Láminas denomínanse os soportes superficiais cuxa superficie media non é plana, senón visiblemente abombada. O seu comportamento estático difire considerablemente do dunha táboa. Cando teñen unha forma axeitada, o seu esforzo é notablemente menor, a súa rixidez é proporcionalmente maior e o cálculo, na maioría dos casos, máis sinxelo.
A tensión de cada casca pode descompoñerse en dúas partes: tensión membranal e flexión. As tensións membranais, do mesmo xeito que as tensións nunha placa cargada no seu plano, poden expresarse mediante as forzas seccionais no plano tanxencial – por exemplo, na sección x=const. a forza normal _Nx=_σx*t e a forza cortante _Nxy=_τxy*t, onde t é o espesor da casca. As tensións debidas á flexión son as mesmas que nas placas e poden representarse mediante momentos de flexión Mx, momentos torsionais Mxy e forzas cortantes Qx.
As propiedades esenciais das cascas baséanse no feito de que, por regra xeral, as tensións debidas á flexión non teñen nin a magnitude nin a importancia das tensións membranais, de modo que a miúdo poden desprezarse por completo. Nese caso, todas as tensións distribúense uniformemente ao longo do espesor da casca e actúan tanxencialmente sobre a superficie media. Os cálculos baseados nestas supostos entran no marco da teoría membranal das cascas.
Teoría de membrana das cascas rotacionalmente simétricas baixo carga rotacionalmente simétrica
Formas xerais
Como liñas de coordenadas tómase os meridianos e os círculos paralelos na superficie media da casca, polo que as coordenadas son: azimut ϑ (“lonxitude xeográfica”) e inclinación φ da tanxente ao meridiano con respecto ao plano perpendicular ao eixe de simetría (fig. 1a). Polo tanto, as forzas cortantes son: forza normal Nφ na dirección do meridiano e forza normal Nϑ no anel (fig. 1b). As forzas cortantes Nφϑ non aparecen no caso de esforzo rotacionalmente simétrico. A carga por unidade de superficie exprésase do seguinte xeito (fig. 1b): Y tanxencial ao meridiano, positiva no sentido en que φ aumenta, Z normal á casca, positiva cara ao eixe de simetría.
Fig. 1
Fig. 2
Sexa o raio de curvatura do meridiano r1. É función do ángulo φ, polo que mediante a ecuación _r1=r1(_φ) determínase a forma do meridiano. Esta pode considerarse como a ecuación do meridiano e exprésase, por exemplo.
para o círculo r1=a=const.
para a parábola r1=a/cos3__φ
para a elipse r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Para calcular a forza normal N__φ na dirección do meridiano cómpre establecer a condición de equilibrio da parte da casca situada por riba do círculo paralelo φ (fig. 2). A resultante R das cargas Y e Z que actúan sobre esta parte é vertical, atendendo á simetría. O seu valor obtense integrando pola superficie da casca desde φ’=0 ata φ’=φ. A superficie do elemento de casca é dF=r1d__φ’*rd__ϑ, polo que a compoñente vertical da carga (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Para todo o tramo anular da casca situado entre os círculos φ’ e φ’+dφ’ a resultante da carga externa é:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
a partir de onde, integrando respecto de φ’ para a parte da casca situada por riba do círculo paralelo φ’=φ, obtense:
Ecuación 1
Esta carga é asumida polas forzas normais na dirección do meridiano, que actúan ao longo da circunferencia do círculo considerado; a compoñente vertical da resultante destas forzas é 2__πr * N__φ sin__φ, polo que, igualando, obtense aquí a forza normal buscada
Ec. 2
Se a casca está cortada na parte superior ao longo do círculo φ=φ0 (por ex., unha abertura de iluminación na cúpula), o límite inferior da integral é, como é lóxico, φ0, e non cero. Se no bordo da casca así formada actúa tamén a carga R0, esta tamén debe sumarse á resultante R (fig. 3).
Fig. 3
Para determinar a forza normal N__ϑ cómpre formular a condición de equilibrio do elemento da casca perpendicular ao plano tanxencial (fig. 4). A resultante da carga externa nesta dirección é Z r1 d__φ r d__ϑ. As forzas N__φ*r d__ϑ que se atopan no plano meridiano forman entre si un pequeno ángulo d__φ, polo que a súa resultante na dirección da normal á casca é N__φ r d__ϑ*dφ. Do mesmo xeito, as forzas Nϑ r1 dφ que se atopan no plano do círculo horizontal e forman entre si un ángulo dϑ teñen como resultante Nϑ r1 dφ*dϑ, que tamén se atopa no plano do círculo horizontal e, polo tanto, coa normal á casca forma un ángulo 0,5_π-φ_, de modo que na condición de equilibrio só entra a súa compoñente Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. A condición de equilibrio, por tanto, é
ou, ao dividir entre r r1 dϑ dφ:
Un.3
Aquí, con r2=r/sinφ, indícase o segundo raio principal de curvatura da casca.
Fig. 4
Cúpula circular
Cando a forma do meridiano está dada analiticamente pola ecuación r1=r1(φ) e cando para as cargas Y(φ) e Z(φ) se dan expresións analíticas, as forzas cortantes na casca poden determinarse sempre por integración en forma pechada ou numericamente, empregando a regra de Simpson. Para a cúpula circular de diámetro a, a continuación dáse as forzas cortantes para algúns casos de carga:
A última expresión, que para φ=0 dá forzas cortantes infinitamente grandes, é válida só a certa distancia do punto de aplicación da forza. Nas proximidades inmediatas do lugar onde actúa a forza, mesmo cando esta está distribuída pola superficie dun círculo de diámetro finito pero pequeno, a carga transmítese principalmente por flexión.
Os modelos para cascas abertas na parte superior poden derivarse dos anteriores, se á carga real se lle engade unha carga ficticia P no vértice, cuxa magnitude se determina de tal maneira que a forza normal total na dirección do meridiano que actúa no bordo superior da casca φ=φ0 sexa Nφ=0, ou sexa igual a algún valor determinado polas forzas externas que a casca recibe aquí.
Casca cónica
Fig. 5
No caso da cuncha cónica, a pendente do meridiano φ non pode empregarse como coordenada, porque ten o mesmo valor en todos os puntos. No seu lugar introdúcese a distancia s desde o vértice da cúpula medida ao longo da xeratriz (fig. 5). A forza normal na dirección do meridiano designarase en consecuencia como Ns. Os esquemas necesarios poden obterse dos indicados baixo 1 cando se realiza o paso límite. Da ecuación (2) obtense deste xeito
e da ecuación (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Para os casos de carga máis importantes aplican os seguintes esquemas:
Procedemento gráfico para unha forma arbitraria do meridiano
Fig. 6
Cando a curva do meridiano non se dá mediante unha expresión analítica, senón, por exemplo, de forma gráfica, a determinación do radio de curvatura resulta excesivamente difícil e excesivamente inexacta. Nese caso é máis axeitado empregar o procedemento gráfico (fig. 6).
A cuncha divídese por un maior número de planos φ=const., calcúlanse os pesos Δ_R_ das zonas anulares que se atopan entre os planos e o mellor é dividilos inmediatamente por 2_π_. Estas forzas ΔR/2π represéntanse no plano de forzas (fig. 6b). Se despois, por exemplo, a través do punto de división 7 se traza unha recta paralela á tanxente ao meridiano no punto do meridiano 7, a horizontal que pasa polo punto superior do plano de forzas cortará nela o segmento R1/2π sinφ7 do que, con base na ecuación (2), dividindo polo r correspondente, se obtén a forza normal correspondente na dirección do meridiano.
Para determinar as forzas nos aneis serve a condición de equilibrio das forzas horizontais nun elemento da casca. Se actúan só cargas verticais, esta condición é a seguinte (fig. 4):
Cando aquí dφ se substitúe pola diferenza finita Δφ, correspondente á división adoptada da cuncha, e cando no canto de r1 dφ se introduce a lonxitude Δs do elemento do meridiano, obtense de aquí
Na paréntese do lado dereito figuran as ordenadas sobre a recta horizontal no plano de forzas. En consecuencia, toda a parte dereita representa os segmentos entre os puntos de división sobre esta recta. Para que poidan lerse con suficiente precisión, o plano de forzas debe debuxarse con coidado e a unha escala suficientemente grande.
Anéis traccionados e comprimidos
Toda casca rotacionalmente simétrica está limitada por un ou dous círculos horizontais (fig. 7). Nestes bordos pode, en principio, recibir só aquelas cargas e reaccións dos apoios que teñen dirección tanxente ao meridiano. Se as forzas externas teñen outra dirección, como por exemplo a carga P da parte superior da estrutura ou a reacción S do fondo do depósito mostrado na fig. 97, estas forzas deben, tal como se amosa na figura, descompoñerse en compoñentes na dirección do círculo horizontal e da tanxente ao meridiano. A compoñente P/sinφ0 ou S/sinφu é igual á forza normal na dirección do meridiano Nφ que actúa nese lugar, mentres que para recibir a forza horizontal Pctgφ0 ou Sctgφu é necesario un anel que reciba tracción, é dicir, compresión, e no cal esta carga radial provoque unha forza normal + P r0 ctgφ0, é dicir, -S ru ctgφu. Estes aneis, ademais de nos bordos da casca, deben colocarse tamén en todos os lugares onde a curva do meridiano presenta unha ruptura. Sempre provocan unha perturbación do estado membranal de tensións.
Fig. 7
Tensións debidas á flexión en cascas de simetría de revolución
Os esquemas da teoría de membranas non conteñen un número suficiente de constantes de integración para que poidan cumprirse todas as condicións de contorno que realmente corresponden ao problema formulado. Especialmente no caso das cunchas de simetría rotacional, non é posible, mediante unha elección axeitada das constantes de integración, lograr que a dilatación εϑ = Nϑ/Et na dirección do anel ao longo do bordo da cuncha sexa igual á dilatación correspondente doutra parte estrutural que estea rigidamente unida a ela nese punto. O mesmo vale tamén para as cunchas nas que ao longo dun círculo horizontal cambia bruscamente a curvatura do meridiano, o espesor da cuncha ou a carga por unidade de superficie. E mesmo cando a cuncha ao longo dun bordo non está rigidizada por un anel, pero neste punto está sometida a forzas que teñen unha compoñente na dirección da normal á cuncha (por exemplo, a carga P na fig. 7 cando se supón que o anel foi retirado), non pode soportar tales cargas só mediante forzas de membrana. Nestes casos, a forza cortante e os momentos flectores (fig. 8) desempeñan un papel esencial na distribución das forzas na cuncha, o que debe terse en conta no cálculo estático.
Fig. 8
O cálculo exacto dunha casca á flexión, agás no caso especial máis sinxelo da casca cilíndrica, é unha tarefa moi difícil. Para as cascas de paredes delgadas pódese construír unha teoría aproximada simple e moi útil, baseada no feito, coñecido pola teoría rigorosa, de que as tensións debidas á flexión se limitan a unha zona relativamente estreita xunto ao bordo e diminúen rapidamente ao aumentar a distancia respecto do bordo. Isto permite desbotar un gran número de termos na ecuación diferencial exacta, que así adopta unha forma simplificada.
Se dentro da zona de bordo, que é a única que interesa, κ se substitúe polo valor medio, e isto é case sempre posible, a solución da ecuación é
Unid. 4 e 5
onde a1, b1, a2, b2 son constantes de integración. Como a solución é interesante só preto do bordo φ=φ0, é conveniente introducir como coordenada a distancia angular ω=φ0-φ ou ω=φ-φ0 respecto deste bordo, e mediante a transformación da solución indicada arriba obtense a outra expresión citada. Aquí aparecen só dúas constantes de integración A, B ou C, ψ, xa que a outra parte da solución que contén o factor eκω e, polo tanto, non diminúe co aumento de ω, pode excluírse da consideración.
A partir da ecuación 5 obtéñense os seguintes valores para as forzas cortantes e a rotación κ da tanxente do meridiano:
Tensións debidas á flexión en depósitos de forma cilíndrica circular
Sexa un depósito cilíndrico de altura h cheo de auga (fig. 9), entón á altura x por enriba de dous depósitos a presión da auga é p=γ(h-x). Se a esta altura, mediante dous cortes horizontais separados por dx, se corta do depósito un anel e este se divide ao longo dun diámetro en dúas partes, a condición de equilibrio dunha delas dá a forza de membrana no anel Nφ=pa. Se o espesor do depósito neste punto é t, a dilatación no anel é εφ=Nφ/Et e, por tanto, o aumento do radio do depósito (frecha) é
No bordo inferior x=0 é, polo tanto
Fig. 9
Ningunha das dúas cousas está, por regra xeral, en conformidade coas condicións de contorno, porque a deformación da parede queda impedida pola unión co fondo do depósito. Nesa unión entre o fondo e a parede do cilindro aparecen as forzas transversais Qx0 e os momentos Mx0 (fig. 11), cuxo valor debe determinarse de maneira que, xunto coas forzas de membrana acabadas de calcular na casca, provoquen esta deformación no bordo da casca que permite o fondo.
Fig. 10, 11, 12, respectivamente
Na fig. 11 preséntase o elemento da cuncha dx*a dφ coas forzas que actúan sobre el. A condición de equilibrio das forzas na dirección da normal á cuncha dá
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
de onde, dividindo por dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Da condición de que o momento arredor da tanxente horizontal ao cilindro sexa cero obtense:
dM/dx = M’x = Qx
Eliminando a forza transversal Qx destas dúas ecuacións obtense
a M’’x + Nφ = p a.
Eq. 6
Nesta ecuación estas forzas descoñecidas de corte poden expresarse mediante a frecha w. Para Nφ xa se atopou Nφ=Etw/a, e o momento é proporcional á curvatura do meridiano w’’, é dicir, Mx=Kw’’, sendo, igual que no caso das placas, K=Et3/12(1-μ2) a rixidez da casca, que pode ser variable con x. Se estas expresións das forzas medias se substitúen na ecuación (6), obtense a ecuación diferencial da teoría dos depósitos:
Para un depósito cuxa espesor da parede é constante, a solución é:
Un.7
onde λ4=3(1-μ2)/a2t2. Se λh é grande (digamos, maior ca 3), é máis conveniente introducir funcións exponenciais en lugar das hiperbólicas, e entón:
Un.8
Entón pódense determinar de forma independente unhas das outras as constantes A1, B1 a partir das condicións de contorno no bordo inferior, e as constantes A2, B2 a partir das condicións de contorno no bordo superior, obténdose por regra xeral A2=B2=0. A partir da ecuación (8) e (7) obtéñense as forzas cortantes, cando o cálculo se realiza en sentido inverso e en todas partes se introduce a ecuación (8) e (7); así, por exemplo, para A2=B2=0:
Cando as paredes do depósito están rigidamente empotradas na lousa, no fondo do depósito, que é suficientemente espeso para poder considerarse ríxido, as constantes A1, B1 deben determinarse a partir das condicións de que x=0, w=0 e w’=0, polo que se obtén:
Se o fondo do depósito é unha placa ou cuncha elástica, as forzas transversais Qx e os momentos Mx ao longo do círculo de bordo entre o fondo e a parede do cilindro deben determinarse mediante os métodos da teoría dos sistemas estáticamente indeterminados, en base ao requisito de que Mx e w’ para ambas as partes teñan o mesmo valor.