Vỏ mỏng là tên gọi các kết cấu bề mặt có mặt trung gian không phẳng mà cong lồi rõ rệt. Hành vi tĩnh học của chúng khác đáng kể so với bản. Khi có hình dạng thích hợp, ứng suất của chúng nhỏ hơn nhiều, độ cứng của chúng lớn hơn tương ứng, và tính toán trong đa số trường hợp cũng đơn giản hơn.
Ứng suất của mỗi vỏ có thể được phân thành hai phần: ứng suất màng và uốn. Các ứng suất màng, tương tự như ứng suất của bản chịu tải trong mặt phẳng của nó, có thể được biểu diễn bằng các lực cắt trong mặt phẳng tiếp tuyến – ví dụ tại tiết diện x=const. là lực pháp tuyến _Nx=_σx*t và lực cắt _Nxy=_τxy*t, trong đó t là chiều dày của vỏ. Ứng suất do uốn cũng giống như ở bản và có thể được biểu diễn bằng các mômen uốn Mx, mômen xoắn Mxy và lực cắt Qx.
Những đặc tính quan trọng của vỏ dựa trên thực tế là, theo nguyên tắc, ứng suất do uốn không có độ lớn cũng như ý nghĩa bằng các ứng suất màng, nên thường có thể bỏ qua hoàn toàn. Trong trường hợp đó, toàn bộ ứng suất được phân bố đều theo chiều dày của vỏ và tác dụng tiếp tuyến với mặt trung bình. Các tính toán dựa trên những giả thiết này thuộc phạm vi lý thuyết màng của vỏ mỏng.
Lý thuyết màng của vỏ tròn xoay đối với tải trọng đối xứng tròn xoay
Các công thức tổng quát
Đối với các đường tọa độ, chọn các kinh tuyến và các vòng song song trên mặt trung gian của vỏ, nên tọa độ là: góc phương vị ϑ (“kinh độ địa lý”) và độ nghiêng φ của tiếp tuyến với kinh tuyến so với mặt phẳng vuông góc với trục đối xứng (hình 1a). Theo đó, các lực cắt là: lực pháp tuyến Nφ theo phương kinh tuyến và lực pháp tuyến Nϑ theo phương vòng (hình 1b). Các lực cắt Nφϑ không xuất hiện trong trạng thái ứng suất đối xứng quay. Tải trọng trên một đơn vị diện tích được ký hiệu như sau (hình 1b): Y tiếp tuyến với kinh tuyến, dương theo chiều mà φ tăng, Z vuông góc với vỏ, dương hướng về trục đối xứng.
Hình. 1
Hình 2
Cho bán kính cong của đường kinh tuyến là r1. Nó là hàm của góc φ, nên bằng phương trình _r1=r1(_φ) xác định hình dạng của đường kinh tuyến. Phương trình này có thể được coi là phương trình của đường kinh tuyến và có dạng, chẳng hạn.
cho hình tròn r1=a=const.
cho parabol r1=a/cos3__φ
cho elip r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Để tính lực pháp tuyến N__φ theo phương kinh tuyến, cần đặt điều kiện cân bằng cho phần vỏ nằm phía trên vòng tròn song song φ (hình 2). Hợp lực R của các tải trọng Y và Z tác dụng lên phần này là thẳng đứng, do tính đối xứng. Giá trị của nó được xác định bằng cách tích phân theo bề mặt vỏ từ φ’=0 đến φ’=φ. Diện tích phần tử vỏ là dF=r1d__φ’*rd__ϑ, vì vậy thành phần thẳng đứng của tải trọng (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Đối với toàn bộ phần vỏ dạng vành khuyên nằm giữa các vòng tròn φ’ và φ’+dφ’, hợp lực của tải trọng ngoài là:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
từ đó bằng cách tích phân theo φ’ cho phần vỏ nằm trên vòng song song φ’=φ ta được:
PT. 1
Tải trọng này được các lực pháp tuyến theo phương kinh tuyến tiếp nhận, tác dụng dọc theo chu vi của vòng tròn xét; thành phần thẳng đứng của hợp lực các lực này là 2__πr * N__φ sin__φ, nên bằng cách cân bằng từ đây ta thu được lực pháp tuyến cần tìm
Phương trình 2
Nếu vỏ ở phần trên bị cắt theo đường tròn φ=φ0 (ví dụ lỗ lấy sáng trong mái vòm), giới hạn dưới của tích phân, dĩ nhiên, là φ0, chứ không phải 0. Nếu trên mép của vỏ được tạo ra theo cách này còn có tải trọng R0, thì cũng phải cộng nó vào hợp lực R (hình 3).
Hình 3
Để xác định lực pháp tuyến N__ϑ cần đặt điều kiện cân bằng cho phần tử vỏ theo phương vuông góc với mặt phẳng tiếp tuyến (hình 4). Hợp lực của tải trọng ngoài theo phương này bằng Z r1 d__φ r d__ϑ. Các lực N__φ*r d__ϑ nằm trong mặt phẳng kinh tuyến tạo với nhau một góc nhỏ d__φ, nên hợp lực của chúng theo phương pháp tuyến với vỏ là N__φ r d__ϑ*dφ. Tương tự, các lực Nϑ r1 dφ nằm trong mặt phẳng đường tròn ngang và tạo với nhau một góc dϑ có hợp lực Nϑ r1 dφ*dϑ cũng nằm trong mặt phẳng đường tròn ngang và vì vậy với pháp tuyến của vỏ tạo một góc 0,5_π-φ_, do đó trong điều kiện cân bằng chỉ có thành phần của chúng là Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. Vì thế điều kiện cân bằng có dạng
hoặc, khi chia cho r r1 dϑ dφ:
Eq. 3
Ở đây, r2=r/sinφ là bán kính cong chính thứ hai của vỏ.
Hình. 4
Vòm tròn
Khi hình dạng đường kinh tuyến được cho một cách giải tích bằng phương trình r1=r1(φ) và khi các tải trọng Y(φ) và Z(φ) được cho bằng các biểu thức giải tích, các lực cắt trong vỏ luôn có thể được xác định bằng cách tích phân dưới dạng kín hoặc bằng phương pháp số, sử dụng quy tắc Simpson. Đối với vòm tròn đường kính a, dưới đây cho các lực cắt đối với một số trường hợp tải trọng:
Công thức cuối cùng, công thức này cho các giá trị φ=0 cho lực cắt vô hạn lớn, chỉ có hiệu lực ở một khoảng cách nhất định so với điểm đặt lực. Trong vùng rất gần nơi lực tác dụng, ngay cả khi lực được phân bố trên bề mặt một hình tròn có đường kính hữu hạn nhưng nhỏ, tải trọng chủ yếu được truyền qua uốn.
Các dạng vỏ mỏng mở ở phần trên có thể suy ra từ các dạng trước đó, nếu trên tải trọng thực thêm một tải trọng giả P tại đỉnh, được xác định sao cho nếu lực pháp tuyến tổng theo phương kinh tuyến tác dụng lên mép trên của vỏ φ=φ0 bằng Nφ=0, hoặc bằng một giá trị nào đó do các lực bên ngoài mà vỏ ở đây tiếp nhận quyết định.
Vỏ nón
Hình. 5
Đối với vỏ nón, độ dốc kinh tuyến φ không thể dùng làm tọa độ, vì nó có cùng giá trị tại mọi điểm. Thay vào đó, đưa vào khoảng cách s từ đỉnh mái vòm đo dọc theo đường sinh (hình 5). Lực pháp tuyến theo phương kinh tuyến do đó được ký hiệu là Ns. Các công thức cần thiết có thể thu được từ các công thức nêu dưới 1 khi thực hiện giới hạn biên. Từ phương trình (2) như vậy thu được
và từ phương trình (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Đối với các trường hợp tải trọng quan trọng nhất, áp dụng các công thức sau:
Phương pháp đồ họa cho hình dạng kinh tuyến bất kỳ
Hình. 6
Khi đường cong kinh tuyến không được cho bằng biểu thức giải tích mà, chẳng hạn, bằng đồ thị, việc xác định bán kính cong trở nên quá khó và quá không chính xác. Trong trường hợp đó, thuận tiện hơn là dùng phương pháp đồ họa (hình 6).
Vỏ được chia bằng nhiều mặt φ=const., tính trọng lượng Δ_R_ của các vùng vành khuyên nằm giữa các mặt và tốt nhất là chia ngay cho 2_π_. Các lực này ΔR/2π được đưa vào hình lực (hình 6b). Nếu sau đó, chẳng hạn, qua điểm chia 7 vẽ một đường thẳng song song với tiếp tuyến của kinh tuyến tại điểm kinh tuyến 7, thì đường ngang qua điểm trên cùng của hình lực sẽ cắt nó theo đoạn R1/2π sinφ7 từ đó, dựa trên phương trình (2), sau khi chia cho r tương ứng sẽ thu được lực pháp tuyến tương ứng theo phương kinh tuyến.
Để xác định các lực trong các vòng, dùng điều kiện cân bằng của các lực ngang trên một phần tử của vỏ. Nếu chỉ tác dụng các tải trọng thẳng đứng, điều kiện này có dạng (hình 4):
Khi ở đây dφ được thay bằng sai phân hữu hạn Δφ, tương ứng với cách chia đã chọn của vỏ mỏng, và khi thay vì r1 dφ thì đưa vào độ dài Δs của phần tử kinh tuyến, từ đó thu được
Trong ngoặc ở bên phải là đoạn cắt trên đường thẳng nằm ngang trong biểu đồ lực. Do đó, toàn bộ phần bên phải biểu thị các đoạn giữa các điểm chia trên đường thẳng này. Để có thể đọc chính xác đủ, biểu đồ lực phải được vẽ cẩn thận và theo tỷ lệ đủ lớn.
Vòng chịu kéo và chịu nén
Mỗi vỏ mỏng đối xứng quay đều được giới hạn bởi một hoặc hai vòng tròn nằm ngang (hình 7). Ở các mép này, về nguyên tắc nó chỉ có thể tiếp nhận các tải trọng và phản lực gối có phương tiếp tuyến với kinh tuyến. Nếu các lực ngoài có phương khác, như tải trọng P từ phần trên của kết cấu hoặc phản lực S ở đáy bể như thể hiện trên hình 97, các lực này phải, như hình minh họa, được phân tích thành các thành phần theo phương vòng tròn nằm ngang và tiếp tuyến với kinh tuyến. Thành phần P/sinφ0 hoặc S/sinφu bằng với lực pháp tuyến theo phương kinh tuyến Nφ tác dụng tại đó, còn để tiếp nhận lực ngang Pctgφ0 hoặc Sctgφu cần một vành chịu kéo, hay nén, trong đó tải trọng hướng kính này gây ra lực pháp tuyến + P r0 ctgφ0, hay -S ru ctgφu. Những vành như vậy, ngoài ở mép vỏ, cũng phải được bố trí ở mọi chỗ đường kinh tuyến bị gãy khúc. Chúng luôn gây ra sự xáo trộn trạng thái ứng suất màng.
Hình 7
Ứng suất do uốn trong các vỏ có đối xứng quay
Các công thức của lý thuyết màng không chứa đủ số hằng số tích phân để có thể thỏa mãn mọi điều kiện biên thực sự tương ứng với bài toán đã đặt ra. Đặc biệt đối với các vỏ đối xứng quay, không thể bằng một lựa chọn thích hợp các hằng số tích phân mà làm cho biến dạng εϑ = Nϑ/Et theo phương vòng dọc theo mép vỏ bằng với biến dạng tương ứng của một bộ phận kết cấu khác được liên kết cứng với nó tại vị trí đó. Điều này cũng đúng với các vỏ mà dọc theo một vòng tròn ngang, độ cong theo kinh tuyến, chiều dày vỏ hoặc tải trọng trên một đơn vị diện tích thay đổi đột ngột. Ngay cả khi vỏ không được gia cường bằng vòng ở một mép nào đó, nhưng tại chỗ này lại chịu các lực có thành phần theo phương pháp tuyến của vỏ (ví dụ tải P ở hình 7 khi giả sử rằng vòng đã bị tháo bỏ), thì nó không thể tiếp nhận các tải này chỉ thông qua các lực màng. Trong những trường hợp như vậy, lực cắt và mômen uốn (hình 8) giữ vai trò quan trọng trong sự phân bố lực trong vỏ, điều này phải được xét đến trong tính toán tĩnh học.
Hình 8
Việc tính toán chính xác vỏ chịu uốn, trừ trường hợp đặc biệt đơn giản nhất là vỏ trụ, là một nhiệm vụ rất khó khăn. Đối với vỏ có thành mỏng có thể xây dựng một lý thuyết gần đúng đơn giản và rất hữu ích, dựa trên một तथ्य đã biết từ lý thuyết chặt chẽ rằng ứng suất do uốn chỉ giới hạn trong một vùng tương đối hẹp gần mép và giảm nhanh khi khoảng cách tới mép tăng lên. Điều này cho phép bỏ qua rất nhiều hạng tử trong phương trình vi phân chính xác, nên phương trình này có dạng đơn giản hóa.
Nếu trong vùng biên, mà ở đó κ là yếu tố duy nhất đáng quan tâm, thay bằng giá trị trung bình, và điều này hầu như luôn có thể, thì nghiệm của phương trình là
Phương trình 4 và 5
trong đó a1, b1, a2, b2 là các hằng số tích phân. Vì nghiệm chỉ có ý nghĩa ở gần biên φ=φ0, nên tiện nhất là đưa khoảng lệch góc ω=φ0-φ hoặc ω=φ-φ0 so với biên này làm tọa độ, khi đó qua phép biến đổi của nghiệm trên ta thu được biểu thức thứ hai đã nêu. Ở đây chỉ xuất hiện hai hằng số tích phân A, B hoặc C, ψ, vì phần thứ hai của nghiệm chứa thừa số eκω, và do đó không giảm khi ω tăng, có thể loại khỏi xét đến.
Dựa trên phương trình 5 thu được các giá trị sau cho lực cắt và góc quay κ của tiếp tuyến kinh tuyến:
Ứng suất do uốn trong các bể có dạng hình trụ tròn
Giả sử một bể hình trụ cao h được đổ đầy nước (hình 9), thì ở độ cao x phía trên hai bể, áp suất nước là p=γ(h-x). Nếu tại độ cao này, từ hai mặt cắt ngang cách nhau dx. người ta cắt từ bể ra một vành và chia vành này dọc theo một đường kính thành hai phần, thì điều kiện cân bằng của một trong hai phần cho lực màng trong vành Nφ=pa. Nếu chiều dày của bể tại vị trí này là t, thì biến dạng trong vành là εφ=Nφ/Et và vì thế độ tăng bán kính của bể (độ võng) là
Tại mép dưới x=0 do đó
Hình 9
Không cái nào trong hai cái này, theo nguyên tắc, phù hợp với điều kiện biên, vì sự biến dạng của thành bị ngăn cản do liên kết với đáy bể. Tại chỗ liên kết giữa đáy và thành hình trụ xuất hiện các lực cắt Qx0 và các mômen Mx0 (hình 11), mà độ lớn của chúng cần được xác định sao cho cùng với các lực màng vừa tính trong vỏ, chúng gây ra sự biến dạng ở mép vỏ mà đáy cho phép.
Hình 10, 11, 12, tương ứng
Ở hình 11 trình bày một phần tử vỏ dx*a dφ với các lực tác dụng lên nó. Điều kiện cân bằng lực theo phương pháp tuyến với vỏ cho ta
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
từ đó bằng cách chia cho dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Từ điều kiện rằng mômen quanh tiếp tuyến nằm ngang với hình trụ bằng không, ta có:
dM/dx = M’x = Qx
Bằng cách loại bỏ lực cắt ngang Qx khỏi hai phương trình này suy ra
a M’’x + Nφ = p a.
Đk. 6
Trong phương trình này, các lực cắt chưa biết này có thể được biểu diễn bằng độ võng w. Đối với Nφ đã tìm được Nφ=Etw/a, còn mômen tỉ lệ với độ cong của kinh tuyến w’’, tức là Mx=Kw’’, trong đó như ở bản K=Et3/12(1-μ2) là độ cứng của vỏ, có thể thay đổi theo x. Nếu đưa các biểu thức này cho các lực trung bình vào phương trình (6), ta thu được phương trình vi phân của lý thuyết bể chứa:
Đối với bể có chiều dày thành không đổi, lời giải như sau:
Một. 7
trong đó λ4=3(1-μ2)/a2t2. Nếu λh lớn (chẳng hạn lớn hơn 3), thì thuận tiện hơn khi thay các hàm hyperbol bằng các hàm mũ, do đó:
Eq. 8
Khi đó có thể xác định độc lập với nhau các hằng số A1, B1 từ các điều kiện biên ở cạnh dưới, còn các hằng số A2, B2 từ các điều kiện biên ở cạnh trên; theo quy tắc thường thu được A2=B2=0. Dựa trên các phương trình (8) và (7) suy ra các lực cắt, khi phép tính được thực hiện theo chiều ngược lại và ở mọi nơi đưa vào các phương trình (8) và (7); chẳng hạn đối với A2=B2=0:
Khi thành bể được ngàm cứng vào bản đáy, và đáy bể đủ dày để có thể xem là cứng, các hằng số A1, B1 phải được xác định từ điều kiện x=0, w=0 và w’=0 nên thu được:
Nếu đáy bể là một tấm đàn hồi hoặc vỏ mỏng, các lực cắt ngang Qx và mômen Mx dọc theo vòng biên giữa đáy và thành trụ phải được xác định bằng các phương pháp của lý thuyết hệ siêu tĩnh, dựa trên yêu cầu rằng Mx và w’ của cả hai phần có cùng giá trị.