Scoicile sunt denumite elemente portante de suprafață, a căror suprafață mediană nu este plană, ci este vizibil bombată. Comportarea lor statică diferă considerabil de cea a plăcii. Când au o formă potrivită, solicitarea lor este mult mai mică, rigiditatea lor este corespunzător mai mare, iar calculul în majoritatea cazurilor este mai simplu.
Starea de tensiune a fiecărui înveliș poate fi descompusă în două părți: tensiune membranară și încovoiere. Tensiunile membranare, la fel ca și tensiunile din cazul unei plăci încărcate în planul ei, se pot exprima prin intermediul forțelor secționale în plan tangent – acestea sunt, de exemplu, în secțiunea x=const. forța normală _Nx=_σx*t și forța tăietoare _Nxy=_τxy*t, unde t este grosimea învelișului. Tensiunile datorate încovoirii sunt aceleași ca la plăci și pot fi reprezentate prin momente de încovoiere Mx, momente torsionale Mxy și forțe tăietoare Qx.
Caracteristicile esențiale ale învelişurilor se bazează pe faptul că, de regulă, tensiunile datorate încovoirii nu au nici mărimea, nici importanța tensiunilor membranare, astfel încât ele pot adesea fi complet neglijate. În acest caz, toate tensiunile sunt distribuite uniform pe grosimea învelișului și acționează tangențial pe suprafața medie. Calculul care se întemeiază pe aceste ipoteze intră în cadrul teoriei membranare a învelişurilor.
Teoria membranară a învelitoarelor rotațional simetrice sub acțiunea unei încărcări rotațional simetrice
Scheme generale
Pentru liniile de coordonate se adoptă meridianele și cercurile paralele din suprafața mediană a învelișului, astfel încât coordonatele sunt: azimutul ϑ („longitudinea geografică”) și înclinarea φ a tangentei la meridian față de planul perpendicular pe axa de simetrie (fig. 1a). În consecință, forțele secționale sunt: forța normală Nφ în direcția meridianului și forța normală Nϑ în cercul inelar (fig. 1b). Forțele tăietoare Nφϑ nu apar în cazul solicitării simetric rotative. Încărcarea pe unitatea de suprafață se notează după cum urmează (fig. 1b): Y tangențial la meridian, pozitiv în direcția în care crește φ, Z normal pe înveliș, pozitiv către axa de simetrie.
Fig. 1
Fig. 2
Să presupunem că raza de curbură a meridianului este r1. Ea este o funcție de unghiul φ, deci prin ecuația _r1=r1(_φ) este determinată forma meridianului. Aceasta poate fi considerată ecuația meridianului și are forma, de exemplu.
pentru cerc r1=a=const.
pentru parabolă r1=a/cos3__φ
pentru elipsă r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Pentru calcularea forței normale N__φ în direcția meridianului trebuie stabilită condiția de echilibru a porțiunii de înveliș aflate deasupra cercului paralel φ (fig. 2). Rezultanta R a sarcinilor Y și Z care acționează asupra acestei părți este verticală, având în vedere simetria. Mărimea ei se obține prin integrare pe suprafața învelișului de la φ’=0 până la φ’=φ. Suprafața elementului de înveliș este dF=r1d__φ’*rd__ϑ, deci componenta verticală a încărcării este (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Pentru întreaga parte inelară a învelișului aflată între cercurile φ’ și φ’+dφ’ rezultanta încărcării exterioare este:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
de unde, prin integrare după φ’ pentru porțiunea de înveliș situată deasupra cercului paralel φ’=φ, se obține:
Ec. 1
Această încărcare este preluată de forțele normale în direcția meridianului, care acționează pe circumferința cercului observat; componenta verticală a rezultantei acestor forțe este 2__πr * N__φ sin__φ, iar prin egalare de aici se obține forța normală căutată
Eq. 2
Dacă în partea superioară învelișul este tăiat de-a lungul cercului φ=φ0 (de ex. deschidere pentru lumină în cupolă), limita inferioară a integralei este, firește, φ0, și nu zero. Dacă la marginea învelișului astfel format acționează și încărcarea R0, aceasta trebuie adăugată de asemenea rezultantei R (fig. 3).
Fig. 3
Pentru determinarea forței normale N__ϑ trebuie stabilită condiția de echilibru a elementului de coajă perpendicular pe planul tangent (fig. 4). Rezultanta încărcării exterioare în această direcție este Z r1 d__φ r d__ϑ. Forțele N__φ*r d__ϑ care se află în planul meridian formează între ele un unghi mic d__φ, astfel încât rezultanta lor în direcția normalei la coajă este N__φ r d__ϑ*dφ. În mod similar, forțele Nϑ r1 dφ care se află în planul cercului orizontal și formează între ele un unghi dϑ au rezultanta Nϑ r1 dφ*dϑ care, de asemenea, se află în planul cercului orizontal și, prin urmare, cu normala pe coajă formează un unghi 0,5_π-φ_, astfel încât în condiția de echilibru intră numai componenta lor Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. Condiția de echilibru este, așadar, următoarea
sau, când se împarte la r r1 dϑ dφ:
Unul.3
Aici, prin r2=r/sinφ este notată a doua rază principală de curbură a scoicii.
Fig. 4
Cupola circulară
Când forma meridianului este dată analitic prin ecuația r1=r1(φ) și când pentru încărcările Y(φ) și Z(φ) sunt date expresii analitice, forțele tăietoare din înveliș pot fi determinate întotdeauna prin integrare în formă închisă sau numeric, folosind regula Simpson-ova. Pentru cupola circulară cu diametrul a, în cele ce urmează se dau forțele tăietoare pentru unele cazuri de încărcare:
Ultimul model, care pentru φ=0 dă forțe tăietoare infinite, este valabil abia la o anumită distanță de punctul de aplicare al forței. În imediata vecinătate a locului unde acționează forța, chiar și atunci când ea este distribuită pe suprafața unui cerc cu diametru finit, dar mic, încărcarea se transmite în principal prin încovoiere.
Formele pentru scoici deschise în partea superioară pot fi deduse din cele precedente, dacă la încărcarea reală se adaugă sarcina fictivă P în vârf, a cărei mărime se determină astfel încât forța normală totală în direcția meridianului care acționează pe muchia superioară a scoicii φ=φ0 să fie Nφ=0, sau să fie egală cu o anumită valoare determinată de forțele exterioare pe care scoica le primește aici.
Înveliș conic
Fig. 5
În cazul unei cochilii conice, panta meridianului φ nu poate fi folosită ca coordonată, deoarece are aceeași valoare în toate punctele. În locul ei se introduce distanța s de la vârful cupolei, măsurată de-a lungul generatoarei (fig. 5). Forța normală în direcția meridianului se notează, în consecință, cu Ns. Formulele necesare pot fi obținute din cele indicate sub 1 atunci când se efectuează trecerea la limită. Din ecuația (2) se obține astfel
și din ecuația (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Pentru cele mai importante cazuri de încărcare se aplică următoarele formule:
Procedeu grafic pentru orice formă a meridianului
Fig. 6
Când curba meridianului nu este dată printr-o expresie analitică, ci, de pildă, grafic, determinarea razei de curbură este prea dificilă și prea inexactă. În acest caz este mai potrivit să se utilizeze procedeul grafic (fig. 6).
Învelișul se împarte printr-un număr mai mare de plane φ=const., se calculează greutățile Δ_R_ ale zonelor inelare cuprinse între plane și este bine să se împartă imediat la 2_π_. Aceste forțe ΔR/2π se aplică în planul forțelor (fig. 6b). Dacă apoi, de exemplu, prin punctul de împărțire 7 se duce o dreaptă paralelă cu tangenta la meridian în punctul meridianului 7, orizontala prin punctul superior al planului forțelor va secționa pe aceasta o porțiune de R1/2π sinφ7 din care, pe baza ecuației (2), prin împărțire la r-ul corespunzător se obține forța normală corespunzătoare în direcția meridianului.
Pentru determinarea forțelor din inele se folosește condiția de echilibru a forțelor orizontale pe un element al învelișului. Dacă acționează numai încărcări verticale, această condiție are forma (fig. 4):
Când aici dφ se înlocuiește cu diferența finită Δφ, care corespunde împărțirii adoptate a învelișului, și când în loc de r1 dφ se introduce lungimea Δs a elementului meridian, rezultă de aici
În paranteza din partea dreaptă este notat segmentul de pe dreapta orizontală din planul forțelor. Întreaga parte dreaptă reprezintă, prin urmare, segmentele dintre punctele de gradație de pe această dreaptă. Pentru a le putea citi suficient de exact, planul forțelor trebuie desenat cu grijă și la o scară suficient de mare.
Inel întins și inel comprimat
Fiecare înveliș simetric rotativ este delimitat de unul sau două cercuri orizontale (fig. 7). Pe aceste muchii, el poate prelua în principiu numai acele încărcări și reacțiuni ale reazemelor care au direcția tangentei la meridian. Dacă forțele exterioare au o altă direcție, ca de exemplu încărcarea P din partea superioară a construcției sau reacțiunea S a fundului rezervorului prezentat în fig. 97, aceste forțe trebuie, așa cum este arătat în figură, descompuse în componente în direcția cercului orizontal și a tangentei la meridian. Componenta P/sinφ0 sau S/sinφu este egală cu forța normală în direcția meridianului Nφ care acționează în acel loc, iar pentru preluarea forței orizontale Pctgφ0 sau Sctgφu este necesar un inel care preia întinderea, respectiv compresiunea, și în care această încărcare radială provoacă forța normală + P r0 ctgφ0, respectiv -S ru ctgφu. Astfel de inele, pe lângă marginile învelișului, trebuie amplasate și în toate acele locuri unde curba meridianului are o frângere. Ele provoacă întotdeauna o perturbare a stării de tensiune membranară.
Fig. 7
Tensiuni datorate încovoirii în învelișuri cu simetrie de rotație
Formulele teoriei membranei nu conțin un număr suficient de constante de integrare pentru a putea fi îndeplinite toate condițiile de frontieră care corespund efectiv problemei date. În special, în cazul cochiliilor simetrice de rotație, nu este posibil ca, printr-o alegere adecvată a constantelor de integrare, să se obțină ca dilatarea εϑ = Nϑ/Et în direcția inelului, de-a lungul muchiei cochiliei, să fie egală cu dilatarea corespunzătoare a unei alte părți constructive care este rigid fixată de aceasta în acel loc. Același lucru este valabil și pentru cochiliile la care, de-a lungul unui cerc orizontal, se schimbă brusc curbura meridianului, grosimea cochiliei sau încărcarea pe unitatea de suprafață. Chiar și atunci când cochilia nu este rigidizată de un inel de-a lungul unei muchii, dar este în acest loc încărcată cu forțe care au o componentă în direcția normalei la cochilie (de ex. încărcarea P din fig. 7 când se presupune că inelul a fost îndepărtat), ea nu poate prelua astfel de încărcări numai prin forțe membranare. În astfel de cazuri, forța tăietoare și momentele de încovoiere (fig. 8) joacă un rol esențial în repartizarea forțelor în cochilie, ceea ce trebuie luat în considerare în calculul static.
Fig. 8
Calculul exact al învelişului la încovoiere, în afară de cazul special cel mai simplu al învelişului cilindric, reprezintă o problemă foarte grea. Pentru învelişurile cu pereți subțiri se poate elabora o teorie aproximativă simplă și foarte utilă, care se sprijină pe faptul cunoscut din teoria riguroasă că tensiunile datorate încovoirii sunt limitate la o zonă relativ îngustă lângă margine și scad rapid odată cu creșterea distanței față de margine. Aceasta permite neglijarea unui număr mare de termeni din ecuația diferențială exactă, astfel încât aceasta capătă o formă simplificată.
Dacă în zona de margine, care este singura interesantă, κ se înlocuiește cu valoarea medie, iar acest lucru este aproape întotdeauna posibil, soluția ecuației este
Ec. 4 și 5
unde a1, b1, a2, b2 sunt constantele de integrare. Cum soluția este interesantă numai în apropierea marginii φ=φ0, este convenabil ca distanța unghiulară ω=φ0-φ sau ω=φ-φ0 față de această margine să fie introdusă ca și coordonată, iar prin transformarea soluției de mai sus se obține cealaltă expresie menționată. Aici apar numai două constante de integrare A, B sau C, ψ, deoarece a doua parte a soluției, care conține factorul eκω, și prin urmare nu scade odată cu creșterea lui ω, poate fi exclusă din considerație.
Pe baza ecuației 5 se obțin următoarele valori pentru forțele tăietoare și rotirea κ a tangentei meridianului:
Tensiunile datorate încovoirii în rezervoare de formă cilindrică circulară
Să presupunem că un rezervor cilindric cu înălțimea h este umplut cu apă (fig. 9), atunci la înălțimea x deasupra celor două rezervoare presiunea apei este p=γ(h-x). Dacă, la această înălțime, din rezervor se decupează, prin două secțiuni orizontale la distanța dx., un inel și acesta se împarte de-a lungul unui diametru în două părți, condiția de echilibru a uneia dintre ele dă forța de membrană în inel Nφ=pa. Dacă grosimea rezervorului în acest loc este t, dilatarea inelului este εφ=Nφ/Et și, prin urmare, creșterea razei rezervorului (săgeata) este
La muchia inferioară x=0 este prin urmare
Fig. 9
Nici una, nici cealaltă, de regulă, nu sunt în concordanță cu condițiile la limită, deoarece deformarea peretelui este împiedicată de legătura cu fundul rezervorului. În acest caz, la legătura dintre fund și peretele cilindrului apar forțele transversale Qx0 și momentele Mx0 (fig. 11), a căror mărime trebuie astfel determinată încât, împreună cu forțele membranare calculate chiar acum în înveliș, să provoace această deformare la marginea învelișului, permisă de fund.
Fig. 10, 11, 12, respectiv
În fig. 11 este prezentat elementul de înveliș dx*a dφ cu forțele care acționează asupra lui. Condiția de echilibru al forțelor în direcția normalei pe înveliș dă
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
de unde, prin împărțirea cu dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Din condiția ca momentul față de tangenta orizontală la cilindru să fie zero, rezultă:
dM/dx = M’x = Qx
Eliminând forța transversală Qx din aceste două ecuații rezultă
a M’’x + Nφ = p a.
Eq. 6
În această ecuație, aceste forțe tăietoare necunoscute pot fi exprimate prin intermediul săgeții w. Pentru Nφ s-a găsit deja Nφ=Etw/a, iar momentul este proporțional cu curbura meridianului w’’, adică Mx=Kw’’, unde, la fel ca la plăci, K=Et3/12(1-μ2) este rigiditatea învelișului, care poate varia cu x. Dacă aceste expresii pentru forțele medii sunt introduse în ecuația (6), se obține ecuația diferențială a teoriei rezervoarelor:
Pentru rezervorul a cărui grosime a peretelui este constantă, soluția este:
Unul.7
unde λ4=3(1-μ2)/a2t2. Dacă λh este mare (să zicem, mai mare decât 3), este mai convenabil să se introducă, în locul funcțiilor hiperbolice, funcțiile exponențiale, deci:
Unul.8
Atunci se pot determina independent una de alta constantele A1, B1 din condițiile de la limita inferioară, iar constantele A2, B2 din condițiile de la muchia superioară, obținându-se de regulă A2=B2=0. Pe baza ecuației (8) și (7) se obțin forțele tăietoare, când calculul se efectuează în sens invers și peste tot se introduce ecuația (8) și (7); astfel, de exemplu, pentru A2=B2=0:
Când pereții rezervorului sunt încastrați rigid în placă, pe fundul rezervorului, care este suficient de gros pentru a putea fi considerat rigid, constantele A1, B1 trebuie determinate din condițiile că x=0, w=0 și w’=0 și se obține:
Dacă fundul rezervorului este o placă elastică sau o cochilie, forțele transversale Qx și momentele Mx de-a lungul cercului marginal dintre fund și peretele cilindrului trebuie determinate prin metodele teoriei sistemelor static nedeterminate, pe baza cerinței ca Mx și w’ pentru ambele părți să aibă aceeași valoare.