Schalen worden oppervlaktedragers genoemd waarvan het middenvlak niet vlak is, maar duidelijk bol staat. Hun statisch gedrag wijkt aanzienlijk af van dat van een plaat. Wanneer zij een geschikte vorm hebben, zijn hun spanningen aanzienlijk kleiner, hun stijfheid dienovereenkomstig groter, en de berekening in de meeste gevallen eenvoudiger.
De spanning van elke schil kan worden opgesplitst in twee delen: membraanspanning en buiging. De membraanspanningen kunnen, net als de spanningen bij een plaat die in haar vlak wordt belast, worden uitgedrukt met behulp van snedekrachten in het raakvlak – dat zijn bijvoorbeeld in de doorsnede x=const. de normaalkracht _Nx=_σx*t en de schuifkracht _Nxy=_τxy*t, waarbij t de dikte van de schil is. De spanningen door buiging zijn dezelfde als bij platen en kunnen worden weergegeven door buigmomenten Mx, torsiemomenten Mxy en schuifkrachten Qx.
De wezenlijke eigenschappen van schillen berusten op het feit dat de spanningen door buiging in de regel niet dezelfde grootte of betekenis hebben als de membraanspanningen, zodat zij vaak volledig kunnen worden verwaarloosd. In dat geval zijn alle spanningen gelijkmatig verdeeld over de dikte van de schil en werken zij tangentieel op het middellak. Berekeningen die op deze aannames zijn gebaseerd, vallen binnen het kader van de membraantheorie van schillen.
Membraantheorie van rotatiesymmetrische schalen onder rotatiesymmetrische belasting
Algemene formules
Als coördinaatlijnen worden meridianen en parallellen op het middelhoofvlak van de schil genomen, zodat de coördinaten zijn: azimut ϑ (“geografische lengte”) en helling φ van de raaklijn aan de meridiaan ten opzichte van het vlak loodrecht op de symmetrie-as (afb. 1a). Daaruit volgen de snedekrachten: de normaalkracht Nφ in de richting van de meridiaan en de normaalkracht Nϑ in de ringrichting (afb. 1b). De schuifkrachten Nφϑ treden niet op bij rotatiesymmetrische spanning. De belasting per oppervlakte-eenheid wordt als volgt aangeduid (afb. 1b): Y tangentieel aan de meridiaan, positief in de richting waarin φ toeneemt, Z normaal op de schil, positief naar de symmetrie-as toe.
Afb. 1
Afb. 2
Laat de kromtestraal van de meridiaan r1 zijn. Deze is een functie van de hoek φ, zodat door de vergelijking _r1=r1(_φ) de vorm van de meridiaan wordt bepaald. Deze kan worden beschouwd als de vergelijking van de meridiaan en luidt bijvoorbeeld.
voor de cirkel r1=a=const.
voor de parabool r1=a/cos3__φ
voor de ellips r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Om de normaalkracht N__φ in meridiaanrichting te berekenen, moet de evenwichtsvoorwaarde worden opgesteld voor het deel van de schil dat boven de parallelcirkel φ ligt (fig. 2). De resultante R van de lasten Y en Z die op dit deel inwerken, is verticaal, gezien de symmetrie. Haar grootte wordt verkregen door integratie over het schiloppervlak van φ’=0 tot φ’=φ. Het oppervlak van het schilelement is dF=r1d__φ’*rd__ϑ, zodat de verticale component van de belasting (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF bedraagt. Voor de gehele ringvormige schildeel die ligt tussen de cirkels φ’ en φ’+dφ’ is de resultante van de uitwendige belasting:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
waaruit door integratie naar φ’ voor het deel van de schaal dat boven de parallele cirkel φ’=φ ligt, volgt:
Afm. 1
Deze belasting wordt opgenomen door normale krachten in meridiaanrichting, die werken langs de omtrek van de beschouwde cirkel; de verticale component van de resulterende van deze krachten is 2__πr * N__φ sin__φ, en door gelijkstelling wordt hieruit de gevraagde normaalkracht verkregen
Verg. 2
Als de schaal aan de bovenzijde langs de cirkel φ=φ0 is afgesneden (bijv. een lichtopening in een koepel), is de ondergrens van de integraal vanzelfsprekend φ0, en niet nul. Als aan de rand van de op deze wijze ontstane schaal ook een belasting R0 werkt, moet die ook aan de resultante R worden toegevoegd (fig. 3).
Afb. 3
Voor het bepalen van de normaalkracht N__ϑ moet de evenwichtsvoorwaarde worden opgesteld van het schaal-element loodrecht op het raakvlak (afb. 4). De resultante van de uitwendige belasting in deze richting bedraagt Z r1 d__φ r d__ϑ. De krachten N__φ*r d__ϑ die in het meridiaanvlak liggen, sluiten onderling een kleine hoek d__φ in, zodat hun resultante in de richting van de normaal op de schaal N__φ r d__ϑ*dφ is. Evenzo hebben de krachten Nϑ r1 dφ die in het vlak van de horizontale cirkel liggen en onderling een hoek dϑ vormen, een resultante Nϑ r1 dφ*dϑ die eveneens in het vlak van de horizontale cirkel ligt en daarom met de normaal op de schaal een hoek 0,5_π-φ_ insluit, zodat in de evenwichtsvoorwaarde alleen hun component Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ meetelt. De evenwichtsvoorwaarde luidt derhalve
of, wanneer gedeeld door r r1 dϑ dφ:
Vgl. 3
Hiermee wordt met r2=r/sinφ de tweede hoofdstraal van kromming van de schaal aangeduid.
Fig. 4
Ronde koepel
Wanneer de vorm van de meridiaan analytisch wordt gegeven door de vergelijking r1=r1(φ) en wanneer voor de belastingen Y(φ) en Z(φ) analytische uitdrukkingen zijn gegeven, kunnen de snedekrachten in de schil altijd worden bepaald door integratie in gesloten vorm of numeriek, met behulp van Simpson-s regel. Voor een cirkelvormige koepel met diameter a worden hieronder de snedekrachten voor enkele belastingsgevallen gegeven:
Het laatste schema, dat voor φ=0 oneindig grote dwarskrachten geeft, geldt pas op zekere afstand van het aangrijpingspunt van de kracht. In de onmiddellijke omgeving van de plaats waar de kracht werkt, zelfs wanneer zij over het oppervlak van een cirkel met een eindige maar kleine diameter is verdeeld, wordt de belasting voornamelijk door buiging overgedragen.
Vormen voor schalen die aan de bovenzijde open zijn, kunnen uit de voorgaande worden afgeleid, als aan de werkelijke belasting een fictieve last P in de top wordt toegevoegd, waarvan de grootte zo wordt bepaald dat de totale normaalkracht in de meridiaanrichting die op de bovenrand van de schaal φ=φ0 werkt, Nφ=0 bedraagt, of gelijk is aan een bepaalde waarde die door de uitwendige krachten wordt bepaald die de schaal hier opneemt.
Conische schil
Afb. 5
Bij de conische schaal kan de helling van de meridiaan φ niet als coördinaat worden gebruikt, omdat deze op alle punten dezelfde waarde heeft. In plaats daarvan wordt de afstand s vanaf de top van de koepel ingevoerd, gemeten langs de generatrix (afb. 5). De normaalkracht in de meridiaanrichting wordt dienovereenkomstig aangeduid met Ns. De benodigde formules kunnen worden afgeleid uit de hierboven onder 1 gegeven formules wanneer de grensovergang wordt uitgevoerd. Uit de vergelijking (2) wordt op die manier
en uit de vergelijking (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Voor de belangrijkste belastingsgevallen gelden de volgende formules:
Grafische methode voor een willekeurige vorm van de meridiaan
Afb. 6
Wanneer de meridiaankromme niet wordt gegeven door een analytische uitdrukking, maar bijvoorbeeld grafisch, is het bepalen van de kromtestraal te moeilijk en te onnauwkeurig. In dat geval is het geschikter om gebruik te maken van een grafische methode (afb. 6).
De schil wordt door een groter aantal vlakken φ=const. verdeeld, de gewichten Δ_R_ van de ringvormige zones tussen de vlakken worden berekend en het best meteen gedeeld door 2_π_. Deze krachten ΔR/2π worden in het krachtenplan aangebracht (afb. 6b). Als men vervolgens bijvoorbeeld door het verdeelpunt 7 een lijn trekt evenwijdig aan de raaklijn op de meridiaan in het punt van de meridiaan 7, zal de horizontaal door het bovenste punt van het krachtenplan daarop een lengte afsnijden van R1/2π sinφ7, waaruit op basis van vergelijking (2) door deling door de overeenkomstige r de overeenkomstige normaalkracht in de richting van de meridiaan wordt verkregen.
Voor het bepalen van de krachten in de ringen dient de evenwichtsvoorwaarde van de horizontale krachten op één schakelelement van de schil. Als er alleen verticale belastingen werken, luidt deze voorwaarde (afb. 4):
Wanneer hier dφ wordt vervangen door het eindige verschil Δφ, dat overeenkomt met de aangenomen verdeling van de schaal, en wanneer in plaats van r1 dφ de lengte Δs van het meridiaanelement wordt ingevoerd, verkrijgt men hieruit
In de haak aan de rechterzijde staat het snijpunt op de horizontale rechte in het krachtenplan. De gehele rechterzijde stelt derhalve de stukjes tussen de verdeelpunten op deze rechte voor. Om ze voldoende nauwkeurig te kunnen aflezen, moet het krachtenplan zorgvuldig en op een voldoende grote schaal worden getekend.
Getrokken en gedrukte ringen
Elke rotatiesymmetrische schil wordt begrensd door één of twee horizontale cirkels (afb. 7). Aan deze randen kan zij in principe alleen zulke belastingen en oplegreacties opnemen die de richting van de raaklijn aan de meridiaan hebben. Als de uitwendige krachten een andere richting hebben, zoals bijvoorbeeld de belasting P van het bovendeel van de constructie of de reactie S van de bodem van het op afb. 97 getoonde reservoir, moeten deze krachten, zoals op de afbeelding is weergegeven, worden ontbonden in componenten in de richting van de horizontale cirkel en van de raaklijn aan de meridiaan. De component P/sinφ0 of S/sinφu is gelijk aan de normaalkracht in de richting van de meridiaan Nφ die op die plaats werkt, terwijl voor het opnemen van de horizontale kracht Pctgφ0 of Sctgφu een ring nodig is die trek, resp. druk, opneemt en waarin deze radiale belasting een normaalkracht + P r0 ctgφ0, resp. -S ru ctgφu veroorzaakt. Dergelijke ringen moeten, behalve aan de randen van de schil, ook worden aangebracht op alle plaatsen waar de meridiaankromme een knik heeft. Zij veroorzaken steeds een verstoring van de membraanspanningsstaat.
Afb. 7
Spanningen door buiging in rotatiesymmetrische schalen
De formules van de membraantheorie bevatten niet voldoende integratieconstanten om aan alle randvoorwaarden te voldoen die in feite bij de gegeven opgave horen. Vooral bij rotatiesymmetrische schalen is het niet mogelijk om met een geschikte keuze van integratieconstanten te bereiken dat de rek εϑ = Nϑ/Et in de ringrichting langs de rand van de schaal gelijk is aan de overeenkomstige rek van een ander constructiedeel dat op die plaats star met haar verbonden is. Hetzelfde geldt ook voor schalen waarbij langs een horizontale cirkel de kromming van de meridiaan, de dikte van de schaal of de belasting per eenheid oppervlak sprongsgewijs verandert. Ook wanneer de schaal langs een bepaalde rand niet is verstijfd met een ring, maar op deze plaats belast wordt met krachten die een component hebben in de richting van de normaal op de schaal (bijv. belasting P op afb. 7 wanneer men zich voorstelt dat de ring verwijderd is), kan zij dergelijke lasten niet alleen via membraankrachten opnemen. In dergelijke gevallen spelen de dwarskracht en de buigmomenten (afb. 8) een wezenlijke rol bij de verdeling van de krachten in de schaal, waarmee in de statische berekening rekening moet worden gehouden.
Afb. 8
Een exacte berekening van een schaal op buiging vormt, behalve in het eenvoudigste speciale geval van een cilindrische schaal, een zeer moeilijke opgave. Voor schalen met dunne wanden kan een eenvoudige en zeer bruikbare benaderende theorie worden opgesteld, die steunt op een uit de strikte theorie bekende vaststelling dat de spanningen door buiging beperkt blijven tot een relatief smalle zone nabij de rand en snel afnemen naarmate de afstand tot de rand groter wordt. Dit maakt het mogelijk een groot aantal termen in de exacte differentiaalvergelijking te verwaarlozen, waarna deze een vereenvoudigde vorm krijgt.
Als in de enige relevante randzone κ een gemiddelde waarde wordt vervangen, en dat is bijna altijd mogelijk, dan is de oplossing van de vergelijking
Verg. 4 en 5
waarbij a1, b1, a2, b2 integratieconstanten zijn. Aangezien de oplossing alleen interessant is in de buurt van de rand φ=φ0, is het handig om de hoekafstand ω=φ0-φ of ω=φ-φ0 vanaf deze rand als coördinaat in te voeren; door de transformatie van bovenstaande oplossing wordt dan de tweede genoemde uitdrukking verkregen. Hier verschijnen slechts twee integratieconstanten A, B of C, ψ, omdat het andere deel van de oplossing, dat de factor eκω bevat en derhalve bij toeneming van ω niet afneemt, uit beschouwing kan worden gelaten.
Op basis van vergelijking 5 worden de volgende waarden voor de dwarskrachten en de draaiing κ van de meridiaantangens verkregen:
Spanningen door buiging in reservoirs in de vorm van een cirkelcilinder
Stel dat een cilindrische reservoir van hoogte h met water is gevuld (afb. 9); dan bedraagt op hoogte x boven twee reservoirs de waterdruk p=γ(h-x). Als op deze hoogte uit het reservoir, met twee horizontale doorsneden op afstand dx, een ring wordt uitgesneden en deze langs een diameter in twee delen wordt verdeeld, geeft de evenwichtsvoorwaarde van één daarvan de membraankracht in de ring Nφ=pa. Als de dikte van het reservoir op deze plaats t is, dan is de rek in de ring εφ=Nφ/Et en is de toename van de straal van het reservoir (doorbuiging) derhalve
Aan de onderrand x=0 is derhalve
Afb. 9
Geen van beide is in de regel in overeenstemming met de randvoorwaarden, omdat de vervorming van de wand wordt verhinderd door de verbinding met de bodem van het reservoir. Daarbij treden op de aansluiting tussen de bodem en de cilinderwand dwarskrachten Qx0 en momenten Mx0 (afb. 11), waarvan de grootte zodanig moet worden bepaald dat zij samen met de juist berekende membraankrachten in de schaal deze vervorming aan de rand van de schaal veroorzaken die door de bodem wordt toegestaan.
Afb. 10, 11, 12, respectievelijk
In afb. 11 is het schildelement dx*a dφ weergegeven met de krachten die erop werken. De evenwichtsvoorwaarde van de krachten in de richting van de normaal op de schil geeft
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
waaruit door deling door dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Uit de voorwaarde dat het moment om de horizontale raaklijn aan de cilinder nul is, volgt:
dM/dx = M’x = Qx
Door eliminatie van de dwarskracht Qx uit deze twee vergelijkingen volgt
a M’’x + Nφ = p a.
Verg. 6
In deze vergelijking kunnen deze onbekende snedekrachten worden uitgedrukt met behulp van de doorbuiging w. Voor Nφ is reeds gevonden Nφ=Etw/a, en het moment is evenredig met de kromming van de meridiaan w’’, dus Mx=Kw’’, waarbij, net als bij platen, K=Et3/12(1-μ2) de stijfheid van de schil is, die met x kan variëren. Als deze uitdrukkingen voor de gemiddelde krachten in vergelijking (6) worden ingevoerd, ontstaat de differentiaalvergelijking van de reservoirtheorie:
Voor een reservoir waarvan de wanddikte constant is, luidt de oplossing:
Vgl. 7
waarbij λ4=3(1-μ2)/a2t2. Als λh groot is (zeg, groter dan 3), is het handiger om in plaats van hyperbolische functies exponentiële in te voeren, dan is:
Vgl. 8
Dan kunnen de constanten A1, B1 onafhankelijk van elkaar worden bepaald uit de randvoorwaarden aan de onderzijde, en de constanten A2, B2 uit de randvoorwaarden aan de bovenzijde, waarbij volgens de regel A2=B2=0_ wordt verkregen. Op basis van de vergelijkingen (8) en (7) worden de dwarskrachten bepaald, wanneer de berekening in omgekeerde richting wordt uitgevoerd en overal vergelijking (8) en (7) wordt ingevoerd; zo is bijvoorbeeld voor A2=B2=0:
Wanneer de wanden van het reservoir star in de plaat zijn ingeklemd, op de bodem van het reservoir die voldoende dik is om als star te worden beschouwd, moeten de constanten A1, B1 worden bepaald uit de voorwaarden dat x=0, w=0 en w’=0 zijn, zodat men verkrijgt:
Als de bodem van het reservoir een elastische plaat of schaal is, moeten de dwarskrachten Qx en de momenten Mx langs de randcirkel tussen de bodem en de wand van de cilinder worden bepaald met methoden van de theorie van statisch onbepaalde systemen, op basis van de eis dat Mx en w’ voor beide delen dezelfde waarde hebben.