Kulit adalah elemen struktur permukaan, yang permukaan tengahnya tidak datar melainkan tampak melengkung ke luar. Perilaku statisnya jauh berbeda dari perilaku pelat. Bila berbentuk sesuai, tegangan yang terjadi jauh lebih kecil, kekakuannya secara proporsional lebih besar, dan perhitungannya dalam kebanyakan kasus lebih sederhana.
Tegangan pada setiap cangkang dapat diuraikan menjadi dua bagian: tegangan membran dan lentur. Tegangan membran, serupa dengan tegangan pada pelat yang dibebani dalam bidangnya, dapat dinyatakan melalui gaya-gaya penampang pada bidang tangensial – misalnya pada penampang x=const. gaya normal _Nx=_σx*t dan gaya geser _Nxy=_τxy*t, di mana t adalah tebal cangkang. Tegangan akibat lentur sama seperti pada pelat dan dapat dinyatakan oleh momen lentur Mx, momen torsi Mxy dan gaya geser Qx.
Sifat-sifat penting cangkang didasarkan pada kenyataan bahwa, menurut aturan, tegangan akibat lentur tidak memiliki besar maupun arti seperti tegangan membran, sehingga sering kali dapat sepenuhnya diabaikan. Dalam hal ini semua tegangan terbagi merata sepanjang tebal cangkang dan bekerja secara tangensial pada permukaan tengah. Perhitungan yang didasarkan pada asumsi-asumsi ini termasuk dalam kerangka teori membran cangkang.
Teori membran pada cangkang simetri rotasi di bawah pembebanan simetri rotasi
Bentuk umum
Untuk garis koordinat diambil meridian dan lingkaran paralel pada permukaan tengah cangkang, sehingga koordinatnya adalah: azimut ϑ (“garis bujur geografis”) dan kemiringan φ garis singgung pada meridian terhadap bidang yang tegak lurus sumbu simetri (gambar 1a). Dengan demikian gaya-gaya penampang adalah: gaya normal Nφ dalam arah meridian dan gaya normal Nϑ dalam arah cincin (gambar 1b). Gaya geser Nφϑ tidak muncul pada pembebanan simetris rotasi. Beban per satuan luas dinyatakan sebagai berikut (gambar 1b): Y tangensial terhadap meridian, positif searah bertambahnya φ, Z normal terhadap cangkang, positif ke arah sumbu simetri.
Gbr. 1
Gbr. 2
Misalkan jari-jari kelengkungan meridian adalah r1. Ia merupakan fungsi dari sudut φ, sehingga dengan persamaan _r1=r1(_φ) bentuk meridian ditentukan. Ini dapat dianggap sebagai persamaan meridian dan berbunyi, misalnya.
untuk lingkaran r1=a=const.
untuk parabola r1=a/cos3__φ
untuk elips r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Untuk menghitung gaya normal N__φ pada arah meridian, perlu ditetapkan syarat keseimbangan bagian selubung yang terletak di atas lingkaran paralel φ (gambar 2). Resultan R dari beban Y dan Z yang bekerja pada bagian ini bersifat vertikal, mengingat simetrinya. Besarnya diperoleh dengan mengintegralkan pada permukaan selubung dari φ’=0 sampai φ’=φ. Luas elemen selubung adalah dF=r1d__φ’*rd__ϑ, sehingga komponen vertikal beban (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Untuk seluruh bagian cincin selubung yang terletak di antara lingkaran φ’ dan φ’+dφ’, resultan beban luar adalah:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
dari mana, dengan mengintegrasikan terhadap φ’ untuk bagian selubung yang terletak di atas lingkaran sejajar φ’=φ, diperoleh:
Pers. 1
Beban ini diterima oleh gaya normal dalam arah meridian, yang bekerja pada keliling lingkaran yang diamati; komponen vertikal dari resultan gaya-gaya ini adalah 2__πr * N__φ sin__φ, sehingga dengan penyetaraan dari sini diperoleh gaya normal yang dicari
Pers. 2
Jika selubung pada bagian atas dipotong sepanjang lingkaran φ=φ0 (misalnya lubang penerangan pada kubah), batas bawah integral tentu saja φ0, bukan nol. Jika pada tepi selubung yang terbentuk dengan cara ini juga bekerja beban R0, maka itu pun harus ditambahkan pada resultan R (gambar 3).
Gbr. 3
Untuk menentukan gaya normal N__ϑ perlu ditetapkan syarat keseimbangan elemen cangkang tegak lurus terhadap bidang tangensial (gambar 4). Resultan beban luar dalam arah ini adalah Z r1 d__φ r d__ϑ. Gaya N__φ*r d__ϑ yang terletak dalam bidang meridian membentuk sudut kecil d__φ satu sama lain, sehingga resultannya dalam arah normal terhadap cangkang adalah N__φ r d__ϑ*dφ. Demikian pula, gaya Nϑ r1 dφ yang terletak dalam bidang lingkaran horizontal dan di antara sesamanya membentuk sudut dϑ memiliki resultan Nϑ r1 dφ*dϑ yang juga terletak dalam bidang lingkaran horizontal dan karena itu dengan normal terhadap cangkang membentuk sudut 0,5_π-φ_, sehingga dalam syarat keseimbangan hanya masuk komponen mereka Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. Dengan demikian, syarat keseimbangan berbunyi
atau, ketika dibagi dengan r r1 dϑ dφ:
Persamaan. 3
Di sini dengan r2=r/sinφ ditandai jari-jari kelengkungan utama kedua dari cangkang.
Gbr. 4
Kubah bundar
Ketika bentuk meridian dinyatakan secara analitis oleh persamaan r1=r1(φ) dan ketika untuk beban Y(φ) dan Z(φ) diberikan ekspresi analitis, gaya geser dalam selubung selalu dapat ditentukan dengan mengintegrasikan dalam bentuk tertutup atau secara numerik, menggunakan aturan Simpson-ova. Untuk kubah lingkaran berdiameter a, pada bagian berikut diberikan gaya geser untuk beberapa kasus pembebanan:
Rumus terakhir, yang untuk φ=0 memberikan gaya lintang yang sangat besar hingga tak terhingga, berlaku hanya pada jarak tertentu dari titik kerja gaya. Di sekitar langsung tempat gaya bekerja, bahkan ketika gaya itu tersebar pada permukaan lingkaran dengan diameter terbatas tetapi kecil, beban terutama diteruskan oleh pembengkokan.
Bentuk-bentuk untuk cangkang yang terbuka pada bagian atas dapat diturunkan dari bentuk sebelumnya, jika pada beban nyata ditambahkan beban fiktif P di puncak, yang besarnya ditentukan sedemikian rupa apabila gaya normal total dalam arah meridian yang bekerja pada tepi atas cangkang φ=φ0 adalah Nφ=0, atau sama dengan suatu nilai yang ditentukan oleh gaya-gaya luar yang diterima cangkang di sini.
Selubung kerucut
Gbr. 5
Pada cangkang kerucut, kemiringan meridian φ tidak dapat digunakan sebagai koordinat, karena nilainya sama di semua titik. Sebagai gantinya diperkenalkan jarak s dari puncak kubah yang diukur sepanjang garis pembangkit (sl. 5). Gaya normal dalam arah meridian dengan demikian dilambangkan dengan Ns. Bentuk-bentuk yang diperlukan dapat diperoleh dari yang disebutkan pada 1 ketika dilakukan proses batas. Dari persamaan (2) dengan demikian diperoleh
dan dari persamaan (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Untuk kasus-kasus beban yang paling penting, berlaku rumus berikut:
Prosedur grafis untuk bentuk meridian yang sembarang
Gbr. 6
Jika kurva meridian tidak diberikan oleh ekspresi analitis, melainkan, misalnya, secara grafis, penentuan jari-jari kelengkungan menjadi terlalu sulit dan terlalu tidak akurat. Dalam hal ini lebih tepat menggunakan prosedur grafis (gbr. 6).
Selubung dibagi oleh sejumlah besar bidang φ=const., berat Δ_R_ dari zona cincin yang terletak di antara bidang-bidang itu dihitung dan sebaiknya segera dibagi dengan 2_π_. Gaya-gaya ΔR/2π ini diterapkan pada diagram gaya (gambar 6b). Jika kemudian, misalnya, melalui titik pembagi 7 ditarik garis yang sejajar dengan tangen pada meridian di titik meridian 7, maka garis horizontal melalui titik atas diagram gaya akan memotongnya sepanjang R1/2π sinφ7 yang, berdasarkan persamaan (2), dengan membaginya oleh r yang sesuai, diperoleh gaya normal yang sesuai dalam arah meridian.
Untuk menentukan gaya pada cincin digunakan syarat keseimbangan gaya horizontal pada suatu elemen selubung. Jika hanya bekerja beban vertikal, syarat ini berbunyi (sl. 4):
Jika di sini dφ diganti dengan selisih hingga Δφ, yang sesuai dengan pembagian cangkang yang diadopsi, dan bila sebagai ganti r1 dφ dimasukkan panjang Δs dari elemen meridian, dari sini diperoleh
Di dalam kurung pada sisi kanan terdapat potongan pada garis horizontal dalam bidang gaya. Dengan demikian, seluruh sisi kanan mewakili potongan di antara titik-titik pembagi pada garis ini. Agar dapat dibaca dengan cukup akurat, bidang gaya harus digambar dengan cermat dan dalam skala yang cukup besar.
Cincin tarik dan cincin tekan
Setiap cangkang yang simetris rotasi dibatasi oleh satu atau dua lingkaran horizontal (gambar 7). Pada tepi-tepi ini secara prinsip ia hanya dapat menerima beban dan reaksi tumpuan yang arahnya sejajar tangen pada meridian. Jika gaya luar memiliki arah lain, misalnya beban P dari bagian atas konstruksi atau reaksi S pada dasar reservoir yang ditunjukkan pada gambar 97, gaya-gaya ini harus, seperti ditunjukkan pada gambar, diuraikan menjadi komponen searah lingkaran horizontal dan tangen pada meridian. Komponen P/sinφ0 atau S/sinφu sama dengan gaya normal searah meridian Nφ yang bekerja di tempat itu, sedangkan untuk menerima gaya horizontal Pctgφ0 atau Sctgφu diperlukan cincin yang menerima tarikan, yaitu tekanan, dan di dalamnya pembebanan radial ini menimbulkan gaya normal + P r0 ctgφ0, yaitu -S ru ctgφu. Cincin semacam itu, selain pada tepi cangkang, juga harus ditempatkan di semua tempat di mana kurva meridian mempunyai patahan. Cincin-cincin itu selalu menimbulkan gangguan pada keadaan tegangan membran.
Gbr. 7
Tegangan akibat lentur pada cangkang simetris rotasi
Bentuk-bentuk teori membran tidak memuat jumlah konstanta integrasi yang cukup untuk dapat memenuhi semua syarat batas yang benar-benar sesuai dengan tugas yang diberikan. Khususnya pada cangkang simetri rotasi, dengan pemilihan konstanta integrasi yang sesuai tidak dapat dicapai agar dilatasi εϑ = Nϑ/Et dalam arah cincin di sepanjang tepi cangkang sama dengan dilatasi yang sesuai dari bagian konstruktif lain yang terhubung kaku dengannya pada tempat itu. Hal ini juga berlaku untuk cangkang yang sepanjang suatu lingkar horizontal mengalami perubahan mendadak pada kelengkungan meridian, ketebalan cangkang, atau beban per satuan luas. Bahkan ketika cangkang di sepanjang salah satu tepi tidak diperkuat cincin, tetapi pada tempat ini dibebani gaya yang memiliki komponen searah normal terhadap cangkang (misalnya beban P pada sl. 7 bila diasumsikan cincin dihilangkan), cangkang tersebut tidak dapat menerima beban seperti ini hanya melalui gaya membran. Dalam kasus seperti ini, gaya geser dan momen lentur (sl. 8) memainkan peran penting dalam distribusi gaya di dalam cangkang, yang harus diperhitungkan dalam perhitungan statik.
Gbr. 8
Perhitungan tepat cangkang terhadap lentur, kecuali pada kasus khusus paling sederhana dari cangkang silinder, merupakan tugas yang sangat sulit. Untuk cangkang berdinding tipis dapat dibangun suatu teori pendekatan yang sederhana dan sangat berguna, yang bertumpu pada fakta yang dikenal dari teori ketat, bahwa tegangan akibat lentur terbatas pada zona yang relatif sempit di dekat tepi dan cepat berkurang seiring bertambahnya jarak dari tepi. Hal ini memungkinkan sejumlah besar suku dalam persamaan diferensial yang tepat diabaikan, sehingga persamaan tersebut memperoleh bentuk yang disederhanakan.
Jika di dalam tonjolan tepi yang satu-satunya menarik κ diganti dengan nilai rata-rata, dan ini hampir selalu mungkin, maka penyelesaian persamaannya adalah
Pers. 4 dan 5
di mana a1, b1, a2, b2 adalah konstanta integrasi. Karena solusi ini hanya menarik di dekat tepi φ=φ0, adalah tepat untuk memperkenalkan jarak sudut ω=φ0-φ atau ω=φ-φ0 dari tepi ini sebagai koordinat, sehingga melalui transformasi solusi yang disebutkan di atas diperoleh ungkapan kedua yang disebutkan. Di sini hanya muncul dua konstanta integrasi A, B atau C, ψ, karena bagian lain dari solusi yang mengandung faktor eκω, dan karenanya tidak menurun seiring bertambahnya ω, dapat dikesampingkan dari pembahasan.
Berdasarkan persamaan 5 diperoleh nilai-nilai berikut untuk gaya lintang dan putaran κ dari garis singgung meridian:
Tegangan akibat pembengkokan pada tangki berbentuk silinder bundar
Misalkan sebuah reservoir silinder setinggi h diisi air (gambar 9), maka pada ketinggian x di atas dua reservoir tekanan air adalah p=γ(h-x). Jika pada ketinggian ini, dengan dua penampang horizontal berjarak dx. dipotong sebuah cincin dari reservoir dan cincin ini dibagi sepanjang salah satu diameter menjadi dua bagian, syarat keseimbangan salah satunya memberikan gaya membran pada cincin Nφ=pa. Jika tebal reservoir pada tempat ini t, maka regangan pada cincin adalah εφ=Nφ/Et dan dengan demikian pertambahan jari-jari reservoir (lendutan) adalah
Pada tepi bawah x=0 maka
Gbr. 9
Baik yang satu maupun yang lain pada umumnya tidak sesuai dengan syarat batas, karena deformasi dinding dicegah oleh hubungan dengan dasar reservoir. Pada sambungan antara dasar dan dinding silinder timbul gaya transversal Qx0 dan momen Mx0 (gambar 11), yang besarnya harus ditentukan sedemikian rupa sehingga bersama dengan gaya membran yang baru saja dihitung dalam cangkang menimbulkan deformasi pada tepi cangkang yang diizinkan oleh dasar.
Gbr. 10, 11, 12, masing-masing
Pada gambar 11 ditunjukkan elemen selubung dx*a dφ dengan gaya-gaya yang bekerja padanya. Syarat keseimbangan gaya dalam arah normal pada selubung memberikan
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
dari sini dengan membagi oleh dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Dari syarat bahwa momen terhadap garis singgung horizontal pada silinder adalah nol diperoleh:
dM/dx = M’x = Qx
Dengan mengeliminasi gaya transversal Qx dari dua persamaan ini diperoleh
a M’’x + Nφ = p a.
Pers. 6
Dalam persamaan ini, gaya-gaya penampang yang tidak diketahui tersebut dapat dinyatakan melalui lendutan w. Untuk Nφ telah diperoleh Nφ=Etw/a, dan momennya sebanding dengan kelengkungan meridian w’’, yaitu Mx=Kw’’, dengan K=Et3/12(1-μ2) sebagai kekakuan cangkang, yang dapat berubah terhadap x. Jika ungkapan-ungkapan untuk gaya rata-rata ini dimasukkan ke dalam persamaan (6), diperoleh persamaan diferensial teori reservoir:
Untuk tangki dengan ketebalan dinding yang konstan, penyelesaiannya adalah:
Persamaan. 7
di mana λ4=3(1-μ2)/a2t2. Jika λh besar (misalnya, lebih besar dari 3), lebih mudah untuk mengganti fungsi hiperbolik dengan fungsi eksponensial, sehingga:
Persamaan. 8
Dengan demikian, konstanta A1, B1 dapat ditentukan secara independen satu sama lain dari syarat batas pada sisi bawah, sedangkan konstanta A2, B2 dari syarat batas pada sisi atas, dan pada umumnya diperoleh A2=B2=0. Berdasarkan persamaan (8) dan (7) diperoleh gaya geser, bila perhitungan dilakukan ke arah berlawanan dan di seluruh tempat diterapkan persamaan (8) dan (7); misalnya untuk A2=B2=0:
Jika dinding tangki dijepit kaku pada pelat dasar tangki yang cukup tebal sehingga dapat dianggap kaku, konstanta A1, B1 harus ditentukan dari syarat bahwa x=0, w=0 dan w’=0 sehingga diperoleh:
Jika dasar tangki berupa pelat elastis atau cangkang, gaya transversal Qx dan momen Mx sepanjang lingkar tepi antara dasar dan dinding silinder harus ditentukan dengan metode teori sistem statis tak tentu berdasarkan persyaratan bahwa Mx dan w’ untuk kedua bagian memiliki nilai yang sama.