Maskor deitzen zaie eramaile gainazalei, zeinen erdiko gainazala laua ez baina nabarmen ganbila den. Haien portaera estatikoa nabarmen desberdina da plakaren portaeratik. Forma egokia dutenean, haien tentsioa askoz txikiagoa da, zurruntasuna neurri berean handiagoa, eta kalkulua, kasu gehienetan, sinpleagoa.
Oskol bakoitzaren tentsioa bi zatitan bana daiteke: mintz-tentsioa eta tolestea. Mintz-tentsioak, bere planoan kargatutako xafla baten tentsioen antzera, sekzio-ebakiduran dauden indar tangentzialei esker adieraz daitezke; adibidez, x=const. sekzioan, _Nx=_σx*t indar normala eta _Nxy=_τxy*t ebakidura-indarra, non t oskolaren lodiera den. Tolestearen ondoriozko tentsioak xaflen kasuko berberak dira, eta Mx toleste-momentuen, Mxy tortsio-momentuen eta Qx ebakidura-indarren bidez irudika daitezke.
Oskolen ezaugarri nagusiak egitate honetan oinarritzen dira: arau orokor gisa, tolestearen ondoriozko tentsioek ez dutela mintz-tentsioen tamaina ezta garrantzia ere, eta, beraz, askotan guztiz baztertu daitezkeela. Kasu horretan, tentsio guztiak uniformeki banatuta daude oskolaren lodieran zehar eta azalera ertainarekiko tangentean jarduten dute. Hipotesi horietan oinarritzen diren kalkuluak oskolen mintz-teoriaren esparruan sartzen dira.
Geruza birakarri-simetrikoen teoria membranarra karga birakarri-simetrikoaren pean
Formula orokorrak
Koordenatu-lerro gisa, oskolaren gainazal ertainaren meridianoak eta zirkulu paraleloak hartzen dira, eta koordenatuak hauek dira: azimuta ϑ (“longitude geografikoa”) eta meridianoarekiko tangenteak simetriaren ardatzarekiko perpendikularra den planorantz duen malda φ ( 1 ir.). Horren arabera, sekzio-indarrak hauek dira: meridianoaren norabideko indar normala Nφ eta eraztuneko indar normala Nϑ ( 1b ir.). Nφϑ ebakidura-indarrak ez dira agertzen tentsio birakari simetrikoan. Azalera-unitateko karga honela adierazten da ( 1b ir.): Y meridianoarekiko tangentzialean, positiboa φ handitzen den norabidean, Z oskolarekiko normala, positiboa simetriaren ardatzerantz.
Ir. 1
Irudia. 2
Har dezagun meridianoaren kurbadura-erradioa r1. φ angeluaren funtzioa da, eta, beraz, _r1=r1(_φ) ekuazioak meridianoaren forma zehazten du. Hori meridianoaren ekuaziotzat har daiteke, eta honela dio, adibidez.
zirkulurako r1=a=const.
parabolarako r1=a/cos3__φ
elipserako r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Meridianoaren norabidean N__φ indar normala kalkulatzeko, φ paralelo-zirkuluaren gainean dagoen oskol-zatiaren oreka-baldintza ezarri behar da (ik. 2). Zati horri eragiten dioten Y eta Z kargen R emaitza bertikala da, simetriagatik. Bere balioa oskolaren gainazalean integratuz lortzen da, φ’=0-tik φ’=φ arte. Oskol-elementuaren azalera dF=r1d__φ’*rd__ϑ da, beraz kargaren osagai bertikala (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF da. φ’ eta φ’+dφ’ zirkuluen artean dagoen oskolaren eraztun-zati osorako, kanpoko kargaren emaitza hau da:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
non φ’ arabera integratuz, φ’=φ paraleloa den zirkuluaren gainean dagoen oskolaren zatirako, honakoa lortzen da:
Eku. 1
Karga hori meridianoaren norabideko indar normalek hartzen dute, behatutako zirkunferentziaren inguruan eragiten dutenek; indar horien erresultantearen osagai bertikala 2__πr * N__φ sin__φ, da, eta, berdinduz, hortik behar den indar normala lortzen da
Eku. 2
Lur-koskorra goiko aldean φ=φ0 zirkuluaren arabera moztuta badago (adib., kupula batean argiztapen-irekiera), integralaren beheko muga, jakina, φ0 da, eta ez zero. Horrela sortutako koskorraren ertzean R0 karga ere eragiten bada, hori ere R emaitzari gehitu behar zaio (ir. 3).
Ir. 3
N__ϑ indar normala zehazteko, tangentzio-planoarekiko perpendikularra den oskol-elementuaren oreka-baldintza ezarri behar da (ikus. 4). Norabide horretan kanpo-kargaren emaitza Z r1 d__φ r d__ϑ da. Meridiano-planoan dauden N__φ*r d__ϑ indarrek d__φ angelu txikia osatzen dute elkarren artean, eta, beraz, oskolarekiko normala den norabidean duten emaitza N__φ r d__ϑ*dφ da. Era berean, zirkulu horizontalaren planoan dauden Nϑ r1 dφ indarrek dϑ angelua osatzen dute elkarren artean, eta haien emaitza Nϑ r1 dφ*dϑ da; hori ere zirkulu horizontalaren planoan dago, eta, beraz, oskolarekiko normalarekin 0,5_π-φ_ angelua osatzen du, eta oreka-baldintzan haien osagai hau soilik sartzen da: Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. Beraz, oreka-baldintza honela adierazten da
edo, r r1 dϑ dφ bidez zatitzen denean:
Bat.3
Hemen r2=r/sinφ bidez adierazten da oskolaren kurbaduraren bigarren erradio nagusia.
Ir. 4
Kupula zirkularra
Meridianoaren forma analitikoki r1=r1(φ) ekuazioaren bidez emanda dagoenean eta Y(φ) eta Z(φ) kargei buruzko adierazpen analitikoak emanda daudenean, oskolean dauden zeharkako indarrak beti zehaztu daitezke forma itxian integratuz edo, bestela, zenbakiz, Simpson-en araua erabiliz. a diametroko kupula zirkular baterako, jarraian karga-kasu batzuetarako zeharkako indarrak ematen dira:
Azken eredua, φ=0 denean sekzio-indar infinitu handiak ematen dituena, indarraren erasotze-puntutik distantzia jakin batera baino ez da baliozkoa. Indarra aplikatzen den tokiaren hurbilean, nahiz eta diametro mugatu baina txikiko zirkulu baten azalera osoan banatuta egon, karga batez ere flexioaren bidez transmititzen da.
Goiko aldean irekita dauden oskolen formak aurrekoetatik atera daitezke, benetako kargari P fikziozko karga bat gehitzen bazaio tontorrean, eta haren neurria hala zehazten da, oskolaren goiko ertzean φ=φ0 norabidean jarduten duen meridianoaren araberako indar normal osoa Nφ=0 denean, edo oskolak hemen jasotzen dituen kanpo-indarrek zehaztutako balio baten berdina denean.
Oskol konikoa
Ir. 5
Kono-oskolaren kasuan, meridianoaren φ malda ezin da koordenatu gisa erabili, puntu guztietan balio bera baitu. Horren ordez, kupularen gailurretik sortzailean zehar neurtutako s distantzia sartzen da (ir. 5). Horren arabera, meridianoaren norabideko indar normala Ns bidez adierazten da. Behar diren ereduak azpian emandakoetatik lor daitezke 1, muga-pasabidea egiten denean. (2) ekuaziotik, horrela lortzen da
eta (3) ekuaziotik
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Karga-kasu garrantzitsuenetarako, honako adierazpen hauek balio dute:
Meridianoaren forma arbitrarioarako prozedura grafikoa
Irudia. 6
Meridiano-kurba analisi-adierazpen batez emana ez dagoenean, baizik eta, esaterako, grafikoki, kurbadura-erradioa zehaztea gehiegi zaila eta zehaztasun gutxikoa da. Kasu horretan, egokiagoa da prozedura grafikoa erabiltzea (ir. 6).
Maskorra φ=const. plano gehiagorekin zatitzen da, tartean dauden eraztun-eremuen Δ_R_ pisuak kalkulatzen dira eta hobe da berehala 2_π_-rekin zatitzea. Indar horiek ΔR/2π indar-diagraman ezartzen dira (6b irudia). Ondoren, adibidez, 7 zatiketa-puntutik meridianoaren ukitzailearekiko paraleloa den zuzen bat marrazten bada meridianoaren 7 puntuan, indar-diagramaren goiko puntutik igarotzen den horizontala hari lerro-luzera R1/2π sinφ7 izango du; hortik, ( 2 ) ekuazioaren arabera, dagokion r bidez zatituta, meridianoaren norabideko indar normala lortzen da.
Eraztunetako indarrak zehazteko, oskol-elementu batean dauden indar horizontalen oreka-baldintza erabiltzen da. Karga bertikalak soilik jarduten badira, baldintza hau honela da (ir. 4):
Hemen dφ hautatutako oskolaren banaketari dagokion Δφ azken diferentziaz ordezkatzen denean, eta r1 dφ ordez meridiano-elementuaren Δs luzera sartzen denean, hemendik lortzen da
Eskuineko aldeko parentesi artean, indar-planoko lerro horizontal baten gaineko ebakidura agertzen da. Beraz, eskuineko alde osoak lerro horretako zatiketa-puntuen arteko tarteak adierazten ditu. Horiei behar bezain zehatz irakurri ahal izateko, indar-planoa arretaz eta nahikoa eskala handian marraztu behar da.
Tiratutako eta bultzatutako eraztunak
Erro erradioarekiko simetrikoa den oskol bakoitza zirkulu horizontal batek edo bik mugatzen du (7 irudia). Eskuarki, ertz horietan meridianoko tangentearen norabidea duten kargak eta euskarri-erreakzioak baino ezin ditu hartu. Kanpo-indarrek beste norabide bat badute, hala nola egituraren goiko zatiko P karga edo 97 irudian agertzen den biltegiaren hondoaren S erreakzioa, indar horiek, irudian erakusten den bezala, osagaietan deskonposatu behar dira, zirkulu horizontalaren norabidean eta meridianoko tangentearen norabidean. P/sinφ0 edo S/sinφu osagaia meridianoko Nφ indar normalaren parekoa da, eta Pctgφ0 edo Sctgφu indar horizontala hartzeko, tentsioa edo konpresioa hartzen duen eraztun bat behar da, eta bertan karga erradial horrek + P r0 ctgφ0 edo -S ru ctgφu indar normala eragiten du. Era horretako eraztunak, oskolaren ertzetan ez ezik, meridiano-kurbak haustura duen leku guztietan ere jarri behar dira. Beti eragiten dute mintz-tentsio egoeraren asaldura.
Irud. 7
Errotazio-simetrikoko maskoretan tolesturak eragindako tentsioak
Mintz-teoriako ereduek ez dute integrazio-konstante nahikorik, benetan planteatutako zereginari dagozkion muga-baldintza guztiak betetzeko. Batez ere errotazioz simetrikoak diren oskoletan, ezinezkoa da integrazio-konstanteak modu egokian hautatuta lortzea εϑ = Nϑ/Et luzapena, oskolaren ertzean zehar eraztunaren norabidean, puntu horretan berarekin zurrunki lotuta dagoen beste egitura-zati baten dagokion luzapenaren berdina izatea. Gauza bera gertatzen da oskolekin ere, non horizonte-zirkulu batean zehar meridianoaren kurbadura, oskolaren lodiera edo azalera-unitateko karga bat-batean aldatzen diren. Eta oskola ertzetako baten zehar eraztun batek zurruntzen ez badu ere, baina toki horretan oskolaren normalaren norabidean osagai bat duten indarrez kargatuta badago ere (adibidez, P karga ir. 7-n, eraztuna kenduta dagoela irudikatzen denean), ezin ditu halako zamak mintz-indarren bidez bakarrik hartu. Halako kasuetan, ebakidura-indarrak eta toleste-momentuek (ir. 8) funtsezko eginkizuna dute oskolaren barruko indarren banaketan, eta hori kalkulu estatikoan kontuan hartu behar da.
Ir. 8
Maskor baten tolesturarekiko kalkulu zehatza, maskor zilindrikoaren kasu berezi sinpleenean izan ezik, oso zeregin zaila da. Horma meheko maskorrentzat teoria hurbil erraz eta oso erabilgarri bat eraiki daiteke, teoria zorrotzean ezaguna den egitate batean oinarritzen dena: tolesturaren ondoriozko tentsioak ertzetik hurbil dagoen zona nahiko estu batera mugatzen dira eta ertzarekiko distantzia handitu ahala azkar jaisten dira. Horri esker, diferentzialki ekuazio zehatzean dauden termino asko bazter daitezke, eta ekuazioak forma sinplifikatua hartzen du.
Ildo interesgarriko ertzeko tonuaren barruan κ batez besteko balioarekin ordezkatzen bada, eta hori ia beti posible da, ekuazioaren ebazpena honakoa da
Eku. 4 eta 5
non a1, b1, a2, b2 integrazio-konstanteak diren. Soluzioa φ=φ0 ertzetik hurbil bakarrik interesgarria denez, komeni da ertz horretatik dagoen ω=φ0-φ edo ω=φ-φ0 angelu-distantzia koordenatu gisa sartzea, eta, beraz, goian aipatutako soluzioa eraldatuz, bigarren adierazitako espresioa lortzen da. Hemen bi integrazio-konstante soilik agertzen dira A, B edo C, ψ, soluzioaren bigarren zatia, eκω faktorea duena eta, beraz, ω handitzean ez dena jaisten, azterketatik kanpo utz daitekeelako.
5 ekuazioan oinarrituta, honako balio hauek lortzen dira zeharkako indarrentzat eta meridianoaren tangentearekiko κ biraketarentzat:
Zirkulu-zilindro formako biltegietako tolesturaren ondoriozko tentsioak
Har dezagun h altuerako biltegi zilindriko bat urez beteta dagoela (ikus. 9); orduan, x altueran, biltegiaren gainetik, uraren presioa p=γ(h-x) da. Altura horretan, dx distantziako bi sekzio horizontalen artean biltegitik eraztun bat ebakitzen bada eta hau diametro baten arabera bi zatitan banatzen bada, horietako baten oreka-baldintzak eraztunean Nφ=pa mintz-indarra ematen du. Leku horretan biltegiaren lodiera t bada, eraztuneko dilatazioa εφ=Nφ/Et da, eta, beraz, biltegiaren erradioaren handitzea (hondoratzea) honakoa da:
Beheko ertzean x=0 da, beraz
Ir. 9
Ez bata ez bestea ez dago, oro har, muga-baldintzekin bat, hormaren deformazioa eragotzita baitago deposituaren hondoarekiko loturaren ondorioz. Horrenbestez, zilindroaren hondoaren eta hormaren arteko loturan Qx0 zeharkako indarrak eta Mx0 momentuak agertzen dira (ikus 11), eta horien tamaina halakoa izan behar da, ezen, oraintxe kalkulatutako mintz-indarrekin batera, oskolaren ertzean hondoak onartzen duen deformazio hori eragiten baitute.
Ikus. 10, 11, 12, hurrenez hurren
Sl. 11-n oskol-elementu dx*a dφ bat ageri da, haren gainean jarduten duten indarrekin. Oskolari normala den norabideko indarren orekaren baldintzak ematen du
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
handik dx dφ bidez zatituz:
a Q’x + Nφ = p a.
Zilindroarekiko tangente horizontalaren inguruko momentua zerokoa dela baldintzatik honakoa lortzen da:
dM/dx = M’x = Qx
Qx zeharkako indarra bi ekuazio horietatik ezabatuz, honakoa lortzen da
a M’’x + Nφ = p a.
Pisu. 6
Ekuazio honetan, zeharkako indar ezezagun horiek w jaitsiaren bidez adieraz daitezke. Nφ-rako jada aurkitu da Nφ=Etw/a, eta momentua meridianoaren kurbadurarekiko proportzionala da w’’, hau da, Mx=Kw’’, non, plaketan bezala, K=Et3/12(1-μ2) oskola- zurruntasuna den, eta x-ren arabera aldagarria izan daiteke. Indar ertainetarako adierazpen horiek ekuazioan (6) sartzen badira, urtegi-teoriaren ekuazio diferentziala lortzen da:
Hormaren lodiera aldaezina duen biltegi baterako, irtenbidea honakoa da:
Bat.7
non λ4=3(1-μ2)/a2t2 den. λh handia bada (adibidez, 3 baino handiagoa), komenigarriagoa da funtzio hiperbolikoen ordez esponentzialak sartzea, eta orduan:
Bat.8
Orduan, bata bestearengandik independenteki zehaztu daitezke A1, B1 konstanteak beheko ertzeko muga-baldintzetatik, eta A2, B2 konstanteak goiko ertzeko muga-baldintzetatik; normalean, A2=B2=0_ lortzen da. (8) eta (7) ekuazioetan oinarrituta, ebakidura-indarrak lortzen dira kalkulua alderantzizko noranzkoan eginez eta nonahi (8) eta (7) ekuazioak sartuz; hala, adibidez, A2=B2=0_ denean:
Biltegiaren hormak plakari zurrunki enborratuta daudenean, eta biltegiaren hondoa nahikoa lodia denean zurruntzat har dadin, A1, B1 konstanteak x=0, w=0 eta w’=0 direla baldintzetatik zehaztu behar dira, eta honakoa lortzen da:
Edukiontziaren hondoa plaka elastiko bat edo oskola bat bada, Qx zeharkako indarrak eta Mx momentuak hondoa eta zilindro-horma bereizten dituen ertzeko zirkunferentziaren zehar zehaztu behar dira sistema estatiko zehaztugabeen teoriako metodoez, Mx eta w’ bi zatietarako balio berekoak izan daitezen eskatuz.