ทฤษฎียืดหยุ่น - เปลือก

เปลือกบาง คือโครงสร้างรับแรงผิวที่มีผิวกลางไม่ราบเรียบ แต่โค้งนูนอย่างเห็นได้ชัด พฤติกรรมเชิงสถิตของมันแตกต่างจากแผ่นอย่างมาก เมื่อมีรูปทรงที่เหมาะสม ความเค้นจะน้อยกว่ามาก ความแข็งแกร่งจะสูงกว่าอย่างมีนัยสำคัญ และการคำนวณในกรณีส่วนใหญ่ก็ง่ายกว่า

ความเค้นของเปลือกทุกชนิดสามารถแยกออกเป็นสองส่วนได้ คือ ความเค้นแบบเมมเบรนและความเค้นดัด ความเค้นแบบเมมเบรน เช่นเดียวกับความเค้นในแผ่นที่รับแรงในระนาบของตน สามารถแสดงได้ด้วยแรงตัดในระนาบสัมผัส — เช่น ในหน้าตัด x=const. แรงปกติ _Nx=_σx*t และแรงเฉือน _Nxy=_τxy*t โดยที่ t คือความหนาของเปลือก ความเค้นเนื่องจากการดัดเหมือนกับในแผ่น และสามารถแสดงด้วยโมเมนต์ดัด Mx โมเมนต์บิด Mxy และแรงเฉือน Qx

คุณสมบัติสำคัญของเปลือกอาศัยข้อเท็จจริงที่ว่า โดยปกติแล้ว ความเค้นเนื่องจากการดัดไม่มีทั้งขนาดและความสำคัญเท่ากับความเค้นแบบเมมเบรน จึงมักละเลยได้ทั้งหมด ในกรณีนี้ ความเค้นทั้งหมดจะกระจายอย่างสม่ำเสมอทั่วความหนาของเปลือก และกระทำในแนวสัมผัสต่อผิวกลาง การคำนวณที่อาศัยสมมติฐานเหล่านี้จัดอยู่ในขอบเขตของทฤษฎีเมมเบรนของเปลือก

ทฤษฎีเมมเบรนของเปลือกทรงสมมาตรแบบการหมุนภายใต้แรงกระทำที่สมมาตรแบบการหมุน

รูปแบบทั่วไป

สำหรับเส้นพิกัดจะใช้เส้นเมริเดียนและวงขนานบนผิวกลางของเปลือก ดังนั้นพิกัดคือ: อะซิมุท ϑ (“ลองจิจูดทางภูมิศาสตร์”) และมุมเอียง φ ของเส้นสัมผัสต่อเมริเดียนเมื่อเทียบกับระนาบตั้งฉากกับแกนสมมาตร (รูป 1a) ดังนั้นแรงภายในที่ตัดผ่านคือ: แรงปกติ Nφ ในแนวเมริเดียน และแรงปกติ Nϑ ในแนววงแหวน (รูป 1b) แรงเฉือน Nφϑ ไม่เกิดขึ้นในการรับแรงแบบสมมาตรเชิงการหมุน การบรรทุกต่อหนึ่งหน่วยพื้นที่แสดงดังนี้ (รูป 1b): Y ตามแนวสัมผัสต่อเมริเดียน เป็นบวกในทิศทางที่ φ เพิ่มขึ้น, Z ตั้งฉากกับเปลือก เป็นบวกไปทางแกนสมมาตร

รูปที่. 1

รูปที่. 2

ให้รัศมีความโค้งของเมอริเดียนเป็น r1 ซึ่งเป็นฟังก์ชันของมุม φ ดังนั้นรูปทรงของเมอริเดียนจึงถูกกำหนดโดยสมการ _r1=r1(_φ) สมการนี้สามารถถือเป็นสมการของเมอริเดียนและมีรูป เช่น

สำหรับวงกลม                                       r1=a=const.

สำหรับพาราโบลา                                 r1=a/cos3__φ

สำหรับวงรี          r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2

ในการคำนวณแรงปกติ N__φ ในแนวเมอริเดียน ต้องตั้งเงื่อนไขสมดุลของส่วนเปลือกที่อยู่เหนือวงกลมขนาน φ (รูปที่ 2). ผลลัพธ์รวม R ของน้ำหนัก Y และ Z ที่กระทำต่อส่วนนี้เป็นแนวดิ่ง เนื่องจากความสมมาตร ขนาดของมันได้มาจากการอินทิเกรตตามพื้นที่ของเปลือกตั้งแต่ φ’=0 ถึง φ’=φ. พื้นที่ขององค์ประกอบเปลือกคือ dF=r1d__φ’*rd__ϑ ดังนั้นองค์ประกอบแนวดิ่งของแรงกระทำคือ (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF สำหรับส่วนวงแหวนทั้งหมดของเปลือกที่อยู่ระหว่างวงกลม φ’ และ φ’+dφ’ ผลลัพธ์ของแรงภายนอกคือ:

dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,

จากนั้นโดยการอินทิเกรตตาม φ’ สำหรับส่วนของเปลือกที่อยู่เหนือวงกลมขนาน φ’=φ จะได้ว่า:

หน่วย 1

ภาระนี้ถูกรับโดยแรงปกติในทิศทางของแนวเมอริเดียน ซึ่งกระทำตามแนวเส้นรอบวงของวงกลมที่พิจารณา องค์ประกอบในแนวดิ่งของผลลัพธ์ของแรงเหล่านี้คือ 2__πr * N__φ sin__φ, ดังนั้นเมื่อเทียบสมการกันจึงได้แรงปกติที่ต้องการ

สมการ 2

ถ้าเปลือกถูกตัดด้านบนตามวง φ=φ0 (เช่น ช่องเปิดเพื่อรับแสงในโดม) ขอบเขตล่างของอินทิกรัลย่อมเป็น φ0 ไม่ใช่ศูนย์ ตามธรรมชาติ หากที่ขอบของเปลือกที่เกิดขึ้นในลักษณะนี้มีแรงกระทำ R0 ด้วย ก็ต้องนำมันไปรวมกับผลลัพธ์ R (รูป 3)

รูปที่. 3

เพื่อกำหนดแรงปกติ N__ϑ ต้องตั้งเงื่อนไขสมดุลขององค์ประกอบเปลือกในแนวตั้งฉากกับระนาบสัมผัส (รูป 4). ผลรวมแรงของภาระภายนอกในทิศนี้มีค่าเป็น Z r1 d__φ r d__ϑ. แรง N__φ*r d__ϑ ที่อยู่ในระนาบเมริเดียนทำมุมเล็ก ๆ d__φ ระหว่างกัน ดังนั้นผลลัพธ์ของมันในทิศของแนวตั้งฉากต่อเปลือกจึงเป็น N__φ r d__ϑ*dφ. ในทำนองเดียวกัน แรง Nϑ r1 dφ ที่อยู่ในระนาบวงกลมแนวนอนและทำมุม dϑ ระหว่างกัน มีผลลัพธ์เป็น Nϑ r1 dφ*dϑ ซึ่งอยู่ในระนาบวงกลมแนวนอนเช่นกัน และจึงทำมุมกับแนวตั้งฉากต่อเปลือกเป็น 0,5_π-φ_ ทำให้ในเงื่อนไขสมดุลมีเพียงองค์ประกอบของมัน Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ เท่านั้น เงื่อนไขสมดุลจึงเขียนได้ว่า

หรือ เมื่อหารด้วย r r1 dϑ dφ:

Eq. 3

ที่นี่ r2=r/sinφ หมายถึงรัศมีหลักตัวที่สองของความโค้งของเปลือก

รูปที่. 4

โดมวงกลม

เมื่อรูปทรงของเมอริเดียนกำหนดเชิงวิเคราะห์ด้วยสมการ r1=r1(φ) และเมื่อมีนิพจน์เชิงวิเคราะห์สำหรับแรงบรรทุก Y(φ) และ Z(φ) แล้ว แรงเฉือนในเปลือกสามารถกำหนดได้เสมอโดยการอินทิเกรตในรูปปิด หรือเชิงตัวเลขโดยใช้กฎของ Simpson สำหรับโดมทรงกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง a ต่อไปนี้จะแสดงแรงเฉือนสำหรับกรณีการรับแรงบางกรณี:

แบบจำลองสุดท้าย ซึ่งสำหรับ φ=0 ให้แรงเฉือนมีค่ามหาศาล จะใช้ได้ก็ต่อเมื่ออยู่ห่างจากจุดกระทำของแรงในระดับหนึ่งเท่านั้น ในบริเวณใกล้เคียงกับตำแหน่งที่แรงกระทำโดยตรง แม้ว่าแรงนั้นจะกระจายอยู่บนพื้นที่วงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางจำกัดแต่เล็กมาก ภาระส่วนใหญ่ก็ยังถ่ายผ่านการดัด

รูปแบบสำหรับเปลือกที่เปิดทางด้านบนสามารถอนุมานได้จากแบบก่อนหน้า หากเพิ่มแรงสมมุติ P ที่ยอด ซึ่งกำหนดขนาดได้ดังนี้ เมื่อแรงปกติรวมในทิศทางของแนวเมอริเดียนที่กระทำบนขอบบนของเปลือก φ=φ0 มีค่า Nφ=0 หรือเท่ากับค่าหนึ่งที่กำหนดโดยแรงภายนอกที่เปลือกรับอยู่ ณ ที่นี้

เปลือกรูปกรวย

รูปที่. 5

สำหรับเปลือกทรงกรวย ความชันของเส้นเมอริเดียน φ ไม่สามารถใช้เป็นพิกัดได้ เพราะมีค่าเท่ากันทุกจุด แทนที่จึงนำระยะ s จากยอดโดมที่วัดตามแนวเส้นกำเนิด (รูป 5) มาใช้แทน แรงปกติในแนวเส้นเมอริเดียนจึงแสดงด้วย Ns ตามนั้น แบบรูปที่ต้องการสามารถได้มาจากแบบรูปที่ระบุไว้ภายใต้ 1 เมื่อทำการลิมิตที่ขอบ จากสมการ (2) จึงได้ว่า

และจากสมการ (3)

Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.

สำหรับกรณีการรับน้ำหนักที่สำคัญที่สุด ใช้รูปแบบต่อไปนี้:

วิธีกราฟิกสำหรับรูปทรงเมริเดียนใด ๆ

รูปที่. 6

เมื่อเส้นโค้งเมริเดียนไม่ได้กำหนดด้วยนิพจน์เชิงวิเคราะห์ แต่กำหนดด้วยกราฟ เช่น การหาค่ารัศมีความโค้งจะยากเกินไปและไม่แม่นยำเกินไป ในกรณีดังกล่าว วิธีที่เหมาะสมกว่าคือใช้วิธีกราฟิก (รูป 6).

เปลือกจะแบ่งด้วยระนาบจำนวนมาก φ=const. คำนวณน้ำหนัก Δ_R_ ของโซนวงแหวนที่อยู่ระหว่างระนาบต่าง ๆ แล้วควรแบ่งด้วย 2_π_ ทันที แรงเหล่านี้ ΔR/2π จะนำไปใส่ในแผนภาพแรง (รูป 6b) หากจากนั้น เช่น ผ่านจุดแบ่ง 7 ลากเส้นขนานกับเส้นสัมผัสของเมอริเดียนที่จุดเมอริเดียน 7 เส้นแนวนอนผ่านจุดบนสุดของแผนภาพแรงจะตัดบนเส้นนั้นเป็นระยะ R1/2π sinφ7 ซึ่งจากสมการ (2) เมื่อหารด้วย r ที่เหมาะสมจะได้แรงปกติที่สอดคล้องในทิศทางของเมอริเดียน

สำหรับการกำหนดแรงในวงแหวน ใช้เงื่อนไขสมดุลของแรงแนวนอนบนองค์ประกอบหนึ่งของเปลือก หากมีเพียงน้ำหนักบรรทุกแนวตั้ง เงื่อนไขนี้จะเป็นดังนี้ (รูป 4):

เมื่อแทน dφ ที่นี่ด้วยผลต่างจำกัด Δφ ซึ่งสอดคล้องกับการแบ่งเปลือกที่กำหนดไว้ และเมื่อแทนความยาว Δs ขององค์ประกอบเส้นเมริเดียนแทน r1 dφ จะได้ว่า

ในวงเล็บทางด้านขวาแสดงส่วนตัดบนเส้นแนวนอนในแผนภาพแรง ดังนั้นด้านขวาทั้งหมดจึงแสดงช่วงระหว่างจุดแบ่งบนเส้นนี้ เพื่อให้อ่านค่าได้อย่างแม่นยำพอ แผนภาพแรงควรถูกวาดอย่างประณีตและใช้มาตราส่วนที่ใหญ่พอ

วงแหวนที่ถูกดึงและถูกอัด

เปลือกที่สมมาตรตามการหมุนทุกชิ้นจะถูกจำกัดด้วยวงกลมแนวนอนหนึ่งหรือสองวง (รูป 7) ที่ขอบเหล่านี้ โดยหลักการแล้วมันสามารถรับได้เฉพาะน้ำหนักและแรงปฏิกิริยารองรับที่มีทิศทางตามแนวสัมผัสของเส้นเมอริเดียนเท่านั้น หากแรงภายนอกมีทิศทางอื่น เช่น แรงบรรทุก P จากส่วนบนของโครงสร้าง หรือแรงปฏิกิริยา S ที่ก้นถังซึ่งแสดงในรูป 97 แรงเหล่านี้ต้องแยกเป็นองค์ประกอบในทิศทางของวงกลมแนวนอนและแนวสัมผัสของเส้นเมอริเดียนดังที่แสดงในรูป องค์ประกอบ P/sinφ0 หรือ S/sinφu เท่ากับแรงปกติในทิศทางเส้นเมอริเดียน Nφ ที่กระทำอยู่ ณ จุดนั้น ขณะที่การรับแรงแนวนอน Pctgφ0 หรือ Sctgφu จำเป็นต้องมีวงแหวนที่รับแรงดึง หรือแรงกด และในวงแหวนนี้แรงกระทำตามแนวรัศมีดังกล่าวจะก่อให้เกิดแรงปกติ + P r0 ctgφ0 หรือ -S ru ctgφu วงแหวนเช่นนี้ นอกจากจะต้องติดตั้งที่ขอบของเปลือกแล้ว ยังต้องติดตั้งในทุกตำแหน่งที่แนวโค้งของเส้นเมอริเดียนมีการหักมุม วงแหวนเหล่านี้มักทำให้สภาวะความเค้นแบบเมมเบรนถูกรบกวน

รูปที่. 7

ความเค้นเนื่องจากการดัดในเปลือกที่มีสมมาตรตามการหมุน

รูปแบบของทฤษฎีเมมเบรนไม่มีค่าคงที่ในการอินทิเกรตเพียงพอที่จะทำให้สามารถตอบสนองเงื่อนไขขอบทั้งหมดที่สอดคล้องกับโจทย์ที่กำหนดจริงได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับเปลือกทรงสมมาตรรอบการหมุน ไม่อาจใช้การเลือกค่าคงที่ในการอินทิเกรตอย่างเหมาะสมเพื่อให้การยืดตัว εϑ = Nϑ/Et ในทิศทางวงแหวนตามขอบของเปลือกเท่ากับการยืดตัวที่สอดคล้องกันของส่วนโครงสร้างอื่นที่ยึดแข็งกับมันในตำแหน่งนั้นได้ ข้อความนี้ใช้ได้กับเปลือกที่ตามแนววงกลมแนวนอนหนึ่งวงมีการเปลี่ยนแปลงความโค้งของเส้นเมอริเดียน ความหนาของเปลือก หรือโหลดต่อหน่วยพื้นที่แบบกะทันหันด้วย และแม้ว่าเปลือกตามขอบใดขอบหนึ่งจะไม่ได้เสริมความแข็งด้วยวงแหวน แต่ในตำแหน่งนี้กลับรับแรงที่มีองค์ประกอบในทิศตั้งฉากกับเปลือก (เช่น โหลด P ในรูป 7 เมื่อสมมติว่าวงแหวนถูกถอดออก) ก็ไม่สามารถรับแรงเหล่านี้ได้โดยอาศัยเพียงแรงเมมเบรน ในกรณีเช่นนี้ แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด (รูป 8) มีบทบาทสำคัญต่อการกระจายแรงในเปลือก ซึ่งต้องนำมาพิจารณาในการคำนวณทางสถิตด้วย

สล. 8

การคำนวณเปลือกต่อการดัดแบบแม่นยำ ยกเว้นในกรณีพิเศษที่ง่ายที่สุดของเปลือกทรงกระบอก เป็นงานที่ยากมาก สำหรับเปลือกที่มีผนังบาง สามารถสร้างทฤษฎีประมาณที่เรียบง่ายและใช้งานได้ดีมาก ซึ่งอาศัยข้อเท็จจริงที่ทราบจากทฤษฎีอย่างเคร่งครัดว่า ความเค้นเนื่องจากการดัดจะจำกัดอยู่ในเขตค่อนข้างแคบใกล้ขอบ และลดลงอย่างรวดเร็วเมื่อระยะห่างจากขอบเพิ่มขึ้น สิ่งนี้ทำให้สามารถละเว้นพจน์จำนวนมากในสมการเชิงอนุพันธ์ที่แม่นยำได้ จนสมการนั้นมีรูปแบบที่ง่ายขึ้น

หากภายในเขตขอบที่มีความสำคัญเพียง κ แทนที่ด้วยค่ากลาง และโดยแทบทุกกรณีสามารถทำได้ คำตอบของสมการคือ

สมการ 4 และ 5

โดยที่ a1, b1, a2, b2 คือค่าคงที่ในการอินทิเกรต เนื่องจากคำตอบนี้มีความน่าสนใจเฉพาะบริเวณใกล้ขอบ φ=φ0 จึงเหมาะที่จะกำหนดระยะเชิงมุม ω=φ0-φ หรือ ω=φ-φ0 จากขอบนี้เป็นพิกัด แล้วเมื่อแปลงรูปคำตอบข้างต้นก็จะได้สมการแสดงผลอีกแบบหนึ่ง ที่นี่ปรากฏเพียงค่าคงที่ในการอินทิเกรตสองตัว A, B หรือ C, ψ เนื่องจากส่วนที่สองของคำตอบซึ่งมีตัวประกอบ eκω และดังนั้นเมื่อ ω เพิ่มขึ้นก็ไม่ลดลง สามารถตัดออกจากการพิจารณาได้

จากสมการ 5 จะได้ค่าต่อไปนี้สำหรับแรงเฉือนและการหมุน κ ของเส้นสัมผัสเมริเดียน:

ความเค้นอันเนื่องจากการดัดในถังเก็บรูปทรงกระบอกกลม

ให้ถังทรงกระบอกสูง h บรรจุน้ำ (รูป 9), ดังนั้นที่ระดับความสูง x เหนือก้นถัง ความดันน้ำจะเป็น p=γ(h-x). หากที่ระดับนี้ ตัดวงแหวนจากถังด้วยหน้าตัดแนวนอนสองหน้าที่ระยะห่าง dx. แล้วแบ่งวงแหวนนี้ตามแนวเส้นผ่านศูนย์กลางเส้นหนึ่งออกเป็นสองส่วน เงื่อนไขสมดุลของส่วนหนึ่งให้แรงเมมเบรนในวงแหวน Nφ=pa. ถ้าความหนาของถัง ณ จุดนี้เป็น t การยืดตัวในวงแหวนคือ εφ=Nφ/Et และดังนั้นการเพิ่มขึ้นของรัศมีถัง (การโก่งตัว) คือ

ที่ขอบล่าง x=0 ดังนั้น

รูปที่. 9

ตามหลักแล้ว ทั้งสองกรณีไม่สอดคล้องกับเงื่อนไขขอบเขต เพราะการเสียรูปของผนังถูกยับยั้งโดยการเชื่อมต่อกับก้นถัง ในจุดต่อระหว่างก้นถังและผนังทรงกระบอกจะเกิดแรงเฉือน Qx0 และโมเมนต์ Mx0 (รูป 11) ซึ่งต้องกำหนดขนาดให้เหมาะสม เพื่อให้เมื่อรวมกับแรงเมมเบรนที่คำนวณได้ในเปลือกแล้ว จะทำให้เกิดการเสียรูปที่ขอบเปลือกซึ่งก้นถังยอมให้ได้

รูป 10, 11, 12, ตามลำดับ

ในรูป 11 แสดงองค์ประกอบของเปลือก dx*a dφ พร้อมแรงที่กระทำต่อมัน เงื่อนไขสมดุลของแรงในทิศตั้งฉากกับเปลือกให้ว่า

dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,

ซึ่งได้มาจากการหารด้วย dx dφ:

a Q’x + Nφ = p a.

จากเงื่อนไขที่ว่าโมเมนต์รอบเส้นสัมผัสแนวนอนบนทรงกระบอกเป็นศูนย์ จะได้ว่า:

dM/dx = M’x = Qx

เมื่อกำจัดแรงเฉือน Qx ออกจากสมการทั้งสองนี้ จะได้

a M’’x + Nφ = p a.

สมการ 6

ในสมการนี้ แรงตัดที่ไม่ทราบค่าดังกล่าวสามารถแสดงด้วยการโก่งตัว w สำหรับ Nφ ได้มีการพบแล้วว่า Nφ=Etw/a, และโมเมนต์แปรผันตามความโค้งของเส้นเมอริเดียน w’’ กล่าวคือ Mx=Kw’’ โดยที่เช่นเดียวกับในแผ่น K=Et3/12(1-μ2) คือความแข็งของเปลือก ซึ่งอาจเปลี่ยนแปลงตาม x ได้ หากแทนค่าความสัมพันธ์เหล่านี้สำหรับแรงเฉลี่ยลงในสมการ (6) จะได้สมการเชิงอนุพันธ์ของทฤษฎีถังเก็บ:

สำหรับถังที่มีความหนาผนังคงที่ คำตอบคือ:

Eq. 7

โดยที่ λ4=3(1-μ2)/a2t2. หาก λh มีค่ามาก (เช่น มากกว่า 3) จะสะดวกกว่าหากใช้ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลแทนฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก ดังนั้น:

Eq. 8

จากนั้นค่าคงที่ A1, B1 สามารถกำหนดได้อย่างอิสระจากกันจากเงื่อนไขขอบเขตที่ขอบล่าง และค่าคงที่ A2, B2 จากเงื่อนไขขอบเขตที่ขอบบน โดยตามปกติจะได้ A2=B2=0 จากสมการ (8) และ (7) จะได้แรงเฉือน เมื่อคำนวณในทิศทางย้อนกลับและนำสมการ (8) และ (7) มาใช้ทุกแห่ง ดังนั้นเช่นสำหรับ A2=B2=0:

เมื่อผนังถังถูกยึดแน่นแข็งกับแผ่นที่ก้นถังซึ่งหนาพอจะถือว่าเป็นของแข็ง ค่าคงที่ A1, B1 ต้องกำหนดจากเงื่อนไขว่า x=0, w=0 และ w’=0 แล้วจะได้ว่า:

หากก้นถังเป็นแผ่นยืดหยุ่นหรือเปลือกโค้ง แรงเฉือน Qx และโมเมนต์ Mx ตามแนววงรอบขอบระหว่างก้นและผนังทรงกระบอกต้องกำหนดด้วยวิธีของทฤษฎีระบบกำหนดไม่ได้ทางสถิติโดยอาศัยเงื่อนไขว่า Mx และ w’ สำหรับทั้งสองส่วนต้องมีค่าเท่ากัน