Пӯстҳо унсурҳои рӯизаминӣ номида мешаванд, ки сатҳи миёнаи онҳо ҳамвор нест, балки ба таври назаррас барҷаста аст. Рафтори статикӣи онҳо аз рафтори тахта хеле фарқ мекунад. Ҳангоми доштани шакли мувофиқ, шиддатҳои онҳо хеле камтар, сахтии онҳо ба таври мувофиқ бештар ва ҳисоб дар аксари ҳолатҳо соддатар аст.
Шиддати ҳар як қабатро метавон ба ду қисм ҷудо кард: шиддати мембранавӣ ва хамиш. Шиддатҳои мембранавӣ, ба мисли шиддатҳои плитае, ки дар ҳамвории худ борбардорӣ шудааст, метавонанд бо ёрии қувваҳои буришӣ дар ҳамвории тангенсӣ ифода шаванд – инҳо, масалан, дар буриши x=const. қувваи нормалӣ _Nx=_σx*t ва қувваи буришӣ _Nxy=_τxy*t мебошанд, ки дар он t ғафсии қабат аст. Шиддатҳо аз сабаби хамиш ҳамонанди плитаҳо мебошанд ва метавонанд бо моментҳои хамиш Mx, моментҳои торсионӣ Mxy ва қувваҳои буришӣ Qx нишон дода шаванд.
Хусусиятҳои муҳими қабатҳо бар он асос меёбанд, ки одатан шиддатҳои аз сабаби хамиш ба андоза ва аҳамияти шиддатҳои мембранавӣ намерасанд, аз ин рӯ онҳоро бисёр вақт тамоман нодида гирифтан мумкин аст. Дар ин ҳолат ҳамаи шиддатҳо дар тамоми ғафсии қабат баробар тақсим шуда, ба сатҳи миёна тангенсӣ таъсир мекунанд. Ҳисобҳое, ки ба ин фарзияҳо асос меёбанд, ба доираи назарияи мембранавии қабатҳо дохил мешаванд.
Назарияи мембранавии пуфакҳои гардишсимметрӣ таҳти боркунии гардишсимметрӣ
Формулаҳои умумӣ
Барои хатҳои координатӣ меридианҳо ва доираҳои параллел дар сатҳи миёнаи пӯсти тунук қабул карда мешаванд, бинобар ин координатаҳо чунинанд: азимут ϑ (“тулӣ ҷуғрофӣ”) ва майли φ-и тангенс ба меридиан нисбат ба ҳамвори амуд ба меҳвари симметрия (расм 1a). Аз ин рӯ, қувваҳои буришӣ инҳоянд: қувваи нормалӣ Nφ дар самти меридиан ва қувваи нормалӣ Nϑ дар ҳалқа (расм 1b). Қувваҳои буришии Nφϑ ҳангоми шиддати ротатсионию симметрӣ ба вуҷуд намеоянд. Бор ба воҳиди сатҳ чунин нишон дода мешавад (расм 1b): Y тангенсиалӣ ба меридиан, мусбат дар самте, ки φ меафзояд, Z амуд ба пӯст, мусбат ба самти меҳвари симметрия.
Рас. 1
Расм. 2
Бигузор радиуси каҷшавии меридиан r1 бошад. Он функсияи кунҷи φ аст, бинобар ин шакли меридиан бо муодилаи _r1=r1(_φ) муайян мешавад. Инро метавон ҳамчун муодилаи меридиан қабул кард ва, масалан, чунин аст.
барои доира r1=a=const.
барои парабола r1=a/cos3__φ
барои эллипс r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Барои ҳисоб кардани қувваи муътадил N__φ дар самти меридиан бояд шарти мувозинати қисми пӯстае, ки аз доираи параллелии φ боло ҷойгир аст, гузошта шавад (расм. 2). Натиҷааи R борҳои Y ва Z, ки ба ин қисм таъсир мекунанд, бинобар симметрия амудӣ аст. Андозаи он бо интегргузорӣ аз рӯи сатҳи пӯста аз φ’=0 то φ’=φ ба даст меояд. Масоҳати элементи пӯста dF=r1d__φ’*rd__ϑ аст, бинобар ин ҷузъи амудии борбардорӣ (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF мебошад. Барои тамоми қисми ҳалқавии пӯста, ки байни доираҳои φ’ ва φ’+dφ’ ҷойгир аст, натиҷааи борбардории беруна чунин аст:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
аз он ҷо, бо интегралгирӣ аз рӯи φ’ барои қисми пӯста, ки болотар аз доираи параллелии φ’=φ ҷойгир аст, ба даст меояд:
Муод. 1
Ин борро қувваҳои нормалӣ дар самти меридиан қабул мекунанд, ки дар гирди давраи дидашуда таъсир мекунанд; ҷузъи амудии результати ин қувваҳо 2__πr * N__φ sin__φ, мебошад, бинобар ин аз баробаркунӣ қувваи нормалии талабшуда ҳосил мешавад
Форм. 2
Агар қабат дар қисми болоӣ дар доираи φ=φ0 бурида шуда бошад (масалан, сӯрохи рӯшноидар дар гунбаз), ҳадди поёнии интеграл, албатта, φ0 аст, на сифр. Агар дар канори қабате, ки ба ин тарз ба вуҷуд омадааст, борбардории R0 низ таъсир кунад, онро низ бояд ба натиҷанависандаи R илова кард (рас. 3).
Рас. 3
Барои муайян кардани қувваи нормалӣ N__ϑ бояд шарти мувозинати унсури пӯст дар самти перпендикуляр ба ҳамвории тангенсиалӣ гузошта шавад (рас. 4). Резултантаи борбардории беруна дар ин самт баробар аст ба Z r1 d__φ r d__ϑ. Қувваҳои N__φ*r d__ϑ, ки дар ҳамвории меридионалӣ ҷойгиранд, байни худ кунҷи хурди d__φ месозанд, бинобар ин результантаи онҳо дар самти нормали ба пӯст N__φ r d__ϑ*dφ мебошад. Ба ҳамин монанд, қувваҳои Nϑ r1 dφ, ки дар ҳамвории доираи уфуқӣ ҷойгир буда, байни худ кунҷи dϑ месозанд, результантаи Nϑ r1 dφ*dϑ доранд, ки он низ дар ҳамвории доираи уфуқӣ ҷойгир буда, бинобар ин бо нормали ба пӯст кунҷи 0,5_π-φ_ месозад, аз ин рӯ дар шарти мувозинат танҳо ҷузъи он Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ дохил мешавад. Аз ин рӯ, шарти мувозинат чунин аст
ё ҳангоме ки ба r r1 dϑ dφ тақсим карда мешавад:
Як.3
Дар ин ҷо бо r2=r/sinφ радиуси дуюми асосии каҷшавии парда нишон дода шудааст.
Шакл. 4
Гумбази доирашакл
Вақте ки шакли меридиан ба таври аналитикӣ бо муодилаи r1=r1(φ) дода шудааст ва барои сарбориҳои Y(φ) ва Z(φ) ифодаҳои аналитикӣ мавҷуданд, қувваҳои буришӣ дар қабатро ҳамеша бо интегратсия дар шакли пӯшида ё ба таври рақамӣ, бо истифода аз қоидаи Симпсон, муайян кардан мумкин аст. Барои гунбази доиравии диаметраш a дар поён барои баъзе ҳолатҳои борбардорӣ қувваҳои буришӣ дода мешаванд:
Формулаи охирин, ки барои φ=0 қувваҳои буриши беандоза калон медиҳад, танҳо дар масофаи муайян аз нуқтаи таъсири қувва эътибор дорад. Дар наздикии бевоситаи ҷои таъсири қувва, ҳатто вақте ки он дар сатҳи доираи диаметри ниҳоӣ, вале хурд тақсим шудааст, борбардорӣ асосан тавассути хамшавӣ интиқол меёбад.
Шаклҳои барои пӯстҳои дар қисми боло кушода метавонанд аз шаклҳои пешина бароварда шаванд, агар ба боркунии воқеӣ дар қулла бори хаёлии P илова карда шавад, ки бузургии он чунин муайян карда мешавад: агар қувваи умумии нормалӣ дар самти меридиан, ки дар канори болоии пӯсти φ=φ0 амал мекунад, Nφ=0 бошад, ё ба ягон арзиши аз ҷониби қувваҳои берунӣ муайяншуда, ки пӯст дар ин ҷо қабул мекунад, баробар бошад.
Пӯсти конусӣ
Расм. 5
Дар пӯлфи конусӣ нишебии меридиан φ ҳамчун координата истифода бурда намешавад, зеро он дар ҳамаи нуқтаҳо як арзиш дорад. Ба ҷои он масофаи s аз қуллаи гунбаз, ки дар тӯли тавлидкунанда чен карда мешавад, ворид карда мешавад (рас. 5). Қувваи нормалӣ дар самти меридиан мувофиқи ин бо Ns ишора карда мешавад. Формулаҳои заруриро аз зикршудаҳои зери 1 ҳангоми гузариши сарҳадӣ ҳосил кардан мумкин аст. Аз муодилаи (2) бо ин роҳ ба даст меояд
а аз муодилаи (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Барои муҳимтарин ҳолатҳои борбардорӣ формулаҳои зерин амал мекунанд:
Усули графикӣ барои шакли ихтиёрии меридиан
Рақ. 6
Вақте ки каҷи меридиан бо ифодаи аналитикӣ дода нашудааст, балки, масалан, графикӣ бошад, муайян кардани радиуси каҷшавӣ хеле душвор ва хеле нодуруст аст. Дар ин ҳолат истифодаи тартиби графикӣ мувофиқтар аст (sl. 6).
Парда бо шумораи зиёди ҳамворҳои φ=const. ҷудо карда мешавад, вазнҳои минтақаҳои ҳалқавии Δ_R_, ки байни ҳамворҳо ҷойгиранд, ҳисоб карда мешаванд ва беҳтараш фавран ба 2_π_ тақсим карда мешаванд. Ин қувваҳои ΔR/2π дар нақшаи қувваҳо гузошта мешаванд (расм 6b). Агар баъд, масалан, аз нуқтаи тақсимоти 7 хате параллел ба тангенс ба меридиан дар нуқтаи меридиани 7 кашида шавад, горизонтал аз нуқтаи болоии нақшаи қувваҳо дар он порчаи R1/2π sinφ7 мебурад, ки аз он бар асоси муодилаи (2) бо тақсим кардан ба r мувофиқ, қувваи нормалии мувофиқ дар самти меридиан ба даст меояд.
Барои муайян кардани қувваҳо дар ҳалқаҳо шарти мувозинати қувваҳои уфуқӣ дар як унсури қабат хизмат мекунад. Агар танҳо сарбориҳои амудӣ таъсир кунанд, ин шарт чунин аст (тас. 4):
Вақте ки дар ин ҷо dφ бо фарқи ниҳоии Δφ иваз карда мешавад, ки ба тақсимоти қабулшудаи пӯст мувофиқат мекунад ва ба ҷойи r1 dφ дарозии Δs-и элементи меридиан ворид карда мешавад, аз ин ҷо ҳосил мешавад
Дар қавси тарафи рост буриши амудӣ дар хати уфуқӣ дар нақшаи қувваҳо ҷойгир аст. Аз ин рӯ, тамоми тарафи рост буришҳоро байни нуқтаҳои тақсимкунанда дар ин хати рост ифода мекунад. Барои он ки онҳоро ба қадри кофӣ дақиқ бихонем, нақшаи қувваҳо бояд бодиққат ва дар миқёси ба қадри кофӣ калон кашида шавад.
Ҳалқаҳои кашидашуда ва фишурдашуда
Ҳар як қабати гардишсимметрӣ бо як ё ду доираи уфуқӣ маҳдуд мешавад (рас. 7). Дар ин канорҳо он, аслан, танҳо чунин борҳо ва реаксияҳои такягоҳро қабул карда метавонад, ки самти онҳо ба тангенси меридиан рост меояд. Агар қувваҳои беруна самти дигар дошта бошанд, масалан, борбардории P аз қисми болоии конструксия ё реаксияи S поёни зарфе, ки дар рас. 97 нишон дода шудааст, ин қувваҳо бояд, тавре дар расм нишон дода шудааст, ба ҷузъҳо дар самти доираи уфуқӣ ва тангенси меридиан таҷзия карда шаванд. Ҷузъи P/sinφ0 ё S/sinφu ба қувваи нормалӣ дар самти меридиан Nφ баробар аст, дар ҳоле ки барои қабул кардани қувваи уфуқии Pctgφ0 ё Sctgφu ҳалқае лозим аст, ки кашиш ё фишорро қабул мекунад ва дар он ин борбардории радиалӣ қувваи нормалии + P r0 ctgφ0, яъне -S ru ctgφu-ро ба вуҷуд меорад. Чунин ҳалқаҳо, ғайр аз канорҳои қабат, бояд дар ҳамаи он ҷойҳое низ гузошта шаванд, ки каҷии меридиан шикаст дорад. Онҳо ҳамеша халал ба ҳолати мембранавии шиддатҳо меоранд.
Рас. 7
Напряжения вследствие изгиба в вращательно-симметричных оболочках
Формулаҳои назарияи мембранӣ миқдори кофии доимҳои интегратсионӣ надоранд, то ҳамаи шартҳои сарҳадие, ки воқеан ба масъалаи гузошташуда мувофиқат мекунанд, иҷро шаванд. Хусусан дар мавриди пӯлфҳои симметрияи даврзананда, бо интихоби мувофиқи доимҳои интегратсионӣ имкон надорад, ки дарозиш εϑ = Nϑ/Et ба самти ҳалқа дар канори пӯлф бо дарозиши мувофиқи ягон қисми дигари конструктивӣ, ки дар ҳамон ҷо бо он сахт пайваст аст, баробар гардад. Ин ҳамчунин ба пӯлфҳое дахл дорад, ки дар тӯли як ҳалқаи уфуқӣ каҷии меридиан, ғафсии пӯлф ё борбардорӣ ба як воҳиди масоҳат якбора тағйир меёбад. Ҳатто вақте ки пӯлф дар тӯли ягон канор бо ҳалқа сахт карда нашудааст, вале дар ҳамин ҷо бо қувваҳое бор шудааст, ки ҷузъе дар самти нормали пӯлф доранд (масалан, борбардории P дар рас. 7 ҳангоми тасаввур кардани он ки ҳалқа бардошта шудааст), он наметавонад чунин борҳоро танҳо тавассути қувваҳои мембранӣ қабул кунад. Дар чунин ҳолатҳо қувваи буришӣ ва моментҳои хамшавӣ (рас. 8) дар тақсимоти қувваҳо дар пӯлф нақши муҳим мебозанд, ки дар ҳисобҳои статикӣ бояд ба назар гирифта шаванд.
Рас. 8
Ҳисоби дақиқи пӯста барои хамшавӣ, ба ғайр аз ҳолати махсуси содатарини пӯсти силиндрӣ, вазифаи хеле душвор аст. Барои пӯстҳои деворашон тунук метавон назарияи содда ва хеле муфиди тахминиеро сохт, ки ба ҳақиқате, ки аз назарияи қатъӣ маълум аст, такя мекунад: шиддатҳо аз сабаби хамшавӣ дар минтақаи нисбатан танги канори наздик маҳдуд мешаванд ва бо зиёд шудани масофа аз канор зуд кам мешаванд. Ин имкон медиҳад, ки шумораи зиёди аъзои баробарии дифференсиалии дақиқ сарфи назар карда шаванд ва он шакли соддакардашударо гирад.
Агар дар дохили тири канорӣ, ки танҳо κ ҷолиб аст, арзиши миёна иваз карда шавад, ва ин қариб ҳамеша имконпазир аст, ҳалли муодила чунин аст
Як. 4 ва 5
ки дар он a1, b1, a2, b2 доимҳои интегралӣ мебошанд. Азбаски ҳал танҳо дар наздикии канори φ=φ0 ҷолиб аст, мувофиқ аст, ки фосилаи кунҷии ω=φ0-φ ё ω=φ-φ0 аз ин канор ҳамчун координата ворид карда шавад, ва он гоҳ бо табдили ҳалли боло зикршуда ифодаи дигари овардашуда ба даст меояд. Дар ин ҷо танҳо ду доимии интегралӣ A, B ё C, ψ пайдо мешаванд, зеро қисми дигари ҳалл, ки дорои зарби eκω аст ва бинобар ин бо афзоиши ω кам намешавад, метавонад аз баррасӣ хориҷ карда шавад.
Дар асоси муодилаи 5 арзишҳои зерин барои қувваҳои буриш ва гардиши κ-и тамоси меридиан ба даст меоянд:
Шиддатҳо аз сабаби хамшавӣ дар зарфҳои шакли силиндраи даврашакл
Бигзор зарфи силиндрии баландии h бо об пур бошад (рас. 9), пас дар баландии x аз болои ду зарф фишори об p=γ(h-x). Агар дар ин баландӣ аз ду буриши уфуқӣ бо масофаи dx. аз зарф ҳалқае бурида шавад ва ин ҳалқа дар тӯли як диаметраш ба ду қисм ҷудо карда шавад, шарти мувозинати яке аз онҳо қувваи мембранаро дар ҳалқа медиҳад Nφ=pa. Агар ғафсии зарф дар ин ҷой t бошад, дарозшавии ҳалқа εφ=Nφ/Et аст ва бинобар ин афзоиши радиуси зарф (хамидашавӣ) чунин аст
Дар канори поёнии x=0 бинобар ин
Рас. 9
Ҳеҷ кадоме аз ин ду, қоидаан, ба шартҳои канорӣ мувофиқат намекунад, зеро деформатсияи девор бо сабаби пайвастагӣ бо пояи зарф пешгирӣ мешавад. Ҳангоми ин дар пайвасти байни поя ва девори силиндр қувваҳои трансверсалӣ Qx0 ва моментҳо Mx0 (расм 11) пайдо мешаванд, ки бузургии онҳо бояд чунин муайян карда шавад, ки онҳо ҳамроҳ бо қувваҳои мембранавии ба тозагӣ ҳисобшуда дар пӯст ин деформатсияро дар канори пӯст, ки аз ҷониби поя иҷозат дода мешавад, ба вуҷуд оранд.
Расм. 10, 11, 12, мутаносибан
Дар sl. 11 элементи қабат dx*a dφ бо қувваҳое, ки ба он таъсир мекунанд, нишон дода шудааст. Шарти тавозуни қувваҳо дар самти амуд ба қабат медиҳад
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
аз он ҷо бо тақсим кардан ба dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Аз шарте, ки моменти атрофи тангенси уфуқӣ ба силиндр сифр аст, чунин ҳосил мешавад:
dM/dx = M’x = Qx
Бо бартараф кардани қувваи трансверзалӣ Qx аз ин ду муодила ҳосил мешавад
a M’’x + Nφ = p a.
Ҷум. 6
Дар ин муодила ин қувваҳои буриши номаълумро метавон ба воситаи хами w ифода кард. Барои Nφ аллакай ёфт шудааст Nφ=Etw/a, ва моменти хамшавӣ ба каҷии меридиан w’’ мутаносиб аст, яъне Mx=Kw’’, ки дар он, мисли плитаҳо, K=Et3/12(1-μ2) сахтии пӯст аст ва он метавонад бо x тағйирёбанда бошад. Агар ин ифодаҳо барои қувваҳои миёна ба муодилаи (6) ҷой дода шаванд, муодилаи дифференсиалии назарияи резервуар ба даст меояд:
Барои резервуари дорои ғафсии девори доимӣ ҳалли масъала чунин аст:
Як.7
ки дар он λ4=3(1-μ2)/a2t2. Агар λh калон бошад (масалан, аз 3 зиёдтар), беҳтар аст ба ҷои функсияҳои гиперболикӣ функсияҳои экспоненсиалӣ ворид карда шаванд, пас:
Як.8
Он гоҳ константаҳои A1, B1 метавонанд мустақилона аз ҳамдигар аз шароити сарҳадӣ дар канори поёнӣ, ва константаҳои A2, B2 аз шароити сарҳадӣ дар канори болоӣ муайян карда шаванд, ки дар ин ҳолат одатан A2=B2=0 ба даст меояд. Бар асоси муодилаҳои (8) ва (7) қувваҳои буришӣ ҳосил мешаванд, вақте ки ҳисоб ба самти баръакс анҷом дода шуда, дар ҳама ҷо муодилаҳои (8) ва (7) ворид карда мешаванд; масалан, барои A2=B2=0:
Вақте ки деворҳои резервуар дар плита сахт маҳкам карда шудаанд, дар таги резервуаре, ки ба қадри кофӣ ғафс аст, то сахт ҳисобида шавад, константаҳои A1, B1 бояд аз шартҳои x=0, w=0 ва w’=0 муайян карда шаванд, пас ҳосил мешавад:
Агар поёни зарф лавҳаи эластикӣ ё пӯлод бошад, қувваҳои транзверсалӣ Qx ва моментҳои Mx дар тӯли ҳалқаи канорӣ байни поён ва девори силиндрро бояд бо усулҳои назарияи системаҳои статикӣ номуайян бар асоси талаботе муайян кард, ки Mx ва w’ барои ҳар ду қисм як арзиш дошта бошанд.