Skall er betegnelsen på overflatebærere, der midtflaten ikke er flat, men tydelig hvelvet. Deres statiske oppførsel avviker betydelig fra en plates oppførsel. Når de har en hensiktsmessig form, er spenningen deres betydelig mindre, stivheten tilsvarende større, og beregningen i de fleste tilfeller enklere.
Spenningen i ethvert skall kan deles i to deler: membranspenning og bøyning. Membranspenningene kan, på samme måte som spenningene i en plate belastet i sitt plan, uttrykkes ved hjelp av snittkrefter i tangentialplanet – dette er for eksempel i snittet x=const. normalkraften _Nx=_σx*t og skjærkraften _Nxy=_τxy*t, der t er skalltykkelsen. Spenningene som skyldes bøyning er de samme som for plater og kan representeres ved bøyningsmomenter Mx, torsjonsmomenter Mxy og skjærkrefter Qx.
De viktige egenskapene ved skall bygger på det forhold at spenningene som følge av bøyning som regel verken har størrelse eller betydning som membranspenningene, slik at de ofte helt kan neglisjeres. I så fall er alle spenninger jevnt fordelt over skalltykkelsen og virker tangensielt på middeloverflaten. Beregninger som bygger på disse forutsetningene, hører inn under membranteorien for skall.
Membranteori for rotasjonssymmetriske skall under rotasjonssymmetrisk last
Generelle skjemaer
Som koordinatlinjer velges meridianer og parallelle sirkler i skallens midtflate, slik at koordinatene er: azimut ϑ (“geografisk lengde”) og helning φ til tangenten på meridianen i forhold til planet vinkelrett på symmetriaksen (fig. 1a). Følgelig er skjærkreftene: normal kraft Nφ i meridianretningen og normal kraft Nϑ i ringretningen (fig. 1b). Skjærkreftene Nφϑ forekommer ikke ved rotasjonssymmetrisk spenning. Belastningen per flatenhet angis på følgende måte (fig. 1b): Y tangensielt til meridianen, positiv i den retningen φ øker, Z normalt på skallet, positiv mot symmetriaksen.
Fig. 1
Fig. 2
La krumningsradiusen til meridianen være r1. Den er en funksjon av vinkelen φ, så formen på meridianen er bestemt ved ligningen r1=r1(__φ). Denne kan betraktes som ligningen for meridianen og lyder for eksempel:
for sirkel r1=a=konst.
for parablen r1=a/cos3__φ
for ellipsen r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
For å beregne normalkraften N__φ i meridianretningen må man sette opp likevektsbetingelsen for den delen av skallet som ligger over den parallelle sirkelen φ (fig. 2). Resultanten R av lastene Y og Z som virker på denne delen, er vertikal på grunn av symmetrien. Størrelsen fås ved integrasjon over skallflaten fra φ’=0 til φ’=φ. Arealet av skall-elementet er dF=r1d__φ’*rd__ϑ, så den vertikale komponenten av belastningen er (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. For hele den ringformede delen av skallet som ligger mellom sirklene φ’ og φ’+dφ’ er resultant av den ytre belastningen:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
hvorav man ved integrasjon etter φ’ for den delen av skallet som ligger over den parallelle sirkel φ’=φ får:
Lign. 1
Denne belastningen opptas av normalkrefter i meridiansretningen, som virker langs omkretsen av den betraktede sirkelen; den vertikale komponenten av resultantkraften av disse kreftene er 2__πr * N__φ sin__φ, og ved å sette likt herav får man den søkte normalkraften
Lign. 2
Hvis skallet øverst er avskåret langs sirkelen φ=φ0 (f.eks. en lysåpning i en kuppel), er den nedre integrasjonsgrensen selvsagt φ0, og ikke null. Hvis det også virker en last R0 på kanten av skallet som er oppstått på denne måten, må også denne legges til resultantkraften R (fig. 3).
Fig. 3
For å bestemme normalkraften N__ϑ må likevektsbetingelsen for et skall-element normalt på tangentplanet oppstilles (fig. 4). Resultanten av den ytre belastningen i denne retningen er Z r1 d__φ r d__ϑ. Kreftene N__φ*r d__ϑ som ligger i meridianplanet danner en liten vinkel d__φ seg imellom, slik at deres resultant i retning av normalen på skallet er N__φ r d__ϑ*dφ. På samme måte har kreftene Nϑ r1 dφ som ligger i planet til den horisontale sirkel og danner vinkelen dϑ seg imellom, en resultant Nϑ r1 dφ*dϑ som også ligger i planet til den horisontale sirkel og derfor danner vinkelen 0,5_π-φ_ med normalen på skallet, slik at bare komponenten Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ inngår i likevektsbetingelsen. Likevektsbetingelsen lyder derfor
eller, når det deles med r r1 dϑ dφ:
En.3
Her er r2=r/sinφ betegnelsen på den andre hovedkrumningsradiusen for skallet.
Fig. 4
Kuppel med sirkelform
Når meridianens form er analytisk gitt ved ligningen r1=r1(φ) og når de analytiske uttrykkene for lastene Y(φ) og Z(φ) er gitt, kan skjærkreftene i skallet alltid bestemmes ved integrasjon i lukket form eller numerisk ved bruk av Simpson-regelen. For en sirkulær kuppel med diameter a gis nedenfor skjærkreftene for noen lasttilfeller:
Den siste formelen, som for φ=0 gir uendelig store skjærkrefter, gjelder først på en viss avstand fra kraftens angrepspunkt. I umiddelbar nærhet av stedet der kraften virker, selv når den er fordelt over en sirkel med endelig, men liten diameter, overføres lasten hovedsakelig ved bøyning.
Former for skall åpnet i den øvre delen kan utledes av de foregående dersom man til den reelle lasten legger en fiktiv last P i toppen, hvis størrelse fastsettes slik at den totale normalkraften i meridianretningen som virker på skallens øvre kant φ=φ0 er Nφ=0, eller er lik en eller annen verdi bestemt av ytre krefter som skallet mottar her.
Konisk skall
Fig. 5
Ved et konisk skall kan helningsvinkelen til meridianen φ ikke brukes som koordinat, fordi den har samme verdi i alle punkter. I stedet innføres avstanden s fra kuppeltoppen målt langs generatrisen (fig. 5). Normalkraften i meridianretningen betegnes følgelig med Ns. De nødvendige formene kan fås fra de ovenfor nevnte under 1 når grenseovergangen utføres. Fra ligning (2) fås på denne måten
og fra ligningen (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
For de viktigste lasttilfellene gjelder følgende uttrykk:
Grafisk fremgangsmåte for vilkårlig form på meridianen
Fig. 6
Når meridiankurven ikke er gitt ved et analytisk uttrykk, men for eksempel grafisk, er bestemmelsen av krumningsradiusen altfor vanskelig og altfor unøyaktig. I så fall er det mer hensiktsmessig å bruke en grafisk framgangsmåte (fig. 6).
Skallet deles inn med et større antall plan φ=const., vektene Δ_R_ til ringsonene som ligger mellom planene beregnes, og det er best å dele dem straks på 2_π_. Disse kreftene ΔR/2π føres inn i kraftplanet (fig. 6b). Hvis det deretter, for eksempel, gjennom delingspunktet 7 trekkes en linje parallell med tangenten til meridianen i punktet på meridianen 7, vil en horisontal gjennom det øverste punktet i kraftplanet skjære den langs R1/2π sinφ7, hvorfra den tilsvarende normalkraften i meridianretningen fås ved hjelp av likning (2) ved deling med den tilhørende r.
For å bestemme kreftene i ringene brukes likevektsbetingelsen for horisontale krefter på ett element av skallet. Hvis bare vertikale laster virker, lyder denne betingelsen (fig. 4):
Når dφ her erstattes med den endelige differansen Δφ, som svarer til den valgte inndelingen av skallet, og når lengden Δs av meridianelementet innføres i stedet for r1 dφ, fås herav
I parentesen på høyre side står avskjæringen på den horisontale linjen i kraftplanen. Hele høyre side utgjør derfor avsnittene mellom delingspunktene på denne linjen. For at de skal kunne leses av tilstrekkelig nøyaktig, må kraftplanen tegnes omhyggelig og i tilstrekkelig stor målestokk.
Strukne og trykkede ringer
Hver rotasjonssymmetrisk skallkonstruksjon er avgrenset av en eller to horisontale sirkler (fig. 7). Ved disse kantene kan den prinsipielt bare oppta slike laster og støtte reaksjoner som har retning langs tangenten til meridianen. Hvis ytre krefter har en annen retning, som for eksempel lasten P fra den øvre delen av konstruksjonen eller reaksjonen S fra bunnen av tanken vist på fig. 97, må disse kreftene, slik figuren viser, dekomponeres i komponenter i retning av den horisontale sirkelen og tangenten til meridianen. Komponenten P/sinφ0 eller S/sinφu er lik normalkraften i meridianretningen Nφ som virker på dette stedet, mens opptak av den horisontale kraften Pctgφ0 eller Sctgφu krever en ring som tar strekk, henholdsvis trykk, og hvor denne radielle belastningen fremkaller en normalkraft + P r0 ctgφ0, henholdsvis -S ru ctgφu. Slike ringer må, i tillegg til ved skallkantene, også plasseres på alle steder der meridiankurven har et brudd. De medfører alltid en forstyrrelse av membranspenningstilstanden.
Fig. 7
Spenningsforhold som følge av bøyning i rotasjonssymmetriske skall
Formene i membranteorien inneholder ikke et tilstrekkelig antall integrasjonskonstanter til at alle randbetingelsene som faktisk svarer til det stilte problemet kan oppfylles. Særlig for rotasjonssymmetriske skall er det ikke mulig ved et passende valg av integrasjonskonstanter å oppnå at tøyningen εϑ = Nϑ/Et i ringretningen langs skallets kant blir lik den tilsvarende tøyningen i en annen konstruktiv del som er stivt forbundet med den på dette stedet. Det samme gjelder også for skall der krumningen av meridianen, skalltykkelsen eller lasten per arealenhet endres brått langs en horisontal sirkel. Selv når skallet langs en kant ikke er stivet av med en ring, men på dette stedet er belastet med krefter som har en komponent i retning normal til skallet (f.eks. lasten P på fig. 7 når man tenker seg at ringen er fjernet), kan det ikke oppta slike laster bare gjennom membrankrefter. I slike tilfeller spiller skjærkraft og bøyemomenter (fig. 8) en vesentlig rolle for kraftfordelingen i skallet, noe som må tas i betraktning i den statiske beregningen.
Fig. 8
En nøyaktig beregning av en skalls bøyning, bortsett fra i det enkleste spesialtilfellet med en sylindrisk skall, er en meget vanskelig oppgave. For tynne skall kan det utarbeides en enkel og svært brukbar tilnærmet teori som bygger på det faktum, kjent fra den strenge teorien, at spenningsene som følge av bøyning er begrenset til en relativt smal sone nær kanten og avtar raskt med økende avstand fra kanten. Dette gjør det mulig å se bort fra et stort antall ledd i den eksakte differensialligningen, slik at denne får en forenklet form.
Dersom man inne i det randfeltet som bare er interessant κ erstatter med middelverdien, og dette er nesten alltid mulig, er løsningen av ligningen
Lign. 4 og 5
der a1, b1, a2, b2 er integrasjonskonstanter. Siden løsningen bare er interessant i nærheten av kanten φ=φ0, er det hensiktsmessig å innføre den vinkelmessige avstanden ω=φ0-φ eller ω=φ-φ0 fra denne kanten som koordinat, og ved transformasjon av den ovennevnte løsningen fås det andre oppgitte uttrykket. Her forekommer bare to integrasjonskonstanter A, B eller C, ψ, siden den andre delen av løsningen som inneholder faktoren eκω, og derfor ikke avtar med økende ω, kan utelates fra betraktningen.
På grunnlag av ligning 5 får man følgende verdier for snittkreftene og vridningen κ til meridiantangenten:
Spenninger som følge av bøyning i tanker av sirkulær sylinderform
La oss anta at en sylindrisk beholder med høyden h er fylt med vann (fig. 9); da er vanntrykket i høyden x over de to beholderne p=γ(h-x). Hvis man i denne høyden, langs to horisontale snitt med avstand dx, skjærer ut en ring fra beholderen og deler den langs en diameter i to deler, gir likevektsbetingelsen for den ene av dem membrankraften i ringen Nφ=pa. Hvis tykkelsen på beholderen på dette stedet er t, er tøyningen i ringen εφ=Nφ/Et og dermed økningen i beholderens radius (nedbøyningen) er
På den nederste kanten x=0 er derfor
Fig. 9
Verken det ene eller det andre er som regel i samsvar med randbetingelsene, fordi deformasjonen av veggen hindres av forbindelsen til bunnen av reservoaret. Ved forbindelsen mellom bunnen og sylinderveggen oppstår transversale krefter Qx0 og momenter Mx0 (fig. 11), hvis størrelse må bestemmes slik at de sammen med de nettopp beregnede membrankreftene i skallet fremkaller denne deformasjonen ved kanten av skallet som bunnen tillater.
Fig. 10, 11, 12, henholdsvis
På fig. 11 er et element av skallet dx*a dφ vist med kreftene som virker på det. Likevektsbetingelsen for krefter i retning av normalen til skallet gir
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
hvorfra ved deling med dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Av betingelsen om at momentet omkring den horisontale tangenten til sylinderen er null, fås:
dM/dx = M’x = Qx
Ved å eliminere transversalkraften Qx fra disse to ligningene følger det
a M’’x + Nφ = p a.
Eq. 6
I denne ligningen kan disse ukjente snittkreftene uttrykkes ved hjelp av nedbøyningen w. For Nφ er det allerede funnet Nφ=Etw/a, og momentet er proporsjonalt med meridianens krumning w’’, dvs. Mx=Kw’’, hvor K=Et3/12(1-μ2) er skallstivheten, som kan være variabel med x, slik som for plater. Hvis disse uttrykkene for gjennomsnittskreftene settes inn i ligning (6), fås differensialligningen for reservoarteorien:
For en beholder med uendret veggtykkelse lyder løsningen:
En.7
der λ4=3(1-μ2)/a2t2. Hvis λh er stor (si større enn 3), er det mer praktisk å innføre eksponentialfunksjoner i stedet for hyperbolske funksjoner, og da gjelder:
En.8
Da kan konstantene A1, B1 bestemmes uavhengig av hverandre ut fra randbetingelsene ved den nedre kanten, og konstantene A2, B2 ut fra randbetingelsene ved den øvre kanten, hvor det som regel fås A2=B2=0. På grunnlag av ligning (8) og (7) fås skjærkrefter, når beregningen utføres i motsatt retning og ligning (8) og (7) innføres overalt; slik er f.eks. for A2=B2=0:
Når reservoarets vegger er stivt innspent i platen, på bunnen av reservoaret som er tilstrekkelig tykk til å kunne regnes som stiv, må konstantene A1, B1 bestemmes ut fra betingelsene x=0, w=0 og w’=0, og man får:
Hvis bunnen av reservoaret er en elastisk plate eller skall, skal tverrkreftene Qx og momentene Mx langs randkanten mellom bunnen og sylinderveggen bestemmes ved metoder fra teorien om statisk ubestemte systemer, på grunnlag av kravet om at Mx og w’ for begge delene har samme verdi.