Skelpen wurde oerflakdragende konstruksjes neamd, wêrfan’t it middelste oerflak net flak is, mar dúdlik bol. Harren statyske gedrach wijkt yn hege mjitte ôf fan dat fan in plaat. As se in gaadlike foarm hawwe, is har spanningsnivo oanmerklik leger, is har stiifheid yn oerienstimmende mjitte grutter, en is de berekkening yn de measte gefallen ienfâldiger.
De spanning fan elke skulp kin yn twa dielen opdield wurde: membraanspanning en bûging. De membraanspanningen kinne, lykas de spanningen by in plaat dy’t yn har eigen flak belêste is, útdrukt wurde mei help fan snijkrêften yn it tanginsjele flak – dat binne bygelyks yn de trochsneed x=const. de normale krêft _Nx=_σx*t en de skearkrêft _Nxy=_τxy*t, wêrby’t t de dikte fan de skulp is. De spanningen troch bûging binne itselde as by platen en kinne foarsteld wurde troch bûgingsmominten Mx, torsjemominten Mxy en skearkrêften Qx.
De essinsjele eigenskippen fan skulpen binne basearre op it feit dat neffens de regel de spanningen troch bûging noch de grutte noch it belang hawwe fan membraanspanningen, sadat se faak folslein ferwaarleazge wurde kinne. Yn dat gefal binne alle spanningen gelijkmjittich ferdield oer de dikte fan de skulp en wurkje tanginsjoneel op it middelste oerflak. Berekkeningen dy’t op dizze oannames basearre binne, falle ûnder de membraanteory fan skulpen.
Membraanteory fan rotaasjesymmetryske skellen ûnder rotaasjesymmetryske belesting
Algemiene formules
Foar de koördinaatlijnen wurde meridianen en parallelkringen op it middelste oerflak fan de skulp oannaam, en dus binne de koördinaten: azimut ϑ (“geografyske lingte”) en de helling φ fan de tangens op de meridiaan tsjin it flak dat loodrjocht stiet op de symmetryas (fig. 1a). Dêrom binne de snijkrêften: de normale krêft Nφ yn de rjochting fan de meridiaan en de normale krêft Nϑ yn de ring (fig. 1b). Skuorkrêften Nφϑ komme net foar by rotaasjesymmetryske spanning. De belêsting per oerflakieneheid wurdt as folget oanjûn (fig. 1b): Y tanginsjeel oan de meridiaan, posityf yn de rjochting dêr’t φ tanimt, Z normaal op de skulp, posityf nei de symmetryas ta.
Ofb. 1
Ofb. 2
Lit de krommingsradius fan de meridiaan r1 wêze. Dy is in funksje fan de hoeke φ, sadat mei de ferliking _r1=r1(_φ) de foarm fan de meridiaan fêstlein wurdt. Dizze kin as de ferliking fan de meridiaan beskôge wurde en luidt bygelyks.
foar de sirkel r1=a=const.
foar de parabool r1=a/cos3__φ
foar de ellips r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Foar it berekkenjen fan de normale krêft N__φ yn de rjochting fan de meridiaan moat de lykwichtsbetinking opsteld wurde foar it diel fan de skulp dat boppe de parallele sirkel φ leit (fig. 2). De resultante R fan de lesten Y en Z dy’t op dit diel ynwurkje is, troch de symmetry, fertikaal. De grutte dêrfan wurdt krigen troch yntegraasje oer it skulpflak fan φ’=0 oant φ’=φ. It oerflak fan it skulp elemint is dF=r1d__φ’*rd__ϑ, dus is de fertikale komponint fan de belêsting (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Foar it hiele ringfoarmige diel fan de skulp dat leit tusken de sirkels φ’ en φ’+dφ’ is de resultante fan de eksterne belêsting:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
wêrút troch yntegraasje nei φ’ foar it diel fan de skulp dat boppe de parallele sirkel φ’=φ leit, krigen wurdt:
Ferg. 1
Dizze lading wurdt opnommen troch normale krêften yn de rjochting fan de meridiaan, dy’t wurkje lâns de omtrek fan de beskôge sirkel; de fertikale komponint fan de resultearjende krêft fan dizze krêften is 2__πr * N__φ sin__φ, en troch gelykstelling hjirút wurdt de frege normale krêft krigen
Ferg. 2
As de skulp oan de boppeste kant snien is lâns de sirkel φ=φ0 (bgl. in iepening foar ferljochting yn in koepel), is de ûndergrins fan de yntegraal fansels φ0 en net nul. As oan de râne fan de skulp dy’t sa ûntstien is ek de lading R0 wurket, moat dy ek by de resultante R opteld wurde (ôfb. 3).
Ôfb. 3
Foar it bepalen fan de normale krêft N__ϑ moat de lykwichtsfoarwearde fan it skaaielemint loodrjocht op it tanginsjele flak opsteld wurde (ôfb. 4). De resultante fan de eksterne belesting yn dizze rjochting is Z r1 d__φ r d__ϑ. De krêften N__φ*r d__ϑ dy’t yn it meridionale flak lizze, foarmje ûnderling in lytse hoeke d__φ, sadat harren resultante yn de rjochting fan de normaal op de skulp N__φ r d__ϑ*dφ is. Op deselde wize hawwe de krêften Nϑ r1 dφ dy’t yn it flak fan de horizontale sirkel lizze en ûnderling in hoeke dϑ foarmje, in resultante Nϑ r1 dφ*dϑ dy’t ek yn it flak fan de horizontale sirkel leit en dêrom mei de normaal op de skulp in hoeke 0,5_π-φ_ foarmet, sadat yn de lykwichtsfoarwearde allinne harren komponint Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ meitelt. De lykwichtsfoarwearde luidt dêrom
of, as it dield wurdt troch r r1 dϑ dφ:
Ien.3
Hjir wurdt mei r2=r/sinφ de twadde haadradius fan kromming fan de skulp oanjûn.
Fig. 4
Rûne koepel
As de foarm fan de meridiaan analytysk jûn is troch de fergeliking r1=r1(φ) en as foar de lêst Y(φ) en Z(φ) analytyske útdrukkingen jûn binne, kinne de snijkrêften yn de skyl altyd bepaald wurde troch yn in sletten foarm te yntegrearjen of numeryk, mei gebrûk fan de Simpson-regel. Foar in sirkelrûne koepel mei diameter a wurde hjirnei de snijkrêften foar guon belêstingsgefallen jûn:
De lêste formule, dy’t foar φ=0 ûneinich grutte snijkrêften jout, jildt pas op in bepaalde ôfstân fan it oanfalspunt fan de krêft. Yn de direkte omjouwing fan it plak dêr’t de krêft wurket, sels as dy oer it oerflak fan in sirkel mei in einige mar lytse diameter ferdield is, wurdt de belêsting benammen troch bûgen oerbrocht.
Foarmen foar skulpen dy’t oan de boppekant iepen binne kinne út de foarige ôflaat wurde, as op de echte belêsting in fiktive lading P by de top tafoege wurdt, waans grutte sa bepaald wurdt as de totale normale krêft yn de meridiaanrjochting dy’t wurket op de boppe-râne fan de skulpe φ=φ0 bedraacht Nφ=0, of gelyk is oan in wearde bepaald troch de eksterne krêften dy’t de skulpe hjir opnimt.
Konske skulp
Afb. 5
By in konyske skulp kin de helling fan de meridiaan φ net as koördinaat brûkt wurde, om’t dy yn alle punten deselde wearde hat. Yn stee dêrfan wurdt de ôfstân s fan de top fan de koepel ynfierd, metten lâns de generator (fig. 5). De normaalkrêft yn de rjochting fan de meridiaan wurdt dêrom oantsjut mei Ns. De nedige foarmen kinne krigen wurde út de neamde by 1 as de grinsoergong útfierd wurdt. Ut fergeliking (2) wurdt sa
en út fergeliking (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Foar de wichtichste belestinggefallen jilde de folgjende formules:
Grafyske metoade foar in willekeurige foarm fan de meridiaan
Fig. 6
As de meridiaankrûme net jûn is mei in analytyske útdrukking, mar bygelyks grafysk, is it bepalen fan de krommingsstraal te dreech en te ûnkrekt. Yn dat gefal is it better om fan in grafyske metoade gebrûk te meitsjen (sl. 6).
De skulp wurdt opdield troch in grutter oantal flakken φ=const., de gewichten Δ_R_ fan de ringfoarmige sônes tusken de flakken wurde berekkene en it bêste daliks dielde troch 2_π_. Dizze krêften ΔR/2π wurde yn it krêftediagram oanbrocht (fig. 6b). As men dan bygelyks troch it ferdielpunt 7 in rjochte lûkt dy’t parallel is oan de tangint oan de meridiaan yn it punt fan de meridiaan 7, sil de horizontaal troch it boppeste punt fan it krêftediagram dêr de lingte R1/2π sinφ7 ôfsnije, dêrút wurdt op grûn fan fergeliking (2) troch te dielen troch de byhearrende r de oerienkommende normale krêft yn de rjochting fan de meridiaan krigen.
Foar it bepalen fan de krêften yn de ringen tsjinnet de lykwichtsbetingst fan de horizontale krêften op ien elemint fan de skyl. As der allinnich fertikale lêsten wurkje, dan luidt dizze betingst (sl. 4):
As hjir dφ ferfongen wurdt troch it einige ferskil Δφ, dat oerienkomt mei de oannommen ferdieling fan de skulp, en as yn plak fan r1 dφ de lingte Δs fan it meridiaanelemint ynbrocht wurdt, wurdt hjirút krigen
Yn de heak oan de rjochterkant stiet de ôfsnijer op de horizontale line yn it krêftediagram. De hiele rjochterkant fertsjintwurdiget dêrom de segminten tusken de ferdielingspunten op dizze line. Om dy genôch krekt ôflêze te kinnen, moat it krêftediagram soarchfâldich en yn in genôch grutte skaal tekene wurde.
Treaune en drukte ringen
Elke rotaasjesymmetryske skulp wurdt begrinzge troch ien of twa horizontale sirkelrânen (ôfb. 7). Op dizze rânen kin se yn prinsipe allinne sokke lesten en stipe-reaksjes opnimme, dy’t de rjochting hawwe fan de tangint oan de meridiaan. As de bûtenkrêften in oare rjochting hawwe, lykas bygelyks de belesting P fan it boppeste diel fan de konstruksje of de reaksje S fan de boaiem fan de reservoir dy’t yn ôfbylding 97 te sjen is, dan moatte dizze krêften, sa’t op de ôfbylding te sjen is, ûntbûn wurde yn komponinten yn de rjochting fan de horizontale sirkel en de tangint oan de meridiaan. De komponint P/sinφ0 of S/sinφu is gelyk oan de normale krêft yn de rjochting fan de meridiaan Nφ dy’t dêr wurket, wylst foar it opfangen fan de horizontale krêft Pctgφ0 of Sctgφu in ring nedich is dy’t trek, resp. druk opnimt en wêryn dizze radiale belesting in normale krêft + P r0 ctgφ0, resp. -S ru ctgφu feroarsaket. Sokke ringen moatte, njonken oan de rânen fan de skulp, ek op al dy plakken pleatst wurde dêr’t de meridiaankromme in brek hat. Hja feroarsaakje altyd in fersteuring fan de membraantastân fan spanning.
Fig. 7
Spanningen troch bûging yn rotaasjesymmetryske skelpen
De foarmen fan de membraanteory befetsje net genôch oantal yntegraasjekonstanten om oan alle grinsomstannichheden te foldwaan dy’t wier by de opjûne opdracht hearre. Spesjaal by rotaasjesymmetryske skelpen is it net mooglik om mei in gaadlike kar fan yntegraasjekonstanten te berikken dat de ferlinging εϑ = Nϑ/Et yn de rjochting fan de ring lâns de râne fan de skulp gelyk is oan de oerienkommende ferlinging fan in oar konstruktyf ûnderdiel dat dêr op dat plak stevich mei ferbûn is. Itselde jildt ek foar skelpen dêr’t lâns in horizontale sirkel de kromming fan de meridiaan, de dikte fan de skulp of de belêsting per oerflakseenheid sprongsgewize feroaret. En ek as de skulp lâns in râne net ferstevige is mei in ring, mar op dat plak belêste wurdt mei krêften dy’t in komponint hawwe yn de rjochting fan de normaal op de skulp (bygelyks de belêsting P op fig. 7 as men him foarstelt dat de ring fuorthelle is), kin se sokke lêsten net allinne troch membraankrêften opnimme. Yn sokke gefallen spylje de skuorkrêft en bûgmominten (fig. 8) in wichtige rol by de ferdieling fan de krêften yn de skulp, wat by de statyske berekkening rekken hâlden wurde moat.
Ôfb. 8
In krekte berekkening fan in skulp op bûging is, útsein yn it ienfâldichste spesjale gefal fan in silindryske skulp, in tige drege opjefte. Foar skelpen mei tinne wanden kin in ienfâldige en tige brûkbere benaderingsteory opsteld wurde, basearre op it feit dat út de strange teory bekend is: de spanningen troch bûging wurde beheind ta in relatyf smelle sône by de râne en nimme fluch ôf as de ôfstân fan de râne grutter wurdt. Dêrmei kin in grut tal termen yn de krekte differinsjaalfergeliking ferwaarleazge wurde, sadat dy in ferienfâldige foarm kriget.
As binnen de ienige nijsgjirrige râne-tône κ ferfongen wurdt troch de gemiddelde wearde, en dat is hast altyd mooglik, dan is de oplossing fan de fergeliking
Fergl. 4 en 5
wêr’t a1, b1, a2, b2 integraasjekonstanten binne. Omdat de oplossing allinne yn de neite fan de râne φ=φ0 fan belang is, is it gaadlik om de hoekôfstân ω=φ0-φ of ω=φ-φ0 fan dizze râne as koördinaat yn te fieren, en dan jout de transformaasje fan de hjirboppe neamde oplossing de twadde oantsjutte útdrukking. Hjir komme allinnich twa integraasjekonstanten A, B of C, ψ foar, omdat it twadde part fan de oplossing mei de faktor eκω, en dus by tanimming fan ω net ôfnimt, bûten beskôging litten wurde kin.
Op grûn fan de fergeliking 5 wurde de folgjende wearden foar de trochsneedkrêften en de draaiing κ fan de tangens fan de meridiaan krigen:
Spanningen troch bûgen yn reservoirs fan silindryske foarm
Lit in silindryske reserve mei hichte h fol mei wetter wêze (ôfb. 9), dan is op de hichte x boppe de twa reservoirs de wetterdruk p=γ(h-x). As op dizze hichte út de reserve tusken twa horizontale sneden op ôfstân dx in ring útknipt wurdt en dizze lâns ien diameter yn twa parten splitst wurdt, jout de lykwichtsfoarwearde fan ien dêrfan de membraankrêft yn de ring Nφ=pa. As de dikte fan de reserve op dit plak t is, dan is de rek yn de ring εφ=Nφ/Et en dus de ferheging fan de straal fan de reserve (trochbuiging) is
Oan de ûnderste râne x=0 is dêrom
Ofb. 9
Gjin fan beide is neffens de regel yn oerienstimming mei de grinsbetingsten, om’t de deformaasje fan de muorre foarkommen wurdt troch de ferbining mei de boaiem fan it reservoir. Dêrby ferskine op de ferbining tusken de boaiem en de silindermuorre transversale krêften Qx0 en mominten Mx0 (fig. 11), wêrfan de grutte sa bepaald wurde moat dat se tegearre mei de krekt berekkene membraankrêften yn de skulp dizze deformaasje oan de râne fan de skulp feroarsaakje dy’t troch de boaiem tastien wurdt.
ôfb. 10, 11, 12, respektivelik
Op ôf. 11 wurdt it ljusselemint dx*a dφ mei de krêften dy’t derop wurkje toand. De betingst fan lykwicht fan krêften yn de rjochting fan de normaal op de ljus jout
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
dêr’t troch te dielen mei dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Ut de betingst dat it momint om de horizontale tangens oan de silinder nul is, krije wy:
dM/dx = M’x = Qx
Troch de transversale krêft Qx út dizze twa fergelikingen te eliminearjen, folget
a M’’x + Nφ = p a.
Ferg. 6
Yn dizze fergeliking kinne dizze ûnbekende snijkrêften útdrukt wurde mei help fan de trochbuiging w. Foar Nφ is al fûn Nφ=Etw/a, en it momint is evenredich mei de kromming fan de meridiaan w’’, dus Mx=Kw’’, wêrby’t, lykas by platen, K=Et3/12(1-μ2) de styfheid fan de skulp is, dy’t mei x fariabel wêze kin. As dizze útdrukkingen foar de gemiddelde krêften yn de fergeliking (6) ynfoege wurde, wurdt de differinsjaalfergeliking fan de reservoirteory krigen:
Foar in reservoir wêrfan’t de muorredikte ûnferoarlik is, jildt de oplossing:
Ien.7
wêrby’t λ4=3(1-μ2)/a2t2. As λh grut is (bygelyks grutter as 3), is it handiger om ynstee fan hyperboalyske funksjes eksponinsjele yn te fieren, en dan jildt:
Ien.8
Dan kinne de konstantes A1, B1 ûnôfhinklik fan inoar fêststeld wurde út de grinsomstannichheden oan de ûnderkant, en de konstantes A2, B2 út de grinsomstannichheden oan de boppekant, wêrby’t ornaris A2=B2=0_ krigen wurdt. Op grûn fan fergeliking (8) en (7) wurde de snijkrêften krigen, as de berekkening yn omkearde rjochting útfierd wurdt en oeral fergeliking (8) en (7) ynfierd wurdt; sa is bygelyks foar A2=B2=0:
As de muorren fan it reservoir stiif yn de plaat ynklemje binne, moat oan de boaiem fan it reservoir, dy’t dik genôch is om as stiif beskôge te wurden, de konstanten A1, B1 bepaald wurde út de betingsten dat x=0, w=0 en w’=0; dan krijt men:
As de boaiem fan it reservoir in elastyske plaat of skulp is, moatte de transversale krêften Qx en mominten Mx lâns de rântsirkel tusken de boaiem en de silindermuorre bepaald wurde mei metoaden fan de teory fan statysk ûnbepaalde systemen, op grûn fan de eask dat Mx en w’ foar beide dielen deselde wearde hawwe.