نظریهٔ الاستیسیته - پوسته‌ها

پوسته‌ها به سازه‌های سطحی گفته می‌شود که سطح میانی آن‌ها تخت نیست، بلکه به‌طور محسوسی برآمده است. رفتار استاتیکی آن‌ها به‌طور قابل‌توجهی با رفتار صفحه تفاوت دارد. وقتی شکل مناسبی داشته باشند، تنش در آن‌ها به‌مراتب کمتر، سختی‌شان به‌تناسب بیشتر، و محاسبه در بیشتر موارد ساده‌تر است.

تنش هر پوسته را می‌توان به دو بخش تقسیم کرد: تنش غشایی و خمش. تنش‌های غشایی، مانند تنش‌ها در صفحه‌ای که درون صفحه خود بارگذاری شده است، را می‌توان به‌وسیله نیروهای مقطعی در صفحه مماسی بیان کرد — برای مثال در مقطع x=const. نیروی نرمال _Nx=_σx*t و نیروی برشی _Nxy=_τxy*t، که در آن t ضخامت پوسته است. تنش‌های ناشی از خمش همانند صفحات هستند و می‌توان آن‌ها را با لنگرهای خمشی Mx، لنگرهای پیچشی Mxy و نیروهای برشی Qx نشان داد.

ویژگی‌های مهم پوسته‌ها بر این واقعیت استوارند که به‌طور معمول تنش‌های ناشی از خمش نه از نظر مقدار و نه از نظر اهمیت، هم‌پای تنش‌های غشایی نیستند، به‌طوری‌که اغلب می‌توان آن‌ها را کاملاً نادیده گرفت. در این حالت همه تنش‌ها به‌طور یکنواخت در ضخامت پوسته توزیع شده و به‌صورت مماسی بر سطح میانی اثر می‌کنند. محاسباتی که بر این فرض‌ها استوارند در چارچوب نظریه غشایی پوسته‌ها قرار می‌گیرند.

نظریه غشایی پوسته‌های محورمتقارن تحت بارگذاری محورمتقارن

الگوهای کلی

برای خطوط مختصات، نصف‌النهارها و دایره‌های موازی در سطح میانی پوسته در نظر گرفته می‌شوند، بنابراین مختصات عبارت‌اند از: آزیموت ϑ («طول جغرافیایی») و شیب φ مماس بر نصف‌النهار نسبت به صفحه‌ای عمود بر محور تقارن (شکل 1a). بر این اساس نیروهای مقطعی عبارت‌اند از: نیروی نرمال Nφ در راستای نصف‌النهار و نیروی نرمال Nϑ در راستای حلقه (شکل 1b). نیروهای برشی Nφϑ در حالت تنش متقارن دورانی ظاهر نمی‌شوند. بارِ واحد سطح به‌صورت زیر نشان داده می‌شود (شکل 1b): Y مماس بر نصف‌النهار، مثبت در جهتی که φ افزایش می‌یابد، Z عمود بر پوسته، مثبت به‌سوی محور تقارن.

شکل 1

شکل. 2

فرض کنیم شعاع انحنای مریدیان r1 باشد. این شعاع تابع زاویه φ است، بنابراین شکل مریدیان با معادله _r1=r1(_φ) تعیین می‌شود. این را می‌توان معادله مریدیان در نظر گرفت و مثلاً چنین است.

برای دایره                                       r1=a=const.

برای سهمی                                   r1=a/cos3__φ

برای بیضی          r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2

برای محاسبه نیروی نرمال N__φ در راستای مریدین، باید شرط تعادلِ بخشی از پوسته که بالای دایره موازیِ φ قرار دارد (شکل 2) برقرار شود. برآیندِ R بارهای Y و Z که بر این بخش وارد می‌شوند، با توجه به تقارن، عمودی است. مقدار آن با انتگرال‌گیری روی سطح پوسته از φ’=0 تا φ’=φ به‌دست می‌آید. سطح عنصر پوسته dF=r1d__φ’*rd__ϑ است، بنابراین مؤلفه عمودی بار (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF می‌باشد. برای کل بخش حلقوی پوسته که میان دایره‌های φ’ و φ’+dφ’ قرار دارد، برآیند بار خارجی عبارت است از:

dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,

که از آن با انتگرال‌گیری نسبت به φ’ برای بخشی از پوسته که بالای دایرهٔ موازی φ’=φ قرار دارد، به دست می‌آید:

معادله 1

این بار را نیروهای نرمال در جهت نصف‌النهار، که در پیرامون دایرهٔ مشاهده‌شده作用 می‌کنند، تحمل می‌کنند؛ مؤلفهٔ عمودی برآیند این نیروها 2__πr * N__φ sin__φ, است، و از برابرسازیِ آن‌جا نیروی نرمالِ مطلوب به‌دست می‌آید

معادله 2

اگر پوسته در بخش بالایی در امتداد دایره φ=φ0 بریده شده باشد (مثلاً بازشوی نورگیر در گنبد)، حد پایین انتگرال، بدیهی است، φ0 است و نه صفر. اگر در لبه پوسته‌ای که به این طریق پدید آمده نیز بار R0 اثر کند، آن را نیز باید به برآیند R افزود (شکل 3).

شکل 3

برای تعیین نیروی نرمال N__ϑ باید شرط تعادلِ عنصر پوسته عمود بر صفحه مماسی (شکل 4) برقرار شود. برآیند بار خارجی در این جهت برابر است با Z r1 d__φ r d__ϑ. نیروهای N__φ*r d__ϑ که در صفحه مریدیانی قرار دارند، با یکدیگر زاویه کوچک d__φ می‌سازند، از این‌رو برآیند آن‌ها در جهت نرمال بر پوسته N__φ r d__ϑ*dφ است. به همین ترتیب، نیروهای Nϑ r1 dφ که در صفحه دایره افقی قرار دارند و با یکدیگر زاویه dϑ می‌سازند، برآیندی برابر Nϑ r1 dφ*dϑ دارند که آن نیز در صفحه دایره افقی قرار دارد و بنابراین با نرمال بر پوسته زاویه 0,5_π-φ_ می‌سازد، به طوری که در شرط تعادل فقط مؤلفه آن‌ها Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ وارد می‌شود. بنابراین شرط تعادل چنین است

یا، وقتی بر r r1 dϑ dφ تقسیم شود:

یکی3

در اینجا با r2=r/sinφ شعاع اصلی دومِ انحنای پوسته مشخص شده است.

شکل 4

گنبد مدور

وقتی شکل مریدیان به‌صورت تحلیلی با معادله r1=r1(φ) داده شده باشد و برای بارهای Y(φ) و Z(φ) عبارات تحلیلی موجود باشد، نیروهای مقطعی در پوسته را می‌توان همواره با انتگرال‌گیری به‌صورت بسته یا به‌طور عددی، با استفاده از قاعده Simpson تعیین کرد. برای گنبد دایره‌ای با قطر a، در ادامه نیروهای مقطعی برای برخی حالت‌های بارگذاری داده می‌شود:

آخرین رابطه، که برای φ=0 نیروهای برشی بی‌نهایت بزرگ می‌دهد، فقط در فاصله‌ای معین از محل اثر نیرو معتبر است. در ناحیه بلافصل محل اعمال نیرو، حتی وقتی نیرو به سطح دایره‌ای با قطری محدود اما کوچک توزیع شده باشد، بار عمدتاً از طریق خمش منتقل می‌شود.

الگوهای پوسته‌هایی که در بخش بالایی باز هستند را می‌توان از الگوهای پیشین به‌دست آورد، اگر بر بار واقعی، در رأس، بار فرضی P افزوده شود؛ مقدار آن چنان تعیین می‌شود که اگر نیروی نرمال کلی در جهت نصف‌النهار که بر لبهٔ بالایی پوسته φ=φ0 اثر می‌کند برابر Nφ=0 باشد، یا برابر با مقداری باشد که توسط نیروهای خارجی‌ای که پوسته در اینجا دریافت می‌کند تعیین شده است.

پوسته مخروطی

شکل 5

در مورد پوسته مخروطی، شیب نصف‌النهار φ را نمی‌توان به‌عنوان مختصات به‌کار برد، زیرا در همه نقاط مقدار یکسانی دارد. به‌جای آن، فاصله s از رأس گنبد، اندازه‌گیری‌شده در امتداد مولد، معرفی می‌شود (شکل 5). نیروی نرمال در راستای نصف‌النهار مطابق آن با Ns نشان داده می‌شود. الگوهای لازم را می‌توان از موارد ذکرشده در 1 با انجام حد گذار به دست آورد. از معادله (2) بدین ترتیب به دست می‌آید

و از معادله (3)

Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.

برای مهم‌ترین حالات بارگذاری، روابط زیر معتبرند:

روش گرافیکی برای شکل دلخواهِ مریدیان

شکل. 6

وقتی منحنی مریدین به‌صورت یک عبارت تحلیلی داده نشده باشد، بلکه مثلاً به‌صورت گرافیکی ارائه شده باشد، تعیین شعاع انحنا بسیار دشوار و بسیار نادقیق است. در این حالت، استفاده از روش گرافیکی مناسب‌تر است (شکل 6).

پوسته با تعداد بیشتری صفحه φ=const. تقسیم می‌شود، وزن‌های Δ_R_ نواحی حلقوی واقع میان صفحات محاسبه می‌گردد و بهتر است آن‌ها را بلافاصله بر 2_π_ تقسیم کنیم. این نیروهای ΔR/2π در نمودار نیروها (شکل 6b) رسم می‌شوند. اگر سپس، برای مثال، از نقطه تقسیم 7 خطی موازی بر مماسِ مریدیان در نقطه مریدیان 7 رسم شود، خط افقیِ گذرنده از نقطه بالاییِ نمودار نیروها، در آن‌جا پاره‌خطی به طول R1/2π sinφ7 قطع خواهد کرد که از آن، بر پایه معادله (2) و با تقسیم بر r مربوطه، نیروی نرمال متناظر در جهت مریدیان به دست می‌آید.

برای تعیین نیروها در حلقه‌ها از شرط تعادل نیروهای افقی بر روی یک المان پوسته استفاده می‌شود. اگر فقط بارهای قائم وارد شوند، این شرط چنین است (شکل 4):

وقتی در اینجا dφ با اختلاف نهایی Δφ، که متناظر با تقسیم‌بندی پذیرفته‌شدهٔ پوسته است، جایگزین شود و به‌جای r1 dφ طول Δs از عنصر مریدیانی وارد گردد، از اینجا به دست می‌آید

در پرانتزِ سمت راست، بریدگی روی خط افقی در پلان نیروها قرار دارد. بنابراین کل سمت راست نشان‌دهندهٔ قطعات بین نقاط تقسیم روی این خط است. برای آن‌که بتوان آنها را با دقت کافی خواند، پلان نیروها باید با دقت و در مقیاسی به‌اندازهٔ کافی بزرگ ترسیم شود.

حلقه‌های کششی و فشاری

هر پوسته متقارن دورانی با یک یا دو دایره افقی محدود می‌شود (شکل 7). در این لبه‌ها، به‌طور اصولی فقط می‌تواند چنین بارها و واکنش‌های تکیه‌گاهی را بپذیرد که در راستای مماس بر مریدیان باشند. اگر نیروهای خارجی جهت دیگری داشته باشند، مانند بار P از بخش بالایی سازه یا واکنش S کف مخزن نشان‌داده‌شده در شکل 97، این نیروها باید، همان‌گونه که در شکل نشان داده شده است، به مؤلفه‌هایی در راستای دایره افقی و مماس بر مریدیان تجزیه شوند. مؤلفه P/sinφ0 یا S/sinφu برابر با نیروی نرمال در راستای مریدیان Nφ است که در آن نقطه اثر می‌کند، در حالی که برای پذیرش نیروی افقی Pctgφ0 یا Sctgφu به حلقه‌ای نیاز است که کشش، یا فشار را تحمل کند و در آن این بار شعاعی نیروی نرمال + P r0 ctgφ0، یا -S ru ctgφu ایجاد می‌کند. چنین حلقه‌هایی، علاوه بر لبه‌های پوسته، باید در تمام نقاطی نیز قرار داده شوند که منحنی مریدیان دارای شکست است. آن‌ها همیشه موجب اختلال در حالت تنش غشایی می‌شوند.

شکل. 7

تنش‌ها ناشی از خمش در پوسته‌های دارای تقارن دورانی

الگوهای نظریه غشایی تعداد کافی ثابت انتگرال‌گیری ندارند تا بتوان همه شرایط مرزی را که واقعاً با مسئله طرح‌شده مطابقت دارند برآورده کرد. به‌ویژه در پوسته‌های متقارن دورانی، با انتخاب مناسبِ برخی ثابت‌های انتگرال‌گیری نمی‌توان به این نتیجه رسید که کرنش εϑ = Nϑ/Et در راستای حلقه در امتداد لبه پوسته برابر با کرنش متناظرِ یک بخش سازه‌ای دیگر باشد که در آن نقطه به‌طور صلب با آن متصل است. همین امر درباره پوسته‌هایی نیز صدق می‌کند که در امتداد یک دایره افقی، انحنای نصف‌النهار، ضخامت پوسته یا بارگذاری بر واحد سطح به‌صورت ناگهانی تغییر می‌کند. و حتی وقتی پوسته در امتداد یک لبه با حلقه سخت نشده باشد، اما در این نقطه تحت نیروهایی قرار گیرد که مؤلفه‌ای در راستای عمود بر پوسته دارند (مثلاً بارگذاری P در شکل 7، هنگامی که فرض شود حلقه برداشته شده است)، این بارها را تنها از طریق نیروهای غشایی نمی‌تواند تحمل کند. در چنین مواردی، نیروی برشی و لنگرهای خمشی (شکل 8) در توزیع نیروها در پوسته نقش اساسی دارند و باید در محاسبه ایستا مورد توجه قرار گیرند.

شکل 8

محاسبهٔ دقیق پوسته در برابر خمش، جز در ساده‌ترین حالت ویژهٔ پوستهٔ استوانه‌ای، کاری بسیار دشوار است. برای پوسته‌های با دیوارهٔ نازک می‌توان یک نظریهٔ تقریبی ساده و بسیار کاربردی تدوین کرد که بر این واقعیتِ شناخته‌شده از نظریهٔ دقیق تکیه دارد که تنش‌های ناشی از خمش به ناحیه‌ای نسبتاً باریک در مجاورت لبه محدود می‌شوند و با افزایش فاصله از لبه به‌سرعت کاهش می‌یابند. این امر اجازه می‌دهد تعداد زیادی از جمله‌ها در معادلهٔ دیفرانسیل دقیق نادیده گرفته شوند و در نتیجه آن معادله به شکلی ساده‌شده درآید.

اگر درونِ حوزهٔ مرزی که تنها κ در آن اهمیت دارد، مقدار میانگین جایگزین شود، و این تقریباً همیشه ممکن است، حل معادله چنین است

معادله 4 و 5

که در آن a1, b1, a2, b2 ثابت‌های انتگرال هستند. از آنجا که حل فقط در نزدیکی لبه φ=φ0 جالب است، مناسب است که فاصله زاویه‌ای ω=φ0-φ یا ω=φ-φ0 از این لبه را به‌عنوان مختصات معرفی کنیم، و سپس با تبدیل حل فوق، عبارت دومِ ذکرشده به‌دست می‌آید. در اینجا فقط دو ثابت انتگرال A, B یا C, ψ ظاهر می‌شوند، زیرا بخش دوم حل که شامل عامل eκω است و بنابراین با افزایش ω کاهش نمی‌یابد، می‌تواند از بررسی کنار گذاشته شود.

بر اساس معادله 5 مقادیر زیر برای نیروهای برشی و چرخش κ مماس نصف‌النهار به‌دست می‌آید:

تنش‌های ناشی از خمش در مخازن به شکل استوانهٔ دایره‌ای

اگر یک مخزن استوانه‌ای به ارتفاع h را از آب پر کنیم (شکل 9)، در ارتفاع x بالاتر از دو مخزن، فشار آب برابر p=γ(h-x) خواهد بود. اگر در این ارتفاع، از دو مقطع افقی به فاصله dx، یک حلقه از مخزن بریده شود و این حلقه در امتداد یکی از قطرها به دو بخش تقسیم گردد، شرط تعادل یکی از آن‌ها نیروی غشایی در حلقه Nφ=pa را به دست می‌دهد. اگر ضخامت مخزن در این نقطه t باشد، کرنش در حلقه εφ=Nφ/Et است و بنابراین افزایش شعاع مخزن (خیز) برابر است با

در لبهٔ پایینی x=0 بنابراین

شکل. 9

هیچ‌کدام از این دو، به‌طور کلی، با شرایط مرزی سازگار نیست، زیرا تغییر شکل دیواره به‌سبب اتصال به کف مخزن مهار شده است. در این میان، در محل اتصال کف و دیواره استوانه، نیروهای برشی Qx0 و لنگرهای Mx0 (شکل 11) ظاهر می‌شوند که باید مقدار آن‌ها به‌گونه‌ای تعیین شود که همراه با نیروهای غشاییِ همین‌اکنون محاسبه‌شده در پوسته، این تغییر شکل را در لبه پوسته به وجود آورند؛ تغییری که کف اجازه می‌دهد.

شکل 10، 11، 12، به‌ترتیب

در شکل 11، عنصر پوستهٔ dx*a dφ همراه با نیروهای وارد بر آن نشان داده شده است. شرط تعادل نیروها در راستای عمود بر پوسته، می‌دهد

dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,

که از آن با تقسیم بر dx dφ:

a Q’x + Nφ = p a.

از شرطِ صفر بودنِ ممان حول مماس افقی بر استوانه، به دست می‌آید:

dM/dx = M’x = Qx

با حذف نیروی عرضی Qx از این دو معادله به دست می‌آید

a M’’x + Nφ = p a.

معادله 6

در این معادله می‌توان این نیروهای برشیِ مجهول را بر حسب خیز w بیان کرد. برای Nφ قبلاً به‌دست آمده است Nφ=Etw/a, و لنگر متناسب با خمیدگیِ نصف‌النهار w’’ است، یعنی Mx=Kw’’, که در آن مانند صفحات، K=Et3/12(1-μ2) سختیِ پوسته است که می‌تواند با x متغیر باشد. اگر این روابط برای نیروهای متوسط در معادله (6) جایگذاری شوند، معادله دیفرانسیل نظریه مخزن به‌دست می‌آید:

برای مخزنی که ضخامت دیوارهٔ آن ثابت است، حل به این صورت است:

یکی7

که در آن λ4=3(1-μ2)/a2t2. اگر λh بزرگ باشد (مثلاً بزرگ‌تر از 3)، مناسب‌تر است که به‌جای توابع هذلولی، توابع نمایی به کار گرفته شوند، و بنابراین:

یکی8

در آن صورت، ثابت‌های A1، B1 را می‌توان مستقل از یکدیگر از شرایط مرزی در لبه پایینی و ثابت‌های A2، B2 را از شرایط مرزی در لبه بالایی تعیین کرد، که طبق قاعده A2=B2=0 به دست می‌آید. بر اساس معادله (8) و (7) نیروهای برشی به دست می‌آیند، هنگامی که محاسبه در جهت معکوس انجام شود و در همه‌جا معادله (8) و (7) اعمال گردد؛ بنابراین مثلاً برای A2=B2=0:

وقتی دیواره‌های مخزن به‌طور صلب در صفحه مهار شده‌اند، در کف مخزنی که به اندازهٔ کافی ضخیم است و می‌توان آن را صلب در نظر گرفت، ثابت‌های A1, B1 باید از شرایط x=0, w=0 و w’=0 تعیین شوند، و در نتیجه به دست می‌آید:

اگر کف مخزن یک صفحه یا پوسته الاستیک باشد، نیروهای برشی Qx و لنگرهای Mx در امتداد دایره لبه‌ای بین کف و دیواره سیلندر باید با روش‌های نظریه سیستم‌های نامعین ایستا، بر پایه این شرط که Mx و w’ برای هر دو بخش مقدار یکسانی داشته باشند، تعیین شوند.