স্থিতিস্থাপকতার তত্ত্ব - খোলস

শেল বলতে এমন পৃষ্ঠবাহী উপাদানকে বোঝায়, যার মধ্যবর্তী পৃষ্ঠ সমতল নয়, বরং দৃশ্যমানভাবে বক্র। তাদের স্থিতিশীল আচরণ প্লেটের আচরণ থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে ভিন্ন। উপযুক্ত আকৃতি থাকলে তাদের চাপ অনেক কম হয়, তাদের কঠোরতা যথাযথভাবে বেশি হয়, এবং অধিকাংশ ক্ষেত্রে হিসাবও সহজতর হয়।

প্রতিটি শেলের চাপকে দুই ভাগে ভাগ করা যায়: মেমব্রেনীয় চাপ এবং বাঁকন। মেমব্রেনীয় চাপ, একইভাবে যেমন নিজের সমতলে লোডপ্রাপ্ত পাতের চাপ, স্পর্শকীয় সমতলের ছেদন বলের সাহায্যে প্রকাশ করা যায় – যেমন x=const. ছেদে স্বাভাবিক বল _Nx=_σx*t এবং কাঁচন বল _Nxy=_τxy*t, যেখানে t হল শেলের পুরুত্ব। বাঁকনজনিত চাপ পাতের মতোই এবং সেগুলোকে বেন্ডিং মোমেন্ট Mx, টরশনাল মোমেন্ট Mxy এবং কাঁচন বল Qx দ্বারা উপস্থাপন করা যায়।

শেলগুলোর গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য এই সত্যের ওপর নির্ভর করে যে নিয়ম অনুযায়ী বাঁকনজনিত চাপের মান ও গুরুত্ব মেমব্রেনীয় চাপের সমান হয় না, ফলে এগুলো প্রায়ই সম্পূর্ণ উপেক্ষা করা যায়। সে ক্ষেত্রে সব চাপ শেলের পুরুত্ব জুড়ে সমানভাবে বিভক্ত থাকে এবং মধ্য পৃষ্ঠের ওপর স্পর্শকীয়ভাবে ক্রিয়া করে। এই অনুমানগুলোর ওপর ভিত্তি করে করা গণনাগুলো শেলের মেমব্রেন তত্ত্বের অন্তর্ভুক্ত।

ঘূর্ণন-সমমিত আবরণের ঘূর্ণন-সমমিত লোডের অধীনে মেমব্রেন তত্ত্ব

সাধারণ সূত্রাবলি

স্থানাঙ্ক রেখা হিসেবে শেলের মধ্যবর্তী পৃষ্ঠে মেরিডিয়ান ও সমান্তরাল বৃত্ত গ্রহণ করা হয়; ফলে স্থানাঙ্ক হলো: আজিমুথ ϑ (“ভৌগোলিক দ্রাঘিমা”) এবং সিমেট্রির অক্ষের লম্ব সমতলের প্রতি মেরিডিয়ানের স্পর্শকের ঢাল φ (চিত্র 1a)। সে অনুযায়ী ছেদকারী বলগুলো হলো: মেরিডিয়ান বরাবর লম্ব বল Nφ এবং বৃত্ত বরাবর লম্ব বল Nϑ (চিত্র 1b)। শিয়ার বল Nφϑ ঘূর্ণন-সাম্যিক চাপের ক্ষেত্রে দেখা যায় না। একক পৃষ্ঠে লোড নিম্নরূপ নির্দেশ করা হয় (চিত্র 1b): Y মেরিডিয়ানের স্পর্শক বরাবর, φ যে দিকে বাড়ে সেই দিকে ধনাত্মক, Z শেলের লম্বে, সিমেট্রির অক্ষের দিকে ধনাত্মক।

ক্রম1

ক্রম2

ধরা যাক, মধ্যরেখার বক্রতার ব্যাসার্ধ r1। এটি কোণ φ-এর একটি ফাংশন, তাই সমীকরণ _r1=r1(_φ) দ্বারা মধ্যরেখার আকৃতি নির্ধারিত হয়। এটিকে মধ্যরেখার সমীকরণ হিসেবে ধরা যেতে পারে এবং এটি, উদাহরণস্বরূপ, এভাবে লেখা যায়।

বৃত্তের জন্য                                       r1=a=const.

পরাবৃত্তের জন্য                                 r1=a/cos3__φ

উপবৃত্তের জন্য          r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2

মেরিডিয়ানের দিকে স্বাভাবিক বল N__φ গণনার জন্য সমান্তরাল বৃত্ত φ -এর ওপরে অবস্থিত শেলের অংশের সাম্যাবস্থার শর্ত স্থাপন করতে হবে (চিত্র 2). এই অংশের ওপর ক্রিয়াশীল Y এবং Z লোডের ফলবলী R সমমিতির কারণে উল্লম্ব। এর মান শেলের পৃষ্ঠে φ’=0 থেকে φ’=φ পর্যন্ত সমাকলন করে পাওয়া যায়। শেল উপাদানের ক্ষেত্রফল dF=r1d__φ’*rd__ϑ, সুতরাং লোডের উল্লম্ব উপাংশ হলো (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. φ’ এবং φ’+dφ’ বৃত্তদ্বয়ের মধ্যে অবস্থিত শেলের সমগ্র বৃত্তাকার অংশের জন্য বাহ্যিক লোডের ফলবলী হলো:

dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,

যেখান থেকে φ’ অনুযায়ী, φ’=φ সমান্তরাল বৃত্তের উপরের শেল অংশের জন্য ইন্টিগ্রেশন করে পাওয়া যায়ঃ

ধারা 1

এই লোডটি মেরিডিয়ানের দিকে ক্রিয়াশীল লম্ব বল দ্বারা গ্রহণ করা হয়, যা পর্যবেক্ষিত বৃত্তের পরিধি বরাবর কাজ করে; এই বলগুলোর ফলকের উল্লম্ব উপাদান হলো 2__πr * N__φ sin__φ, তাই সমীকরণ করলেই এখান থেকে প্রয়োজনীয় লম্ব বল পাওয়া যায়

সমীকরণ 2

যদি উপরের অংশে খোলটি φ=φ0 বৃত্ত বরাবর কাটা হয় (যেমন, গম্বুজে আলোকপ্রবেশের ছিদ্র), তবে ইন্টিগ্রালের নিম্ন সীমা স্বাভাবিকভাবেই শূন্য নয়, φ0 হবে। যদি এইভাবে তৈরি খোলের প্রান্তে R0 লোডও ক্রিয়া করে, সেটিকেও ফলকারী R এর সঙ্গে যোগ করতে হবে (চিত্র 3).

ক্রম3

স্বাভাবিক বল N__ϑ নির্ণয়ের জন্য, স্পর্শক তলের লম্বে শেল উপাদানের সাম্যাবস্থার শর্ত স্থাপন করতে হবে (চিত্র 4 )। এই দিকে বাহ্যিক লোডের ফলবল হয় Z r1 d__φ r d__ϑ। মেরিডিয়ান তলে অবস্থিত N__φ*r d__ϑ বলগুলি পরস্পরের সঙ্গে d__φ একটি ক্ষুদ্র কোণ গঠন করে, ফলে শেলের লম্ব বরাবর তাদের ফলবল হয় N__φ r d__ϑ*dφ। অনুরূপভাবে, অনুভূমিক বৃত্তের তলে অবস্থিত এবং পরস্পরের মধ্যে dϑ কোণ সৃষ্টি করা Nϑ r1 dφ বলগুলির ফলবল Nϑ r1 dφ*dϑ_ও অনুভূমিক বৃত্তের তলেই অবস্থান করে এবং তাই শেলের লম্বের সঙ্গে 0,5_π-φ কোণ গঠন করে, ফলে সাম্যাবস্থার শর্তে কেবল তাদের উপাংশ Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ অন্তর্ভুক্ত হয়। অতএব সাম্যাবস্থার শর্তটি হবে

অথবা, r r1 dϑ dφ দ্বারা ভাগ করলে:

এক.3

এখানে r2=r/sinφ দ্বারা শেলের দ্বিতীয় প্রধান বক্রতার ব্যাসার্ধ নির্দেশ করা হয়েছে।

ক্রম4

বৃত্তাকার গম্বুজ

যখন মেরিডিয়ানের আকৃতি বিশ্লেষণাত্মকভাবে r1=r1(φ) সমীকরণ দ্বারা দেওয়া থাকে এবং Y(φ) ও Z(φ) লোডের জন্য বিশ্লেষণাত্মক রাশি দেওয়া থাকে, তখন শেলের ছেদন বলসমূহ সবসময় সমাকলনের মাধ্যমে বন্ধ আকারে অথবা সংখ্যাগতভাবে, Simpson-এর নিয়ম ব্যবহার করে নির্ণয় করা যায়। ব্যাস a-এর বৃত্তাকার গম্বুজের জন্য নিচে কিছু লোডিং অবস্থায় ছেদন বল দেওয়া হলো:

শেষ সূত্রটি, যা φ=0 এর জন্য অসীম বড় ছেদনবল দেয়, তা কেবল বলের প্রয়োগবিন্দু থেকে নির্দিষ্ট দূরত্বে প্রযোজ্য। যেখানে বলটি ক্রিয়া করে, সেই স্থানের নিকটবর্তী অঞ্চলে, এমনকি যদি সেটি সসীম কিন্তু ছোট ব্যাসের বৃত্তের পৃষ্ঠজুড়ে বিতরণ করা হয়, তবুও লোড প্রধানত বাঁকনের মাধ্যমে সঞ্চারিত হয়।

উপরের দিকে খোলা শেলগুলোর রূপ পূর্বেরগুলোর থেকে নির্ণয় করা যায়, যদি প্রকৃত লোডের সঙ্গে শীর্ষবিন্দুতে একটি কাল্পনিক ভার P যোগ করা হয়, যার মান এমনভাবে নির্ধারিত হয় যে শেলের উপরের প্রান্তে মেরিডিয়ান দিকের মোট লম্ব বল φ=φ0 হলে Nφ=0 হয়, অথবা এটি শেল এখানে যে বাহ্যিক বল গ্রহণ করে তার দ্বারা নির্ধারিত কোনো মানের সমান হয়।

শঙ্কু আকৃতির শেল

ক্রম5

শঙ্কু-আকৃতির শেলে মেরিডিয়ানের ঢাল φ কে স্থানাঙ্ক হিসেবে ব্যবহার করা যায় না, কারণ এটি সব বিন্দুতে একই মান ধারণ করে। এর পরিবর্তে শীর্ষবিন্দু থেকে উৎপাদক বরাবর পরিমাপ করা দূরত্ব s প্রবর্তন করা হয় (চিত্র 5). মেরিডিয়ানের দিকের লম্ব বলকে সেই অনুযায়ী Ns দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। সীমা-রূপান্তর সম্পন্ন হলে উপরে 1-এ উল্লিখিত সূত্রগুলো থেকে প্রয়োজনীয় রূপগুলি পাওয়া যায়। সমীকরণ (2) থেকে এইভাবে পাওয়া যায়

এবং সমীকরণ (3) থেকে

Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.

সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ লোডের ক্ষেত্রে নিম্নলিখিত সূত্রগুলি প্রযোজ্য:

মেরিডিয়ানের যেকোনো আকৃতির জন্য গ্রাফিক পদ্ধতি

চিত্র। 6

যখন মেরিডিয়ান বক্ররেখা বিশ্লেষণাত্মক রূপে দেওয়া নেই, বরং ধরুন গ্রাফিকভাবে দেওয়া আছে, তখন বক্রতার ব্যাসার্ধ নির্ধারণ করা অত্যন্ত কঠিন এবং অত্যন্ত অশুদ্ধ। সে ক্ষেত্রে গ্রাফিক পদ্ধতি ব্যবহার করা বেশি উপযোগী (চিত্র 6).

খোলকটিকে অনেকগুলো φ=const. সমতলে ভাগ করা হয়, এই সমতলগুলোর মাঝে অবস্থিত বলয়াকার অঞ্চলের ওজন Δ_R_ গণনা করা হয় এবং সর্বোত্তম হলে তা সঙ্গে সঙ্গে 2_π_ দিয়ে ভাগ করা হয়। এই বলগুলো ΔR/2π বল-চিত্রে বসানো হয় (চিত্র 6b)। এরপর, উদাহরণস্বরূপ, বিভাজন বিন্দু 7 দিয়ে মেরিডিয়ানের বিন্দু 7-এর স্পর্শকের সমান্তরাল একটি সরলরেখা অঙ্কন করা হলে, বল-চিত্রের উপরের বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত অনুভূমিক রেখাটি সেখানে R1/2π sinφ7 দৈর্ঘ্যে তাকে ছেদ করবে, যেখান থেকে সমীকরণ (2) অনুসারে উপযুক্ত r দ্বারা ভাগ করে মেরিডিয়ানের দিকের উপযুক্ত অভিলম্ব বল পাওয়া যায়।

বৃত্তগুলিতে বল নির্ণয়ের জন্য একটি শেলের এক উপাদানে অনুভূমিক বলের সমতাবস্থার শর্ত ব্যবহার করা হয়। যদি কেবল উল্লম্ব লোড কার্যকর হয়, তবে এই শর্তটি হয় (চিত্র 4):

যখন এখানে dφ-কে সমাপ্ত পার্থক্য Δφ দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা হয়, যা গৃহীত খোলকের বিভাজনের সঙ্গে সঙ্গতিপূর্ণ, এবং r1 dφ-এর পরিবর্তে মেরিডিয়ান উপাদানের দৈর্ঘ্য Δs বসানো হয়, তখন এখান থেকে পাওয়া যায়

ডান পাশে বন্ধনীর মধ্যে বল-চিত্রে একটি অনুভূমিক সরলরেখায় ছেদনাংশ রয়েছে। সুতরাং সমগ্র ডান দিকটি এই সরলরেখার ভাগবিন্দুগুলোর মধ্যবর্তী খণ্ডাংশগুলোকে উপস্থাপন করে। এগুলো যথেষ্ট নির্ভুলভাবে পড়তে হলে বল-চিত্রটি সতর্কতার সঙ্গে এবং যথেষ্ট বড় স্কেলে আঁকতে হবে।

টানপ্রাপ্ত ও চাপপ্রাপ্ত বৃত্তসমূহ

প্রতিটি ঘূর্ণন-সমমিত শেল এক বা দুইটি অনুভূমিক বৃত্ত দ্বারা সীমাবদ্ধ থাকে (চিত্র 7). এই প্রান্তগুলোতে নীতিগতভাবে এটি কেবল এমন লোড ও সমর্থন প্রতিক্রিয়া গ্রহণ করতে পারে, যাদের দিক মধ্যরেখার স্পর্শকের দিক। যদি বহিঃবলগুলোর দিক অন্য রকম হয়, যেমন চিত্র 97-এ দেখানো কাঠামোর উপরের অংশের লোড P বা ট্যাঙ্কের তলার প্রতিক্রিয়া S, তবে এই বলগুলোকে, চিত্রে যেমন দেখানো হয়েছে, অনুভূমিক বৃত্তের দিক এবং মধ্যরেখার স্পর্শকের দিক বরাবর উপাংশে বিভক্ত করতে হবে। উপাংশ P/sinφ0 বা S/sinφu মধ্যরেখার দিকের স্বাভাবিক বল Nφ-এর সমান, যা সেখানে ক্রিয়াশীল; আর অনুভূমিক বল Pctgφ0 বা Sctgφu গ্রহণের জন্য এমন একটি বৃত্তাকার রিং প্রয়োজন, যা টান, অর্থাৎ চাপ গ্রহণ করে, এবং যেখানে এই রেডিয়াল লোড স্বাভাবিক বল + P r0 ctgφ0, অর্থাৎ -S ru ctgφu সৃষ্টি করে। এ ধরনের রিংগুলো, শেলের প্রান্ত ছাড়াও, সেই সব স্থানে বসাতে হয় যেখানে মধ্যরেখার বক্ররেখায় ভাঁজ বা মোড় রয়েছে। এগুলো সর্বদা মেমব্রেনীয় চাপ-অবস্থার বিঘ্ন ঘটায়।

ক্রম7

ঘূর্ণন-সমমিত খোলসে বক্রতার ফলে সৃষ্ট চাপ

মেমব্রেন তত্ত্বের সূত্রসমূহে পর্যাপ্ত সংখ্যক সমাকলন ধ্রুবক নেই, যাতে বাস্তবে নির্ধারিত সমস্যার সঙ্গে সঙ্গতিপূর্ণ সব সীমা-শর্ত পূরণ করা যায়। বিশেষ করে ঘূর্ণন-সমমিত শেলে, সমাকলন ধ্রুবকগুলোর উপযুক্ত নির্বাচন করে এমনটি করা যায় না যে শেলের প্রান্ত বরাবর বৃত্তের দিকের বিকৃতি εϑ = Nϑ/Et এর মান সেই অন্য কোনো কাঠামোগত অংশের সংশ্লিষ্ট বিকৃতির সমান হয়, যা সেই স্থানে এর সঙ্গে দৃঢ়ভাবে সংযুক্ত। একই কথা সেই সব শেলের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য, যেগুলিতে একটি অনুভূমিক বৃত্ত বরাবর মেরিডিয়ানের বক্রতা, শেলের পুরুত্ব বা একক ক্ষেত্রফলের ওপর লোড হঠাৎ পরিবর্তিত হয়। এমনকি যখন শেলটির কোনো প্রান্ত বরাবর কোনো রিং দিয়ে দৃঢ় করা নেই, কিন্তু সেই স্থানে এমন বল দ্বারা লোড করা আছে যেগুলোর শেলের লম্ব দিকের উপাংশ রয়েছে (যেমন চিত্রে P লোড 7 যখন ধরে নেওয়া হয় যে রিংটি অপসারিত), তখন এটি কেবল মেমব্রেন বলের মাধ্যমে এ ধরনের লোড গ্রহণ করতে পারে না। এ ধরনের ক্ষেত্রে শিয়ার বল এবং বক্রণ মোমেন্ট (চিত্র 8) শেলের মধ্যে বলের বণ্টনে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে, যা স্থিতিক হিসাবের সময় বিবেচনায় নিতে হবে।

ক্রম 8

বাঁকনের ক্ষেত্রে খোলসের সঠিক গণনা, সর্বাপেক্ষা সরল বিশেষ অবস্থায় নলাকার খোলস ব্যতীত, অত্যন্ত কঠিন একটি কাজ। পাতলা দেয়ালবিশিষ্ট খোলসের জন্য একটি সরল ও খুবই কার্যকর আনুমানিক তত্ত্ব গঠন করা যায়, যা কঠোর তত্ত্বে জানা এই তথ্যের ওপর নির্ভর করে যে বাঁকনজনিত চাপ তুলনামূলকভাবে প্রান্তের পাশের একটি সংকীর্ণ অঞ্চলে সীমাবদ্ধ থাকে এবং প্রান্ত থেকে দূরত্ব বাড়ার সঙ্গে সঙ্গে দ্রুত কমে যায়। এর ফলে সঠিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের বহু পদ উপেক্ষা করা যায়, এবং সেটি সরলীকৃত রূপ পায়।

যদি কেবল আগ্রহের সীমানা স্তর κ-এর মধ্যে মধ্যমান প্রতিস্থাপন করা হয়, এবং এটি প্রায় সবসময়ই সম্ভব, তবে সমীকরণের সমাধান হলো

সমীকরণ 4 ও 5

যেখানে a1, b1, a2, b2 হলো সমাকলন ধ্রুবক। যেহেতু সমাধানটি শুধু φ=φ0 প্রান্তের কাছাকাছি আগ্রহজনক, তাই এই প্রান্ত থেকে কোণীয় দূরত্ব ω=φ0-φ অথবা ω=φ-φ0 কে কোঅর্ডিনেট হিসেবে গ্রহণ করা সুবিধাজনক; ফলে উপরোক্ত সমাধানকে রূপান্তর করলে দ্বিতীয় উল্লিখিত অভিব্যক্তিটি পাওয়া যায়। এখানে কেবল দুটি সমাকলন ধ্রুবক A, B অথবা C, ψ দেখা যায়, কারণ সমাধানের দ্বিতীয় অংশে থাকা eκω গুণকটি, এবং সেই কারণে ω বৃদ্ধির সঙ্গে না কমায়, বিবেচনা থেকে বাদ দেওয়া যেতে পারে।

সমীকরণ 5-এর ভিত্তিতে ছেদন বল এবং মধ্যরেখা স্পর্শকের ঘূর্ণন κ-এর জন্য নিম্নলিখিত মানগুলো পাওয়া যায়:

বৃত্তাকার সিলিন্ডার আকৃতির জলাধারে বাঁকজনিত চাপ

ধরি, উচ্চতা h-এর একটি নলাকার রিজার্ভয়ার পানিতে পূর্ণ (চিত্র 9), তবে x উচ্চতায়, রিজার্ভয়ারের উপরে, পানির চাপ হবে p=γ(h-x)। যদি এই উচ্চতায় dx ব্যবধানে দুটি অনুভূমিক কাটের মাধ্যমে রিজার্ভয়ার থেকে একটি বলয় কেটে নেওয়া হয় এবং সেটিকে একটি ব্যাস বরাবর দুই ভাগে ভাগ করা হয়, তবে এর এক অংশের সাম্যাবস্থার শর্ত বলয়ে membranous বল Nφ=pa দেয়। যদি এই স্থানে রিজার্ভয়ারের পুরুত্ব t হয়, তবে বলয়ে বিকৃতি হবে εφ=Nφ/Et এবং সুতরাং রিজার্ভয়ারের অর্ধব্যাসের বৃদ্ধি (বক্রতা) হবে

নিম্ন প্রান্তে x=0 সুতরাং

ক্রম9

দুটোর কোনোটিই নিয়ম অনুযায়ী সীমা-শর্তের সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়, কারণ ট্যাঙ্কের তলার সঙ্গে সংযোগের কারণে দেয়ালের বিকৃতি প্রতিহত হয়। এ সময় সিলিন্ডারের তলা ও দেয়ালের সংযোগস্থলে অনুপ্রস্থ বল Qx0 এবং মুহূর্ত Mx0 (চিত্র 11) দেখা দেয়, য deren মান এমনভাবে নির্ধারণ করতে হবে যাতে এগুলো সদ্য গণনা করা ঝিল্লিগত বলগুলোর সঙ্গে মিলে শেলের প্রান্তে এমন বিকৃতি সৃষ্টি করে যা তল দ্বারা অনুমোদিত।

চিত্র 10, 11, 12, যথাক্রমে

চিত্র 11-এ শেল উপাদান dx*a dφ দেখানো হয়েছে, যার ওপর কার্যকর বলগুলো প্রয়োগিত। শেলের লম্ব দিকের বলসমতার শর্ত দেয়

dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,

যেখান থেকে dx dφ দ্বারা ভাগ করে:

a Q’x + Nφ = p a.

অনুভূমিক স্পর্শকের চারপাশে মুহূর্ত শূন্য হওয়ার শর্ত থেকে পাওয়া যায়:

dM/dx = M’x = Qx

এই দুটি সমীকরণ থেকে অনুপ্রস্থ বল Qx বাদ দিলে পাওয়া যায়

a M’’x + Nφ = p a.

সমীকরণ 6

এই সমীকরণে এই অজ্ঞাত ছেদন বলগুলো w বিকর্ষের সাহায্যে প্রকাশ করা যায়। Nφ এর জন্য ইতিমধ্যে Nφ=Etw/a, পাওয়া গেছে, এবং মুহূর্তটি মেরিডিয়ানের বক্রতা w’’ এর সমানুপাতিক, অর্থাৎ Mx=Kw’’, যেখানে প্লেটের মতোই K=Et3/12(1-μ2) হলো খোলের দৃঢ়তা, যা x অনুযায়ী পরিবর্তনশীল হতে পারে। এই গড় বলগুলোর প্রকাশ যদি সমীকরণে (6) বসানো হয়, তবে জলাধার তত্ত্বের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ পাওয়া যায়:

যে রিজার্ভয়ারের দেয়ালের পুরুত্ব অপরিবর্তনীয়, তার জন্য সমাধান হলো:

এক.7

যেখানে λ4=3(1-μ2)/a2t2. যদি λh বড় হয় (ধরা যাক, 3-এর চেয়ে বেশি), তবে হাইপারবোলিক ফাংশনের পরিবর্তে সূচকীয় ফাংশন প্রবর্তন করা অধিক সুবিধাজনক, ফলে:

এক.8

তখন একে অপরের থেকে স্বাধীনভাবে নিম্ন সীমা-শর্ত থেকে ধ্রুবক A1, B1 এবং উপরের প্রান্তের সীমা-শর্ত থেকে ধ্রুবক A2, B2 নির্ধারণ করা যায়; সাধারণত এতে A2=B2=0 পাওয়া যায়। সমীকরণ (8) এবং (7)-এর ভিত্তিতে ছেদন বলগুলো নির্ণয় করা হয়, যখন হিসাব উল্টো দিকে করা হয় এবং সর্বত্র সমীকরণ (8) ও (7) প্রয়োগ করা হয়; উদাহরণস্বরূপ A2=B2=0 হলে:

যখন রিজার্ভয়ারের দেয়ালটি একটি প্লেটে কঠোরভাবে স্থির করা থাকে, আর রিজার্ভয়ারের তলা যথেষ্ট পুরু হয় যাতে তাকে কঠোর ধরা যায়, তখন ধ্রুবক A1, B1 নির্ধারণ করতে হবে এই শর্ত থেকে যে x=0, w=0 এবং w’=0; ফলে পাওয়া যায়:

যদি ট্যাঙ্কের তলটি একটি নমনীয় প্লেট বা শেল হয়, তবে তল ও সিলিন্ডারের প্রাচীরের মধ্যবর্তী প্রান্তীয় বৃত্ত বরাবর আনুভূমিক বল Qx এবং মোমেন্ট Mx স্থির-অনির্ধারিত সিস্টেম তত্ত্বের পদ্ধতিতে নির্ধারণ করতে হবে, এই শর্তের ভিত্তিতে যে উভয় অংশের জন্য Mx এবং w’ একই মানের হবে।