Schuele nennt een Uewerflächenträger, deem seng Mëttelfläch net flaach, mee däitlech gewölbt ass. Hiert statesch Verhalen ënnerscheet sech staark vun deem vun enger Plack. Wann si eng gëeegent Form hunn, ass hir Belaaschtung däitlech méi kleng, hir Steifegkeet entspriechend méi grouss, an d’Berechnung ass an de meeschte Fäll méi einfach.
D’Belaaschtung vun all Schuel kann an zwee Deeler opgedeelt ginn: Membranbelaaschtung a Béiung. D’Membranspannunge kënnen, ähnlech wéi d’Spannungen bei enger an hirer eegener Plang belaaschter Plack, mat Hëllef vun de Schnëttkräften an der Tangentialfläch ausgedréckt ginn – dat si z. B. am Schnëtt x=const. d’Normalkraaft _Nx=_σx*t an d’Schéierkraaft _Nxy=_τxy*t, wou t d’Déckt vun der Schuel ass. D’Spannungen duerch Béiung si wéi bei Placken a kënnen duerch Biegemomenter Mx, Torsiounsmomenter Mxy a Schéierkräften Qx duergestallt ginn.
Déi wichteg Eegenschafte vun de Schuele baséieren op der Tatsaach, datt d’Spannungen duerch Béiung an der Reegel weder d’Gréisst nach d’Bedeitung vun de Membranspannunge hunn, sou datt se dacks komplett vernoléissegt kënne ginn. An deem Fall sinn all Spannungen gläichméisseg iwwer d’Déckt vun der Schuel verdeelt an wierken tangential op d’Mëtteluewerfläch. Berechnungen, déi op dëse Viraussetzungen opbauen, gehéieren an de Beräich vun der Membranteorie vun de Schuelen.
Membranentheorie vun rotationssymmetresche Schuelen ënner rotationssymmetrescher Belaaschtung
Allgemeng Formelen
Fir d’Koordinatelinnen hëlt een d’Meridianen an d’Parallelkreeser op der Mëttelfläch vun der Schuel, an domat sinn d’Koordinate: den Azimut ϑ (“geographesch Längt”) an d’Neigung φ vun der Tangent op de Meridian géintiwwer enger Fläch, déi senkrecht op d’Symmetrieachs steet (Abb. 1a). Dofir sinn d’Querschnittskräften: d’Normalkraaft Nφ an der Richtung vum Meridian an d’Normalkraaft Nϑ am Rank (Abb. 1b). D’Schéierkräfte Nφϑ trieden bei rotationssymmetrescher Belaaschtung net op. D’Belaaschtung pro Flächeneenheet gëtt wéi follegt bezeechent (Abb. 1b): Y tangential zum Meridian, positiv an der Richtung, an där φ zouhëlt, Z normal op d’Schuel, positiv a Richtung vun der Symmetrieachs.
Abb. 1
Fig. 2
Loosst de Krümmungsradius vum Meridian r1 sinn. Hien ass eng Funktioun vum Wénkel φ, sou datt mam Gläichung _r1=r1(_φ) d’Form vum Meridian festgeluecht ass. Dëst kann als Gläichung vum Meridian ugesi ginn a geet z. B. esou:
fir de Krees r1=a=const.
fir d’Parabel r1=a/cos3__φ
fir d’Ellips r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Fir d’Berechnung vun der Normalkraaft N__φ an der Meridianrichtung muss d’Gläichgewiichtsbedingung fir deen Deel vun der Schuel opgestallt ginn, deen iwwer dem parallelle Krees φ läit (Fig. 2). D’Resultant R vun de Laaschten Y an Z, déi op dësen Deel wierken, ass wéinst der Symmetrie vertikal. Hiert Gréisst gëtt duerch Integratioun iwwer d’Fläch vun der Schuel vun φ’=0 bis φ’=φ bestëmmt. D’Fläch vum Schuelelement ass dF=r1d__φ’*rd__ϑ, also ass déi vertikal Komponent vun der Belaaschtung (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Fir de ganze rankfërmegen Deel vun der Schuel, deen tëscht de Kreeser φ’ an φ’+dφ’ läit, ass d’Resultant vun der äusserer Belaaschtung:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
wouduerch duerch Integratioun no φ’ fir den Deel vun der Schuel, deen iwwer dem parallelle Krees φ’=φ läit, ergëtt sech:
Gl. 1
Dës Belaaschtung ginn normal Kräften an der Richtung vum Meridian op, déi laanscht de Perimeter vum observéierte Krees wierken; déi vertikal Komponent vun der Resultante vun dëse Kräften ass 2__πr * N__φ sin__φ, sou datt duerch Gläichsetze vun hei déi gesichte normal Kraaft erhalen gëtt
Gly. 2
Wann d’Schuel am ieweschten Deel laanscht de Krees φ=φ0 ofgeschnidde gëtt (z. B. eng Opnam fir d’Beliichtung an enger Kuppel), ass déi ënnescht Grenz vum Integral, wéi selbstverständlech, φ0 an net null. Wann um Rand vun der Schuel, déi op dës Aart entstanen ass, och eng Belaaschtung R0 wierkt, da muss och déi zur Resultant R derbäigerechent ginn (Fig. 3).
Bild 3
Fir d’Normalkraaft N__ϑ ze bestëmmen, muss d’Gläichgewiichtsbedingung vum Schuelelement senkrecht op d’Tangentialplack (Abb. 4) opgestallt ginn. D’Resultante vun der baussenzeger Belaaschtung an dëser Richtung ass Z r1 d__φ r d__ϑ. D’Kräften N__φ*r d__ϑ déi an der meridionaler Plack leien, bilden tëschtenee e klenge Wénkel d__φ, sou datt hir Resultante an der Richtung vun der Normaler op d’Schuel N__φ r d__ϑ*dφ ass. Änlech hunn och d’Kräften Nϑ r1 dφ déi an der Plack vum horizontale Krees leien an ënnertenee de Wénkel dϑ bilden, d’Resultante Nϑ r1 dφ*dϑ, déi och an der Plack vum horizontale Krees läit a mam Normaler op d’Schuel deemno de Wénkel 0,5_π-φ_ bildt, sou datt an d’Gläichgewiichtsbedingung nëmmen hir Komponent Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ agaangen ass. D’Gläichgewiichtsbedingung huet deemno d’Form
oder, wann et duerch r r1 dϑ dφ gedeelt gëtt:
Eent.3
Hei ass mat r2=r/sinφ den zweeten Haaptkrëmmungsradius vun der Schuel bezeechent.
Abb. 4
Kreesfërmeg Kuppel
Wann d’Form vum Meridiian analytesch duerch d’Gläichung r1=r1(φ) ugi ass an wann fir d’Laaschten Y(φ) an Z(φ) analytesch Ausdréck gegeben sinn, da kënnen d’Schneidkraaften an der Schuel ëmmer duerch Integratioun an zouener Form oder numeresch, mat Hëllef vum Simpson-senger Reegel, bestëmmt ginn. Fir eng ronn Kuppel mat dem Duerchmiesser a ginn am Folgende Schneidkraaften fir e puer Belaaschtungsfäll uginn:
Déi lescht Formel, déi fir φ=0 onendlech grouss Querschnittskräften ergëtt, gëllt eréischt an enger gewësser Distanz vum Ugrëffspunkt vun der Kraaft. An der direkter Ëmgéigend vun der Plaz, wou d’Kraaft wierkt, och wann se iwwer d’Fläch vun engem Krees mat endlechem, awer klengem Duerchmiesser verdeelt ass, gëtt d’Belaaschtung haaptsächlech duerch Béiung iwwerdroen.
Forme fir uewen opgemaachte Schuele kënnen aus de fréiere ofgeleet ginn, wann op déi tatsächlech Belaaschtung eng fiktiv Laascht P um Sommet dobäigesat gëtt, där hir Gréisst esou festgeluecht gëtt, wann déi total normal Kraaft an der Meridianriichtung, déi um ieweschte Rand vun der Schuel φ=φ0 wierkt, Nφ=0 ausmécht, oder gläich enger bestëmmter Wäert ass, dee vun de baussenzege Kräfte festgeluecht gëtt, déi d’Schuel hei iwwerhëlt.
Konusfërmeg Schuel
Fig. 5
Beim Kegelschuel kann d’Schréi vum Meridian φ net als Koordinat benotzt ginn, well se op allen Punkte dee selwechte Wäert huet. Amplaz dovun gëtt den Ofstand s vum Kuppelspëtz agefouert, gemooss laanscht d’Generatrix (Abb. 5). D’Normalkraaft an der Meridianrichtung gëtt deemno mat Ns bezeechent. Déi néideg Formen kënnen aus de genannte bei 1 kritt ginn, wann de Grenziwwergang duerchgefouert gëtt. Aus der Equatioun (2) ergëtt sech op dës Manéier
an aus der Gläichung (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Fir déi wichtegst Belaaschtungsfäll gëlle follgend Formelen:
Grafesch Prozedur fir eng onbestëmmt Form vum Meridian
Abb. 6
Wann d’Meridiankurv net duerch en analyteschen Ausdrock uginn ass, mee zum Beispill grafesch, ass d’Bestëmmung vum Béi-Radius ze schwéier an ze ongenau. An deem Fall ass et méi passend, mat enger graphescher Prozedur ze schaffen (sl. 6).
D’Schuel gëtt duerch eng gréisser Zuel vu Placke φ=const. opgedeelt, d’Gewiichter Δ_R_ vun den annularen Zonen, déi tëscht de Placke leien, ginn berechent a besser direkt duerch 2_π_ gedeelt. Dës Kräften ΔR/2π ginn an de Kraaftplang agedroen (Fig. 6b). Wann dann z. B. duerch den Deelpunk 7 eng Linn gezunn gëtt, déi parallel zu der Tangente un de Meridian am Punkt vum Meridian 7 ass, wäert d’Horizontale duerch den ieweschte Punkt vum Kraaftplang op där Linn eng Längt vun R1/2π sinφ7 schneiden, aus där sech opgrond vun der Gläichung (2) duerch Divisioun duerch de jeeweilegen r déi entspriechend Normalekraaft an der Meridianrichtung ergëtt.
Fir d’Bestëmmung vun de Kräfte an de Réng déngt d’Gläichgewiichtsbedéngung vun den horizontalen Kräften op engem Schuelelement. Wann nëmme vertikal Laaschten wierken, huet dës Bedéngung déi follgend Form (Abb. 4):
Wann hei dφ duerch den endlechen Ënnerscheed Δφ ersat gëtt, deen der ugehollener Opdeelung vun der Schuel entsprécht, a wann amplaz vum r1 dφ d’Längt Δs vum Meridian-Element agesat gëtt, kritt een hei aus
An der Klammer op der rietser Säit steet den Ofschnëtt op der horizontaler Linn am Kraaftplang. Déi ganz rietser Säit stellt also d’Stécker tëscht den Ënnerdeelungspunkten op där Linn duer. Fir se genee genuch ofliese kënnen, muss de Kraaftplang suergfälteg an an enger genuch grousser Moossstab gezeechent ginn.
Gezunn an gedréckt Réng
All rotatiounssymmetresch Schuel ass duerch ee oder zwee horizontal Kreeser begrenzt (Fig. 7). Op dëse Kante kann si prinzipiell nëmmen esou Laaschten an Oplagerreaktiounen ophuelen, déi an der Richtung vun der Tangente zum Meridian leien. Wann d’äusser Kräfte eng aner Richtung hunn, wéi z. B. d’Laaschtung P vum ieweschten Deel vun der Konstruktioun oder d’Reaktioun S um Buedem vum op der Fig. 97 gewise Reservoir, da mussen dës Kräfte, wéi op der Figur gewisen, an Komponente an der Richtung vum horizontalen Krees an der Tangente un de Meridian zerleecht ginn. D’Komponent P/sinφ0 oder S/sinφu ass gläich der Normalkraaft an der Richtung vum Meridian Nφ, déi op där Plaz wierkt, während fir d’Opnam vun der horizontaler Kraaft Pctgφ0 oder Sctgφu e Rank néideg ass, deen Zuch, resp. Drock ophëlt an an deem dës radial Belaaschtung eng Normalkraaft + P r0 ctgφ0, resp. -S ru ctgφu verursaacht. Sou Réng mussen, nieft de Kante vun der Schuel, och op allen deene Plazen ugeluecht ginn, wou d’Meridiankurve gebrach ass. Si verursaachen ëmmer eng Stéierung vum membrane Spannungszoustand.
Abb. 7
Spannungen duerch Béiung a rotationssymmetresche Schuelen
D’Formen aus der Membrantheorie enthalen net genuch Integratiounskonstanten, fir all d’Randbedingungen ze erfëllen, déi der gestallter Aufgab tatsächlech entspriechen. Besonnesch bei rotationssymmetresche Schuele ass et net méiglech, duerch eng gëeegent Auswiel vun den Integratiounskonstanten z’erreechen, datt d’Dilatatioun εϑ = Nϑ/Et an der Ringrichtung laanscht d’Kant vun der Schuel gläich der entspriechender Dilatatioun vun engem anere konstruktive Bestanddeel ass, deen op där Plaz fest mat hir verbonnen ass. Dat selwecht gëllt och fir Schuele, bei deenen sech laanscht e horizontalen Krees d’Krümmung vum Meridian, d’Dicke vun der Schuel oder d’Laascht pro Flächeneenheet sprunghaft ännert. A wann eng Schuel laanscht eng Kante net duerch e Rank versteift ass, awer op där Plaz duerch Kraaften belaascht gëtt, déi eng Komponent an der Richtung vun der Normale vun der Schuel hunn (z. B. d’Laascht P op Abb. 7, wann ee sech virstellt, datt de Rank ewechgeholl ass), da kann si esou Laaschten net nëmmen iwwer Membrankräften ophuelen. An esou Fäll spillen d’Schéierkraaft an d’Biegemomenter (Abb. 8) eng wichteg Roll bei der Verdeelung vun de Kraaften an der Schuel, wat bei der statescher Berechnung berécksiichtegt muss ginn.
Fig. 8
Déi präzis Berechnung vun enger Schuel op Béiung ass, ausser am einfachste spezielle Fall vun enger zylindrescher Schuel, eng ganz schwiereg Aufgab. Fir Schuelen mat dënnen Wänn kann eng einfach a ganz nëtzlech Approximatiounstheorie opgebaut ginn, déi sech op d’Tatsaach aus der strenger Theorie stäipt, datt d’Spannungen duerch Béiung op eng relativ schmuel Zon nieft dem Rand limitéiert sinn an séier ofhuelen, wann d’Distanz vum Rand wiisst. Dat erlaabt et, eng grouss Zuel vu Glidder an der exakter Differentialgläichung ze vernoléissegen, sou datt dës eng vereinfacht Form kritt.
Wann an der eenzeger interessanter Randzon κ duerch en Duerchschnëttswäert ersat gëtt, an dat ass bal ëmmer méiglech, dann ass d’Léisung vun der Gläichung
Gl. 4 an 5
woubäi a1, b1, a2, b2 Integratiounskonstanten sinn. Well d’Léisung nëmmen an der Noperschaft vum Rand φ=φ0 interessant ass, ass et gëeegent, den angularen Ofstand ω=φ0-φ oder ω=φ-φ0 vun dësem Rand als Koordinat anzeféieren, sou datt duerch d’Transformatioun vun der hei uewen uginnener Léisung den aneren uginnene Ausdrock kritt gëtt. Hei trieden nëmmen zwou Integratiounskonstanten A, B oder C, ψ op, well deen zweeten Deel vun der Léisung, deen de Faktor eκω enthält an deemno mat zouhuelendem ω net ofhëlt, aus der Betruechtung ausgeschloss ka ginn.
Op Basis vun der Gläichung 5 kréie mir déi folgend Wäerter fir d’Querschnittskraaften an d’Rotatioun κ vun der Tangent vun der Meridianlinn:
Spannungen duerch Biegung an zylinderfërmege Reservoiren
Loosst en zylindresche Behälter mat der Héicht h mat Waasser gefëllt sinn (Abb. 9), dann ass op der Héicht x iwwer dem Behälter den Waasserdrock p=γ(h-x). Wann op dëser Héicht aus zwee horizontalen Schnëtt op der Distanz dx e Rank aus dem Behälter erausgeschnidde gëtt an dësen laanscht ee Duerchmiesser an zwou Deeler gedeelt gëtt, gëtt aus der Gläichgewiichtsbedingung vun engem vun hinnen d’Membrankraaft am Rank Nφ=pa. Wann d’Déckt vum Behälter op dëser Plaz t ass, dann ass d’Dilatatioun am Rank εφ=Nφ/Et an domat d’Erhéijung vum Radius vum Behälter (Ofleenkung) ass
Op der ënneschter Kante x=0 ass deemno
Abb. 9
Weder dat eng nach dat aner ass am Reegel net mat de Grenzbedéngungen am Aklang, well d’Deformatioun vun der Mauer duerch d’Verbindung mam Buedem vum Reservoir verhënnert gëtt. Dobäi trieden un der Verbindung tëscht dem Buedem an der Zylindermauer transversal Kräften Qx0 a Momenter Mx0 op (Abb. 11), där hir Gréisst esou ze bestëmmen ass, datt se zesumme mat de grad berechnete Membrankräften an der Schuel dës Deformatioun um Rand vun der Schuel verursaachen, déi vum Buedem zougelooss gëtt.
Abb. 10, 11, 12, respektiv
Op der Abb. 11 ass d’Element vun der Schuel dx*a dφ mat de Kraaften, déi op et wierken, duergestallt. D’Bedingung fir d’Gläichgewiicht vun de Kräften an der Richtung vun der Normaler op der Schuel ergëtt
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
woumat duerch Divisioun duerch dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Aus der Bedingung, datt de Moment ronderëm d’horizontal Tangente un de Zylinder null ass, ergëtt sech:
dM/dx = M’x = Qx
Duerch d’Eliminatioun vun der transversaler Kraaft Qx aus dësen zwou Gläichunge kritt een
a M’’x + Nφ = p a.
Gln. 6
An dëser Gläichung kënnen dës onbekannt Schnëttkräften duerch d’Duerchbéiung w ausgedréckt ginn. Fir Nφ gouf schonn Nφ=Etw/a, fonnt, an de Moment ass proportional zu der Krëmmung vum Meridian w’’, also Mx=Kw’’, dobäi ass, wéi bei Placken, K=Et3/12(1-μ2) d’Steifegkeet vun der Schuel, déi mat x variabel ka sinn. Wann dës Ausdréck fir d’Moyennekräften an d’Gläichung (6) agesat ginn, kritt een d’Differentialgläichung vun der Reservoirtheorie:
Fir e Reservoir, deem seng Mauerdicke onverännert ass, ass d’Léisung:
Eent.7
wou λ4=3(1-μ2)/a2t2. Wann λh grouss ass (zum Beispill méi grouss wéi 3), ass et méi ubruecht, amplaz vun den hyperbolesche Funktiounen exponentiell anzeféieren, also gëllt:
Eent.8
Dann kënnen d’Konstanten A1, B1 onofhängeg vuneneen aus de Randbedingungen un der ënneschter Kante, an d’Konstanten A2, B2 aus de Randbedingungen un der ieweschter Kante bestëmmt ginn, woubei normalerweis A2=B2=0 erauskënnt. Op Grond vun der Equatioun (8) an (7) kréie mir d’Quetschkraaften, wann d’Rechnung an ëmgedréinter Richtung duerchgefouert gëtt an iwwerall d’Equatioun (8) an (7) agefouert gëtt; esou ass z. B. fir A2=B2=0:
Wann d’Mauere vum Reservoir starr an d’Plack agedränkt sinn, um Buedem vum Reservoir, deen déck genuch ass, fir als starr ze gëllen, mussen d’Konstanten A1, B1 aus de Bedéngungen x=0, w=0 an w’=0 bestëmmt ginn, an et kritt een:
Wann de Buedem vum Reservoir eng elastesch Plack oder Schuel ass, da solle transversal Kraaften Qx an Momenter Mx laanscht de Randkrees tëscht dem Buedem an der Zylinderwand mat Methode vun der Theorie vun de statesch onbestëmmte Systemer bestëmmt ginn, op Basis vun der Fuerderung, datt Mx an w’ fir béid Deeler dee selwechte Wäert hunn.