شیلوں سے مراد وہ سطحی حامل ہیں جن کی درمیانی سطح ہموار نہیں بلکہ واضح طور پر ابھری ہوئی ہوتی ہے۔ ان کا ساکن رویہ پلیٹ کے رویے سے خاصا مختلف ہوتا ہے۔ جب ان کی شکل مناسب ہو تو ان پر تناؤ کہیں کم، ان کی سختی مناسب حد تک زیادہ، اور حساب اکثر زیادہ سادہ ہوتا ہے۔
ہر خول کے تناؤ کو دو حصوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے: جھلی نما تناؤ اور خم۔ جھلی نما تناؤ، اسی طرح جیسے اپنے ہی رُخ میں لوڈ کی گئی پلیٹ کے تناؤ، مماسی سطح میں کٹاؤی قوتوں کے ذریعے ظاہر کیے جا سکتے ہیں – مثلاً قطعہ x=const. میں نارمل قوت _Nx=_σx*t اور کٹاؤی قوت _Nxy=_τxy*t، جہاں t خول کی موٹائی ہے۔ خم سے پیدا ہونے والے تناؤ پلیٹوں کی طرح ہی ہوتے ہیں اور انہیں خمشی مومینٹ Mx، مروڑی مومینٹ Mxy اور کٹاؤی قوت Qx کے ذریعے ظاہر کیا جا سکتا ہے۔
خول کی اہم خصوصیات اس حقیقت پر مبنی ہیں کہ عموماً خم سے پیدا ہونے والے تناؤ نہ تو جھلی نما تناؤ کی مقدار کے برابر ہوتے ہیں اور نہ ہی ان جیسی اہمیت رکھتے ہیں، اس لیے انہیں اکثر مکمل طور پر نظرانداز کیا جا سکتا ہے۔ اس صورت میں تمام تناؤ خول کی موٹائی میں یکساں تقسیم ہوتے ہیں اور درمیانی سطح پر مماسی طور پر عمل کرتے ہیں۔ ان مفروضوں پر مبنی حسابات خولوں کی جھلی نظریے کے دائرے میں آتے ہیں۔
گردشی طور پر ہم مرکز خولوں کی نظریۂ جھلی تحت گردشی طور پر ہم مرکز بوجھ
عمومی فارمولے
کوآرڈینیٹ لکیروں کے لیے خول کی درمیانی سطح میں میریڈیئن اور متوازی دائروں کو اختیار کیا جاتا ہے، لہٰذا کوآرڈینیٹس یہ ہیں: ازیموت ϑ (“عرضِ بلد”) اور میریڈیئن پر مماس کا زاویہ φ، اس سطح کے نسبت جو توازنِ محور پر عمود ہو (شکل 1a)۔ اس کے مطابق قطعِ اجزا قوتیں یہ ہیں: نارمل قوت Nφ میریڈیئن کی سمت میں اور نارمل قوت Nϑ حلقے میں (شکل 1b)۔ کترنی قوتیں Nφϑ گردشی ہم مرکز تناؤ میں ظاہر نہیں ہوتیں۔ فی اکائی سطح بوجھ اس طرح ظاہر کیا جاتا ہے (شکل 1b): Y میریڈیئن کے مماس میں، مثبت اس سمت میں جس میں φ بڑھتا ہے، Z خول کے عمود میں، مثبت توازنِ محور کی طرف۔
نمبر1
نمبر2
فرض کریں کہ میریڈیئن کی خمیدگی کا نصف قطر r1 ہے۔ یہ زاویے φ کا ایک تابع ہے، لہٰذا مساوات _r1=r1(_φ) سے میریڈیئن کی شکل متعین ہوتی ہے۔ اسے میریڈیئن کی مساوات سمجھا جا سکتا ہے اور مثلاً یوں لکھا جاتا ہے۔
دائرے کے لیے r1=a=const.
قطعِ قطعہ کے لیے r1=a/cos3__φ
بیضی کے لیے r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
مریدین کے رخ میں عمودی قوت N__φ کا حساب لگانے کے لیے اس خول کے اس حصے کے توازن کی شرط لگانی چاہیے جو متوازی دائرہ φ کے اوپر واقع ہے (شکل 2). اس حصے پر اثر انداز ہونے والے بوجھ Y اور Z کی حاصلِ جمع، ہم آہنگی کی بنا پر، عمودی ہے۔ اس کی مقدار خول کی سطح پر φ’=0 سے φ’=φ تک تکامل کر کے حاصل کی جاتی ہے۔ خول کے عنصر کی سطح dF=r1d__φ’*rd__ϑ ہے، اس لیے بوجھ کا عمودی جزو (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF ہوگا۔ دائری خط φ’ اور φ’+dφ’ کے درمیان واقع خول کے پورے حلقہ نما حصے کے لیے بیرونی بوجھ کی حاصلِ جمع یہ ہے:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
جہاں φ’ کے لحاظ سے انٹیگریشن کرنے سے، اس شیل کے حصے کے لیے جو متوازی دائرے φ’=φ کے اوپر واقع ہے، حاصل ہوتا ہے:
مساوات 1
اس بوجھ کو میریڈیئن کی سمت میں معمولی قوتیں برداشت کرتی ہیں، جو دیکھی گئی دائرے کے محیط پر عمل کرتی ہیں؛ ان قوتوں کے نتیجے کی عمودی جزو 2__πr * N__φ sin__φ, ہے، لہٰذا برابر کرنے سے مطلوبہ معمولی قوت حاصل ہوتی ہے
مساوات 2
اگر خول اوپر والے حصے میں دائرہ φ=φ0 کے ساتھ کاٹ دیا گیا ہو (مثلاً گنبد میں روشنی کے لیے کھلکی)، تو تکمل کی نچلی حد ظاہر ہے φ0 ہوگی، صفر نہیں۔ اگر اس طرح بننے والے خول کے کنارے پر R0 کا بوجھ بھی عمل کر رہا ہو تو اسے بھی نتیجہ خیز قوت R (شکل 3) میں شامل کرنا چاہیے۔
نمبر3
نارمل قوت N__ϑ کے تعین کے لیے خول کے عنصر کی توازن کی شرط مماسی سطح پر عموداً قائم کی جاتی ہے (شکل 4). اس سمت میں بیرونی بوجھ کا نتیجہ Z r1 d__φ r d__ϑ ہے۔ قوتیں N__φ*r d__ϑ جو میریڈیانی سطح میں واقع ہیں آپس میں چھوٹا زاویہ d__φ بناتی ہیں، لہٰذا خول پر عمود کی سمت میں ان کا نتیجہ N__φ r d__ϑ*dφ ہے۔ اسی طرح قوتیں Nϑ r1 dφ جو افقی دائرے کی سطح میں واقع ہیں اور آپس میں زاویہ dϑ بناتی ہیں، ان کا نتیجہ Nϑ r1 dφ*dϑ ہوتا ہے جو بھی افقی دائرے کی سطح میں واقع ہے اور اس لیے خول کے عمود کے ساتھ زاویہ 0,5_π-φ_ بناتا ہے، چنانچہ توازن کی شرط میں صرف ان کا جز Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ شامل ہوتا ہے۔ اس بنا پر توازن کی شرط یوں ہے
یا، جب اسے r r1 dϑ dφ سے تقسیم کیا جائے:
ایک۔3
یہاں r2=r/sinφ سے خول کے گھماؤ کا دوسرا بنیادی نصف قطر مراد ہے۔
نمبر4
گول گنبد
جب میریڈیئن کی شکل کو تجزیاتی طور پر مساوات r1=r1(φ) سے دیا گیا ہو اور بوجھوں Y(φ) اور Z(φ) کے لیے تجزیاتی اظہار معلوم ہوں، تو خول میں کاٹنے والی قوتیں ہمیشہ مخلوط صورت میں تکمل لے کر یا عددی طور پر Simpson- کے قاعدے کے ذریعے معلوم کی جا سکتی ہیں۔ قطر a کے ایک دائرہ نما گنبد کے لیے ذیل میں بعض لوڈنگ حالات کی کاٹنے والی قوتیں دی گئی ہیں:
آخری فارمولا، جو φ=0 کے لیے نہایت بڑی shear forces دیتا ہے، صرف قوت کے حملہ نقطے سے ایک خاص فاصلے پر درست ہے۔ قوت لگنے کی جگہ کے بالکل قریب، حتیٰ کہ جب وہ محدود مگر چھوٹے قطر والے دائرے کی سطح پر تقسیم ہو، بوجھ بنیادی طور پر bending کے ذریعے منتقل ہوتا ہے۔
اوپر سے کھلی ہوئی خولوں کے لیے خاکے پہلے بیان کردہ طریقے سے اخذ کیے جا سکتے ہیں، اگر حقیقی بوجھ میں سرے پر ایک فرضی بوجھ P شامل کیا جائے، جس کی مقدار اس طرح مقرر کی جاتی ہے کہ خول کے اوپری کنارے پر مرشدیان کی سمت میں عمل کرنے والی کل عمودی قوت φ=φ0 برابر Nφ=0 ہو، یا کسی ایسی قیمت کے برابر ہو جو خول کو یہاں ملنے والی خارجی قوتوں سے طے ہوتی ہے۔
مخروطی خول
نمبر5
مخروطی خول میں مرہٹ کا جھکاؤ φ کو بطور مختصات استعمال نہیں کیا جا سکتا، کیونکہ اس کی ہر جگہ ایک ہی قدر ہوتی ہے۔ اس کے بجائے گنبد کے سرے سے مولد کے ساتھ ناپا گیا فاصلہ s متعارف کرایا جاتا ہے (شکل 5)۔ اسی کے مطابق مرہٹ کی سمت میں عمودی قوت کو Ns سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ مطلوبہ فارمولے مذکورہ 1 سے حدی انتقال کرنے پر حاصل کیے جا سکتے ہیں۔ مساوات (2) سے اس طرح
اور مساوات (3) سے
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
بوجھ کی اہم ترین صورتوں کے لیے درج ذیل فارمولے لاگو ہوتے ہیں:
میریدیان کی کسی بھی شکل کے لیے گرافیائی طریقۂ کار
نمبر6
جب میریڈیئن منحنی تجزیاتی اظہار سے نہ دی گئی ہو بلکہ مثلاً گرافیکی طور پر دی گئی ہو، تو خم کے نصف قطر کا تعین بہت مشکل اور بہت غیر دقیق ہوتا ہے۔ اس صورت میں گرافیکی طریقہ استعمال کرنا زیادہ موزوں ہے (شکل 6).
خول کو متعدد سطحوں φ=const. سے تقسیم کیا جاتا ہے، ان حلقہ نما زونوں کے وزن Δ_R_ کا حساب لگایا جاتا ہے جو ان سطحوں کے درمیان واقع ہیں اور بہتر ہے کہ انہیں فوراً 2_π_ سے تقسیم کر دیا جائے۔ یہ قوتیں ΔR/2π قوتوں کے خاکے میں رکھی جاتی ہیں (شکل 6b)۔ اگر پھر، مثلاً، تقسیمی نقطہ 7 سے سیدھی لکیر مرِڈیئن کے نقطے 7 پر مماس کے متوازی کھینچی جائے، تو قوتوں کے خاکے کے بالائی نقطے سے گزرتی افقی لکیر اس پر R1/2π sinφ7 لمبائی پر اسے قطع کرے گی، جس سے مساوات (2) کی بنیاد پر، مناسب r سے تقسیم کر کے مرِڈیئن کی سمت میں مناسب عمودی قوت حاصل ہوتی ہے۔
حلقوں میں قوتوں کے تعین کے لیے خول کے ایک عنصر پر افقی قوتوں کے توازن کی شرط استعمال ہوتی ہے۔ اگر صرف عمودی بوجھ عمل کریں تو یہ شرط یوں ہوگی (شکل 4):
جب یہاں dφ کی جگہ محدود فرق Δφ رکھ دیا جائے، جو اختیار کی گئی خول کی تقسیم کے مطابق ہو، اور r1 dφ کی جگہ مِرِیڈین عنصر کی لمبائی Δs لے لی جائے، تو یہاں سے حاصل ہوتا ہے
دائیں جانب بریکٹ میں قوتوں کے منصوبے پر افقی سیدھی لکیر پر کٹاؤ درج ہے۔ لہٰذا پوری دائیں جانب اس سیدھی لکیر پر تقسیم نقاط کے درمیان حصوں کی نمائندگی کرتی ہے۔ انہیں کافی درستگی سے پڑھنے کے لیے قوتوں کا منصوبہ احتیاط سے اور کافی بڑے پیمانے پر تیار ہونا چاہیے۔
کھینچے ہوئے اور دَبائے ہوئے حلقے
ہر گردشی طور پر متقارن خول ایک یا دو افقی دائروں سے محدود ہوتا ہے (شکل 7). ان کناروں پر وہ اصولاً صرف ایسے بوجھ اور سہارے کے ردعمل قبول کر سکتا ہے جن کی سمت میریڈیئن کی مماس ہو۔ اگر بیرونی قوتوں کی سمت دوسری ہو، مثلاً ڈھانچے کے اوپری حصے کا بوجھ P یا شکل 97 میں دکھائے گئے ذخیرے کے نچلے حصے کا ردعمل S، تو ان قوتوں کو، جیسا کہ شکل میں دکھایا گیا ہے، افقی دائرے کی سمت اور میریڈیئن کی مماس کی سمت اجزا میں تقسیم کرنا ہوگا۔ جزو P/sinφ0 یا S/sinφu میریڈیئن کی سمت میں موجود نارمل قوت Nφ کے برابر ہے، جبکہ افقی قوت Pctgφ0 یا Sctgφu کو قبول کرنے کے لیے ایک انگوٹھی درکار ہوتی ہے جو کھنچاؤ، یعنی دباؤ، قبول کرے اور جس میں یہ شعاعی بوجھ نارمل قوت + P r0 ctgφ0، یعنی -S ru ctgφu پیدا کرتا ہے۔ ایسی انگوٹھیاں، خول کے کناروں کے علاوہ، ان تمام مقامات پر بھی نصب کی جانی چاہئیں جہاں میریڈیئن کا خط ٹوٹتا ہو۔ یہ ہمیشہ جھلی نما تناؤ کی حالت میں خلل پیدا کرتی ہیں۔
نمبر7
گردشی طور پر متقارن خولوں میں خم کے باعث پیدا ہونے والے تناؤ
جھلی نظریے کے فارمولوں میں اتنے تکمیلی مستقلات موجود نہیں ہوتے کہ وہ تمام سرحدی شرائط پوری کی جا سکیں جو حقیقی طور پر دیے گئے مسئلے سے متعلق ہیں۔ خاص طور پر گھومنے کے اعتبار سے متقارن خولوں میں، تکمیلی مستقلات کے کسی موزوں انتخاب سے یہ حاصل نہیں کیا جا سکتا کہ خول کے کنارے کے ساتھ حلقوی سمت میں کھنچاؤ εϑ = Nϑ/Et کسی دوسرے ساختی حصے کے متعلقہ کھنچاؤ کے برابر ہو جو اس مقام پر اس سے سختی سے جڑا ہو۔ یہی بات ان خولوں پر بھی لاگو ہوتی ہے جن میں کسی ایک افقی دائرے کے ساتھ مرہٹ کی خمیدگی، خول کی موٹائی یا فی اکائی سطح بوجھ اچانک بدلتا ہے۔ اور جب خول کسی کنارے کے ساتھ حلقے سے سخت نہیں کیا گیا ہو، لیکن اسی مقام پر ایسی قوتوں سے لوڈ کیا گیا ہو جن میں خول کی عمود کے رخ جزو موجود ہو (مثلاً شکل 7 میں بوجھ P جب یہ تصور کیا جائے کہ حلقہ ہٹا دیا گیا ہے)، تو وہ ایسے بوجھ صرف جھلیی قوتوں کے ذریعے قبول نہیں کر سکتا۔ ایسے حالات میں قینچی قوت اور خم کے لمحات (شکل 8) خول میں قوتوں کی تقسیم میں اہم کردار ادا کرتے ہیں، جسے جامد حساب میں ملحوظ رکھنا ضروری ہے۔
نمبر 8
موڑنے کے لیے خول کا درست حساب، سادہ ترین خاص صورت یعنی بیلنی خول کے علاوہ، ایک نہایت مشکل کام ہے۔ باریک دیواروں والے خولوں کے لیے ایک سادہ اور بہت کارآمد تخمینی نظریہ قائم کیا جا سکتا ہے، جو اس حقیقت پر مبنی ہے جو سخت نظریے سے معلوم ہے، کہ موڑنے سے پیدا ہونے والے تناؤ کنارے کے ساتھ والی نسبتاً تنگ پٹی میں محدود رہتے ہیں اور کنارے سے فاصلے کے بڑھنے کے ساتھ تیزی سے کم ہوتے جاتے ہیں۔ اس سے درست تفاضلی مساوات میں موجود بہت سے ارکان کو نظرانداز کرنا ممکن ہو جاتا ہے، اور یوں اس کی صورت سادہ ہو جاتی ہے۔
اگر صرف دلچسپی والی کنارہ جاتی تہہ کے اندر κ کو اوسط قدر سے بدل دیا جائے، اور یہ تقریباً ہمیشہ ممکن ہوتا ہے، تو مساوات کا حل یہ ہے
مسا. 4 اور 5
جہاں a1, b1, a2, b2 انضمامی مستقلات ہیں۔ چونکہ حل صرف کنارے φ=φ0 کے قریب دلچسپ ہے، اس لیے اس کنارے سے زاویائی فاصلے ω=φ0-φ یا ω=φ-φ0 کو بطورِ مختصات متعارف کرانا مناسب ہے، اور اوپر دیے گئے حل کی تبدیلی سے دوسرا مذکورہ اظہار حاصل ہوتا ہے۔ یہاں صرف دو انضمامی مستقلات A, B یا C, ψ ظاہر ہوتی ہیں، کیونکہ حل کا وہ دوسرا حصہ جس میں عامل eκω شامل ہے، اور اس لیے ω کے بڑھنے کے ساتھ کم نہیں ہوتا، اسے غور سے خارج کیا جا سکتا ہے۔
مساوات 5 کی بنیاد پر قاطع قوتوں اور میریڈین کے مماس کے κ گھماؤ کی درج ذیل قدریں حاصل ہوتی ہیں:
گول سلنڈر نما ذخائر میں خم کے باعث پیدا ہونے والے تناؤ
فرض کریں کہ h اونچائی والا ایک بیلناکار ذخیرہ پانی سے بھرا ہوا ہے (شکل 9)، تو ذخیرے کے اوپر x بلندی پر پانی کا دباؤ p=γ(h-x) ہوگا۔ اگر اس بلندی پر دو افقی حصّہ جات کے درمیان فاصلہ dx ہو، تو ذخیرے سے ایک حلقہ کاٹ کر اسے ایک قطر کے ساتھ دو حصوں میں تقسیم کیا جائے، تو ان میں سے ایک کے توازن کی شرط حلقے میں جھلی قوت Nφ=pa دیتی ہے۔ اگر اس مقام پر ذخیرے کی موٹائی t ہو، تو حلقے میں تناؤ εφ=Nφ/Et ہوگا اور اس طرح ذخیرے کے نصف قطر میں اضافہ (جھکاؤ) یہ ہوگا:
نچلے کنارے پر x=0 اس کے مطابق
نمبر9
دونوں میں سے کوئی بھی صورت عام طور پر حدی شرائط کے مطابق نہیں ہوتی، کیونکہ ٹینک کے تلے کے ساتھ تعلق کی وجہ سے دیوار کی بگاڑ رکی رہتی ہے۔ اس مقام پر سلنڈر کے تلے اور دیوار کے اتصال پر عرضی قوتیں Qx0 اور لمحات Mx0 (شکل 11) ظاہر ہوتی ہیں، جن کی مقدار اس طرح متعین کی جانی چاہیے کہ وہ ابھی ابھی حساب کی گئی جھلیی قوتوں کے ساتھ مل کر خول کے کنارے پر وہ بگاڑ پیدا کریں جس کی اجازت تلا دیتا ہے۔
شکل 10, 11, 12, بالترتیب
شکل 11 میں خول کے عنصر dx*a dφ کو اس پر عمل کرنے والی قوتوں کے ساتھ دکھایا گیا ہے۔ خول پر عمود کی سمت قوتوں کی توازن کی شرط دیتی ہے
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
جہاں سے dx dφ: سے تقسیم کرنے پر:
a Q’x + Nφ = p a.
اس شرط سے کہ سلنڈر پر افقی مماس کے گرد مومنٹ صفر ہو، یہ حاصل ہوتا ہے:
dM/dx = M’x = Qx
ان دونوں مساوات سے عرضی قوت Qx کو حذف کرنے سے حاصل ہوتا ہے
a M’’x + Nφ = p a.
مساوات 6
اس مساوات میں یہ نامعلوم کٹاؤی قوتیں جھکاؤ w کی مدد سے ظاہر کی جا سکتی ہیں۔ Nφ کے لیے پہلے ہی Nφ=Etw/a معلوم ہو چکا ہے، اور مومینٹ میریڈیئن کے خم w’’ کے متناسب ہے، یعنی Mx=Kw’’، جہاں پلیٹوں کی طرح K=Et3/12(1-μ2) خول کی سختی ہے، جو x کے ساتھ بدل سکتی ہے۔ اگر ان اوسط قوتوں کے یہ اظہار مساوات (6) میں داخل کیے جائیں تو ذخیرے کے نظریے کی تفاضلی مساوات حاصل ہوتی ہے:
اس ذخیرے کے لیے، جس کی دیوار کی موٹائی غیر تبدیل ہو، حل یہ ہے:
ایک۔7
جہاں λ4=3(1-μ2)/a2t2 ہے۔ اگر λh بڑا ہو (مثلاً 3 سے زیادہ)، تو ہائپربولک افعال کے بجائے ایکسپونینشل افعال متعارف کرانا زیادہ مناسب ہے، لہٰذا:
ایک۔8
تب ایک دوسرے سے آزادانہ طور پر مستقلات A1, B1 نچلی سرحدی شرائط سے، اور مستقلات A2, B2 اوپری کنارے کی سرحدی شرائط سے متعین کیے جا سکتے ہیں، جس میں عموماً A2=B2=0 حاصل ہوتا ہے۔ مساوات (8) اور (7) کی بنیاد پر قینچی قوتیں حاصل ہوتی ہیں، جب حساب الٹی سمت میں کیا جائے اور ہر جگہ مساوات (8) اور (7) نافذ کی جائیں؛ چنانچہ مثال کے طور پر A2=B2=0 کے لیے:
جب ذخیرے کی دیواریں سختی سے پلیٹ میں جڑی ہوں، اور ذخیرے کی تہہ اتنی موٹی ہو کہ اسے سخت سمجھا جا سکے، تو مستقلات A1, B1 کو اس شرط سے متعین کیا جانا چاہیے کہ x=0, w=0 اور w’=0 ہوں، اور یوں حاصل ہوتا ہے:
اگر ذخیرے کا فرش لچکدار پلیٹ یا خول ہو، تو نچلے حصے اور سلنڈر کی دیوار کے درمیان کنارے کے دائرے کے ساتھ عمودی قوتیں Qx اور لمحات Mx جامد طور پر غیر معین نظاموں کے نظریے کے طریقوں سے، اس تقاضے کی بنیاد پر متعین کیے جائیں کہ Mx اور w’ دونوں حصوں کے لیے ایک ہی قدر رکھتے ہوں۔