мал. 2
Нехай радіус кривизни меридіана r1. Він є функцією кута φ, тож рівнянням _r1=r1(_φ) визначається форма меридіана. Це можна вважати рівнянням меридіана і воно має, наприклад, такий вигляд.
за круг r1=a=const.
для параболи r1=a/cos3__φ
для еліпса r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Для обчислення нормальної сили N__φ у напрямку меридіана треба поставити умову рівноваги частини оболонки, що лежить над паралельним колом φ (рис. 2). Результанта R навантажень Y і Z, що діють на цю частину, є вертикальною, з огляду на симетрію. Її величину отримують інтегруванням по поверхні оболонки від φ’=0 до φ’=φ. Площа елемента оболонки є dF=r1d__φ’*rd__ϑ, тому вертикальна складова навантаження (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Для всієї кільцевої частини оболонки, що лежить між колами φ’ і φ’+dφ’, результанта зовнішнього навантаження дорівнює:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
звідки шляхом інтегрування за φ’ для частини оболонки, що лежить над паралельним колом φ’=φ, отримуємо:
Од. 1
Це навантаження сприймають нормальні сили в напрямку меридіана, які діють по обводу розглянутого кола; вертикальна складова рівнодійної цих сил є 2__πr * N__φ sin__φ, тож, зрівнюючи звідси, отримуємо шукану нормальну силу
Рівн. 2
Якщо оболонку у верхній частині зрізано вздовж кола φ=φ0 (наприклад, отвір для освітлення в куполі), нижня межа інтеграла, зрозуміло, φ0, а не нуль. Якщо на краю оболонки, що утворилася таким чином, діє також навантаження R0, його слід додати до рівнодійної R (рис. 3).
Мал. 3
Для визначення нормальної сили N__ϑ треба поставити умову рівноваги елемента оболонки, перпендикулярного до дотичної площини (рис. 4). Результанта зовнішнього навантаження в цьому напрямі дорівнює Z r1 d__φ r d__ϑ. Сили N__φ*r d__ϑ, що лежать у меридіональній площині, утворюють між собою малий кут d__φ, тому їхня результанта в напрямі нормалі до оболонки становить N__φ r d__ϑ*dφ. Аналогічно і сили Nϑ r1 dφ, що лежать у площині горизонтального кола і між собою утворюють кут dϑ, мають результанту Nϑ r1 dφ*dϑ, яка також лежить у площині горизонтального кола і тому з нормаллю до оболонки утворює кут 0,5_π-φ_, так що в умову рівноваги входить лише її складова Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. Отже, умова рівноваги має вигляд
або, якщо поділити на r r1 dϑ dφ:
Eq. 3
Тут r2=r/sinφ позначає другий головний радіус кривизни оболонки.
Мал. 4
Круглий купол
Коли форма меридіана аналітично задана рівнянням r1=r1(φ) і коли для навантажень Y(φ) та Z(φ) задано аналітичні вирази, перерізні сили в оболонці завжди можна визначити інтегруванням у замкненому вигляді або чисельно, використовуючи правило Simpson-а. Для круглої куполи діаметра a далі наведено перерізні сили для деяких випадків навантаження:
Остання формула, яка для φ=0 дає нескінченно великі поперечні сили, дійсна лише на певній відстані від точки прикладання сили. У безпосередній околиці місця, де діє сила, навіть коли вона розподілена по поверхні кола кінцевого, але малого діаметра, навантаження переважно передається згином.
Форми для оболонок, відкритих у верхній частині, можна вивести з попередніх, якщо до дійсного навантаження додати фіктивне навантаження P у вершині, величину якого визначають так, якщо повна нормальна сила в напрямку меридіана, що діє на верхньому краю оболонки φ=φ0 , становить Nφ=0, або дорівнює деякому значенню, визначеному зовнішніми силами, які оболонка тут сприймає.
Конусна оболонка
Мал. 5
У конічної оболонки нахил меридіана φ не можна використовувати як координату, оскільки він має в усіх точках однакове значення. Замість нього вводять відстань s від вершини купола, виміряну вздовж твірної (рис. 5). Нормальну силу в напрямку меридіана відповідно позначають Ns. Потрібні формули можна отримати з наведених під 1 після виконання граничного переходу. Із рівняння (2) таким чином отримують
а з рівняння (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Для найважливіших випадків навантаження діють такі формули:
Графічний метод для довільної форми меридіана
Мал. 6
Коли крива меридіана задана не аналітичним виразом, а, скажімо, графічно, визначення радіуса кривини є надто складним і надто неточним. У такому разі доцільніше користуватися графічним способом (рис. 6).
Оболонку поділяють більшою кількістю площин φ=const., обчислюють ваги Δ_R_ кільцевих зон, що лежать між площинами, і найкраще одразу поділити на 2_π_. Ці сили ΔR/2π наносять у план сил (рис. 6b). Якщо потім, наприклад, через подільну точку 7 провести пряму, паралельну дотичній до меридіана в точці меридіана 7, горизонталь через верхню точку плану сил перетне на ній відрізок R1/2π sinφ7, з якого на підставі рівняння (2) діленням на відповідний r отримують відповідну нормальну силу в напрямку меридіана.
Для визначення сил у кільцях служить умова рівноваги горизонтальних сил на одному елементі оболонки. Якщо діють лише вертикальні навантаження, ця умова має вигляд (рис. 4):
Коли тут dφ замінити кінцевою різницею Δφ, що відповідає прийнятому поділу оболонки, а замість r1 dφ підставити довжину Δs елемента меридіана, звідси отримують
У дужках праворуч стоїть відрізок на горизонтальній прямій у силовому плані. Отже, уся права частина являє собою відрізки між подільними точками на цій прямій. Щоб можна було досить точно їх зчитати, силовий план слід креслити ретельно й у достатньо великому масштабі.
Розтягнуті та стиснуті кільця
Кожна обертово-симетрична оболонка обмежена одним або двома горизонтальними колами (рис. 7). На цих краях вона принципово може сприймати лише такі навантаження і реакції опор, які мають напрям дотичної до меридіана. Якщо зовнішні сили мають інший напрям, як-от навантаження P від верхньої частини конструкції або реакція S дна резервуара, показаного на рис. 97, ці сили слід, як показано на рисунку, розкласти на складові в напрямі горизонтального кола і дотичної до меридіана. Складова P/sinφ0 або S/sinφu дорівнює нормальній силі в напрямі меридіана Nφ, що діє в цьому місці, тоді як для сприйняття горизонтальної сили Pctgφ0 або Sctgφu потрібне кільце, яке сприймає розтяг, тобто стиск, і в якому це радіальне навантаження викликає нормальну силу + P r0 ctgφ0, тобто -S ru ctgφu. Такі кільця, крім країв оболонки, мають бути встановлені також у всіх тих місцях, де крива меридіана має злам. Вони завжди спричиняють порушення мембранного напруженого стану.
Мал. 7
Напруження внаслідок згинання в обертально-симетричних оболонках
Формули мембранної теорії не містять достатньої кількості інтеграційних сталих, щоб можна було виконати всі граничні умови, які справді відповідають поставленому завданню. Особливо для оболонок обертально симетричних, неможливо якимось доцільним вибором інтеграційних сталих домогтися, щоб дилатація εϑ = Nϑ/Et у кільцевому напрямку вздовж краю оболонки була рівною відповідній дилатації якоїсь іншої конструктивної частини, жорстко з’єднаної з нею в цьому місці. Те саме стосується й оболонок, у яких уздовж одного горизонтального кола стрибкоподібно змінюється кривина меридіана, товщина оболонки або навантаження на одиницю площі. І коли оболонка вздовж якогось краю не підсилена кільцем, але в цьому місці навантажена силами, що мають компоненту в напрямку нормалі до оболонки (напр., навантаження P на рис. 7 якщо уявити, що кільце вилучено), вона не може сприйняти такі навантаження лише через мембранні сили. У таких випадках поперечна сила і моменти згинання (рис. 8) відіграють істотну роль у розподілі сил в оболонці, що в статичному розрахунку слід ураховувати.
Сл. 8
Точний розрахунок оболонки на згин, окрім найпростішого спеціального випадку циліндричної оболонки, є дуже складним завданням. Для оболонок із тонкими стінками можна побудувати просту й дуже придатну наближену теорію, що спирається на факт, відомий із строгої теорії, а саме: напруження від згину обмежуються відносно вузькою зоною біля краю і швидко зменшуються зі збільшенням відстані від краю. Це дає змогу знехтувати великою кількістю членів у точному диференціальному рівнянні, і воно набуває спрощеного вигляду.
Якщо в межах крайової зони, яка є єдино цікавою κ, її замінити середнім значенням, а це майже завжди можливо, то розв’язок рівняння є
Рівн. 4 і 5
де a1, b1, a2, b2 — інтеграційні сталі. Оскільки розв’язок є цікавим лише поблизу краю φ=φ0, доцільно кутову відстань ω=φ0-φ або ω=φ-φ0 від цього краю ввести як координату, а тоді шляхом перетворення наведеного вище розв’язку одержуємо другий поданий вираз. Тут з’являються лише дві інтеграційні сталі A, B або C, ψ, оскільки другу частину розв’язку, що містить множник eκω, і, отже, з ростом ω не зменшується, можна виключити з розгляду.
На основі рівняння 5 отримують такі значення для поперечних сил і обертання κ дотичної меридіана:
Напруження внаслідок згину в резервуарах круглоциліндричної форми
Нехай циліндричний резервуар висотою h заповнений водою (рис. 9), тоді на висоті x над двома резервуарами тиск води p=γ(h-x). Якщо на цій висоті двома горизонтальними перерізами на відстані dx. вирізати з резервуара кільце і розділити його вздовж одного діаметра на дві частини, умова рівноваги однієї з них дає мембранну силу в кільці Nφ=pa. Якщо товщина резервуара в цьому місці t, то деформація в кільці дорівнює εφ=Nφ/Et, і, отже, збільшення радіуса резервуара (прогин) становить
На нижній межі x=0 отже
Мал. 9
Ні те, ні інше, як правило, не узгоджується з граничними умовами, оскільки деформація стіни запобігається завдяки зв’язку з днищем резервуара. При цьому в місці з’єднання днища і стінки циліндра виникають поперечні сили Qx0 і моменти Mx0 (рис. 11), величину яких слід визначити так, щоб разом із щойно обчисленими мембранними силами в оболонці вони спричиняли ту деформацію на краю оболонки, яку допускає днище.
Рис. 10, 11, 12, відповідно
На рис. 11 показано елемент оболонки dx*a dφ із силами, що на нього діють. Умова рівноваги сил у напрямку нормалі до оболонки дає
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
звідси діленням на dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Із умови, що момент відносно горизонтальної дотичної до циліндра дорівнює нулю, одержуємо:
dM/dx = M’x = Qx
Виключаючи поперечну силу Qx з цих двох рівнянь, маємо
a M’’x + Nφ = p a.
Рівн. 6
У цьому рівнянні ці невідомі перерізні сили можна виразити через прогини w. Для Nφ уже знайдено Nφ=Etw/a, а момент пропорційний кривині меридіана w’’, тобто Mx=Kw’’, причому, як і для пластин, K=Et3/12(1-μ2) — жорсткість оболонки, яка може змінюватися вздовж x. Якщо ці вирази для середніх сил підставити в рівняння (6), отримують диференціальне рівняння теорії резервуара:
Для резервуара, товщина стінки якого незмінна, розв’язок має вигляд:
Eq. 7
де λ4=3(1-μ2)/a2t2. Якщо λh велике (скажімо, більше за 3), зручніше замість гіперболічних функцій ввести експоненціальні, тоді:
Eq. 8
Тоді можна незалежно одне від одного визначити сталі A1, B1 із граничних умов на нижньому, а сталі A2, B2 із граничних умов на верхньому краю, причому, як правило, дістаємо A2=B2=0. На основі рівняння (8) і (7) отримують поперечні сили, коли розрахунок виконують у зворотному напрямку і всюди вводять рівняння (8) і (7); так, наприклад, для A2=B2=0:
Коли стінки резервуара жорстко защемлені в плиту, на дні резервуара, яке достатньо товсте, щоб його можна було вважати жорстким, сталі A1, B1 слід визначити з умов, що x=0, w=0 і w’=0, і тоді отримують:
Якщо дно резервуара є пружною плитою або оболонкою, поперечні сили Qx і моменти Mx вздовж крайового кола між дном і стінкою циліндра слід визначати методами теорії статично невизначуваних систем на основі вимоги, щоб Mx і w’ для обох частин мали однакове значення.