Skaller betegner overfladebærere, hvis midterflade ikke er plan, men tydeligt hvælvet. Deres statiske opførsel afviger betydeligt fra en plades. Når de har en passende form, er deres spændinger betydeligt mindre, deres stivhed tilsvarende større, og beregningen i de fleste tilfælde enklere.
Spændingstilstanden i enhver skal kan opdeles i to dele: membranspænding og bøjning. Membranspændingerne kan, ligesom spændingerne i en plade belastet i sit plan, udtrykkes ved hjælp af snitkræfter i tangentplanet – det er f.eks. i snittet x=const. normalkraften _Nx=_σx*t og forskydningskraften _Nxy=_τxy*t, hvor t er skallens tykkelse. Spændingerne som følge af bøjning er de samme som ved plader og kan repræsenteres ved bøjningsmomenter Mx, torsionsmomenter Mxy og forskydningskræfter Qx.
Skallernes væsentlige egenskaber bygger på det forhold, at spændingerne som regel som følge af bøjning hverken har samme størrelse eller samme betydning som membranspændingerne, så de ofte helt kan negligeres. I dette tilfælde er alle spændinger jævnt fordelt over skallens tykkelse og virker tangentielt på midterfladen. Beregninger, der bygger på disse antagelser, hører under skallernes membranteori.
Membranteori for rotationssymmetriske skaller under rotationssymmetrisk belastning
Generelle formler
Som koordinatlinjer anvendes meridianer og parallelcirkler på skalmidtefladen, så koordinaterne er: azimut ϑ (“geografisk længde”) og hældningen φ af tangenten til meridianen i forhold til planet vinkelret på symmetriaksen (fig. 1a). Derfor er snitkræfterne: normalkraften Nφ i meridianretningen og normalkraften Nϑ i ringretningen (fig. 1b). Forskydningskræfterne Nφϑ forekommer ikke ved rotationssymmetrisk spænding. Belægningen pr. arealenhed angives på følgende måde (fig. 1b): Y tangentialt til meridianen, positiv i den retning, hvor φ vokser, Z normal til skallen, positiv mod symmetriaksen.
Fig. 1
Fig. 2
Lad krumningsradius for meridianen være r1. Den er en funktion af vinklen φ, så meridianens form bestemmes ved ligningen _r1=r1(_φ) . Denne kan betragtes som ligningen for meridianen og lyder f.eks.
til cirkel r1=a=const.
for parabelen r1=a/cos3__φ
for ellipsen r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
For at beregne normalkraften N__φ i meridianens retning skal ligevægtsbetingelsen for den del af skallen, der ligger over den parallelle cirkel φ (fig. 2), opstilles. Resultanten R af lasterne Y og Z, der virker på denne del, er på grund af symmetrien lodret. Dens størrelse fås ved integration over skallens overflade fra φ’=0 til φ’=φ. Skallelementets areal er dF=r1d__φ’*rd__ϑ, så belastningens lodrette komponent er (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. For hele den ringformede del af skallen, der ligger mellem cirklerne φ’ og φ’+dφ’, er resultantens ydre belastning:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
hvorved man ved integration over φ’ for den del af skallen, der ligger over den parallelle cirkel φ’=φ, får:
Lign. 1
Denne belastning optages af normalkræfter i meridianretningen, som virker langs omkredsen af den betragtede cirkel; den vertikale komponent af resultantkraften af disse kræfter er 2__πr * N__φ sin__φ, og ved ligestilling heraf fås den søgte normalkraft
Lign. 2
Hvis skallen i den øverste del er afskåret langs cirklen φ=φ0 (f.eks. en lysåbning i en kuppel), er integrationsgrænsen nederst naturligvis φ0 og ikke nul. Hvis der på kanten af den således dannede skal også virker en belastning R0, skal den også lægges til resultantens R (fig. 3).
Fig. 3
For at bestemme normalkraften N__ϑ skal man opstille ligevægtsbetingelsen for skalleelementet vinkelret på tangentplanet (fig. 4). Resultanten af den ydre belastning i denne retning er Z r1 d__φ r d__ϑ. Kræfterne N__φ*r d__ϑ, som ligger i meridianplanet, danner indbyrdes en lille vinkel d__φ, så deres resultant i retning af skallenormen er N__φ r d__ϑ*dφ. Tilsvarende har kræfterne Nϑ r1 dφ, som ligger i horisontalkredsens plan og indbyrdes danner vinklen dϑ, en resultant Nϑ r1 dφ*dϑ, som også ligger i horisontalkredsens plan og derfor med skallenormen danner vinklen 0,5_π-φ_, således at kun deres komponent Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ indgår i ligevægtsbetingelsen. Ligevægtsbetingelsen lyder derfor
eller, når den divideres med r r1 dϑ dφ:
En.3
Her er ved r2=r/sinφ betegnet den anden hovedkrumningsradius for skallen.
Fig. 4
Rund kuppel
Når meridianens form er analytisk givet ved ligningen r1=r1(φ) og når de analytiske udtryk for lasterne Y(φ) og Z(φ) er givet, kan skærkræfterne i skallen altid bestemmes ved integration i lukket form eller numerisk ved hjælp af Simpson-reglen. For en cirkulær kuppel med diameteren a gives nedenfor skærkræfterne for nogle lasttilfælde:
Den sidste formel, som for φ=0 giver uendeligt store tværkræfter, gælder først i en vis afstand fra kraftens angrebspunkt. I umiddelbar nærhed af det sted, hvor kraften virker, selv når den er fordelt over cirklens overflade med en endelig men lille diameter, overføres belastningen hovedsageligt ved bøjning.
Former for skaller åbne i den øverste del kan udledes af de foregående, hvis der til den virkelige last tilføjes en fiktiv last P i toppen, hvis størrelse bestemmes således, at den samlede normale kraft i meridianretningen, der virker på skallens øverste kant φ=φ0, er Nφ=0, eller er lig med en eller anden værdi bestemt af de ydre kræfter, som skallen optager her.
Konisk skal
Fig. 5
Ved en kegleskal kan meridianens hældning φ ikke anvendes som koordinat, da den har samme værdi i alle punkter. I stedet indføres afstanden s fra kuplens top målt langs generatrisen (fig. 5). Normalkraften i meridianretningen betegnes tilsvarende med Ns. De nødvendige former kan fås ud fra de ovenfor nævnte under 1, når der udføres en grænseovergang. Af ligning (2) fås på den måde
og fra ligning (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
For de vigtigste belastningstilfælde gælder følgende formler:
Grafisk fremgangsmåde for vilkårlig form af meridianen
Fig. 6
Når meridiankurven ikke er angivet ved et analytisk udtryk, men f.eks. grafisk, er bestemmelsen af krumningsradius alt for vanskelig og alt for upræcis. I så fald er det mere hensigtsmæssigt at anvende en grafisk fremgangsmåde (fig. 6).
Skallen opdeles med et større antal planer φ=const., vægtene Δ_R_ af ringzonerne, som ligger mellem planerne, beregnes, og det er bedst straks at dividere med 2_π_. Disse kræfter ΔR/2π indføres i kraftplanen (fig. 6b). Hvis man derefter f.eks. gennem delingspunktet 7 trækker en ret linje parallel med tangenten til meridianen i punktet på meridianen 7, vil en horisontal gennem det øverste punkt i kraftplanen skære denne i længden R1/2π sinφ7, hvorfra man på grundlag af ligning (2) ved division med den tilsvarende r får den tilsvarende normalkraft i meridianens retning.
Til bestemmelse af kræfterne i ringene anvendes ligevægtsbetingelsen for de horisontale kræfter på et skallelement. Hvis der kun virker vertikale laster, lyder denne betingelse (fig. 4):
Når dφ her erstattes med den endelige forskel Δφ, som svarer til den antagne inddeling af skallen, og når længden Δs af meridianelementet indsættes i stedet for r1 dφ, fås heraf
I parentesen på højre side står afskæringen på den vandrette linje i kraftplanen. Hele højresiden repræsenterer derfor stykkerne mellem opdelingspunkterne på denne linje. For at kunne aflæse dem tilstrækkeligt nøjagtigt, skal kraftplanen tegnes omhyggeligt og i en tilstrækkelig stor målestok.
Trukne og trykkede ringe
Hver rotationssymmetrisk skal er afgrænset af en eller to horisontale cirkler (fig. 7). Ved disse kanter kan den principielt kun optage sådanne laster og understøtningsreaktioner, som har retning langs meridianens tangent. Hvis de ydre kræfter har en anden retning, som f.eks. belastningen P fra konstruktionens øverste del eller reaktionen S fra bunden af den beholder, der er vist på fig. 97, må disse kræfter, som vist på figuren, opdeles i komponenter i retning af den horisontale cirkel og tangenten til meridianen. Komponenten P/sinφ0 eller S/sinφu er lig normalkraften i meridianens retning Nφ, som virker på dette sted, mens der for at optage den horisontale kraft Pctgφ0 eller Sctgφu kræves en ring, der optager træk, hhv. tryk, og i hvilken denne radiale belastning fremkalder en normalkraft + P r0 ctgφ0, hhv. -S ru ctgφu. Sådanne ringe skal, ud over ved skallens kanter, også anbringes på alle de steder, hvor meridiankurven har knæk. De medfører altid en forstyrrelse af membranspændingstilstanden.
Fig. 7
Spændinger som følge af bøjning i rotationssymmetriske skaller
Formerne i membranteorien indeholder ikke et tilstrækkeligt antal integrationskonstanter til, at alle randbetingelser, som faktisk svarer til det givne problem, kan opfyldes. Særligt for rotationssymmetriske skaller er det ikke muligt ved et passende valg af integrationskonstanter at opnå, at dilatationen εϑ = Nϑ/Et i ringretningen langs skallens rand bliver lig den tilsvarende dilatation i en anden konstruktiv del, som er stift forbundet med den på dette sted. Det samme gælder for skaller, hvor krumningen af meridianen, skallens tykkelse eller belastningen pr. arealenhed ændrer sig springvis langs en vandret cirkel. Selv når skallen langs en kant ikke er afstivet af en ring, men på dette sted er belastet med kræfter, der har en komponent i retning af normalen til skallen (f.eks. belastningen P på fig. 7, når man forestiller sig, at ringen er fjernet), kan den ikke optage sådanne belastninger alene via membrankræfter. I sådanne tilfælde spiller tværkraften og bøjningsmomenterne (fig. 8) en væsentlig rolle for kraftfordelingen i skallen, hvilket må tages i betragtning i den statiske beregning.
Fig. 8
En nøjagtig beregning af skallets bøjningspåvirkning er, bortset fra det enkleste specialtilfælde med en cylindrisk skal, en meget vanskelig opgave. For skaller med tynde vægge kan man opstille en enkel og meget anvendelig tilnærmet teori, som bygger på det forhold, der er kendt fra den strenge teori, at spændingerne som følge af bøjning er begrænset til en relativt smal zone nær kanten og aftager hurtigt med stigende afstand fra kanten. Dette gør det muligt at se bort fra et stort antal led i den nøjagtige differentialligning, så denne får en forenklet form.
Hvis man inden for den randspænding, som kun er interessant κ, erstatter den med middelværdien, hvilket næsten altid er muligt, er ligningens løsning
Enhed. 4 og 5
hvor a1, b1, a2, b2 er integrationskonstanter. Da løsningen kun er interessant nær kanten φ=φ0, er det hensigtsmæssigt at indføre den vinkelformede afstand ω=φ0-φ eller ω=φ-φ0 fra denne kant som koordinat, og ved transformation af ovenstående løsning fås det andet anførte udtryk. Her optræder kun to integrationskonstanter A, B eller C, ψ, da den anden del af løsningen, som indeholder faktoren eκω, og som derfor ikke aftager med stigende ω, kan udelades fra betragtningen.
På grundlag af ligning 5 fås følgende værdier for tværsnitskræfterne og drejningen κ af meridianens tangent:
Spændinger som følge af bøjning i beholdere med cirkulær cylinderform
Lad os antage, at en cylindrisk beholder med højden h er fyldt med vand (fig. 9), så er vandtrykket i højden x over bunden i beholderen p=γ(h-x). Hvis der i denne højde skæres en ring ud af beholderen ved to horisontale snit med afstanden dx. og denne deles langs en diameter i to dele, giver ligevægtsbetingelsen for den ene del membrankraften i ringen Nφ=pa. Hvis beholderens tykkelse på dette sted er t, er deformationen i ringen εφ=Nφ/Et, og dermed er forøgelsen af beholderens radius (nedbøjningen)
Ved den nederste rand x=0 er derfor
Fig. 9
Hverken det ene eller det andet er som regel i overensstemmelse med randbetingelserne, fordi væggen ikke kan deformeres på grund af forbindelsen med reservoarens bund. Her optræder de tværgående kræfter Qx0 og momenterne Mx0 (fig. 11) i forbindelsen mellem bunden og cylindervæggen, og deres størrelse skal bestemmes sådan, at de sammen med de netop beregnede membrankræfter i skallen fremkalder denne deformation ved skalens rand, som bunden tillader.
Fig. 10, 11, 12, henholdsvis
På fig. 11 er vist et skal-element dx*a dφ med de kræfter, der virker på det. Ligevægtsbetingelsen for kræfter i retningen af normalen til skallen giver
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
hvorfra der ved division med dx dφ:.
a Q’x + Nφ = p a.
Ud fra betingelsen om, at momentet omkring den horisontale tangent til cylinderen er nul, fås:
dM/dx = M’x = Qx
Ved at eliminere den transversale kraft Qx fra disse to ligninger følger
a M’’x + Nφ = p a.
Lign. 6
I denne ligning kan disse ukendte tværkræfter udtrykkes ved hjælp af nedbøjningen w. For Nφ er det allerede fundet, at Nφ=Etw/a, og momentet er proportionalt med meridianens krumning w’’, dvs. Mx=Kw’’, hvor K=Et3/12(1-μ2) ligesom for plader er skalmens stivhed, som kan være variabel med x. Når disse udtryk for de gennemsnitlige kræfter indsættes i ligning (6), fås den differentialligning, der gælder for reservoirteorien:
For en beholder, hvis vægtykkelse er uændret, lyder løsningen:
En.7
hvor λ4=3(1-μ2)/a2t2. Hvis λh er stor (f.eks. større end 3), er det mere hensigtsmæssigt i stedet for hyperbolske funktioner at indføre eksponentielle, og da er:
En.8
Da kan konstanterne A1, B1 bestemmes uafhængigt af hinanden ud fra randbetingelserne ved den nederste kant, og konstanterne A2, B2 ud fra randbetingelserne ved den øverste kant, hvorved der som regel opnås A2=B2=0. På grundlag af ligning (8) og (7) fås de tværgående kræfter, når beregningen udføres i omvendt retning og ligning (8) og (7) indføres overalt; således f.eks. for A2=B2=0:
Når reservoires vægge er stift indspændt i en plade i bunden af reservoiret, som er tilstrækkeligt tyk til at kunne betragtes som stiv, skal konstanterne A1, B1 bestemmes ud fra betingelserne at x=0, w=0 og w’=0 hvorefter man får:
Hvis tankens bund er en elastisk plade eller skal, skal tværkræfterne Qx og momenterne Mx langs randkredsen mellem bunden og cylindervæggen bestemmes ved metoder fra teorien om statisk ubestemte systemer på grundlag af kravet om, at Mx og w’ for begge dele har samme værdi.