Qabıqlar orta səthi düz olmayan, əksinə nəzərəçarpacaq dərəcədə qabarıq olan səth daşıyıcıları adlanır. Onların statik davranışı lövhənin davranışından xeyli fərqlənir. Uyğun formaya malik olduqda, gərginliyi xeyli az, sərtliyi isə müvafiq olaraq daha böyük olur və hesablanması əksər hallarda daha sadədir.
Hər bir qabığın gərginliyi iki hissəyə bölünə bilər: membran gərginliyi və əyilmə. Membran gərginlikləri, öz müstəvisində yüklənən plitədəki gərginliklər kimi, toxunan müstəvidə kəsici qüvvələr vasitəsilə ifadə oluna bilər – məsələn, x=const. kəsiyində normal qüvvə _Nx=_σx*t və kəsici qüvvə _Nxy=_τxy*t, burada t qabığın qalınlığıdır. Əyilmə nəticəsində yaranan gərginliklər plitələrdəki kimidir və Mx əyilmə momentləri, Mxy burulma momentləri və Qx kəsici qüvvələri ilə göstərilə bilər.
Qabıqların əsas xüsusiyyətləri ondan ibarətdir ki, qayda üzrə əyilmə nəticəsində yaranan gərginliklər nə böyüklük, nə də əhəmiyyət baxımından membran gərginliklərinə çatmır, buna görə də çox vaxt tamamilə nəzərə alınmaya bilər. Bu halda bütün gərginliklər qabığın qalınlığı boyunca bərabər paylanır və orta səthə toxunan istiqamətdə təsir edir. Bu fərziyyələrə əsaslanan hesablamalar qabıqların membran nəzəriyyəsi çərçivəsinə daxildir.
Fırlanma simmetrik yüklənmə altında fırlanma simmetrik örtüklərin membran nəzəriyyəsi
Ümumi formullar
Koordinat xətləri kimi qişanın orta səthində meridianlar və paralel çevrələr götürülür, buna görə koordinatlar bunlardır: azimut ϑ (“coğrafi uzunluq”) və simmetriya oxuna perpendikulyar müstəviyə görə meridiana toxunanın meyli φ (şək. 1a). Buna görə kəsici qüvvələr bunlardır: meridian istiqamətində normal qüvvə Nφ və halqada normal qüvvə Nϑ (şək. 1b). Kəsmə qüvvələri Nφϑ fırlanma-simmetrik gərginlikdə meydana çıxmır. Sahə vahidinə düşən yük aşağıdakı kimi işarələnir (şək. 1b): Y meridiana toxunan istiqamətdə, φ artdığı istiqamətdə müsbət, Z qişaya normal, simmetriya oxuna doğru müsbət.
Şək. 1
Şək. 2
Meridianın əyrilik radiusu r1 olsun. O, φ bucağının funksiyasıdır, ona görə də _r1=r1(_φ) tənliyi ilə meridianın forması müəyyən edilir. Bu tənlik, məsələn, meridianın tənliyi kimi qəbul edilə bilər və belədir.
dairə üçün r1=a=const.
parabola üçün r1=a/cos3__φ
ellips üçün r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Meridian istiqamətində N__φ normal qüvvəsini hesablamaq üçün, φ paralel dairəsinin üstündə yerləşən qabıq hissəsinin tarazlıq şərtini qoymaq lazımdır (şək. 2). Bu hissəyə təsir edən Y və Z yüklərinin nəticə qüvvəsi simmetriyaya görə şaqulidir. Onun böyüklüyü qabıq səthinə φ’=0-dən φ’=φ-ə qədər inteqrasiya etməklə alınır. Qabıq elementinin sahəsi dF=r1d__φ’*rd__ϑ olduğundan, yükün şaquli tərkibi (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF-dir. φ’ və φ’+dφ’ dairələri arasında yerləşən bütün halqavari qabıq hissəsi üçün xarici yükün nəticə qüvvəsi belədir:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
buradan φ’ üzrə, φ’=_φ paralel çevrəsinin üstündə qalan qabıq hissəsi üçün inteqrasiya etməklə alınır:
Müq. 1
Bu yüklənməni meridian istiqamətindəki normal qüvvələr qəbul edir; onlar müşahidə olunan çevrənin konturu boyunca təsir göstərir; bu qüvvələrin nəticə qüvvəsinin şaquli komponenti 2__πr * N__φ sin__φ, olur və buradan bərabərləşdirmə yolu ilə tələb olunan normal qüvvə alınır
Tən. 2
Əgər qabıq yuxarı hissədə φ=φ0 çevrəsi boyunca kəsilmişdirsə (məsələn, günbəzdə işıq dəliyi), inteqralın aşağı həddi, təbii ki, sıfır deyil, φ0-dır. Bu yolla yaranan qabığın kənarında R0 yükü də təsir edirsə, onu da nəticə qüvvəsi R‑yə əlavə etmək lazımdır (şək. 3).
Şək. 3
Normal qüvvə N__ϑ müəyyən etmək üçün toxunma müstəvisinə perpendikulyar qabıq elementinin tarazlıq şərti yazılmalıdır (şək. 4). Bu istiqamətdə xarici yükün nəticəsi Z r1 d__φ r d__ϑ. Meridional müstəvidə yerləşən N__φ*r d__ϑ qüvvələri bir-biri ilə d__φ kiçik bucaq əmələ gətirdiyindən, onların qabığa normal istiqamətdəki nəticəsi N__φ r d__ϑ*dφ. Eyni qaydada, üfüqi dairə müstəvisində yerləşən və bir-biri ilə dϑ bucağı əmələ gətirən Nϑ r1 dφ qüvvələrinin də nəticəsi Nϑ r1 dφ*dϑ olur; bu nəticə də üfüqi dairə müstəvisində yerləşir və buna görə qabığa normalla 0,5_π-φ_ bucağı əmələ gətirir, beləliklə tarazlıq şərtinə yalnız onun Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ tərkibi daxil olur. Deməli, tarazlıq şərti belə yazılır
və ya r r1 dϑ dφ-yə bölündükdə:
bir.3
Burada r2=r/sinφ ilə qövs qabığının ikinci əsas əyrilik radiusu göstərilmişdir.
Şək. 4
Dairəvi günbəz
Məridianın forması analitik şəkildə r1=r1(φ) tənliyi ilə verildikdə və Y(φ) və Z(φ) yükləri üçün analitik ifadələr verildikdə, qabıqda kəsici qüvvələr həmişə qapalı şəkildə inteqrasiya etməklə və ya Simpson- qaydasından istifadə edərək ədədi üsulla müəyyən edilə bilər. Diametri a olan dairəvi qübbə üçün aşağıda bəzi yüklənmə halları üzrə kəsici qüvvələr verilir:
Son düstur, φ=0 üçün sonsuz böyük kəsici qüvvələr verən düstur, yalnız qüvvənin tətbiq nöqtəsindən müəyyən məsafədə keçərlidir. Qüvvənin təsir etdiyi yerin birbaşa yaxınlığında, hətta o, sonlu, lakin kiçik diametrli dairənin sahəsi üzrə paylanmış olsa belə, yük əsasən əyilmə ilə ötürülür.
Üst hissəsi açıq olan qabıq formaları əvvəlkilərdən belə çıxarıla bilər ki, faktiki yüklənməyə zirvədə P adlı xəyali yük əlavə olunur; onun qiyməti belə müəyyən edilir: qabığın yuxarı kənarında meridian istiqamətində təsir edən ümumi normal qüvvə φ=φ0 Nφ=0 olduqda və ya qabığın burada qəbul etdiyi xarici qüvvələr tərəfindən müəyyən edilən hər hansı bir qiymətə bərabər olduqda.
Konusvari qabıq
Şək. 5
Konusvari qabıqda meridianın meyli φ koordinat kimi istifadə oluna bilməz, çünki onun bütün nöqtələrdə eyni qiyməti var. Onun yerinə generatris boyunca ölçülən qübbənin zirvəsindən məsafə s daxil edilir (şək. 5). Buna uyğun olaraq meridian istiqamətində normal qüvvə Ns ilə işarələnir. Lazımi formalar yuxarıda 1 göstərilənlərdən həddi keçid tətbiq edildikdə əldə oluna bilər. Tənlikdən (2) bu yolla
və tənlikdən (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Ən mühüm yüklənmə halları üçün aşağıdakı düsturlar tətbiq olunur:
Meridianın istənilən forması üçün qrafik üsul
Şek. 6
Meridian əyrisi analitik ifadə ilə verilmədikdə, məsələn, qrafik şəkildə verildikdə, əyrilik radiusunun müəyyən edilməsi həddindən artıq çətin və həddindən artıq qeyri-dəqiq olur. Bu halda qrafik üsuldan istifadə etmək daha məqsədəuyğundur (sl. 6).
Qabıq bir sıra φ=const. müstəviləri ilə bölünür, onların arasında yerləşən halqa zonalarının çəkiləri Δ_R_ hesablanır və onları ən yaxşı halda dərhal 2_π_-yə bölmək lazımdır. Bu qüvvələr ΔR/2π qüvvələr planına köçürülür (şək. 6b). Sonra, məsələn, bölmə nöqtəsi 7 vasitəsilə meridianın 7 nöqtəsindəki toxunana paralel düz xətt çəkilərsə, qüvvələr planının yuxarı nöqtəsindən keçən horizontalla onun üzərində R1/2π sinφ7 uzunluğunda bir hissə kəsiləcək; buradan tənlik (2) əsasında müvafiq r-yə bölməklə meridian istiqamətində uyğun normal qüvvə alınır.
Halqalardakı qüvvələrin təyin edilməsi üçün qabığın bir elementində üfüqi qüvvələrin tarazlıq şərti istifadə olunur. Yalnız şaquli yüklər təsir etdikdə, bu şərt belədir (şək. 4):
Burada dφ tətbiq olunan qabıq bölünməsinə uyğun gələn sonlu fərq Δφ ilə əvəz edildikdə və r1 dφ əvəzinə meridian elementinin uzunluğu Δs götürüldükdə, buradan alınır
Sağ tərəfdəki mötərizədə qüvvələr planında üfüqi xətt üzərində kəsik yerləşir. Buna görə də bütün sağ tərəf həmin xətt üzərində bölmə nöqtələri arasındakı hissələri göstərir. Onları kifayət qədər dəqiq oxuya bilmək üçün qüvvələr planı diqqətlə və kifayət qədər böyük miqyasda çəkilməlidir.
Dartılmış və sıxılmış halqalar
Hər bir fırlanma simmetrik qabıq bir və ya iki üfüqi çevrə ilə məhdudlaşır (şək. 7). Bu kənarlarda o, prinsip etibarilə yalnız meridianın toxunana malik istiqamətində olan belə yükləri və dayaq reaksiyalarını qəbul edə bilər. Əgər xarici qüvvələrin başqa istiqaməti varsa, məsələn, konstruksiyanın yuxarı hissəsindən gələn P yükü və ya şək. 97-də göstərilən rezervuarın dibinin S reaksiyası, bu qüvvələr şəkildə göstərildiyi kimi üfüqi çevrə və meridian toxunanı istiqamətində komponentlərə ayrılmalıdır. P/sinφ0 və ya S/sinφu komponenti həmin yerdə təsir edən meridian istiqamətindəki normal qüvvə Nφ ilə bərabərdir, halbuki üfüqi qüvvə Pctgφ0 və ya Sctgφu-nun qəbul edilməsi üçün dartılma, yəni sıxılma qəbul edən və bu radial yükün + P r0 ctgφ0 və ya -S ru ctgφu normal qüvvəsi yaratdığı bir halqa tələb olunur. Belə halqalar, qabığın kənarlarından başqa, meridian əyrisinin qırıldığı bütün yerlərdə də yerləşdirilməlidir. Onlar həmişə membran gərginlik vəziyyətinin pozulmasına səbəb olur.
Şək. 7
Fırlanma simmetrik qabıqlarda əyilmədən yaranan gərginliklər
Membran nəzəriyyəsinin formaları verilmiş məsələyə həqiqətən uyğun olan bütün sərhəd şərtlərini ödəmək üçün kifayət qədər inteqrasiya sabitləri ehtiva etmir. Xüsusilə fırlanma baxımından simmetrik qabıqlarda, inteqrasiya sabitlərinin uyğun seçimi ilə qabığın kənarı boyunca halqa istiqamətində εϑ = Nϑ/Et uzanmasının onunla həmin yerdə möhkəm birləşdirilmiş başqa bir konstruktiv hissənin müvafiq uzanmasına bərabər olmasına nail olmaq mümkün deyil. Eyni şey meridianın əyriliyinin, qabığın qalınlığının və ya vahid səthə düşən yükün bir üfüqi çevrə boyunca sıçrayışla dəyişdiyi qabıqlara da aiddir. Hətta qabıq hansısa kənar boyunca halqa ilə sərtləşdirilməmiş olsa belə, amma bu nöqtədə qabığa normal istiqamətdə komponenti olan qüvvələrlə yüklənmişdirsə (məsələn, halqa götürüldüyü halda şəkildə 7 göstərilən P yükü), o, belə yükləri yalnız membran qüvvələri vasitəsilə qəbul edə bilməz. Belə hallarda kəsici qüvvə və əyilmə momentləri (şək. 8) qabıq daxilində qüvvələrin paylanmasında mühüm rol oynayır; bu isə statik hesablamada nəzərə alınmalıdır.
Şək. 8
Qabığın əyilməyə görə dəqiq hesablanması, silindrik qabığın ən sadə xüsusi halı istisna olmaqla, çox çətin bir vəzifədir. Nazik divarlı qabıqlar üçün sərt nəzəriyyədə məlum olan bir fakta əsaslanan sadə və çox faydalı təxmini nəzəriyyə qurmaq olar: əyilmə nəticəsində yaranan gərginliklər kənarın yaxınlığında nisbətən dar zonada cəmlənir və kənardan məsafə artdıqca sürətlə azalır. Bu, dəqiq diferensial tənlikdə çoxlu sayda həddi nəzərə almamağa imkan verir və tənlik sadələşdirilmiş forma alır.
Əgər yalnız maraq doğuran sərhəd tonu κ daxilində orta qiymətlə əvəz olunarsa, bu isə demək olar ki, həmişə mümkündür, tənliyin həlli belə olur
Bax. 4 və 5
burada a1, b1, a2, b2 inteqrasiya sabitləridir. Həll yalnız φ=φ0 kənarının yaxınlığında maraqlı olduğundan, bu kənardan olan bucaqlı məsafə ω=φ0-φ və ya ω=φ-φ0 koordinat kimi daxil edilməsi məqsədəuyğundur; beləliklə yuxarıdakı həllin çevrilməsi ilə ikinci göstərilən ifadə alınır. Burada yalnız iki inteqrasiya sabiti A, B və ya C, ψ meydana çıxır, çünki eκω amilini ehtiva edən və buna görə ω artdıqca azalmayan həllin ikinci hissəsi nəzərdən kənarlaşdırıla bilər.
5 tənliyinə əsasən, kəsici qüvvələr və meridian toxunanının κ dönməsi üçün aşağıdakı qiymətlər alınır:
Silindr formalı rezervuarlarda əyilmə nəticəsində yaranan gərginliklər
Tutaq ki, hündürlüyü h olan silindrik rezervuar su ilə doldurulmuşdur (şək. 9), onda x hündürlüyündə iki rezervuar üzərində suyun təzyiqi p=γ(h-x) olur. Bu hündürlükdə bir-birindən dx. məsafədə yerləşən iki üfüqi kəsiklə rezervuardan halqa kəsilib çıxarılsa və bu halqa diametrlərindən biri boyunca iki hissəyə bölünsə, onların birinin tarazlıq şərti halqada membran qüvvəsini Nφ=pa verir. Əgər bu yerdə rezervuarın qalınlığı t olarsa, halqadakı dilatasiya εφ=Nφ/Et olar və buna görə rezervuar radiusunun artımı (əyilmə) belədir
Alt kənarda x=0 olduğuna görə
Şək. 9
Nə biri, nə də digəri, qayda olaraq, sərhəd şərtlərinə uyğun gəlmir, çünki divarın deformasiyası rezervuarın dibi ilə birləşmə səbəbindən qarşısı alınır. Bu zaman silindrin dibi ilə divarı arasındakı birləşmədə transvers qüvvələr Qx0 və momentlər Mx0 (şək. 11) əmələ gəlir; onların qiyməti elə müəyyən edilməlidir ki, qabıqda yeni hesablanmış membran qüvvələri ilə birlikdə qabığın kənarında dibin icazə verdiyi bu deformasiyanı yaratsın.
Şək. 10, 11, 12, müvafiq olaraq
Şək. 11-də ona təsir edən qüvvələrlə birlikdə qabıq elementi dx*a dφ göstərilmişdir. Qabığa normal istiqamətdə qüvvələrin tarazlıq şərti verir
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
bundan sonra dx dφ ilə bölməklə:
a Q’x + Nφ = p a.
Silindrə qarşı üfüqi tangens ətrafındakı momentin sıfır olması şərtindən alınır:
dM/dx = M’x = Qx
Bu iki tənlikdən transverzal qüvvə Qx aradan qaldırılmaqla alınır
a M’’x + Nφ = p a.
Tən. 6
Bu tənlikdə bu naməlum kəsici qüvvələr w əyilmə vasitəsilə ifadə oluna bilər. Nφ üçün artıq Nφ=Etw/a, tapılmışdır, moment isə meridianın əyriliyinə w’’ mütənasibdir, yəni Mx=Kw’’, burada plitələrdə olduğu kimi K=Et3/12(1-μ2) örtüyün sərtliyidir və o, x üzrə dəyişən ola bilər. Bu orta qüvvələr üçün ifadələr tənliyə (6) daxil edilərsə, rezervuar nəzəriyyəsinin diferensial tənliyi alınır:
Divar qalınlığı dəyişməz olan rezervuar üçün həll belədir:
bir.7
burada λ4=3(1-μ2)/a2t2. Əgər λh böyükdürsə (məsələn, 3-dən böyükdürsə), hiperbolik funksiyalar əvəzinə eksponensial funksiyaları tətbiq etmək daha uyğundur, onda:
bir.8
O zaman bir-birindən asılı olmadan A1, B1 sabitləri aşağı sərhəd şərtlərindən, A2, B2 sabitləri isə yuxarı kənardakı sərhəd şərtlərindən müəyyən edilə bilər; bir qayda olaraq A2=B2=0 alınır. Tənlik (8) və (7) əsasında kəsici qüvvələr əldə edilir, hesablamalar tərs istiqamətdə aparıldıqda və hər yerdə tənlik (8) və (7) tətbiq edildikdə; məsələn, A2=B2=0 üçün:
Rezervuarın divarları lövhəyə bərk sıxılmış olduqda, dibi kifayət qədər qalın olub sərt hesab edilə bilən rezervuarda A1, B1 sabitləri x=0, w=0 və w’=0 şərtlərindən müəyyən edilməlidir, beləliklə alınır:
Əgər rezervuarın dibi elastik lövhə və ya qabıqdırsa, dib ilə silindr divarı arasındakı kənar çevrə boyunca transvers qüvvələr Qx və momentlər Mx statik qeyri-müəyyən sistemlər nəzəriyyəsi üsulları ilə, Mx və w’ üçün hər iki hissədə eyni qiymətin olması tələbini əsas götürərək müəyyən edilməlidir.