Ang mga kabibe ay tinatawag na mga suportang pang-ibabaw na ang gitnang ibabaw ay hindi patag kundi kapansin-pansing nakaumbok. Ang kanilang asal sa istatika ay malaki ang paglihis sa asal ng plato. Kapag may angkop na hugis, ang kanilang pagkapwersa ay mas maliit nang malaki, ang kanilang tigas ay mas mataas sa nararapat na antas, at ang pagkukuwenta sa karamihan ng mga kaso ay mas simple.
Ang stress ng bawat shell ay maaaring hatiin sa dalawang bahagi: membrane stress at bending. Ang mga membrane stress, katulad ng mga stress sa isang plate na kargado sa sarili nitong eroplano, ay maaaring ipahayag sa tulong ng mga puwersang pansalubong sa tangential plane – ito, halimbawa, sa seksiyong x=const. ay ang normal na puwersang _Nx=_σx*t at ang shear force _Nxy=_τxy*t, kung saan ang t ay ang kapal ng shell. Ang mga stress dahil sa bending ay gaya rin ng sa mga plate at maaaring katawanin ng mga bending moment Mx, torsional moment Mxy at shear force Qx.
Ang mahahalagang katangian ng mga shell ay nakabatay sa katotohanang, ayon sa patakaran, ang mga stress dahil sa bending ay hindi kasinglaki ni kasinghalaga ng mga membrane stress, kaya’t madalas silang ganap na maipagwawalang-bahala. Sa gayong kaso, ang lahat ng stress ay pantay na naipapamahagi sa kapal ng shell at kumikilos nang tangensiyal sa gitnang ibabaw. Ang mga kalkulasyong nakabatay sa mga palagay na ito ay kabilang sa saklaw ng membrane theory ng mga shell.
Teorya ng membrana ng mga rotationally symmetric na balatak sa ilalim ng rotationally symmetric na pagkarga
Mga pangkalahatang pormula
Bilang mga linya ng koordinado, ginagamit ang mga meridyan at paralel na bilog sa gitnang ibabaw ng kabibe, kaya ang mga koordinado ay: azimut ϑ (“heograpikong haba”) at ang hilig φ ng padaplis sa meridyan ayon sa eroplanong patayo sa axis ng simetriya (fig. 1a). Alinsunod dito, ang mga puwersang pamputol ay: normal na puwersa Nφ sa direksyon ng meridyan at normal na puwersa Nϑ sa singsing (fig. 1b). Ang mga puwersang panggupit Nφϑ ay hindi lumilitaw sa rotasyonal na simetrikong pag-igting. Ang karga sa bawat yunit ng ibabaw ay tinutukoy sa sumusunod na paraan (fig. 1b): Y tangensyal sa meridyan, positibo sa direksyong tumataas ang φ, Z normal sa kabibe, positibo patungo sa axis ng simetriya.
Lar. 1
Fig. 2
Ipagpalagay natin na ang radius ng kurbada ng meridyano ay r1. Ito ay isang tungkulin ng anggulong φ kaya sa ekwasyong _r1=r1(_φ) ay natutukoy ang anyo ng meridyano. Maaari itong ituring na ekwasyon ng meridyano at ganito, halimbawa.
para sa bilog r1=a=const.
para sa parabola r1=a/cos3__φ
para sa elipse r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Para sa pagkalkula ng normal na puwersa N__φ sa direksiyon ng meridyan, kailangang itakda ang kondisyon ng balanse ng bahagi ng kabibe na nasa itaas ng paralelong bilog φ (fig. 2). Ang resultanteng R ng mga kargang Y at Z na kumikilos sa bahaging ito ay patayo, dahil sa simetriya. Ang laki nito ay nakukuha sa pamamagitan ng pag-iintegrate sa ibabaw ng kabibe mula φ’=0 hanggang φ’=φ. Ang sukat ng elemento ng kabibe ay dF=r1d__φ’*rd__ϑ, kaya ang patayong bahagi ng karga (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Para sa buong bahaging singsing ng kabibe na nasa pagitan ng mga bilog φ’ at φ’+dφ’, ang resultanteng panlabas na karga ay:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
mula rito, sa pag-iintegrate ayon sa φ’ para sa bahaging ng balahibong-dibdib na nasa itaas ng paralelong bilog na φ’=φ ay nakukuha:
Eq. 1
Ang kargang ito ay tinatanggap ng mga normal na puwersa sa direksiyong meridyano, na kumikilos sa palibot ng napagmasdang bilog; ang patayong bahagi ng resultante ng mga puwersang ito ay 2__πr * N__φ sin__φ, kaya sa pag-eekwalisado mula rito nakukuha ang hinahanap na normal na puwersa
Eq. 2
Kung ang shell sa itaas na bahagi ay pinutol sa kahabaan ng bilog φ=φ0 (hal., butas para sa pag-iilaw sa kupola), ang ibabang hangganan ng integral ay, siyempre, φ0, at hindi sero. Kung sa gilid ng shell na nabuo sa ganitong paraan ay kumikilos din ang kargang R0, ito rin ay dapat idagdag sa resultang R (fig. 3).
Lar. 3
Upang matukoy ang normal na puwersa N__ϑ, kailangang itatag ang kondisyon ng balanse ng elemento ng shell na patayo sa tangent plane (fig. 4). Ang resultant ng panlabas na kargang ito sa direksiyong ito ay Z r1 d__φ r d__ϑ. Ang mga puwersang N__φ*r d__ϑ na nasa meridional na eroplano ay bumubuo sa isa’t isa ng maliit na anggulong d__φ, kaya ang kanilang resultant sa direksiyon ng normal sa shell ay N__φ r d__ϑ*dφ. Gayundin, ang mga puwersang Nϑ r1 dφ na nasa eroplano ng pahalang na bilog at bumubuo sa isa’t isa ng anggulong dϑ ay may resultant na Nϑ r1 dφ*dϑ na nasa eroplano rin ng pahalang na bilog at samakatuwid ay bumubuo sa normal sa shell ng anggulong 0,5_π-φ_, kaya sa kondisyon ng balanse ay pumapasok lamang ang kanilang component na Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. Samakatuwid, ang kondisyon ng balanse ay:
o, kapag hinati sa r r1 dϑ dφ:
Isa.3
Dito, sa r2=r/sinφ, tinutukoy ang ikalawang pangunahing radius ng kurbatura ng shell.
Lar. 4
Bilog na kupola
Kapag ang hugis ng meridyano ay ibinigay nang analitikal sa pamamagitan ng ekwasyong r1=r1(φ) at kapag para sa mga kargang Y(φ) at Z(φ) ay ibinigay ang mga analitikong ekspresyon, ang mga shear force sa shell ay maaaring laging matukoy sa pamamagitan ng pagsasama sa saradong anyo o numerikal, gamit ang tuntuning Simpson-ovo. Para sa pabilog na kupola na may diyametrong a, sa sumusunod ay ibinibigay ang mga shear force para sa ilang kaso ng paglo-load:
Ang huling pormula, na para sa φ=0 ay nagbibigay ng napakalalaking puwersang panggupit, ay wasto lamang sa isang tiyak na distansya mula sa punto ng pagkapuwersa. Sa agarang paligid ng lugar kung saan kumikilos ang puwersa, kahit na ito ay ipinamamahagi sa ibabaw ng isang bilog na may may wakas ngunit maliit na diyametro, ang kargamento ay pangunahing naipapasa sa pamamagitan ng pagbaluktot.
Ang mga anyo para sa mga shell na bukas sa itaas ay maaaring makuha mula sa nauna, kung sa tunay na karga ay idaragdag ang huwad na karga P sa tuktok na ang laki ay tinutukoy nang ganoon na kung ang kabuuang puwersang normal sa direksiyong meridiyano na kumikilos sa itaas na gilid ng shell φ=φ0 ay katumbas ng Nφ=0, o katumbas ng ilang halagang itinakda ng mga panlabas na puwersang tinatanggap ng shell dito.
Konikong kabibe
Lar. 5
Sa konong kaluban, ang hilig ng meridyano φ ay hindi magagamit bilang koordinado, dahil pareho ang halaga nito sa lahat ng punto. Sa halip nito ay ipinapakilala ang distansiyang s mula sa tuktok ng kupola na sinusukat sa kahabaan ng linya ng bumubuo (lar. 5). Ang normal na puwersa sa direksiyon ng meridyano ay ayon dito tinutukoy bilang Ns. Ang kinakailangang mga anyo ay maaaring makuha mula sa mga nakasaad sa ilalim ng 1 kapag isinagawa ang hanggahang paglipat. Mula sa ekwasyon (2) nakukuha sa ganitong paraan
at mula sa ekwasyong (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Para sa pinakamahahalagang kaso ng karga ay ginagamit ang mga sumusunod na pormula:
Grapikong pamamaraan para sa anumang hugis ng meridiyano
Fig. 6
Kapag ang kurba ng meridiano ay hindi ibinigay sa pamamagitan ng analitikong pahayag, kundi, halimbawa, sa grapikong paraan, napakahirap at napakaimpreciso ng pagtukoy sa radius ng kurbada. Sa ganitong kaso, mas angkop na gumamit ng grapikong pamamaraan (sl. 6).
Hinahati ang kalansay sa maraming eroplano φ=const., kinukwenta ang mga bigat Δ_R_ ng mga annular na sona na nasa pagitan ng mga eroplano at pinakamainam na agad na hatiin sa 2_π_. Ang mga puwersang ito ΔR/2π ay inilalapat sa plano ng mga puwersa (fig. 6b). Kung pagkatapos ay, halimbawa, sa pamamagitan ng puntong paghahati 7 ay iguguhit ang tuwid na linyang parallel sa tangent sa meridyan sa puntong meridyan 7, ang horizontal sa pamamagitan ng itaas na punto ng plano ng mga puwersa ay tatama rito sa haba na R1/2π sinφ7 kung saan, batay sa ekwasyon (2), sa pamamagitan ng paghahati sa katumbas na r ay nakukuha ang kaukulang normal na puwersa sa direksiyon ng meridyan.
Para sa pagtukoy ng mga puwersa sa mga singsing, ginagamit ang kundisyon ng balanse ng mga pahalang na puwersa sa isang elemento ng kaluban. Kung gumagana lamang ang mga patayong karga, ang kundisyong ito ay nagsasaad (fig. 4):
Kapag dito ang dφ ay pinalitan ng may hanggahang diperensiyang Δφ, na tumutugma sa pinagtibay na paghahati ng shell, at kapag sa halip na r1 dφ ay ilalagay ang haba na Δs ng elemento ng meridiano, mula rito ay nakukuha
Sa bracket sa kanang bahagi ay nakasaad ang seksyon ng isang pahalang na linya sa force diagram. Ang buong kanang bahagi, samakatwid, ay kumakatawan sa mga bahagi sa pagitan ng mga puntong panghati sa linyang ito. Upang mabasa ang mga ito nang sapat na tumpak, ang force diagram ay dapat iguhit nang maingat at sa sapat na malaking sukat.
Nakahatak at napipisil na mga singsing
Ang bawat shell na simetriko sa pag-ikot ay nililimitahan ng isa o dalawang pahalang na bilog (fig. 7). Sa mga gilid na ito, sa prinsipyo, maaari lamang itong tumanggap ng gayong mga karga at reaksiyon ng suporta na may direksiyong tangente sa meridyano. Kung ang mga panlabas na puwersa ay may ibang direksiyon, gaya ng kargang P mula sa itaas na bahagi ng konstruksyon o reaksyong S ng ilalim ng imbakan na ipinakita sa fig. 97, ang mga puwersang ito ay dapat, tulad ng ipinapakita sa larawan, hatiin sa mga bahagi sa direksiyon ng pahalang na bilog at ng tangente sa meridyano. Ang bahagi P/sinφ0 o S/sinφu ay katumbas ng normal na puwersa sa direksiyon ng meridyano Nφ na kumikilos sa bahaging iyon, samantalang para matanggap ang pahalang na puwersang Pctgφ0 o Sctgφu ay kailangan ang singsing na tumatanggap ng paghila, o presyon, at kung saan ang radial na kargang ito ay nagdudulot ng normal na puwersang + P r0 ctgφ0, o -S ru ctgφu. Ang gayong mga singsing, bukod sa mga gilid ng shell, ay dapat ding ilagay sa lahat ng mga lugar kung saan may pagputol ang kurba ng meridyano. Palagi nilang ginugulo ang membrane na estado ng mga stress.
Lar. 7
Mga stress dahil sa pagbaluktot sa mga shell na simetriko sa pag-ikot
Ang mga anyo ng teoryang membrano ay walang sapat na bilang ng mga konstante ng integrasyon upang matugunan ang lahat ng hangganang kondisyon na tunay na naaayon sa itinakdang suliranin. Lalo na sa mga rotasyonal na simetrikong kaluban, hindi maaaring makamit sa pamamagitan ng anumang angkop na pagpili ng mga konstante ng integrasyon na ang dilatasyon εϑ = Nϑ/Et sa direksiyong singsing sa kahabaan ng gilid ng kaluban ay maging katumbas ng kaukulang dilatasyon ng ibang bahaging konstruktibo na mahigpit na nakakabit dito sa puntong iyon. Ganoon din ito para sa mga kalubang kung saan sa kahabaan ng isang pahalang na bilog ay biglang nagbabago ang kurbada ng meridyan, kapal ng kaluban o kargang bawat yunit ng ibabaw. At kapag ang kaluban sa kahabaan ng isang gilid ay hindi pinatitigas ng singsing, ngunit sa bahaging ito ay may kargang mga puwersang may komponent sa direksiyon ng normal sa kaluban (hal. ang kargang P sa lar. 7 kapag inakalang tinanggal ang singsing), hindi nito matataglay ang gayong mga karga sa pamamagitan lamang ng mga membranong puwersa. Sa ganitong mga kaso, ang puwersang panggupit at mga momentong baluktot (lar. 8) ay may mahalagang papel sa distribusyon ng mga puwersa sa kaluban, na dapat isaalang-alang sa statikong pagkukuwenta.
Fig. 8
Ang tumpak na pagkalkula ng baluktot ng isang kalob, maliban sa pinakasimpleng espesyal na kaso ng silindrikong kalob, ay isang napakahirap na gawain. Para sa mga kalob na may maninipis na pader, maaaring buuin ang isang payak at lubhang kapaki-pakinabang na humahakbanging teorya na umaasa sa katotohanang kilala mula sa mahigpit na teorya, na ang mga tensyon dahil sa baluktot ay nakakulong sa isang medyo makitid na sona sa tabi ng gilid at mabilis na nababawasan habang lumalaki ang layo mula sa gilid. Nagbibigay ito-daan upang huwag pansinin ang maraming mga termino sa eksaktong diferensiyal na ekwasyon, kaya nagkakaroon ito ng pinasimpleng anyo.
Kung sa loob ng borderline na tanging interesanteng κ ay mapapalitan ng katamtamang halaga, at ito ay halos palaging posible, ang solusyon ng ekwasyon ay
Ekw. 4 at 5
kung saan ang a1, b1, a2, b2 ay mga integrasyon na konstante. Dahil ang solusyon ay kawili-wili lamang sa malapit sa gilid na φ=φ0, mabuting ipakilala ang anggulong layo na ω=φ0-φ o ω=φ-φ0 mula sa gilid na ito bilang koordinado, kaya sa pag-transform ng nabanggit na solusyon sa itaas ay nakukuha ang pangalawang pahayag na binanggit. Dito lumilitaw lamang ang dalawang integrasyon na konstante A, B o C, ψ, sapagkat ang ikalawang bahagi ng solusyon na naglalaman ng salik na eκω, at samakatuwid ay hindi bumababa sa pagtaas ng ω, ay maaaring alisin sa pagsasaalang-alang.
Batay sa ekwasyon 5 nakukuha ang mga sumusunod na halaga para sa mga puwersang seksiyonal at pag-ikot κ ng tangent ng meridyan:
Mga tensiyon dahil sa pagyuko sa mga imbakan na hugis pabilog na silindro
Ipagpalagay na ang isang silindrikong reservoir na may taas na h ay puno ng tubig (fig. 9); kung gayon, sa taas na x sa itaas ng dalawang reservoir, ang presyur ng tubig ay p=γ(h-x). Kung sa taas na ito ay gupitin mula sa reservoir ang isang singsing sa pagitan ng dalawang pahalang na seksiyon na may pagitan na dx. at hatiin ito sa kahabaan ng isang diyametro sa dalawang bahagi, ang kondisyon ng balanse ng isa sa mga ito ay nagbibigay ng membranong puwersa sa singsing na Nφ=pa. Kung ang kapal ng reservoir sa bahaging ito ay t, ang dilatasyon sa singsing ay εφ=Nφ/Et at samakatuwid ang pagtaas ng radius ng reservoir (pagbaluktot) ay
Sa ibabang gilid x=0 ay samakatuwid
Lar. 9
Ni isa man sa dalawa ay karaniwang hindi umaayon sa mga boundary condition, sapagkat ang pagde-deform ng pader ay napipigilan dahil sa pagkakaugnay nito sa ilalim ng reservoir. Sa gayong kalagayan, sa ugnayan ng ilalim at ng pader ng silindro ay lumilitaw ang mga transversal na puwersa Qx0 at mga momentong Mx0 (fig. 11), na ang laki ay dapat matukoy sa paraang, kasama ng bagong nakalkulang mga membranong puwersa sa shell, ay magdulot ng deformasyong ito sa gilid ng shell na pinahihintulutan ng ilalim.
Fig. 10, 11, 12, ayon sa pagkakasunod
Sa fig. 11 ipinakita ang elemento ng balát na dx*a dφ na may mga puwersang kumikilos dito. Ang kondisyon ng balanse ng mga puwersa sa direksiyon ng normal sa balát ay nagbibigay
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
kung saan sa pamamagitan ng paghahati sa dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Mula sa kundisyong ang sandali sa paligid ng pahalang na tangent sa silindro ay sero, nakukuha ang:
dM/dx = M’x = Qx
Sa pag-aalis ng transbersal na puwersa Qx mula sa dalawang ekwasyong ito, sumusunod na
a M’’x + Nφ = p a.
Eq. 6
Sa ekwasyong ito, ang mga hindi pa alam na puwersang pansalubong na ito ay maaaring ipahayag sa tulong ng mga pagliyad w. Para sa Nφ ay nahanap na Nφ=Etw/a, at ang moment ay proporsiyonal sa kurbada ng meridyano w’’, ibig sabihin Mx=Kw’’, kung saan gaya rin ng sa mga plate K=Et3/12(1-μ2) ang tigas ng shell, na maaaring magbago ayon sa x. Kung ang mga ekspresyong ito para sa karaniwang mga puwersa ay ipasok sa ekwasyon (6), makukuha ang diferensiyal na ekwasyon ng teorya ng imbakan:
Para sa tangke na ang kapal ng pader ay hindi nagbabago, ang solusyon ay ganito:
Isa.7
kung saan ang λ4=3(1-μ2)/a2t2. Kung malaki ang λh (sabihin na nating, mas malaki sa 3), mas mainam na sa halip na mga hyperbolic na punsiyon ay ipakilala ang mga eksponensiyal, kaya:
Isa.8
Pagkatapos ay maaari nang matukoy nang hiwa-hiwalay sa isa’t isa ang mga konstante A1, B1 mula sa mga kundisyong panghangganan sa ibabang gilid, at ang mga konstante A2, B2 mula sa mga kundisyong panghangganan sa itaas na gilid, kung saan ayon sa panuntunan ay nakukuha ang A2=B2=0. Batay sa ekwasyon (8) at (7), nakukuha ang mga puwersang panggupit, kapag isinagawa ang pagkukuwenta sa kabaligtarang direksyon at saanman ay ipinakilala ang ekwasyon (8) at (7); kaya halimbawa para sa A2=B2=0:
Kapag ang mga pader ng tangke ay matibay na nakabaon sa plato, sa ilalim ng tangke na sapat na makapal upang maituring na matigas, ang mga konstante A1, B1 ay dapat tukuyin mula sa mga kundisyon na x=0, w=0 at w’=0 at makukuha ang:
Kung ang ilalim ng imbakan ay isang elastikong plato o kaluban, ang mga pwersang pahalang Qx at mga momentong Mx sa kahabaan ng gilid na bilog sa pagitan ng ilalim at ng dingding ng silindro ay dapat tukuyin sa pamamagitan ng mga metodo ng teorya ng mga statically indeterminate na sistema batay sa kahilingang ang Mx at w’ para sa kapwa bahagi ay may iisang halaga.