Skal kallas yt-bärverk vars medelyta inte är plan utan märkbart välvd. Deras statiska beteende avviker avsevärt från en plattas. När de har en lämplig form är deras spänningar betydligt mindre, deras styvhet motsvarande större och beräkningen i de flesta fall enklare.
Spänningstillståndet i varje skal kan delas upp i två delar: membranspänning och böjning. Membranspänningarna kan, liksom spänningarna i en platta belastad i sitt plan, uttryckas med hjälp av tvärkrafter i tangentplanet – det är t.ex. i snittet x=const. normalkraften _Nx=_σx*t och skjuvkraften _Nxy=_τxy*t, där t är skalets tjocklek. Spänningarna på grund av böjning är desamma som för plattor och kan representeras av böjmoment Mx, torsionsmoment Mxy och skjuvkrafter Qx.
Skalens väsentliga egenskaper grundar sig på att spänningarna på grund av böjning som regel varken har samma storlek eller betydelse som membranspänningarna, så att de ofta helt kan försummas. I så fall är alla spänningar jämnt fördelade över skalets tjocklek och verkar tangentiellt mot mittytan. Beräkningar som bygger på dessa antaganden faller inom ramen för skalens membranteori.
Membranteori för rotationssymmetriska skal under rotationssymmetrisk belastning
Allmänna formulär
Som koordinatlinjer används meridianer och parallellkretsar i skalets medelyta, så koordinaterna är: azimut ϑ (“geografisk längd”) och lutning φ för tangenten till meridianen mot planet vinkelrätt mot symmetriaxeln (fig. 1a). Därav blir snittkrafterna: normalkraft Nφ i meridianens riktning och normalkraft Nϑ i ringriktningen (fig. 1b). Skjuvkrafterna Nφϑ förekommer inte vid rotationssymmetrisk spänning. Belastningen per ytenhet betecknas på följande sätt (fig. 1b): Y tangentiellt mot meridianen, positiv i den riktning där φ ökar, Z normalt mot skalet, positiv mot symmetriaxeln.
Fig. 1
Fig. 2
Låt krökningsradien för meridianen vara r1. Den är en funktion av vinkeln φ och därför bestämmer ekvationen _r1=r1(_φ) meridianens form. Denna kan betraktas som meridians ekvation och lyder, t.ex.
för cirkeln r1=a=const.
för parabeln r1=a/cos3__φ
för ellipsen r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
För att beräkna normalkraften N__φ i meridianens riktning måste jämviktsvillkoret för den del av skalet som ligger ovanför den parallella cirkeln φ uppställas (fig. 2). Resultanten R av lasterna Y och Z som verkar på denna del är, med hänsyn till symmetrin, vertikal. Dess storlek fås genom integration över skalets yta från φ’=0 till φ’=φ. Skalets ele-mentyta är dF=r1d__φ’*rd__ϑ, så att lastens vertikalkomponent blir (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. För hela den ringformiga del av skalet som ligger mellan cirklarna φ’ och φ’+dφ’ är resultantkraften av den yttre belastningen:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
varifrån man genom integrering med avseende på φ’ för den del av skalet som ligger ovanför den parallella cirkeln φ’=φ erhåller:
Ekv. 1
Denna belastning tas upp av normalspänningar i meridianens riktning, vilka verkar längs omkretsen av den betraktade cirkeln; den vertikala komponenten av resultantkraften från dessa spänningar är 2__πr * N__φ sin__φ, och genom ekvivalering erhålls härifrån den sökta normalspänningen
Ekv. 2
Om skalet i den övre delen skärs längs cirkeln φ=φ0 (t.ex. en ljusöppning i en kupol), är integralkurvans nedre gräns, som bekant, φ0 och inte noll. Om på kanten av det skal som uppstått på detta sätt även belastningen R0 verkar, ska även den adderas till resultantkraften R (fig. 3).
Fig. 3
För att bestämma normalkraften N__ϑ måste jämviktvillkoret för skivelementet vinkelrätt mot tangentplanet ställas upp (fig. 4). Resultanten av den yttre belastningen i denna riktning är Z r1 d__φ r d__ϑ. Krafterna N__φ*r d__ϑ som ligger i meridianplanet bildar en liten vinkel d__φ med varandra, varför deras resultant i riktningen för normalen till skivan blir N__φ r d__ϑ*dφ. På samma sätt har krafterna Nϑ r1 dφ som ligger i planet för den horisontella cirkeln och sinsemellan bildar vinkeln dϑ resultanten Nϑ r1 dφ*dϑ, som också ligger i planet för den horisontella cirkeln och därför med normalen till skivan bildar vinkeln 0,5_π-φ_, så att endast deras komponent Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ ingår i jämviktsvillkoret. Jämviktsvillkoret lyder därför
eller, när det delas med r r1 dϑ dφ:
En.3
Här betecknas med r2=r/sinφ den andra huvudradien för skalkrökningen.
Fig. 4
Cirkulär kupol
När meridianens form är analytiskt given genom ekvationen r1=r1(φ) och när analytiska uttryck är givna för lasterna Y(φ) och Z(φ), kan snittkrafterna i skalet alltid bestämmas genom integrering i sluten form eller numeriskt, med Simpson-s regel. För en cirkulär kupol med diametern a ges i det följande snittkrafterna för några lastfall:
Det sista uttrycket, som för φ=0 ger oändligt stora tvärkrafter, gäller först på visst avstånd från kraftens angreppspunkt. I omedelbar närhet av den plats där kraften verkar, även när den är fördelad över ytan av en cirkel med ändlig men liten diameter, överförs belastningen huvudsakligen genom böjning.
Former för skal som är öppna upptill kan härledas ur de föregående, om en fiktiv last P i toppen läggs till den verkliga belastningen och dess storlek bestäms så att den totala normalkraften i meridianriktningen som verkar på skalets övre kant φ=φ0 uppgår till Nφ=0, eller är lika med något värde som bestäms av de yttre krafter som skalet här tar upp.
Koniskt skal
Fig. 5
För ett koniskt skal kan meridianlutningen φ inte användas som koordinat, eftersom den har samma värde i alla punkter. I stället införs avståndet s från kupolens topp mätt längs generatrisen (fig. 5). Normalkraften i meridianriktningen betecknas i enlighet därmed med Ns. Nödvändiga formler kan erhållas från de ovan givna under 1 när gränsövergången utförs. Ur ekvation (2) erhålls därigenom
och ur ekvation (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
För de viktigaste belastningsfallen gäller följande uttryck:
Grafisk metod för godtycklig form på meridianen
Fig. 6
När meridiankurvan inte ges i analytiskt uttryck utan till exempel grafiskt, är bestämningen av krökningsradien alltför svår och alltför inexakt. I sådant fall är det lämpligare att använda en grafisk metod (fig. 6).
Skalet delas upp av ett större antal plan φ=const., vikterna Δ_R_ för ringzonerna som ligger mellan planen beräknas och det är bäst att omedelbart dela med 2_π_. Dessa krafter ΔR/2π införs i kraftdiagrammet (fig. 6b). Om man sedan, t.ex., genom delningspunkten 7 drar en linje parallell med tangenten till meridianen i punkten på meridianen 7, kommer den horisontella genom den övre punkten i kraftdiagrammet att skära den längs R1/2π sinφ7, varifrån den motsvarande normalkraften i meridianens riktning erhålls genom att enligt ekvation (2) dividera med motsvarande r.
För att bestämma krafterna i ringarna används jämviktsvillkoret för horisontalkrafter på ett skal-element. Om endast vertikala laster verkar, lyder detta villkor (fig. 4):
När dφ här ersätts av den ändliga skillnaden Δφ, som motsvarar den antagna indelningen av skalet, och när längden Δs för meridiankomponenten i stället för r1 dφ sätts in, erhålls härav
I parentesen på höger sida står avskärningen på den horisontella linjen i kraftpolygonen. Hela högersidan utgör följaktligen delsträckorna mellan indelningpunkterna på denna linje. För att kunna avläsa dem tillräckligt noggrant måste kraftpolygonen ritas omsorgsfullt och i tillräckligt stor skala.
Dragna och tryckta ringar
Varje rotationssymmetrisk skal begränsas av en eller två horisontella cirklar (fig. 7). Vid dessa kanter kan det i princip endast ta upp sådana laster och upplagsreaktioner som har riktning längs meridianens tangent. Om de yttre krafterna har en annan riktning, såsom t.ex. lasten P från konstruktionens övre del eller reaktionen S från bottnen på den behållare som visas i fig. 97, måste dessa krafter, som visat på bilden, delas upp i komponenter i riktning mot den horisontella cirkeln och tangent till meridianen. Komponenten P/sinφ0 eller S/sinφu är lika med normalkraften i meridiandirectionen Nφ som verkar där, medan upptagning av horisontalkraften Pctgφ0 eller Sctgφu kräver en ring som tar upp drag respektive tryck och i vilken denna radiella belastning ger upphov till normalkraften + P r0 ctgφ0, respektive -S ru ctgφu. Sådana ringar måste, förutom vid skalets kanter, även anordnas på alla de ställen där meridiankurvan har ett brott. De orsakar alltid en störning i membranspänningstillståndet.
Fig. 7
Spänningar vid böjning i rotationssymmetriska skal
Formlerna i membranteorin innehåller inte tillräckligt många integrationskonstanter för att alla randvillkor som faktiskt motsvarar den givna uppgiften ska kunna uppfyllas. Särskilt för rotationssymmetriska skal är det inte möjligt att genom något lämpligt val av integrationskonstanter uppnå att töjningen εϑ = Nϑ/Et i ringriktningen längs skalets kant är lika med den motsvarande töjningen i någon annan konstruktiv del som på den platsen är fast förbunden med det. Detsamma gäller för skal där meridianens krökning, skalets tjocklek eller belastningen per ytenhet hoppar längs en horisontell cirkel. Även när skalet längs någon kant inte är förstyvat med en ring, men på denna plats belastas av krafter som har en komponent i riktning mot skalets normal (t.ex. belastningen P i fig. 7 när man tänker sig att ringen har tagits bort), kan det inte ta upp sådana laster enbart via membrankrafter. I sådana fall spelar tvärkraften och böjmomenten (fig. 8) en viktig roll för kraftfördelningen i skalet, vilket måste beaktas i den statiska beräkningen.
Fig. 8
En exakt beräkning av skalet för böjning, utom i det enklaste specialfallet med ett cylindriskt skal, är en mycket svår uppgift. För tunna skalväggar kan man utveckla en enkel och mycket användbar approximativ teori som bygger på det från den strikta teorin kända faktum att spänningarna till följd av böjning begränsas till en relativt smal zon intill kanten och snabbt avtar med ökande avstånd från kanten. Detta gör det möjligt att bortse från ett stort antal termer i den exakta differentialekvationen, varigenom denna får en förenklad form.
Om man inom den randzon som är den enda intressanta κ ersätter medelvärdet, och detta är nästan alltid möjligt, är lösningen till ekvationen
Ekv. 4 och 5
där a1, b1, a2, b2 är integrationskonstanter. Eftersom lösningen endast är intressant i närheten av kanten φ=φ0, är det lämpligt att införa det vinkellägesavstånd ω=φ0-φ eller ω=φ-φ0 från denna kant som koordinat, varpå transformation av ovan nämnda lösning ger det andra angivna uttrycket. Här förekommer endast två integrationskonstanter A, B eller C, ψ, eftersom den andra delen av lösningen som innehåller faktorn eκω, och därför inte avtar när ω ökar, kan uteslutas ur betraktandet.
På grundval av ekvation 5 erhålls följande värden för tvärkrafter och vridning κ av meridiantangenten:
Spänningar till följd av böjning i behållare av cirkulär cylindrisk form
Låt oss anta att en cylindrisk behållare med höjden h är fylld med vatten (fig. 9), då är vattentrycket på höjden x över behållarens botten p=γ(h-x). Om man på denna höjd med två horisontella snitt på avståndet dx. skär ut en ring ur behållaren och delar den längs en diameter i två delar, ger jämviktvillkoret för den ena av dem membrankraften i ringen Nφ=pa. Om behållarens tjocklek på denna plats är t, är töjningen i ringen εφ=Nφ/Et och därmed ökning av behållarens radie (nedböjning) är
Vid den nedre kanten x=0 är därför
Fig. 9
Varken det ena eller det andra överensstämmer i regel med randvillkoren, eftersom väggens deformation förhindras genom förbindelsen med tankens botten. Därvid uppträder tvärkrafter Qx0 och moment Mx0 vid anslutningen mellan bottnen och cylinderväggen (fig. 11), vars storlek måste bestämmas så att de tillsammans med de nyss beräknade membrankrafterna i skalet framkallar denna deformation vid skalets kant, som bottnen tillåter.
Fig. 10, 11, 12, respektive
I fig. 11 visas ett skalelement dx*a dφ med de krafter som verkar på det. Villkoret för kraftjämvikt i riktningen normal mot skalet ger
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
varifrån man genom att dividera med dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Ur villkoret att momentet kring cylinderns horisontella tangent är noll erhålls:
dM/dx = M’x = Qx
Genom att eliminera tvärkraften Qx ur dessa två ekvationer följer
a M’’x + Nφ = p a.
Ekv. 6
I denna ekvation kan dessa okända tvärkrafter uttryckas med hjälp av nedböjningen w. För Nφ har man redan funnit Nφ=Etw/a, och momentet är proportionellt mot meridiankurvaturen w’’, dvs. Mx=Kw’’, varvid K=Et3/12(1-μ2) är skalets styvhet, som kan vara variabel med x. Om dessa uttryck för medelkrafter förs in i ekvation (6), erhålls tankteorins differentialekvation:
För en tank med oföränderlig väggtjocklek lyder lösningen:
En.7
där λ4=3(1-μ2)/a2t2. Om λh är stort (säga större än 3), är det lämpligare att i stället för hyperboliska funktioner införa exponentiella, och då gäller:
En.8
Då kan konstanterna A1, B1 bestämmas oberoende av varandra ur randvillkoren vid den nedre kanten, och konstanterna A2, B2 ur randvillkoren vid den övre kanten, varvid man som regel får A2=B2=0. Med hjälp av ekvation (8) och (7) erhålls tvärkrafterna när beräkningen utförs i omvänd riktning och ekvation (8) och (7) införs överallt; så är t.ex. för A2=B2=0:
När tankens väggar är styvt inspända i en bottenplatta, på tankens botten som är tillräckligt tjock för att kunna betraktas som styv, ska konstanterna A1, B1 bestämmas ur villkoren att x=0, w=0 och w’=0, varvid man erhåller:
Om tankens botten är en elastisk platta eller skal, ska tvärkrafterna Qx och momenten Mx längs randcirkeln mellan botten och cylinderväggen bestämmas med metoder från teorin för statiskt obestämda system, på grundval av kravet att Mx och w’ för båda delarna har samma värde.