प्रत्यास्थता का सिद्धांत - खोल

शेलों को ऐसे सतही वाहक कहा जाता है जिनकी मध्य सतह समतल नहीं होती, बल्कि स्पष्ट रूप से उभरी हुई होती है। उनका स्थैतिक व्यवहार प्लेट के व्यवहार से काफी भिन्न होता है। जब उनका आकार उपयुक्त हो, तो उनमें तनाव बहुत कम होता है, उनकी कठोरता उसी अनुपात में अधिक होती है, और अधिकांश मामलों में उनका विश्लेषण अधिक सरल होता है।

प्रत्येक खोल के तनाव को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है: झिल्ली तनाव और मोड़। झिल्ली तनाव, उसी प्रकार जैसे समतल में भारित प्लेट के तनाव, स्पर्शकीय तल में काटने वाले बलों द्वारा व्यक्त किए जा सकते हैं – उदाहरण के लिए x=const. अनुभाग में सामान्य बल _Nx=_σx*t और अपरूपण बल _Nxy=_τxy*t, जहाँ t खोल की मोटाई है। मोड़ के कारण उत्पन्न तनाव प्लेटों की तरह ही होते हैं और उन्हें मोड़ आघूर्ण Mx, टॉर्शन आघूर्ण Mxy तथा अपरूपण बल Qx द्वारा दर्शाया जा सकता है।

खोलों के महत्वपूर्ण गुण इस तथ्य पर आधारित हैं कि नियमतः मोड़ के कारण उत्पन्न तनावों का परिमाण और महत्व झिल्ली तनावों जैसा नहीं होता, इसलिए उन्हें अक्सर पूरी तरह उपेक्षित किया जा सकता है। इस स्थिति में सभी तनाव खोल की मोटाई में समान रूप से वितरित होते हैं और मध्य सतह पर स्पर्शरेखीय रूप से कार्य करते हैं। इन मान्यताओं पर आधारित गणनाएँ खोलों के झिल्ली सिद्धांत के अंतर्गत आती हैं।

घूर्णन सममित खोलों की झिल्ली सिद्धांत, घूर्णन सममित लोड के अंतर्गत

सामान्य सूत्र

समन्वय रेखाओं के लिए खोल की मध्य सतह पर मध्याह्न रेखाएँ और समानांतर वृत्त लिए जाते हैं, इसलिए निर्देशांक हैं: आज़िमुथ ϑ (“भौगोलिक देशांतर”) और सममिति-अक्ष पर लम्बवत समतल के सापेक्ष मध्याह्न पर खींची गई स्पर्शरेखा का ढाल φ (चित्र 1a)। अतः छेदन बल हैं: मध्याह्न दिशा में सामान्य बल Nφ और वलय में सामान्य बल Nϑ (चित्र 1b)। कतरनी बल Nφϑ घूर्णन-सममित तनाव में उत्पन्न नहीं होते। प्रति इकाई क्षेत्र का भार निम्न प्रकार से दर्शाया जाता है (चित्र 1b): Y मध्याह्न के स्पर्शरेखीय, धनात्मक उस दिशा में जिसमें φ बढ़ता है, Z खोल के लम्बवत, धनात्मक सममिति-अक्ष की ओर।

क्र.सं.1

चित्र। 2

मान लें कि मेरिडियन की वक्रता त्रिज्या r1 है। यह कोण φ का फलन है, इसलिए समीकरण _r1=r1(_φ) से मेरिडियन का आकार निर्धारित होता है। इसे मेरिडियन का समीकरण माना जा सकता है और यह, उदाहरण के लिए, इस प्रकार है।

वृत्त के लिए                                       r1=a=const.

परवलय के लिए                                  r1=a/cos3__φ

दीर्घवृत्त के लिए          r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2

मेरिडियन की दिशा में सामान्य बल N__φ की गणना के लिए, उस शैल-भाग के संतुलन की शर्त स्थापित करनी चाहिए जो समानांतर वृत्त φ के ऊपर स्थित है (चित्र 2). सममिति के कारण इस भाग पर लगने वाले भार Y और Z का परिणामी R ऊर्ध्वाधर होता है। इसका परिमाण शैल की सतह पर φ’=0 से φ’=φ तक समाकलन करके प्राप्त किया जाता है। शैल के एक तत्व का क्षेत्रफल dF=r1d__φ’*rd__ϑ है, अतः भार का ऊर्ध्वाधर घटक (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF होता है। φ’ और φ’+dφ’ वृत्तों के बीच स्थित शैल के पूरे वलयाकार भाग के लिए बाह्य भार का परिणामी है:

dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,

जहाँ φ’ के अनुसार समाकलन करने पर, उस आवरण भाग के लिए जो समानांतर वृत्त φ’=φ के ऊपर स्थित है, प्राप्त होता है:

समी. 1

यह भार मेरिडियन दिशा में कार्य करने वाले सामान्य बलों द्वारा वहन किया जाता है, जो देखे गए वृत्त की परिधि पर कार्य करते हैं; इन बलों के परिणामी का ऊर्ध्वाधर अवयव 2__πr * N__φ sin__φ, है, अतः यहाँ से समानता स्थापित करने पर अपेक्षित सामान्य बल प्राप्त होता है

समी. 2

यदि ऊपरी भाग में खोल को वृत्त φ=φ0 के अनुसार काटा गया है (उदा. गुंबद में प्रकाश के लिए खुला स्थान), तो समाकलन की निचली सीमा, स्पष्ट है, φ0 होगी, न कि शून्य। यदि इस प्रकार बने खोल के किनारे पर भार R0 भी कार्य करता है, तो उसे भी परिणामी R (आकृति 3) में जोड़ना चाहिए।

क्र.सं.3

सामान्य बल N__ϑ निर्धारित करने के लिए, शैल-तत्व के संतुलन की शर्त स्पर्शीय समतल के लंबवत स्थापित करनी चाहिए (चित्र 4). इस दिशा में बाह्य भार का परिणामी Z r1 d__φ r d__ϑ है। मेरिडियन समतल में स्थित बल N__φ*r d__ϑ आपस में एक छोटा कोण d__φ बनाते हैं, इसलिए उनका परिणामी शैल की अभिलंब दिशा में N__φ r d__ϑ*dφ होता है। इसी प्रकार क्षैतिज वृत्त के समतल में स्थित बल Nϑ r1 dφ जो आपस में dϑ कोण बनाते हैं, उनका परिणामी Nϑ r1 dφ*dϑ भी क्षैतिज वृत्त के समतल में ही रहता है और इसलिए शैल के अभिलंब के साथ 0,5_π-φ_ कोण बनाता है, अतः संतुलन की शर्त में केवल उसका घटक Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ ही सम्मिलित होता है। अतः संतुलन की शर्त इस प्रकार है

या, जब इसे r r1 dϑ dφ से भाग दिया जाए:

एक।3

यहाँ r2=r/sinφ से खोल के वक्रता त्रिज्या की दूसरी मुख्य त्रिज्या को दर्शाया गया है।

चित्र। 4

वृत्ताकार गुंबद

जब मेरिडियन का आकार विश्लेषणात्मक रूप से समीकरण r1=r1(φ) द्वारा दिया गया हो और भारों Y(φ) तथा Z(φ) के लिए विश्लेषणात्मक व्यंजक दिए गए हों, तो खोल में अनुप्रस्थ बलों को सदैव बंद रूप में समाकलन करके या संख्यात्मक रूप से, Simpson- के नियम का उपयोग करते हुए, निर्धारित किया जा सकता है। व्यास a वाले वृत्ताकार गुम्बद के लिए आगे कुछ भारण स्थितियों के अनुप्रस्थ बल दिए गए हैं:

अंतिम सूत्र, जो φ=0 के लिए अनंत बड़े काटने बल देता है, केवल बल के लगने-बिंदु से कुछ दूरी पर ही लागू होता है। बल लगने के स्थान के तुरंत आसपास, यहाँ तक कि जब वह सीमित परंतु छोटे व्यास वाले वृत्त की सतह पर वितरित हो, भार मुख्यतः मोड़ द्वारा वहन किया जाता है।

ऊपरी भाग पर खुले शेलों के रूप पिछले मामलों से निकाले जा सकते हैं, यदि वास्तविक भार के साथ शीर्ष पर एक काल्पनिक भार P जोड़ा जाए, जिसकी मात्रा इस प्रकार निर्धारित की जाती है कि शेल की ऊपरी धार पर मेरिडियन दिशा में कार्य करने वाला कुल अभिलम्ब बल φ=φ0 Nφ=0 के बराबर हो, या बाह्य बलों द्वारा निर्धारित किसी मान के बराबर हो, जिन्हें शेल यहाँ ग्रहण करता है।

शंक्वाकार शैल

क्र.सं.5

शंक्वाकार शेल में मेरिडियन का झुकाव φ को समन्वय के रूप में उपयोग नहीं किया जा सकता, क्योंकि इसका सभी बिंदुओं पर मान समान होता है। इसके स्थान पर शिखर से जनरेटर के साथ मापा गया दूरी s (आकृति 5) लाई जाती है। तदनुसार, मेरिडियन दिशा में सामान्य बल को Ns से दर्शाया जाता है। आवश्यक रूप नीचे दिए गए 1 से सीमा-परिवर्तन करने पर प्राप्त किए जा सकते हैं। समीकरण (2) से इस प्रकार मिलता है

और समीकरण (3) से

Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.

सबसे महत्वपूर्ण भार-स्थितियों के लिए निम्नलिखित सूत्र लागू होते हैं:

मेरिडियन के मनचाहे आकार के लिए ग्राफिक प्रक्रिया

चित्र। 6

जब मेरिडियन वक्र विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति से नहीं दिया गया हो, बल्कि उदाहरण के लिए ग्राफ़िक रूप में हो, तो वक्रता त्रिज्या का निर्धारण अत्यंत कठिन और अत्यंत अशुद्ध होता है। ऐसे में ग्राफ़िक विधि (चित्र. 6) का उपयोग अधिक उपयुक्त है।

शेल को φ=const. समतलों की अधिक संख्या से विभाजित किया जाता है, उन समतलों के बीच स्थित वलयाकार क्षेत्रों के भार Δ_R_ की गणना की जाती है और उन्हें तुरंत 2_π_ से भाग देना सर्वोत्तम है। इन बलों ΔR/2π को बल आरेख में अंकित किया जाता है (चित्र 6b)। यदि फिर, उदाहरण के लिए, विभाजन बिंदु 7 से मेरिडियन बिंदु 7 पर स्पर्शरेखा के समांतर एक रेखा खींची जाए, तो बल आरेख के ऊपरी बिंदु से होकर जाने वाली क्षैतिज उस पर R1/2π sinφ7 लंबाई पर काटेगी, जिससे समीकरण (2) के आधार पर, उपयुक्त r से भाग देकर, मेरिडियन की दिशा में उपयुक्त अभिलंब बल प्राप्त होता है।

वृत्तों में बलों के निर्धारण के लिए खोल के एक तत्व पर क्षैतिज बलों का संतुलन-शर्त प्रयुक्त होता है। यदि केवल ऊर्ध्वाधर भार कार्य करते हैं, तो यह शर्त इस प्रकार है (चित्र 4):

जब यहाँ dφ को सीमित अंतर Δφ से प्रतिस्थापित किया जाता है, जो अपनाए गए खोल-विभाजन के अनुरूप है, और r1 dφ के स्थान पर मध्याह्न तत्व की लंबाई Δs रखी जाती है, तो यहाँ से प्राप्त होता है

दाएँ ओर कोष्ठक में बल-आरेख पर क्षैतिज रेखा पर एक कटान दर्शाया गया है। अतः पूरा दायाँ भाग इस रेखा पर विभाजन बिंदुओं के बीच के खंडों को दर्शाता है। उन्हें पर्याप्त सटीकता से पढ़ने के लिए बल-आरेख सावधानी से और पर्याप्त बड़े पैमाने पर बनाया जाना चाहिए।

तन्य और संपीडित वलय

प्रत्येक घूर्णन-सममित खोल एक या दो क्षैतिज वृत्तों (चित्र 7) से सीमित होती है। इन किनारों पर वह सिद्धांततः केवल ऐसे भारों और सहारों की प्रतिक्रियाओं को ग्रहण कर सकती है, जिनकी दिशा मध्यरेखा की स्पर्शरेखा की होती है। यदि बाहरी बलों की दिशा भिन्न हो, जैसे चित्र 97 में दिखाए गए भंडार के ऊपरी भाग से भार P या तल की प्रतिक्रिया S, तो इन बलों को, जैसा चित्र में दिखाया गया है, क्षैतिज वृत्त और मध्यरेखा की स्पर्शरेखा की दिशा में अवयवों में विभाजित करना होगा। अवयव P/sinφ0 या S/sinφu मध्यरेखा की दिशा में क्रियाशील सामान्य बल Nφ के बराबर है, जबकि क्षैतिज बल Pctgφ0 या Sctgφu को ग्रहण करने के लिए एक ऐसा वलय आवश्यक है जो तनन, अथवा दाब, ग्रहण करे और जिसमें यह रेडियल भार सामान्य बल + P r0 ctgφ0, अथवा -S ru ctgφu उत्पन्न करता है। ऐसे वलय, खोल के किनारों के अतिरिक्त, उन सभी स्थानों पर भी लगाए जाने चाहिए जहाँ मध्यरेखा वक्र में मोड़ होता है। वे सदैव झिल्ली-तनाव अवस्था में विक्षोभ उत्पन्न करते हैं।

चित्र। 7

घूर्णन-सममित शेलों में मोड़ के कारण उत्पन्न तनाव

झिल्ली सिद्धांत के रूपों में इतना पर्याप्त समाकलन नियतांक नहीं होते कि वे उन सभी सीमा शर्तों को पूरा कर सकें जो वास्तव में दिए गए कार्य से संबंधित हैं। विशेष रूप से, घूर्णन-समीमित शेलों में, समाकलन नियतांकों के किसी उपयुक्त चयन से यह संभव नहीं है कि शेल के किनारे के साथ वलय की दिशा में विकृति εϑ = Nϑ/Et उस किसी अन्य संरचनात्मक भाग की संबंधित विकृति के बराबर हो जाए, जो वहाँ उस स्थान पर उससे दृढ़ता से जुड़ा हुआ है। यही बात उन शेलों पर भी लागू होती है जिनमें किसी एक क्षैतिज वृत्त के साथ मेरिडियन की वक्रता, शेल की मोटाई या प्रति इकाई सतह भार अचानक बदल जाता है। और जब शेल किसी किनारे के साथ वलय द्वारा कठोर नहीं की गई हो, लेकिन उस स्थान पर उन बलों से लोडेड हो जिनका एक घटक शेल की अभिलंब दिशा में हो (उदाहरण के लिए आकृति P पर भार 7 जब यह माना जाए कि वलय हटा दिया गया है), तो वह केवल झिल्ली बलों के माध्यम से ऐसे भार ग्रहण नहीं कर सकती। ऐसे मामलों में कतरनी बल और मोड़ आघूर्ण (आकृति 8) शेल में बलों के वितरण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, जिसे स्थैतिक गणना में ध्यान में रखना आवश्यक है।

क्र.सं. 8

झुकाव के लिए शेल की सटीक गणना, सरलतम विशेष अवस्था में बेलनाकार शेल को छोड़कर, एक अत्यंत कठिन कार्य है। पतली दीवारों वाले शेलों के लिए एक सरल और बहुत उपयोगी अनुमानित सिद्धांत विकसित किया जा सकता है, जो कठोर सिद्धांत से ज्ञात इस तथ्य पर आधारित है कि झुकने से उत्पन्न तनाव अपेक्षाकृत संकीर्ण क्षेत्र में किनारे के पास सीमित रहते हैं और किनारे से दूरी बढ़ने पर तेजी से घटते हैं। इससे सटीक अवकल समीकरण में अनेक पदों की उपेक्षा की जा सकती है, और यह सरलीकृत रूप ले लेता है।

यदि केवल रुचिकर सीमांत क्षेत्र κ के भीतर इसे औसत मान से प्रतिस्थापित कर दिया जाए, और यह लगभग हमेशा संभव है, तो समीकरण का हल है

समीकरण 4 और 5

जहाँ a1, b1, a2, b2 समाकलन स्थिरांक हैं। चूँकि हल केवल किनारे φ=φ0 के निकट ही रुचिकर है, इसलिए इस किनारे से कोणीय दूरी ω=φ0-φ या ω=φ-φ0 को निर्देशांक के रूप में लेना उपयुक्त है, और इस प्रकार ऊपर दिए गए हल के रूपांतरण से दूसरा उल्लिखित व्यंजक प्राप्त होता है। यहाँ केवल दो समाकलन स्थिरांक A, B या C, ψ ही प्रकट होते हैं, क्योंकि हल का वह दूसरा भाग जिसमें eκω गुणक है, और इसलिए ω के बढ़ने पर घटता नहीं, विचार से बाहर किया जा सकता है।

समीकरण 5 के आधार पर अनुप्रस्थ बलों तथा मेरिडियन स्पर्शरेखा के घुमाव κ के लिए निम्नलिखित मान प्राप्त होते हैं:

वृत्तीय बेलनाकार आकार के जलाशयों में मोड़न से उत्पन्न तनाव

मान लें कि ऊँचाई h वाला एक बेलनाकार जलाशय जल से भरा है (चित्र 9), तब जलाशय के तल से x ऊँचाई पर जल-दाब p=γ(h-x) होगा। यदि इस ऊँचाई पर दो क्षैतिज कटों के बीच दूरी dx. लेकर जलाशय से एक वलय काटा जाए और उसे एक व्यास के साथ दो भागों में विभाजित किया जाए, तो उनमें से एक के संतुलन की शर्त वलय में झिल्ली बल Nφ=pa देती है। यदि इस स्थान पर जलाशय की मोटाई t है, तो वलय में प्रसार εφ=Nφ/Et होगा और इसलिए जलाशय की त्रिज्या में वृद्धि (वक्रण) होगी

निचली सीमा पर x=0 अतः

चित्र। 9

इनमें से कोई भी सामान्यतः सीमा शर्तों के अनुरूप नहीं होता, क्योंकि टैंक के तल से संबंध के कारण दीवार की विकृति बाधित होती है। इस दौरान सिलिंडर के तल और दीवार के बीच संबंध पर अनुप्रस्थ बल Qx0 और आघूर्ण Mx0 (आकृति 11) उत्पन्न होते हैं, जिनका परिमाण ऐसा निर्धारित करना चाहिए कि वे अभी-अभी गणना किए गए झिल्ली बलों के साथ मिलकर खोल के किनारे पर वह विकृति उत्पन्न करें जिसे तल अनुमति देता है।

आक. 10, 11, 12, क्रमशः

आकृति 11 में तत्व के आवरण का खंड dx*a dφ उस पर कार्य करने वाले बलों के साथ दर्शाया गया है। आवरण पर लंब के दिशा में बल-संतुलन की शर्त देती है

dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,

जहाँ से dx dφ से भाग देने पर:

a Q’x + Nφ = p a.

सिलिंडर पर क्षैतिज स्पर्शरेखा के बारे में आघूर्ण शून्य होने की शर्त से प्राप्त होता है:

dM/dx = M’x = Qx

इन दोनों समीकरणों से अनुप्रस्थ बल Qx को हटाने पर प्राप्त होता है

a M’’x + Nφ = p a.

समी. 6

इस समीकरण में ये अज्ञात काटने वाले बल झुकाव w की सहायता से व्यक्त किए जा सकते हैं। Nφ के लिए पहले ही Nφ=Etw/a, पाया जा चुका है, और आघूर्ण मध्यरेखा की वक्रता w’’ के समानुपाती है, अर्थात् Mx=Kw’’, जहाँ प्लेटों की तरह K=Et3/12(1-μ2) खोल की कठोरता है, जो x के साथ परिवर्ती हो सकती है। यदि इन औसत बलों के लिए ये अभिव्यक्तियाँ समीकरण (6) में रखी जाएँ, तो जलाशय सिद्धांत का अवकल समीकरण प्राप्त होता है:

जिस टैंक की दीवार की मोटाई अपरिवर्तनीय है, उसके लिए हल इस प्रकार है:

एक।7

जहाँ λ4=3(1-μ2)/a2t2 है। यदि λh बड़ा हो (मान लीजिए, 3 से अधिक), तो हाइपरबोलिक फलनों के स्थान पर घातीय फलन लेना अधिक सुविधाजनक है, और तब:

एक।8

तब सीमा शर्तों से, निचले किनारे पर, स्वतंत्र रूप से एक-दूसरे से अलग, नियतांक A1, B1 निर्धारित किए जा सकते हैं, और ऊपरी किनारे की सीमा शर्तों से नियतांक A2, B2 निर्धारित किए जा सकते हैं, जिसमें सामान्यतः A2=B2=0 प्राप्त होता है। समीकरण (8) और (7) के आधार पर काटने वाले बल प्राप्त होते हैं, जब गणना विपरीत दिशा में की जाती है और हर जगह समीकरण (8) तथा (7) लागू किया जाता है; अतः उदाहरण के लिए A2=B2=0 के लिए:

जब टैंक की दीवारें प्लेट में कठोरता से जकड़ी हों, और टैंक का तल इतना मोटा हो कि उसे कठोर माना जा सके, तब स्थिरांक A1, B1 को इस शर्त से निर्धारित करना चाहिए कि x=0, w=0 और w’=0 हो, तब प्राप्त होता है:

यदि टैंक का तल एक लचीली प्लेट या खोल है, तो तल और सिलिंडर की दीवार के बीच किनारी वृत्त के साथ अनुप्रस्थ बल Qx और आघूर्ण Mx को स्थैतिक रूप से अनिर्धारित प्रणालियों के सिद्धांत की विधियों से, इस आवश्यकता के आधार पर निर्धारित करना चाहिए कि Mx और w’ दोनों भागों के लिए समान मान रखें।