Guaskat quhen mbajtësa sipërfaqësorë, sipërfaqja mesatare e të cilëve nuk është e rrafshët, por e fryrë dukshëm. Sjellja e tyre statike ndryshon ndjeshëm nga sjellja e pllakës. Kur kanë formë të përshtatshme, sforcimi i tyre është dukshëm më i vogël, ngurtësia e tyre në masë përkatëse më e madhe, ndërsa llogaritja në shumicën e rasteve është më e thjeshtë.
Tensioni i çdo guaske mund të zbërthehet në dy pjesë: tension membranor dhe përkulje. Tensionet membranore, në mënyrë të ngjashme me tensionet te pllaka e ngarkuar në planin e saj, mund të shprehen me anë të forcave prerëse në rrafshin tangjencial – këto janë p.sh. në prerjen x=const. forca normale _Nx=_σx*t dhe forca prerëse _Nxy=_τxy*t, ku t është trashësia e guaskës. Tensionet për shkak të përkuljes janë të njëjta si te pllakat dhe mund të paraqiten me momentet e përkuljes Mx, momentet përdredhëse Mxy dhe forcat prerëse Qx.
Karakteristikat thelbësore të guaskave mbështeten në faktin se, sipas rregullit, tensionet për shkak të përkuljes nuk kanë as madhësinë as rëndësinë e tensioneve membranore, prandaj shpesh mund të neglizhohen plotësisht. Në këtë rast të gjitha tensionet janë të shpërndara njëtrajtësisht nëpër trashësinë e guaskës dhe veprojnë tangjencialisht ndaj sipërfaqes së mesme. Llogaritjet që mbështeten në këto supozime hyjnë në kuadrin e teorisë membranore të guaskave.
Teoria membranore e guackave simetrike rrotulluese nën ngarkim simetrik rrotullues
Forma të përgjithshme
Për vijat koordinative merren meridianët dhe rrethet paralele në sipërfaqen mesatare të guaskës, prandaj koordinatat janë: azimuti ϑ (“gjatësia gjeografike”) dhe pjerrësia φ e tangjentes ndaj meridianit ndaj rrafshit pingul me boshtin e simetrisë (fig. 1a). Prandaj forcat prerëse janë: forca normale Nφ në drejtimin e meridianit dhe forca normale Nϑ në rreth (fig. 1b). Forcat prerëse Nφϑ nuk shfaqen te ngarkesa me simetri rrotulluese. Ngarkesa për njësi sipërfaqe shënohet si më poshtë (fig. 1b): Y tangjencialisht ndaj meridianit, pozitive në drejtimin në të cilin rritet φ, Z normale ndaj guaskës, pozitive drejt boshtit të simetrisë.
Fig. 1
Fig. 2
Le të jetë rrezja e lakimit të meridianit r1. Ajo është funksion i këndit φ, prandaj me ekuacionin _r1=r1(_φ) përcaktohet forma e meridianit. Kjo mund të merret si ekuacion i meridianit dhe është, p.sh.
për rrethin r1=a=const.
për parabolën r1=a/cos3__φ
për elipsën r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Për të llogaritur forcën normale N__φ në drejtimin e meridianit duhet të vendoset kushti i ekuilibrit të pjesës së guaskës që ndodhet mbi rrethin paralel φ (fig. 2). Rezultantja R e ngarkesave Y dhe Z që veprojnë mbi këtë pjesë është vertikale, për shkak të simetrisë. Madhësia e saj merret duke integruar sipërfaqen e guaskës nga φ’=0 deri në φ’=φ. Sipërfaqja e elementit të guaskës është dF=r1d__φ’*rd__ϑ, prandaj komponentja vertikale e ngarkesës (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Për të gjithë pjesën unazore të guaskës që ndodhet midis rretheve φ’ dhe φ’+dφ’ rezultantja e ngarkesës së jashtme është:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
prej nga, me integrim sipas φ’ për pjesën e guaskës që ndodhet mbi rrethin paralel φ’=φ merret:
Bar. 1
Kjo ngarkesë pranohet nga forcat normale në drejtimin e meridianit, të cilat veprojnë përgjatë perimetrit të rrethit të vërejtur; komponentja vertikale e rezultantes së këtyre forcave është 2__πr * N__φ sin__φ, prandaj me barazimin prej këtu merret forca normale e kërkuar
Bar. 2
Nëse guaska në pjesën e sipërme është prerë përgjatë rrethit φ=φ0 (p.sh. hapje për ndriçim në kupolë), kufiri i poshtëm i integralit është, kuptohet, φ0, e jo zero. Nëse në skajin e guaskës që është formuar në këtë mënyrë vepron edhe ngarkesa R0, edhe ajo duhet t’i shtohet rezultantes R (fig. 3).
Fig. 3
Për të përcaktuar forcën normale N__ϑ duhet të vendoset kushti i ekuilibrit të elementit të guaskës pingul me rrafshin tangjencial (fig. 4). Rezultantja e ngarkesës së jashtme në këtë drejtim është Z r1 d__φ r d__ϑ. Forcat N__φ*r d__ϑ që ndodhen në rrafshin meridional formojnë mes tyre një kënd të vogël d__φ, prandaj rezultantja e tyre në drejtimin e normales ndaj guaskës është N__φ r d__ϑ*dφ. Në mënyrë të ngjashme, edhe forcat Nϑ r1 dφ që ndodhen në rrafshin e rrethit horizontal dhe formojnë mes tyre këndin dϑ kanë rezultanten Nϑ r1 dφ*dϑ e cila gjithashtu ndodhet në rrafshin e rrethit horizontal dhe për rrjedhojë me normalen ndaj guaskës formon këndin 0,5_π-φ_, kështu që në kushtin e ekuilibrit hyn vetëm komponenta e tyre Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. Prandaj, kushti i ekuilibrit është
ose, kur pjesëtohet me r r1 dϑ dφ:
Një.3
Këtu me r2=r/sinφ është shënuar rrezja e dytë kryesore e lakimit të guaskës.
Fig. 4
Kupola rrethore
Kur forma e meridianit jepet në mënyrë analitike me ekuacionin r1=r1(φ) dhe kur për ngarkesat Y(φ) dhe Z(φ) jepen shprehje analitike, forcat prerëse në guaskë mund të përcaktohen gjithmonë me integrim në formë të mbyllur ose numerikisht, duke përdorur rregullën e Simpson-it. Për një kupolë rrethore me diametër a, në vijim jepen forcat prerëse për disa raste ngarkese:
Forma e fundit, e cila për φ=0 jep forca prerëse pafundësisht të mëdha, vlen vetëm në një largësi të caktuar nga pika e veprimit të forcës. Në afërsinë e menjëhershme të vendit ku vepron forca, edhe kur ajo është e shpërndarë mbi sipërfaqen e një rrethi me diametër të fundëm, por të vogël, ngarkesa kryesisht transmetohet me përkulje.
Format për guaskat e hapura në pjesën e sipërme mund të nxirren nga ato të mëparshmet, nëse mbi ngarkesën reale shtohet një ngarkesë fiktive P në kulm, madhësia e së cilës përcaktohet në mënyrë të tillë që nëse forca normale totale në drejtimin e meridianit që vepron në skajin e sipërm të guaskës φ=φ0 është Nφ=0, ose është e barabartë me ndonjë vlerë të caktuar nga forcat e jashtme që guaska merr këtu.
Guaska konike
Fig. 5
Te guaska konike pjerrësia e meridianit φ nuk mund të përdoret si koordinatë, sepse ajo ka të njëjtën vlerë në të gjitha pikat. Në vend të saj futet distanca s nga maja e kupolës e matur përgjatë gjeneratrices (fig. 5). Forca normale në drejtimin e meridianit, sipas kësaj, shënohet me Ns. Format e nevojshme mund të merren nga ato të përmendura te 1 kur kryhet kalimi kufitar. Nga ekuacioni (2) në këtë mënyrë merret
a nga ekuacioni (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Për rastet më të rëndësishme të ngarkesës vlejnë këto formula:
Procedura grafike për formë të çfarëdoshme të meridianit
Fig. 6
Kur curva e meridianit nuk jepet me shprehje analitike, por, për shembull, grafikisht, përcaktimi i rrezes së lakimit është tepër i vështirë dhe tepër i pasaktë. Në atë rast është më e përshtatshme të përdoret procedura grafike (sl. 6).
Predha ndahet me një numër më të madh planesh φ=const., llogariten peshat Δ_R_ të zonave unazore që shtrihen ndërmjet planeve dhe është mirë të ndahen menjëherë me 2_π_. Këto forca ΔR/2π vendosen në planin e forcave (fig. 6b). Nëse pastaj, për shembull, përmes pikës ndarëse 7 tërhiqet një vijë paralele me tangjenten në meridian në pikën e meridianit 7, horizontalia përmes pikës së sipërme të planit të forcave do ta presë atë në gjatësinë R1/2π sinφ7 nga e cila, në bazë të ekuacionit (2), duke pjesëtuar me r përkatës, merret forca normale përkatëse në drejtimin e meridianit.
Për përcaktimin e forcave në unaza shërben kushti i ekuilibrit të forcave horizontale në një element të guaskës. Nëse veprojnë vetëm ngarkesa vertikale, ky kusht shprehet kështu (fig. 4):
Kur këtu dφ zëvendësohet me diferencën e fundme Δφ, që i përgjigjet ndarjes së pranuar të guaskës dhe kur në vend të r1 dφ futet gjatësia Δs e elementit të meridianit, prej këtej merret
Në kllapën në anën e djathtë ndodhet segmenti në vijën horizontale në planin e forcave. E gjithë ana e djathtë, pra, paraqet segmentet ndërmjet pikave të ndarjes në këtë vijë. Që të mund t’i lexojmë me saktësi të mjaftueshme, plani i forcave duhet të vizatohet me kujdes dhe në shkallë të mjaftueshme të madhe.
Unaza të tërhequra dhe të shtypura
Çdo guaskë me simetri rrotulluese kufizohet me një ose dy rrethë horizontalë (fig. 7). Në këto skaje ajo mund, në parim, të pranojë vetëm ngarkesa dhe reaksione mbështetëse të tilla, që kanë drejtimin e tangjentes ndaj meridianit. Nëse forcat e jashtme kanë drejtim tjetër, si p.sh. ngarkesa P nga pjesa e sipërme e konstruksionit ose reaksioni S i fundit të rezervuarit të paraqitur në fig. 97, këto forca duhet, siç tregohet në figurë, të zbërthehen në komponentë në drejtimin e rrethit horizontal dhe të tangjentes ndaj meridianit. Komponenta P/sinφ0 ose S/sinφu është e barabartë me forcën normale në drejtimin e meridianit Nφ, që vepron në atë vend, ndërsa për pranimin e forcës horizontale Pctgφ0 ose Sctgφu nevojitet një unazë që pranon tërheqje, përkatësisht shtypje, dhe në të cilën kjo ngarkesë radiale shkakton forcë normale + P r0 ctgφ0, përkatësisht -S ru ctgφu. Unaza të tilla, përveç skajeve të guaskës, duhet të vendosen edhe në të gjitha vendet ku kurba e meridianit ka thyerje. Ato gjithmonë shkaktojnë prishje të gjendjes së tensioneve membranore.
Fig. 7
Ndeshjet e shkaktuara nga përkulja në guaska me simetri rrotulluese
Format e teorisë membranore nuk përmbajnë numër të mjaftueshëm konstantash integrimi që të mund të plotësohen të gjitha kushtet kufitare që realisht i përgjigjen detyrës së vendosur. Veçanërisht te guaskat me simetri rrotulluese, nuk është e mundur që me një zgjedhje të përshtatshme të konstantave integruese të arrihet që zgjatja εϑ = Nϑ/Et në drejtimin e unazës përgjatë skajit të guaskës të jetë e barabartë me zgjatjen përkatëse të ndonjë pjese tjetër konstruktive që në atë vend është e lidhur ngurtë me të. E njëjta gjë vlen edhe për guaskat te të cilat përgjatë një rrethi horizontal ndryshon me hap krivatura e meridianit, trashësia e guaskës ose ngarkesa për njësi sipërfaqeje. Edhe kur guaska përgjatë një skaji nuk është përforcuar me unazë, por në këtë vend është e ngarkuar me forca që kanë komponent në drejtimin e normales ndaj guaskës (p.sh. ngarkesa P në fig. 7 kur merret sikur unaza është hequr), ajo nuk mund t’i marrë këto ngarkesa vetëm nëpërmjet forcave membranore. Në raste të tilla forca prerëse dhe momentet e përkuljes (fig. 8) luajnë rol të rëndësishëm në shpërndarjen e forcave në guaskë, gjë që në llogaritjen statike duhet marrë parasysh.
Fig. 8
Llogaritja e saktë e guaskës në përkulje, përveç rastit më të thjeshtë të veçantë të guaskës cilindrike, paraqet një detyrë shumë të vështirë. Për guaskat me mure të holla mund të ndërtohet një teori e thjeshtë dhe shumë e përdorshme përafërsuese, e cila mbështetet në faktin e njohur nga teoria e rreptë, se tensionet për shkak të përkuljes kufizohen në një zonë relativisht të ngushtë pranë skajit dhe bien shpejt me rritjen e largësisë nga skaji. Kjo mundëson që të neglizhohet një numër i madh termash në ekuacionin diferencial të saktë, kështu që ai merr formë të thjeshtuar.
Nëse brenda zonës kufitare, e cila është e vetmja që na intereson, κ zëvendësohet me vlerën mesatare, dhe kjo pothuajse gjithmonë është e mundur, zgjidhja e ekuacionit është
Eku. 4 dhe 5
ku a1, b1, a2, b2 janë konstanta integrimi. Meqenëse zgjidhja është interesante vetëm pranë skajit φ=φ0, është e përshtatshme që largësia këndore ω=φ0-φ ose ω=φ-φ0 nga ky skaj të futet si koordinatë, prandaj me transformimin e zgjidhjes së mësipërme merret shprehja e dytë e dhënë. Këtu shfaqen vetëm dy konstanta integrimi A, B ose C, ψ, sepse pjesa tjetër e zgjidhjes që përmban faktor eκω, dhe për rrjedhojë me rritjen e ω nuk zvogëlohet, mund të përjashtohet nga shqyrtimi.
Në bazë të ekuacionit 5 merren vlerat e mëposhtme për forcat prerëse dhe rrotullimin κ të tangjentes së meridianit:
Tensionet si pasojë e përkuljes në rezervuarët me formë cilindri rrethor
Le të jetë një rezervuar cilindrik me lartësi h i mbushur me ujë (fig. 9), atëherë në lartësinë x mbi dy rezervuarët presioni i ujit është p=γ(h-x). Nëse në këtë lartësi, me dy prerje horizontale në largësi dx. të pritet nga rezervuari një unazë dhe kjo të ndahet përgjatë një diametri në dy pjesë, kushti i ekuilibrit të njërës prej tyre jep forcën membranore në unazë Nφ=pa. Nëse trashësia e rezervuarit në këtë vend është t, zgjatja në unazë është εφ=Nφ/Et dhe për rrjedhojë rritja e rrezes së rezervuarit (deformimi) është
Në skajin e poshtëm x=0 është pra
Fig. 9
Asnjëra as tjetra, si rregull, nuk është në përputhje me kushtet kufitare, sepse deformimi i murit pengohet për shkak të lidhjes me fundin e rezervuarit. Në këtë rast, në lidhjen midis fundit dhe murit të cilindrit shfaqen forcat transversale Qx0 dhe momentet Mx0 (fig. 11), madhësia e të cilave duhet të përcaktohet në mënyrë që, së bashku me forcat membranore të sapollogaritura në lëvozhgë, të shkaktojnë këtë deformim në skajin e lëvozhgës që lejohet nga fundi.
Fig. 10, 11, 12, përkatësisht
Në fig. 11 është paraqitur elementi i guaskës dx*a dφ me forcat që veprojnë mbi të. Kushti i ekuilibrit të forcave në drejtimin e normales ndaj guaskës jep
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
nga ku me pjesëtimin me dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Nga kushti që momenti rreth tangjentes horizontale në cilindër është zero, del:
dM/dx = M’x = Qx
Duke eliminuar forcën transversale Qx nga këto dy ekuacione del
a M’’x + Nφ = p a.
Eq. 6
Në këtë ekuacion këto forca të panjohura prerëse mund të shprehen me anë të shfryrjes w. Për Nφ është gjetur tashmë Nφ=Etw/a, ndërsa momenti është proporcional me lakimin e meridianit w’’, d.m.th. Mx=Kw’’, ku, si edhe te pllakat, K=Et3/12(1-μ2) është ngurtësia e guaskës, e cila mund të jetë e ndryshueshme me x. Nëse këto shprehje për forcat mesatare futen në ekuacionin (6), merret ekuacioni diferencial i teorisë së rezervuarit:
Për rezervuarin, trashësia e murit të të cilit është e pandryshueshme, zgjidhja është:
Një.7
ku λ4=3(1-μ2)/a2t2. Nëse λh është i madh (të themi, më i madh se 3), është më e përshtatshme që, në vend të funksioneve hiperbolike, të përdoren ato eksponenciale, dhe atëherë:
Një.8
Atëherë konstantet A1, B1 mund të përcaktohen në mënyrë të pavarur nga njëra-tjetra nga kushtet kufitare në skajin e poshtëm, ndërsa konstantet A2, B2 nga kushtet kufitare në skajin e sipërm, ku sipas rregullit merret A2=B2=0. Në bazë të ekuacionit (8) dhe (7) merren forcat prerëse, kur llogaritja kryhet në drejtim të kundërt dhe kudo futet ekuacioni (8) dhe (7); kështu, për shembull, për A2=B2=0:
Kur muret e rezervuarit janë të ngulitura ngurtësisht në pllakë, në fundin e rezervuarit që është mjaft i trashë për t’u konsideruar i ngurtë, konstantet A1, B1 duhet të përcaktohen nga kushtet që x=0, w=0 dhe w’=0 dhe merret:
Nëse fundi i rezervuarit është pllakë ose guaskë elastike, forcat transversale Qx dhe momentet Mx përgjatë rrethit skajor midis fundit dhe murit të cilindrit duhet të përcaktohen me metodat e teorisë së sistemeve statikisht të papërcaktuara, në bazë të kërkesës që Mx dhe w’ për të dy pjesët të kenë të njëjtën vlerë.