Chamam-se cascas aos elementos de superfície cuja superfície média não é plana, mas sensivelmente abaulada. O seu comportamento estático difere consideravelmente do comportamento de uma placa. Quando têm a forma adequada, o seu esforço é consideravelmente menor, a sua rigidez proporcionalmente maior e o cálculo, na maioria dos casos, mais simples.
O estado de tensões de cada casca pode ser decomposto em duas partes: tensão membranar e flexão. As tensões membranares, de forma semelhante às tensões numa placa carregada no seu próprio plano, podem ser expressas por meio das forças seccionais no plano tangencial – por exemplo, na seção x=const., a força normal _Nx=_σx*t e a força de corte _Nxy=_τxy*t, onde t é a espessura da casca. As tensões devidas à flexão são as mesmas que nas placas e podem ser representadas pelos momentos de flexão Mx, momentos torsionais Mxy e forças de corte Qx.
As propriedades essenciais das cascas baseiam-se no fato de que, em regra, as tensões devidas à flexão não têm nem a magnitude nem a importância das tensões membranares, de modo que muitas vezes podem ser totalmente desconsideradas. Nesse caso, todas as tensões estão uniformemente distribuídas pela espessura da casca e atuam tangencialmente à superfície média. Os cálculos baseados nesses pressupostos enquadram-se na teoria membranar das cascas.
Teoria de membrana de cascas rotacionalmente simétricas sob carga rotacionalmente simétrica
Fórmulas gerais
Como linhas coordenadas adotam-se os meridianos e os círculos paralelos na superfície média da casca, sendo assim as coordenadas: azimute ϑ (“longitude geográfica”) e inclinação φ da tangente ao meridiano em relação ao plano perpendicular ao eixo de simetria (fig. 1a). Assim, as forças de secção são: força normal Nφ na direção do meridiano e força normal Nϑ no anel (fig. 1b). As forças de corte Nφϑ não aparecem em tensões de simetria rotacional. A carga por unidade de superfície é indicada da seguinte forma (fig. 1b): Y tangencial ao meridiano, positiva no sentido em que φ aumenta, Z normal à casca, positiva em direção ao eixo de simetria.
Fig. 1
Fig. 2
Seja o raio de curvatura do meridiano r1. Ele é função do ângulo φ, pelo que a equação _r1=r1(_φ) define a forma do meridiano. Esta pode ser considerada a equação do meridiano e tem, por exemplo, a seguinte forma.
para o círculo r1=a=const.
para a parábola r1=a/cos3__φ
para a elipse r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Para calcular a força normal N__φ na direção do meridiano, deve-se estabelecer a condição de equilíbrio da parte da casca situada acima do círculo paralelo φ (fig. 2). A resultante R das cargas Y e Z que atuam sobre esta parte é vertical, devido à simetria. O seu valor obtém-se integrando sobre a superfície da casca de φ’=0 até φ’=φ. A área do elemento da casca é dF=r1d__φ’*rd__ϑ, pelo que a componente vertical do carregamento é (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Para todo o trecho anular da casca situado entre os círculos φ’ e φ’+dφ’, a resultante da carga externa é:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
de onde, integrando em relação a φ’ para a parte da casca que se encontra acima do círculo paralelo φ’=φ, obtém-se:
Equação 1
Essa carga é recebida por forças normais na direção do meridiano, que atuam ao longo da circunferência do círculo considerado; a componente vertical da resultante dessas forças é 2__πr * N__φ sin__φ, e, pela igualdade, obtém-se daí a força normal procurada
Eq. 2
Se a casca, na parte superior, for cortada ao longo do círculo φ=φ0 (por exemplo, uma abertura de iluminação na cúpula), o limite inferior da integral é, naturalmente, φ0, e não zero. Se na borda da casca assim obtida atuar também o carregamento R0, este deve igualmente ser acrescentado à resultante R (fig. 3).
Fig. 3
Para determinar a força normal N__ϑ, deve-se estabelecer a condição de equilíbrio do elemento da casca perpendicular ao plano tangencial (fig. 4). A resultante da carga externa nessa direção é Z r1 d__φ r d__ϑ. As forças N__φ*r d__ϑ que se situam no plano meridional formam entre si um pequeno ângulo d__φ, de modo que a sua resultante na direção da normal à casca é N__φ r d__ϑ*dφ. De modo análogo, as forças Nϑ r1 dφ que se situam no plano do círculo horizontal e formam entre si o ângulo dϑ têm como resultante Nϑ r1 dφ*dϑ, que também se situa no plano do círculo horizontal e, portanto, com a normal à casca forma o ângulo 0,5_π-φ_, de modo que na condição de equilíbrio entra apenas a sua componente Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. A condição de equilíbrio, portanto, é
ou, quando dividido por r r1 dϑ dφ:
Eq. 3
Aqui, com r2=r/sinφ está обозначado o segundo raio principal de curvatura da casca.
Fig. 4
Cúpula circular
Quando a forma do meridiano é dada analiticamente pela equação r1=r1(φ) e quando para as cargas Y(φ) e Z(φ) são dadas expressões analíticas, as forças de corte na casca podem sempre ser determinadas por integração em forma fechada ou numericamente, usando a regra de Simpson-. Para uma cúpula circular de diâmetro a, a seguir são apresentadas as forças de corte para alguns casos de carregamento:
A última expressão, que para φ=0 produz forças cortantes infinitamente grandes, só é válida a uma certa distância do ponto de aplicação da força. Na proximidade imediata do local onde atua a força, mesmo quando ela é distribuída pela superfície de um círculo de diâmetro finito mas pequeno, o carregamento é transmitido sobretudo por flexão.
As formas para cascas abertas na parte superior podem ser obtidas a partir das anteriores, se à carga real se adicionar uma carga fictícia P no vértice, cujo valor se determina de modo que a força normal total na direção do meridiano que atua na aresta superior da casca φ=φ0 seja Nφ=0, ou igual a algum valor determinado pelas forças externas que a casca recebe aqui.
Casca cónica
Fig. 5
Numa casca cónica, a inclinação do meridiano φ não pode ser utilizada como coordenada, pois tem o mesmo valor em todos os pontos. Em seu lugar, introduz-se a distância s do vértice da cúpula, medida ao longo da geratriz (fig. 5). A força normal na direção do meridiano обозначa-se, de acordo com isso, por Ns. Os esquemas necessários podem ser obtidos dos indicados em 1 quando se efetuar a passagem ao limite. Da equação (2) obtém-se assim
e a partir da equação (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Para os casos de carregamento mais importantes, aplicam-se as seguintes expressões:
Processo gráfico para qualquer forma de meridiano
Fig. 6
Quando a curva meridiana não é dada por uma expressão analítica, mas, por exemplo, graficamente, a determinação do raio de curvatura é demasiado difícil e demasiado imprecisa. Nesse caso, é mais conveniente utilizar o procedimento gráfico (fig. 6).
A casca divide-se por um maior número de planos φ=const., calculam-se os pesos Δ_R_ das zonas anulares que se encontram entre os planos e é melhor dividi-los logo por 2_π_. Estas forças ΔR/2π são lançadas no plano de forças (fig. 6b). Se, por exemplo, através do ponto de divisão 7 se traçar uma reta paralela à tangente ao meridiano no ponto do meridiano 7, a horizontal que passa pelo ponto superior do plano de forças cortá-la-á ao longo de R1/2π sinφ7 a partir da qual, com base na equação (2), dividindo pelo respetivo r, se obtém a correspondente força normal na direção do meridiano.
Para determinar as forças nos anéis serve a condição de equilíbrio das forças horizontais num elemento da casca. Se atuarem apenas cargas verticais, esta condição é: (fig. 4):
Quando aqui dφ é substituído pela diferença finita Δφ, que corresponde à subdivisão adotada da casca, e quando, em vez de r1 dφ, se introduz o comprimento Δs do elemento do meridiano, obtém-se daqui
No parêntese à direita está indicado o trecho da reta horizontal no plano de forças. Todo o lado direito representa, portanto, os segmentos entre os pontos de divisão nessa reta. Para que possam ser lidos com precisão suficiente, o plano de forças deve ser desenhado cuidadosamente e numa escala suficientemente grande.
Anéis tracionados e comprimidos
Cada casca rotacionalmente simétrica é limitada por um ou dois círculos horizontais (fig. 7). Nessas bordas ela pode, em princípio, receber apenas tais cargas e reações de apoio que tenham a direção da tangente ao meridiano. Se as forças externas tiverem outra direção, como por exemplo a carga P da parte superior da estrutura ou a reação S do fundo do reservatório mostrado na fig. 97, essas forças devem ser, como mostrado na figura, decompostas em componentes na direção do círculo horizontal e da tangente ao meridiano. A componente P/sinφ0 ou S/sinφu é igual à força normal na direção do meridiano Nφ que atua nesse ponto, enquanto, para receber a força horizontal Pctgφ0 ou Sctgφu, é necessário um anel que suporte tração, resp. compressão, e no qual essa carga radial provoca a força normal + P r0 ctgφ0, resp. -S ru ctgφu. Esses anéis, além das bordas da casca, devem também ser colocados em todos os locais onde a curva do meridiano apresenta uma descontinuidade. Eles sempre provocam uma perturbação do estado membranar de tensões.
Fig. 7
Tensões devidas à flexão em cascas rotacionalmente simétricas
Os esquemas da teoria da membrana não contêm um número suficiente de constantes de integração para que possam ser satisfeitas todas as condições de contorno que correspondem efetivamente ao problema colocado. Em especial, no caso de cascas rotacionalmente simétricas, não é possível, mediante uma escolha conveniente das constantes de integração, fazer com que a dilatação εϑ = Nϑ/Et na direção do anel ao longo da borda da casca seja igual à dilatação correspondente de algum outro elemento estrutural que esteja rigidamente ligado a ela nesse ponto. O mesmo se aplica às cascas em que, ao longo de um círculo horizontal, a curvatura do meridiano, a espessura da casca ou a carga por unidade de área mudam abruptamente. Mesmo quando a casca, ao longo de uma borda, não está rigidamente reforçada por um anel, mas nesse ponto está submetida a forças que têm uma componente na direção da normal à casca (por exemplo, a carga P na fig. 7, se se imaginar que o anel foi removido), ela não pode receber tais cargas apenas por meio de forças de membrana. Nestes casos, a força cortante e os momentos de flexão (fig. 8) desempenham um papel essencial na distribuição das forças na casca, o que deve ser considerado no cálculo estático.
Fig. 8
O cálculo exato de uma casca à flexão, exceto no caso especial mais simples da casca cilíndrica, constitui uma tarefa muito difícil. Para cascas de paredes delgadas, pode ser desenvolvida uma teoria aproximada simples e muito útil, baseada no facto conhecido da teoria rigorosa de que as tensões devidas à flexão se limitam a uma zona relativamente estreita junto à borda e diminuem rapidamente com o aumento da distância à borda. Isto permite desprezar um grande número de termos na equação diferencial exata, que assim adquire uma forma simplificada.
Se, no interior da borda elástica, que é a única de interesse κ, esta for substituída pelo valor médio, e isso é quase sempre possível, a solução da equação é
Eq. 4 e 5
onde a1, b1, a2, b2 são constantes de integração. Como a solução é interessante apenas nas proximidades da borda φ=φ0, é conveniente introduzir como coordenada a distância angular ω=φ0-φ ou ω=φ-φ0 a partir dessa borda; assim, pela transformação da solução acima, obtém-se a outra expressão indicada. Aqui aparecem apenas duas constantes de integração A, B ou C, ψ, pois a segunda parte da solução, que contém o fator eκω e, portanto, não diminui com o aumento de ω, pode ser excluída da consideração.
Com base na equação 5, obtêm-se os seguintes valores para os esforços cortantes e a rotação κ da tangente meridiana:
Tensões de flexão em reservatórios de forma cilíndrica circular
Se um reservatório cilíndrico de altura h estiver cheio de água (fig. 9), então, à altura x acima da base do reservatório, a pressão da água é p=γ(h-x). Se, nesta altura, a partir de dois cortes horizontais separados por dx, se cortar do reservatório um anel e este for dividido ao longo de um diâmetro em duas partes, a condição de equilíbrio de uma delas fornece a força de membrana no anel Nφ=pa. Se a espessura do reservatório nesse ponto for t, a dilatação no anel é εφ=Nφ/Et e, portanto, o aumento do raio do reservatório (flecha) é
Na borda inferior x=0 é, portanto
Fig. 9
Nem uma nem outra, em regra, estão de acordo com as condições de fronteira, porque a deformação da parede é impedida pela ligação com o fundo do reservatório. Nessa ligação entre o fundo e a parede do cilindro surgem forças transversais Qx0 e momentos Mx0 (fig. 11), cuja magnitude deve ser determinada de modo que, juntamente com as forças de membrana já calculadas na casca, provoquem essa deformação na borda da casca permitida pelo fundo.
Fig. 10, 11, 12, respetivamente
Na fig. 11 é apresentado o elemento da casca dx*a dφ com as forças que atuam sobre ele. A condição de equilíbrio das forças na direção da normal à casca fornece
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
de onde, dividindo por dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Da condição de que o momento em torno da tangente horizontal ao cilindro é nulo, obtém-se:
dM/dx = M’x = Qx
Pela eliminação da força transversal Qx destas duas equações segue-se
a M’’x + Nφ = p a.
Eq. 6
Nesta equação, estas forças seccionais desconhecidas podem ser expressas em função da flecha w. Para Nφ já se obteve Nφ=Etw/a, e o momento é proporcional à curvatura do meridiano w’’, isto é, Mx=Kw’’, sendo que, tal como nas placas, K=Et3/12(1-μ2) é a rigidez da casca, que pode variar com x. Se estas expressões para as forças médias forem introduzidas na equação (6), obtém-se a equação diferencial da teoria dos reservatórios:
Para um reservatório cuja espessura da parede é constante, a solução é:
Eq. 7
onde λ4=3(1-μ2)/a2t2. Se λh for grande (digamos, superior a 3), é mais conveniente introduzir funções exponenciais em vez de funções hiperbólicas, pelo que:
Eq. 8
Então, as constantes A1, B1 podem ser determinadas independentemente umas das outras a partir das condições de contorno na borda inferior, e as constantes A2, B2 a partir das condições de contorno na borda superior, sendo que, em regra, obtém-se A2=B2=0. Com base nas equações (8) e (7), obtêm-se os esforços transversais, quando o cálculo é efetuado no sentido inverso e se introduzem em todo o lado a equação (8) e (7); assim, por exemplo, para A2=B2=0:
Quando as paredes do reservatório estão rigidamente engastadas na placa, no fundo do reservatório, que é suficientemente espesso para ser considerado rígido, as constantes A1, B1 devem ser determinadas a partir das condições de que x=0, w=0 e w’=0, obtendo-se:
Se o fundo do reservatório for uma placa elástica ou uma casca, as forças transversais Qx e os momentos Mx ao longo do anel de bordo entre o fundo e a parede do cilindro devem ser determinados por métodos da teoria dos sistemas estaticamente indeterminados, com base na exigência de que Mx e w’ tenham o mesmo valor para ambas as partes.