Doppe is oppervlakdragers waarvan die middelvlak nie plat is nie, maar merkbaar konveks is. Hulle statiese gedrag wyk aansienlik af van dié van ’n plaat. Wanneer hulle ’n geskikte vorm het, is hulle spanning beduidend laer, hulle styfheid in ooreenstemmende mate groter, en die berekening in die meeste gevalle eenvoudiger.
Die spanning van elke dop kan in twee dele ontbind word: membraanspanning en buiging. Die membraanspannings kan, net soos die spannings by ’n plaat wat in sy vlak belas is, uitgedruk word met behulp van snykragte in die raakvlak – dit is byvoorbeeld in die snit x=const. die normaalkrag _Nx=_σx*t en die skuifkrag _Nxy=_τxy*t, waar t die dikte van die dop is. Die spannings weens buiging is dieselfde as by plate en kan voorgestel word deur buigmomente Mx, torsiemomente Mxy en skuifkragte Qx.
Die belangrike eienskappe van doppe berus op die feit dat die spannings weens buiging volgens die reël nie die grootte of betekenis van membraanspannings het nie, sodat hulle dikwels heeltemal verwaarloos kan word. In dié geval is al die spannings eweredig oor die dikte van die dop versprei en werk hulle tangensieel op die middelvlak. Berekeninge wat op hierdie aannames berus, val binne die raamwerk van die membraanteorie van doppe.
Membraanteorie van rotasie-simmetriese skulpe onder rotasie-simmetriese belasting
Algemene formules
Vir die koördinaatlyne word meridiane en parallelkringe op die middeloppervlak van die dop aanvaar, en die koördinate is: azimut ϑ (“geografiese lengte”) en helling φ van die raaklyn aan die meridiaan teenoor die vlak loodreg op die simmetrie-as (fig. 1a). Daarvolgens is die snitkragte: normale krag Nφ in die rigting van die meridiaan en normale krag Nϑ in die ring (fig. 1b). Skuifkragte Nφϑ kom nie voor by rotasiesimmetriese spanning nie. Die belasting per eenheidsoppervlak word soos volg aangedui (fig. 1b): Y tangensiaal aan die meridiaan, positief in die rigting waarin φ toeneem, Z normaal op die dop, positief in die rigting van die simmetrie-as.
Figuur 1
Fig. 2
Laat die krommingsradius van die meridiaan r1 wees. Dit is ’n funksie van die hoek φ, dus word die vorm van die meridiaan deur die vergelyking _r1=r1(_φ) bepaal. Dit kan as die vergelyking van die meridiaan beskou word en lui byvoorbeeld:
vir die sirkel r1=a=const.
vir die parabool r1=a/cos3__φ
vir die ellips r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Vir die berekening van die normaalkrag N__φ in die rigting van die meridiaan moet die ewewigsvoorwaarde opgestel word vir die deel van die dop wat bo die parallelle sirkel φ lê (fig. 2). Die resultante R van die laste Y en Z wat op hierdie deel inwerk, is vertikaal, weens simmetrie. Die grootte daarvan word verkry deur integrasie oor die oppervlak van die dop van φ’=0 tot φ’=φ. Die oppervlak van die dop-element is dF=r1d__φ’*rd__ϑ, dus is die vertikale komponent van die belasting (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Vir die hele ringvormige deel van die dop wat tussen die sirkels φ’ en φ’+dφ’ lê, is die resultante van die uitwendige belasting:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
waarvandaan, deur integrasie oor φ’ vir die deel van die dop wat bo die parallelle sirkel φ’=φ lê, verkry word:
Verg. 1
Hierdie belasting word opgeneem deur normale kragte in die rigting van die meridiaan, wat langs die omtrek van die waargenome sirkel werk; die vertikale komponent van die resulterende van hierdie kragte is 2__πr * N__φ sin__φ, en deur gelykstelling word die verlangde normale krag hieruit verkry
Verg. 2
As die dop bo-aan langs die sirkel φ=φ0 afgesny is (bv. ’n opening vir beligting in ’n koepel), is die ondergrens van die integraal natuurlik φ0, en nie nul nie. As op die rand van die dop wat op hierdie manier ontstaan het ook die belasting R0 inwerk, moet dit ook by die resultant R gevoeg word (fig. 3).
Fig. 3
Vir die bepaling van die normale krag N__ϑ moet die ewewigstoestand van die skilelement loodreg op die raakvlak gestel word (sl. 4). Die resulterende eksterne belasting in hierdie rigting is Z r1 d__φ r d__ϑ. Die kragte N__φ*r d__ϑ wat in die meridionale vlak lê, sluit onderling ’n klein hoek d__φ in, en hulle resultante in die rigting van die normaal op die skulp is N__φ r d__ϑ*dφ. Net so het die kragte Nϑ r1 dφ wat in die vlak van die horisontale sirkel lê en onderling ’n hoek dϑ vorm, ’n resultante Nϑ r1 dφ*dϑ wat ook in die vlak van die horisontale sirkel lê en dus met die normaal op die skulp ’n hoek 0,5_π-φ_ vorm, sodat slegs hul komponent Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ in die ewewigstoestand ingaan. Die ewewigstoestand lui dus
of, wanneer dit gedeel word deur r r1 dϑ dφ:
Een.3
Hier is met r2=r/sinφ die tweede hoofkrommingsradius van die dop aangedui.
Fig. 4
Sirkelvormige koepel
Wanneer die vorm van die meridiaan analities gegee word deur die vergelyking r1=r1(φ) en wanneer analitiese uitdrukkings vir die laste Y(φ) en Z(φ) gegee is, kan die dwarskragte in die dop altyd bepaal word deur integrasie in geslote vorm of numeries, met gebruik van die Simpson-reël. Vir ’n sirkelvormige koepel met deursnee a word in die volgende die dwarskragte vir enkele belastingsgevalle gegee:
Die laaste formule, wat vir φ=0 oneindig groot dwarskragte gee, geld eers op ’n sekere afstand van die aangryppunt van die krag. In die onmiddellike omgewing van die plek waar die krag inwerk, selfs wanneer dit oor die oppervlak van ’n sirkel van eindige maar klein deursnee versprei is, word die belasting hoofsaaklik deur buiging oorgedra.
Patrone vir skulpe wat aan die bokant oop is, kan uit die voorafgaande afgelei word indien ’n fiktiewe las P by die werklike belasting in die toppunt gevoeg word, waarvan die grootte so bepaal word dat die totale normale krag in die rigting van die meridiaan wat op die boonste rand van die skulpe φ=φ0 werk, Nφ=0_ beloop, of gelyk is aan ’n sekere waarde wat deur die eksterne kragte bepaal word wat die skulp hier ontvang.
Koniese dop
Fig. 5
By ’n koniese dop kan die helling van die meridiaan φ nie as ’n koördinaat gebruik word nie, omdat dit in alle punte dieselfde waarde het. In plaas daarvan word die afstand s vanaf die bopunt van die koepel, gemeet langs die generatriks, ingevoer (fig. 5). Die normaal-krag in die rigting van die meridiaan word ooreenkomstig daarmee met Ns aangedui. Die nodige vorms kan verkry word uit die hierbo genoemde onder 1 wanneer die grensoorgang uitgevoer word. Uit vergelyking (2) word op hierdie manier
en uit die vergelyking (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Vir die belangrikste belastingsgevalle geld die volgende formules:
Grafiese prosedure vir ’n arbitrêre vorm van die meridiaan
Fig. 6
Wanneer die meridiaankurwe nie deur ’n analitiese uitdrukking gegee word nie, maar byvoorbeeld grafies, is die bepaling van die krommingsradius te moeilik en te onakkuraat. In so ’n geval is dit geriefliker om van die grafiese prosedure gebruik te maak (fig. 6).
Die dop word in ’n groter aantal vlakke φ=const. verdeel, die gewigte Δ_R_ van die ringvormige sones wat tussen die vlakke lê, word bereken en dit is die beste om hulle dadelik te deel deur 2_π_. Hierdie kragte ΔR/2π word in die kragteplan aangebring (fig. 6b). As dan, byvoorbeeld, deur die verdeelpunt 7 ’n reguit lyn getrek word wat parallel is aan die raaklyn aan die meridiaan by die punt van die meridiaan 7, sal die horisontaal deur die boonste punt van die kragteplan daarop ’n segment sny van R1/2π sinφ7 waaruit, op grond van vergelyking (2), deur deling met die ooreenstemmende r die ooreenstemmende normaalkrag in die rigting van die meridiaan verkry word.
Vir die bepaling van die kragte in die ringe dien die ewewigsvoorwaarde van horisontale kragte op ’n enkele element van die dop. As slegs vertikale laste inwerk, lui hierdie voorwaarde (afb. 4):
Wanneer dφ hier deur die eindige verskil Δφ vervang word, wat ooreenstem met die aangeneemde verdeling van die dop, en wanneer die lengte Δs van die meridiaanelement in plaas van r1 dφ ingevoer word, word hieruit verkry
In die hakie aan die regterkant staan die afsnit op die horisontale lyn in die kragplan. Die hele regterkant stel dus die afsnitte tussen die delingspunte op hierdie lyn voor. Om hulle voldoende akkuraat te kan aflees, moet die kragplan sorgvuldig en in ’n voldoende groot skaal geteken word.
Getrekte en gedrukte ringe
Elke rotasie-simmetriese dop word begrens deur een of twee horisontale sirkels (fig. 7). Aan hierdie rande kan dit in beginsel slegs sulke laste en steunreaksies opneem wat in die rigting van die raaklyn aan die meridiaan lê. As die eksterne kragte ’n ander rigting het, soos byvoorbeeld die las P van die boonste deel van die konstrukie of die reaksie S van die bodem van die reservoir wat in fig. 97 getoon word, moet hierdie kragte, soos op die figuur aangedui, ontbind word in komponente in die rigting van die horisontale sirkel en die raaklyn aan die meridiaan. Die komponent P/sinφ0 of S/sinφu is gelyk aan die normaalkrag in die rigting van die meridiaan Nφ wat op daardie plek inwerk, terwyl ’n ring wat trek, resp. druk, kan opneem nodig is om die horisontale krag Pctgφ0 of Sctgφu op te neem, en waarin hierdie radiale belasting ’n normaalkrag + P r0 ctgφ0, resp. -S ru ctgφu veroorsaak. Sulke ringe moet, behalwe op die rande van die dop, ook op al daardie plekke aangebring word waar die meridiaankurwe ’n knik het. Hulle veroorsaak altyd ’n versteuring van die membraan-spanningstoestand.
Fig. 7
Spannings as gevolg van buiging in rotasiesimmetriese doppe
Die vorms van die membraanteorie bevat nie ’n voldoende aantal integrasiekonstantes om aan al die grensvoorwaardes te voldoen wat werklik by die gestelde probleem pas nie. Spesiaal by rotasiesimmetriese doppe is dit nie moontlik om deur ’n geskikte keuse van integrasiekonstantes te bewerkstellig dat die rek εϑ = Nϑ/Et in die ringrigting langs die rand van die dop gelyk is aan die ooreenstemmende rek van ’n ander konstruksiedeel wat op daardie plek styf daarmee verbind is nie. Dieselfde geld ook vir doppe waar die kromming van die meridiaan, die dikte van die dop of die belasting per eenheid oppervlak langs ’n horisontale sirkel skoksgewys verander. Selfs wanneer die dop langs ’n rand nie met ’n ring verstyf is nie, maar op hierdie plek belas word met kragte wat ’n komponent in die rigting van die normaal op die dop het (bv. die belasting P in fig. 7 wanneer aanvaar word dat die ring verwyder is), kan dit nie sulke laste slegs deur membraankragte dra nie. In sulke gevalle speel skuifkrag en buigmomente (fig. 8) ’n belangrike rol in die verdeling van kragte in die dop, wat by die statiese berekening in ag geneem moet word.
Fig. 8
Die presiese berekening van ’n dop vir buiging, behalwe in die eenvoudigste spesiale geval van ’n silindriese dop, is ’n baie moeilike taak. Vir doppe met dun mure kan ’n eenvoudige en baie bruikbare benaderde teorie opgebou word wat steun op die feit, bekend uit die streng teorie, dat die spanninge as gevolg van buiging beperk bly tot ’n relatief noue sone langs die rand en vinnig afneem namate die afstand van die rand toeneem. Dit maak dit moontlik om ’n groot aantal terme in die presiese differensiaalvergelyking te verwaarloos, waarna dit ’n vereenvoudigde vorm aanneem.
As binne die randtoon, wat die enigste interessante κ is, met die gemiddelde waarde vervang word, en dit is byna altyd moontlik, is die oplossing van die vergelyking
Verg. 4 en 5
waar a1, b1, a2, b2 integrasiekonstantes is. Aangesien die oplossing net naby die rand φ=φ0 interessant is, is dit gerieflik om die hoekafwyking ω=φ0-φ of ω=φ-φ0 van hierdie rand as koördinaat in te voer, waarna die transformasie van bogenoemde oplossing die tweede genoemde uitdrukking lewer. Hier verskyn slegs twee integrasiekonstantes A, B of C, ψ, aangesien die ander deel van die oplossing, wat die faktor eκω bevat, en dus met die toename van ω nie afneem nie, uit die oorweging uitgesluit kan word.
Op grond van vergelyking 5 word die volgende waardes vir die snitkragte en die draaiing κ van die meridiaantangens verkry:
Spannings as gevolg van buiging in reservoirs van die vorm van ’n sirkelcilinder
Laat ’n silindriese reservoir met hoogte h met water gevul wees (fig. 9), dan is op hoogte x bo die twee reservoirs die waterdruk p=γ(h-x). Indien op hierdie hoogte, met twee horisontale snitte op afstand dx. uit die reservoir ’n ring uitgesny word en dit langs een deursnee in twee dele verdeel word, gee die ewewigstoestand van een daarvan die membraankrag in die ring Nφ=pa. As die dikte van die reservoir op hierdie plek t is, is die rek in die ring εφ=Nφ/Et en gevolglik die toename in die radius van die reservoir (deformasie) is
By die onderste rand x=0 is dit dus
Fig. 9
Nie een van die twee is in die reël in ooreenstemming met die grensvoorwaardes nie, omdat die vervorming van die wand verhinder word weens die verbinding met die bodem van die reservoir. Op die aansluiting tussen die bodem en die silindermuur verskyn transversale kragte Qx0 en momente Mx0 (fig. 11), waarvan die grootte so bepaal moet word dat dit saam met die pas berekende membraankragte in die dop hierdie vervorming aan die rand van die dop veroorsaak wat die bodem toelaat.
Afb. 10, 11, 12, onderskeidelik
In fig. 11 is die element van die dop dx*a dφ met die kragte wat daarop inwerk, voorgestel. Die voorwaarde van kragtewigheid in die rigting van die normaal op die dop gee
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
waaruit deur deling met dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Uit die voorwaarde dat die moment om die horisontale raaklyn aan die silinder nul is, volg:
dM/dx = M’x = Qx
Deur die dwarskrag Qx uit hierdie twee vergelykings uit te skakel, volg
a M’’x + Nφ = p a.
Verg. 6
In hierdie vergelyking kan hierdie onbekende dwarskragte uitgedruk word met behulp van die afbuiging w. Vir Nφ is reeds gevind Nφ=Etw/a, en die moment is eweredig aan die kromming van die meridiaan w’’, d.w.s. Mx=Kw’’, waar, soos by plate, K=Et3/12(1-μ2) die styfheid van die dop is, wat veranderlik met x kan wees. Indien hierdie uitdrukkings vir die gemiddelde kragte in vergelyking (6) ingevoer word, word die differensiaalvergelyking van die reservoirteorie verkry:
Vir ’n reservoir waarvan die wanddikte onveranderlik is, lui die oplossing:
Een.7
waar λ4=3(1-μ2)/a2t2. As λh groot is (sê maar groter as 3), is dit geriefliker om in plaas van hiperboliese funksies eksponensiële funksies in te voer, en dan is:
Een.8
Dan kan die konstantes A1, B1 onafhanklik van mekaar bepaal word uit die grensvoorwaardes aan die onderste rand, en die konstantes A2, B2 uit die grensvoorwaardes aan die boonste rand, waardeur volgens reël A2=B2=0 verkry word. Op grond van vergelyking (8) en (7) word die snykragte verkry wanneer die berekening in omgekeerde rigting uitgevoer word en vergelyking (8) en (7) oral toegepas word; so is byvoorbeeld vir A2=B2=0:
Wanneer die wande van die reservoir styf in die plaat ingeklem is, aan die bodem van die reservoir wat dik genoeg is om as styf beskou te word, moet die konstantes A1, B1 bepaal word uit die voorwaardes dat x=0, w=0 en w’=0 en dan word verkry:
As die bodem van die reservoir ’n elastiese plaat of dop is, moet die dwarskragte Qx en die momente Mx langs die randkring tussen die bodem en die silinderwand bepaal word met metodes van die teorie van staties onbepaalde stelsels, op grond van die vereiste dat Mx en w’ vir albei dele dieselfde waarde het.