प्रत्यास्थता सिद्धान्त - खोलहरू

खोलहरू भनिने सतही संरचनाहरू ती हुन् जसको मध्यम सतह समतल नभई स्पष्ट रूपमा उभिएको हुन्छ। तिनको स्थैतिक व्यवहार प्लेटको व्यवहारभन्दा निकै फरक हुन्छ। उपयुक्त आकार भएमा तिनको तनाव निकै कम, कठोरता त्यसअनुसार बढी, र गणना प्रायः सरल हुन्छ।

प्रत्येक खोलको तनावलाई दुई भागमा विभाजन गर्न सकिन्छ: झिल्लीगत तनाव र बङ्गाइ। झिल्लीगत तनावहरू, आफ्नो समतलमा लोड गरिएको प्लेटका तनावहरू जस्तै, स्पर्शीय समतलमा रहेका काट्ने बलहरूद्वारा व्यक्त गर्न सकिन्छ – उदाहरणका लागि x=const. काटमा सामान्य बल _Nx=_σx*t र कतरनी बल _Nxy=_τxy*t, जहाँ t खोलको मोटाइ हो। बङ्गाइका कारण उत्पन्न तनावहरू प्लेटहरूमा जस्तै हुन्छन् र बङ्गाउने moment Mx, टर्सन moment Mxy तथा कतरनी बल Qx द्वारा प्रस्तुत गर्न सकिन्छ।

खोलका महत्त्वपूर्ण विशेषताहरू यस तथ्यमा आधारित छन् कि सामान्यतया बङ्गाइका कारण उत्पन्न तनावहरूको परिमाण र महत्त्व झिल्लीगत तनावहरूको हुँदैन, त्यसैले तिनलाई प्रायः पूर्ण रूपमा उपेक्षा गर्न सकिन्छ। यस्तो अवस्थामा सबै तनावहरू खोलको मोटाइभरि समान रूपमा वितरण हुन्छन् र मध्य सतहमा स्पर्शीय रूपमा कार्य गर्छन्। यी धारणाहरूमा आधारित गणनाहरू खोलहरूको झिल्ली सिद्धान्तको दायरामा पर्छन्।

घूर्णनसममित खोलहरूको, घूर्णनसममित भारअन्तर्गत, झिल्ली सिद्धान्त

सामान्य सूत्रहरू

समन्वय रेखाका रूपमा खोलको मध्य सतहमा पर्ने मेरिडियन र समानान्तर वृत्तहरू लिइन्छन्, त्यसैले समन्वयहरू हुन्: azimuth ϑ (“भौगोलिक देशान्तर”) र सममित अक्षसँग लम्ब समतलतर्फ मेरिडियनको स्पर्शरेखाको ढल्काइ φ (sl. 1a)। त्यसअनुसार काट्ने बलहरू हुन्: मेरिडियनको दिशामा सामान्य बल Nφ र वलयमा सामान्य बल Nϑ (sl. 1b)। Nφϑ नामका शीयर बलहरू घुमाउरो-सममित तनावमा देखा पर्दैनन्। प्रति एकाइ सतहको भार निम्नानुसार जनाइन्छ (sl. 1b): मेरिडियनसँग स्पर्शीय Y, φ बढ्ने दिशामा धनात्मक, र खोलसँग लम्ब Z, सममित अक्षतर्फ धनात्मक।

क्र.1

क्र.2

मानौं मेरिडियन वक्रताको अर्धव्यास r1 हो। यो कोण φ को फलन हो, त्यसैले _r1=r1(_φ) समीकरणले मेरिडियनको आकार निर्धारित हुन्छ। यसलाई मेरिडियनको समीकरण मान्न सकिन्छ र यो, उदाहरणका लागि, यस प्रकार हुन्छ:

वृत्तका लागि                                       r1=a=const.

पराबोलाका लागि                                  r1=a/cos3__φ

दीर्घवृत्तका लागि          r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2

मेरिडियन दिशामा सामान्य बल N__φ गणना गर्न, समांतर वृत्त φ भन्दा माथि रहेको खोलको भागको सन्तुलन अवस्था राख्नुपर्छ (चित्र 2). यस भागमा लाग्ने Y र Z भारहरूको परिणाम R सममितिका कारण ठाडो हुन्छ। यसको परिमाण खोलको सतहमा φ’=0 देखि φ’=φ सम्म एकीकरण गरेर प्राप्त हुन्छ। खोलको तत्त्वको सतह dF=r1d__φ’*rd__ϑ हो, त्यसैले भारको ठाडो अवयव (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF हुन्छ। φ’ र φ’+dφ’ वृत्तहरूबीच रहेको सम्पूर्ण वलयाकार खोल भागका लागि बाह्य भारको परिणाम यस्तो हुन्छ:

dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,

जहाँबाट φ’ अनुसार एकीकरण गर्दा, समांतर वृत्त φ’=φ भन्दा माथि पर्ने खोलको भागका लागि प्राप्त हुन्छ:

सम. 1

यो भार मेरिडियन दिशामा लाग्ने सामान्य बलहरूले ग्रहण गर्छन्, जुन देखिएको वृत्तको परिधिभरि कार्य गर्छन्; यी बलहरूको परिणामीको ठाडो अवयव 2__πr * N__φ sin__φ, हुन्छ, त्यसैले बराबरीकरणबाट आवश्यक सामान्य बल प्राप्त हुन्छ

समीकरण 2

यदि खोलको माथिल्लो भाग φ=φ0 वृत्तअनुसार काटिएको छ भने (जस्तै, गुम्बजमा प्रकाशका लागि खुला भाग), अवकलनको तल्लो सीमा निश्चय नै φ0 हुन्छ, शून्य होइन। यदि यसरी बनेको खोलको किनारामा R0 भार पनि लाग्छ भने, त्यसलाई पनि परिणामी R मा थप्नुपर्छ (आकृति 3).

क्र.3

सामान्य बल N__ϑ निर्धारण गर्न, स्पर्शीय समतलको लम्बवत खोलको तत्त्वको सन्तुलनको सर्त राख्नुपर्छ (चित्र 4). यस दिशामा बाह्य भारको परिणामी Z r1 d__φ r d__ϑ हुन्छ। मेरिडियन समतलमा रहेका बलहरू N__φ*r d__ϑ ले आपसमा सानो कोण d__φ बनाउँछन्, त्यसैले खोलको नर्मल दिशामा तिनको परिणामी N__φ r d__ϑ*dφ हुन्छ। त्यसैगरी, तेर्सो वृत्तको समतलमा रहेका र आपसमा dϑ कोण बनाउने बलहरू Nϑ r1 dφ को परिणामी Nϑ r1 dφ*dϑ हुन्छ, जुन पनि तेर्सो वृत्तको समतलमै पर्छ र त्यसैले खोलको नर्मलसँग 0,5_π-φ_ कोण बनाउँछ, त्यसैले सन्तुलनको सर्तमा यसको केवल अवयव Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ मात्र समावेश हुन्छ। त्यसअनुसार सन्तुलनको सर्त यस्तो हुन्छ

वा, r r1 dϑ dφ द्वारा भाग गर्दा:

एक।3

यहाँ r2=r/sinφ द्वारा खोलाको दोस्रो मुख्य वक्रता-अर्धव्यास जनाइएको छ।

क्र.4

वृत्ताकार गुम्बज

जब मेरिडियनको आकारलाई विश्लेषणात्मक रूपमा r1=r1(φ) समीकरणद्वारा दिइएको हुन्छ र Y(φ) तथा Z(φ) भारहरूका लागि विश्लेषणात्मक अभिव्यक्तिहरू दिइएका हुन्छन्, तब खोलमा पर्ने छेदीय बलहरू सधैं बन्द-रूप समाकलनद्वारा वा सङ्ख्यात्मक रूपमा, Simpson-को नियम प्रयोग गरी निर्धारण गर्न सकिन्छ। व्यास a भएको वृत्ताकार गुम्बजका लागि, तल केही भार अवस्थाहरूका छेदीय बलहरू दिइएका छन्:

अन्तिम सूत्र, जसले φ=0 का लागि अनन्त ठूला काट बलहरू दिन्छ, बलको प्रहार बिन्दुबाट केही दूरीमा मात्र लागू हुन्छ। बल लाग्ने स्थानको नजिकै, चाहे त्यो सीमित तर सानो व्यासको वृत्तको सतहभरि वितरण गरिएको भए पनि, भार मुख्यतः मोडनद्वारा सारिन्छ।

माथिल्लो भाग खुला रहेका खोलहरूको रूपरेखा पहिलेका रूपरेखाबाट निकाल्न सकिन्छ, यदि वास्तविक भारमा शिखरमा काल्पनिक भार P थपियो भने, जसको परिमाण यसरी निर्धारण गरिन्छ: खोलको माथिल्लो किनारमा मेरिडियन दिशामा लाग्ने कुल सामान्य बल φ=φ0 = Nφ=0 हुन्छ, वा खोलले यहाँ ग्रहण गर्ने बाह्य बलहरूद्वारा निर्धारित कुनै मानबराबर हुन्छ।

कोनाकार खोल

क्र.5

शङ्क्वाकार खोलमा मेरिडियनको ढलान φ लाई समन्वयको रूपमा प्रयोग गर्न सकिँदैन, किनकि यसको सबै बिन्दुहरूमा एउटै मान हुन्छ। यसको सट्टा, जन्यरेखा (चित्र 5) along नापिएको गुंबजको शिखरदेखि दूरी s प्रस्तुत गरिन्छ। त्यसअनुसार मेरिडियन दिशाको सामान्य बललाई Ns द्वारा जनाइन्छ। आवश्यक रूपहरू उल्लिखित 1 बाट सीमा-सङ्क्रमण गर्दा प्राप्त गर्न सकिन्छ। समीकरण (2) बाट यसरी

र समीकरण (3) बाट

Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.

सबैभन्दा महत्त्वपूर्ण भार अवस्थाहरूका लागि निम्न सूत्रहरू लागू हुन्छन्:

मेरिडियनको मनपरी आकारका लागि ग्राफिक प्रक्रिया

चित्र। 6

जब मेरिडियन वक्र विश्लेषणात्मक अभिव्यक्तिबाट दिइएको हुँदैन, बरु उदाहरणका लागि ग्राफिक रूपमा दिइएको हुन्छ, तब वक्रताको त्रिज्या निर्धारण गर्नु अत्यन्त कठिन र अत्यन्त अशुद्ध हुन्छ। त्यस्तो अवस्थामा ग्राफिक विधि प्रयोग गर्नु बढी उपयुक्त हुन्छ (sl. 6).

खोललाई φ=const. का धेरै समतलहरूद्वारा विभाजन गरिन्छ, बीचका वलयाकार क्षेत्रहरूको तौल Δ_R_ गणना गरिन्छ र तिनीहरूलाई सबैभन्दा राम्रोसँग तुरुन्तै 2_π_ ले भाग गरिन्छ। यी बलहरू ΔR/2π बल-आरेखमा लगाइन्छन् (चित्र 6b)। यदि त्यसपछि, उदाहरणका लागि, विभाजन बिन्दु 7 बाट मेरिडियनको बिन्दु 7 मा रहेको स्पर्शरेखासँग समानान्तर रेखा कोरियो भने, बल-आरेखको माथिल्लो बिन्दु हुँदै जाने क्षैतिज रेखाले त्यसमा R1/2π sinφ7 खण्ड काट्नेछ, जसबाट समीकरण (2) का आधारमा उपयुक्त r ले भाग गर्दा मेरिडियनको दिशामा उपयुक्त सामान्य बल प्राप्त हुन्छ।

वृत्तहरूमा बलहरू निर्धारण गर्न खोलको एक तत्वमा क्षैतिज बलहरूको सन्तुलन अवस्था प्रयोग गरिन्छ। यदि केवल ठाडो भारहरू लाग्छन् भने, यो अवस्था यसप्रकार हुन्छ (चित्र 4):

जब यहाँ dφ लाई परिकलित फरक Δφ द्वारा प्रतिस्थापित गरिन्छ, जुन स्वीकारिएको खोलको विभाजनसँग मेल खान्छ, र r1 dφ को सट्टा मेरिडियन तत्त्वको लम्बाइ Δs राखिन्छ, त्यहाँबाट प्राप्त हुन्छ

दायाँपट्टिको कोष्ठकमा बल-योजनामा तेर्सो रेखामा कट-अफ देखाइएको छ। त्यसैले सम्पूर्ण दायाँ भागले उक्त रेखामा विभाजन बिन्दुहरूबीचका खण्डहरूलाई जनाउँछ। तिनलाई पर्याप्त सटीकतासाथ पढ्न सकियोस् भनेर बल-योजना सावधानीपूर्वक र पर्याप्त ठूलो मापनमा कोर्नुपर्छ।

तानिएका र थिचिएका वलयहरू

प्रत्येक घूर्णन–सममित खोल एक वा दुई क्षैतिज वृत्तहरूद्वारा सीमित हुन्छ (चित्र 7). यी किनाराहरूमा सैद्धान्तिक रूपमा यसले केवल त्यस्ता भार र आधार प्रतिक्रियाहरू मात्र ग्रहण गर्न सक्छ, जसको दिशा मेरिडियनको स्पर्शरेखासँग मिल्छ। यदि बाह्य बलहरूको दिशा फरक छ भने, जस्तै संरचनाको माथिल्लो भागबाट आएको भार P वा चित्र 97 मा देखाइएको ट्याङ्कीको तलको प्रतिक्रिया S, यी बलहरूलाई, चित्रमा देखाएझैं, क्षैतिज वृत्त र मेरिडियनको स्पर्शरेखाको दिशामा अवयवहरूमा विभाजन गर्नुपर्छ। अवयव P/sinφ0 वा S/sinφu मेरिडियनको दिशामा लागेको सामान्य बल Nφ बराबर हुन्छ, जबकि क्षैतिज बल Pctgφ0 वा Sctgφu ग्रहण गर्न तन्य वा दाब ग्रहण गर्ने घेरा आवश्यक हुन्छ, र यसमा यो रेडियल भारले सामान्य बल + P r0 ctgφ0, वा -S ru ctgφu उत्पन्न गर्छ। यस्ता घेराहरू, खोलका किनाराहरूमा मात्र होइन, मेरिडियन वक्रमा मोड आउने सबै स्थानहरूमा पनि राख्नुपर्छ। तिनले सधैँ झिल्लीगत तनाव अवस्थाको अव्यवस्था उत्पन्न गर्छन्।

क्र.7

घुमन-सममित खोलहरूमा मोडनका कारण हुने तनावहरू

झिल्ली सिद्धान्तका रूपहरूले प्रस्तुत कार्यसँग वास्तवमा मिल्ने सबै सीमाशर्तहरू पूरा गर्न पर्याप्त संख्यामा समाकलन स्थिराङ्कहरू समावेश गर्दैनन्। विशेष गरी घूर्णन-सममित खोलहरूमा, कुनै उपयुक्त समाकलन स्थिराङ्कहरूको चयनद्वारा खोलको किनारामा घेरा-दिशामा हुने विकृति εϑ = Nϑ/Et त्यहाँ त्यससँग कडा रूपमा जोडिएको कुनै अन्य संरचनात्मक भागको सम्बन्धित विकृतिसँग समान बनाउनु सम्भव हुँदैन। यही कुरा त्यस्ता खोलहरूमा पनि लागू हुन्छ, जसमा एउटा क्षैतिज घेरासँगै मेरिडियनको वक्रता, खोलको मोटाइ वा प्रति एकाइ सतह भार अचानक परिवर्तन हुन्छ। र यदि खोल कुनै किनारासँगै घेराले कडा बनाइएको छैन, तर यही स्थानमा खोलको सामान्य दिशामा घटक भएका बलहरूले भारित छ (जस्तै चित्र 7 मा भार P, जब घेरा हटाइएको कल्पना गरिन्छ), तब यसले यस्ता भारहरू केवल झिल्ली बलमार्फत लिन सक्दैन। यस्ता अवस्थामा काट्ने बल र बाङ्गिने मोमेन्टहरू (चित्र 8) खोलमा बलहरूको वितरणमा महत्त्वपूर्ण भूमिका खेल्छन्, जसलाई स्थैतिक गणनामा ध्यानमा लिनुपर्छ।

क्र. 8

वक्रतामा खोलको सटीक गणना, बेलनाकार खोलको सबैभन्दा सरल विशेष अवस्थामा बाहेक, अत्यन्त कठिन कार्य हो। पातलो पर्खाल भएका खोलहरूका लागि एउटा सरल र अत्यन्त उपयोगी अनुमानित सिद्धान्त तयार गर्न सकिन्छ, जसले कडा सिद्धान्तबाट ज्ञात तथ्यमा आधारित छ कि वक्रताबाट उत्पन्न तनावहरू किनारको छेउको तुलनात्मक रूपमा साँघुरो क्षेत्रमा सीमित हुन्छन् र किनारबाट दूरी बढ्दै जाँदा छिट्टै घट्छन्। यसले सटीक अवकल समीकरणका धेरै पदहरूलाई बेवास्ता गर्न सम्भव बनाउँछ, र त्यसले सरलीकृत रूप लिन्छ।

यदि केवल रुचिकर रहेको सीमा तह κ भित्र औसत मानले प्रतिस्थापन गरियो भने, र यो प्रायः सधैँ सम्भव हुन्छ, समीकरणको समाधान हो

समीकरण 4 र 5

जहाँ a1, b1, a2, b2 समाकलन स्थिरांकहरू हुन्। समाधान केवल किनारा φ=φ0 नजिकै मात्र रोचक भएकाले, त्यस किनाराबाट कोणीय दूरी ω=φ0-φ वा ω=φ-φ0 लाई निर्देशाङ्कका रूपमा लिन उपयुक्त हुन्छ, र माथि दिइएको समाधानको रूपान्तरणबाट दोस्रो उल्लेखित अभिव्यक्ति प्राप्त हुन्छ। यहाँ केवल दुई समाकलन स्थिरांक A, B वा C, ψ देखापर्छन्, किनकि eκω गुणक भएको समाधानको दोस्रो भाग, र त्यसअनुसार ω बढ्दै जाँदा नघट्ने भाग, विचारबाट हटाउन सकिन्छ।

समीकरण 5 को आधारमा अनुप्रस्थ बलहरू र मेरिडियन स्पर्शरेखा κ को घुमाइका लागि निम्न मानहरू प्राप्त हुन्छन्:

वृत्ताकार सिलिन्डर आकारका जलाशयहरूमा वक्रणका कारण उत्पन्न हुने तनावहरू

मानौँ h उचाइको एक बेलनाकार जलाशय पानीले भरिएको छ (चित्र 9), तब जलाशयको दुईवटा भागहरूभन्दा x उचाइमा पानीको दबाब p=γ(h-x) हुन्छ। यदि यही उचाइमा दुई वटा horizontal sections बीचको दूरी dx. बाट जलाशयबाट एउटा ring काटेर त्यसलाई एउटा diameter along दुई भागमा विभाजित गरियो भने, तीमध्ये एउटाको सन्तुलन सर्तले ring मा membrane force Nφ=pa दिन्छ। यदि यस स्थानमा जलाशयको मोटाइ t छ भने, ring मा strain εφ=Nφ/Et हुन्छ र त्यसअनुसार जलाशयको अर्धव्यासको वृद्धि (deflection) हुन्छ

तदनुसार तल्लो किनारामा x=0 छ

क्र.9

दुवैमध्ये कुनै पनि सामान्यतया सीमा अवस्थासँग मेल खाँदैन, किनकि ट्याङ्कको तलसँगको जडानका कारण भित्ताको विकृति रोकिएको हुन्छ। यस क्रममा सिलिन्डरको तल र भित्ताबीचको जडानमा अनुप्रस्थ बलहरू Qx0 र मोमेन्टहरू Mx0 (चित्र 11) देखा पर्छन्, जसको मान यस्तो निर्धारण गर्नुपर्छ कि तिनले भर्खरै गणना गरिएका झिल्ली बलहरूसँग मिलेर खोलाको किनारमा त्यस्तो विकृति उत्पन्न गरून्, जसलाई तल्लो भागले अनुमति दिन्छ।

चित्र 10, 11, 12, क्रमशः

आकृति 11 मा पातको dx*a dφ तत्त्व र त्यसमा लाग्ने बलहरू देखाइएको छ। पातको सतहमा लम्ब दिशामा बलहरूको सन्तुलनको सर्तले दिन्छ

dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,

जहाँबाट dx dφ ले भाग गर्दा:

a Q’x + Nφ = p a.

क्षैतिज स्पर्शरेखाको वरिपरि मोमेंट शून्य हुन्छ भन्ने सर्तबाट प्राप्त हुन्छ:

dM/dx = M’x = Qx

यी दुई समीकरणबाट अवर रेखीय बल Qx हटाउँदा प्राप्त हुन्छ

a M’’x + Nφ = p a.

समीकरण 6

यस समीकरणमा यी अज्ञात काट्ने बलहरूलाई झुकाव w द्वारा व्यक्त गर्न सकिन्छ। Nφ का लागि पहिले नै Nφ=Etw/a पाइएको छ, र moment मेरिडियनको वक्रता w’’ सँग समानुपातिक छ, अर्थात् Mx=Kw’’, जहाँ प्लेटहरूमा जस्तै K=Et3/12(1-μ2) खोलको कठोरता हो, जुन x अनुसार परिवर्तनशील हुन सक्छ। यदि औसत बलहरूका लागि यी अभिव्यक्तिहरू समीकरण (6) मा राखिए भने, भण्डार सिद्धान्तको अवकल समीकरण प्राप्त हुन्छ:

जसको भित्ताको मोटाइ अपरिवर्तित रहेको ट्याङ्कीका लागि समाधान यस्तो हुन्छ:

एक।7

जहाँ λ4=3(1-μ2)/a2t2 हुन्छ। यदि λh ठूलो छ (उदाहरणका लागि, 3 भन्दा ठूलो), तब हाइपरबोलिक फलनहरूको सट्टा घातीय फलनहरू प्रयोग गर्नु उपयुक्त हुन्छ, त्यसैले:

एक।8

त्यसपछि तलको किनारका सीमाशर्तहरूबाट स्वतन्त्र रूपमा A1, B1 स्थिराङ्कहरू निर्धारण गर्न सकिन्छ, र माथिल्लो किनारका सीमाशर्तहरूबाट A2, B2 स्थिराङ्कहरू निर्धारण गर्न सकिन्छ, जसमा सामान्यतया A2=B2=0 प्राप्त हुन्छ। समीकरण (8) र (7) का आधारमा काट्ने बलहरू प्राप्त हुन्छन्, जब गणना उल्टो दिशामा गरिन्छ र सबै ठाउँमा समीकरण (8) र (7) लागू गरिन्छ; यसरी, उदाहरणका लागि A2=B2=0 का लागि:

जब ट्याङ्कीका पर्खालहरूलाई प्लेटमा कठोर रूपमा जकडिएको हुन्छ, र ट्याङ्कीको तला यति बाक्लो हुन्छ कि त्यसलाई कठोर मान्न सकिन्छ, तब स्थिराङ्कहरू A1, B1 लाई x=0, w=0 र w’=0 भन्ने अवस्थाबाट निर्धारण गर्नुपर्छ, र त्यसबाट प्राप्त हुन्छ:

यदि ट्याङ्कीको तल्लो भाग लचिलो प्लेट वा खोल हो भने, तल्लो भाग र सिलिण्डरको पर्खालबीचको परिधि-घेरा boyunca पार्श्व बलहरू Qx र मोमेन्टहरू Mx लाई स्थिर-अनिर्धारित प्रणाली सिद्धान्तका विधिहरूद्वारा, Mx र w’ दुवै भागका लागि एउटै मान हुनुपर्ने आवश्यकताका आधारमा, निर्धारण गर्नुपर्छ।