S’anomenen closques els elements superficials, la superfície mitjana dels quals no és plana sinó clarament bombada. El seu comportament estàtic difereix notablement del del tauler. Quan tenen una forma adequada, les seves tensions són considerablement menors, la seva rigidesa és en conseqüència més gran, i el càlcul és en la majoria dels casos més simple.
L’estat tensional de cada closca es pot descompondre en dues parts: tensió membranosa i flexió. Les tensions membranoses, igual que les tensions d’una placa carregada en el seu propi pla, es poden expressar mitjançant forces de secció en el pla tangencial — per exemple, en la secció x=const. la força normal _Nx=_σx*t i la força tallant _Nxy=_τxy*t, on t és el gruix de la closca. Les tensions degudes a la flexió són les mateixes que en les plaques i es poden representar per moments de flexió Mx, moments torcionals Mxy i forces tallants Qx.
Les propietats essencials de les closques es basen en el fet que, per regla general, les tensions degudes a la flexió no tenen ni la magnitud ni la importància de les tensions membranoses, de manera que sovint es poden negligir completament. En aquest cas, totes les tensions es distribueixen uniformement pel gruix de la closca i actuen tangencialment a la superfície mitjana. Els càlculs basats en aquestes hipòtesis s’inclouen dins del marc de la teoria membranosa de les closques.
Teoria membranal de les closques simètriques de revolució sota càrrega simètrica de revolució
Formes generals
Com a línies coordenades s’adopten els meridians i els cercles paral·lels a la superfície mitjana de la closca, de manera que les coordenades són: l’azimut ϑ (“longitud geogràfica”) i la inclinació φ de la tangent al meridià respecte del pla perpendicular a l’eix de simetria (fig. 1a). Per tant, les forces de secció són: la força normal Nφ en direcció del meridià i la força normal Nϑ en l’anell (fig. 1b). Les forces de cisallament Nφϑ no apareixen en el cas d’un esforç simètric de revolució. La càrrega per unitat de superfície s’indica de la manera següent (fig. 1b): Y tangent al meridià, positiva en la direcció en què augmenta φ, Z normal a la closca, positiva cap a l’eix de simetria.
Fig. 1
Fig. 2
Suposem que el radi de curvatura del meridià és r1. És una funció de l’angle φ, de manera que l’equació _r1=r1(_φ) determina la forma del meridià. Això es pot considerar com l’equació del meridià i, per exemple, diu així.
per al cercle r1=a=const.
per a la paràbola r1=a/cos3__φ
per a l’el·lipse r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Per calcular la força normal N__φ en direcció meridiana cal establir la condició d’equilibri de la part de la closca que es troba per sobre del cercle paral·lel φ (fig. 2). La resultant R de les càrregues Y i Z que actuen sobre aquesta part és vertical, tenint en compte la simetria. El seu valor s’obté integrant sobre la superfície de la closca de φ’=0 fins a φ’=φ. L’àrea de l’element de closca és dF=r1d__φ’*rd__ϑ, de manera que la component vertical de la càrrega és (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Per a tot el tram anular de la closca que es troba entre els cercles φ’ i φ’+dφ’ la resultant de la càrrega exterior és:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
d’on, integrant respecte de φ’ per a la part de la closca situada per sobre del cercle paral·lel φ’=φ, s’obté:
Eq. 1
Aquesta càrrega és assumida per les forces normals en direcció meridiana, que actuen al llarg de la circumferència del cercle considerat; la component vertical de la resultant d’aquestes forces és 2__πr * N__φ sin__φ, i, igualant-ho, s’obté la força normal buscada
Eq. 2
Si la closca a la part superior es talla al llarg del cercle φ=φ0 (p. ex., una obertura de llum a la cúpula), el límit inferior de la integral és, naturalment, φ0, i no zero. Si a l’aresta de la closca així obtinguda actua també la càrrega R0, cal afegir-la també a la resultant R (fig. 3).
Fig. 3
Per determinar la força normal N__ϑ cal establir la condició d’equilibri de l’element de la closca perpendicular al pla tangent (fig. 4). La resultant de la càrrega exterior en aquesta direcció és Z r1 d__φ r d__ϑ. Les forces N__φ*r d__ϑ que es troben en el pla meridià formen entre elles un petit angle d__φ, de manera que la seva resultant en direcció de la normal a la closca és N__φ r d__ϑ*dφ. De manera semblant, les forces Nϑ r1 dφ que es troben en el pla del cercle horitzontal i formen entre si un angle dϑ tenen una resultant Nϑ r1 dφ*dϑ que també es troba en el pla del cercle horitzontal i, per tant, amb la normal a la closca forma un angle 0,5_π-φ_, de manera que en la condició d’equilibri només entra la seva component Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. La condició d’equilibri, per tant, és
o, quan es divideix per r r1 dϑ dφ:
Un.3
Aquí, amb r2=r/sinφ s’indica el segon radi principal de curvatura de la closca.
Fig. 4
Cúpula circular
Quan la forma del meridià es dona analíticament amb l’equació r1=r1(φ) i quan per a les càrregues Y(φ) i Z(φ) es donen expressions analítiques, les forces de secció a la closca es poden determinar sempre per integració en forma tancada o numèricament, utilitzant la regla de Simpson. Per a una cúpula circular de diàmetre a, a continuació es donen les forces de secció per a alguns casos de càrrega:
L’últim patró, que per a φ=0 dona esforços tallants infinits, només és vàlid a una certa distància del punt d’aplicació de la força. A la proximitat immediata del lloc on actua la força, fins i tot quan aquesta es distribueix sobre la superfície d’un cercle de diàmetre finit però petit, la càrrega es transmet principalment per flexió.
Els patrons per a closques obertes a la part superior es poden derivar dels anteriors si a la càrrega real s’hi afegeix una càrrega fictícia P al vèrtex, la magnitud de la qual es determina així: si la força normal total en direcció meridiana que actua sobre l’aresta superior de la closca φ=φ0 és Nφ=0, o bé és igual a algun valor determinat per les forces externes que la closca rep aquí.
Closca cònica
Fig. 5
En una closca cònica, la inclinació del meridià φ no es pot utilitzar com a coordenada, perquè té el mateix valor en tots els punts. En el seu lloc s’introdueix la distància s des de l’extrem de la cúpula, mesurada al llarg de la generatriu (fig. 5). En conseqüència, la força normal en direcció meridiana s’indica amb Ns. Les expressions necessàries es poden obtenir a partir de les indicades sota 1 quan es fa el pas límit. De l’equació (2) s’obté així
i de l’equació (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Per als casos de càrrega més importants s’apliquen les fórmules següents:
Procediment gràfic per a una forma arbitrària del meridià
Fig. 6
Quan la corba de meridià no es dona mitjançant una expressió analítica, sinó, per exemple, de manera gràfica, la determinació del radi de curvatura és massa difícil i massa inexacta. En aquest cas és més convenient utilitzar el procediment gràfic (fig. 6).
La closca es divideix amb un nombre més gran de plans φ=const.; es calculen els pesos Δ_R_ de les zones anulars que jeuen entre els plans i és millor dividir-los immediatament per 2_π_. Aquestes forces ΔR/2π es representen en el pla de forces (fig. 6b). Si després, per exemple, a través del punt de divisió 7 es traça una recta paral·lela a la tangent del meridià en el punt del meridià 7, l’horitzontal pel punt superior del pla de forces tallarà en ella el segment R1/2π sinφ7 del qual, sobre la base de l’equació (2), dividint per l’r corresponent, s’obté la força normal corresponent en direcció del meridià.
Per determinar les forces als anells serveix la condició d’equilibri de les forces horitzontals en un element de la closca. Si actuen només càrregues verticals, aquesta condició és (fig. 4):
Quan aquí dφ se substitueix per la diferència finita Δφ, que correspon a la divisió adoptada de la closca, i quan en lloc de r1 dφ s’introdueix la longitud Δs de l’element del meridià, s’obté
Entre claudàtors, al costat dret, hi ha el tall sobre la recta horitzontal en el pla de forces. Per tant, tot el costat dret representa els trams entre els punts de divisió d’aquesta recta. Per poder-los llegir amb prou precisió, el pla de forces ha de ser dibuixat amb cura i a una escala prou gran.
Anells a tracció i a compressió
Cada closca simètrica de revolució està limitada per un o dos cercles horitzontals (fig. 7). En aquestes arestes, en principi, només pot rebre aquelles càrregues i reaccions dels suports que tenen la direcció de la tangent al meridià. Si les forces externes tenen una altra direcció, com per exemple la càrrega P de la part superior de l’estructura o la reacció S del fons del dipòsit mostrat a la fig. 97, aquestes forces s’han de descompondre, tal com es mostra a la figura, en components en la direcció del cercle horitzontal i de la tangent al meridià. La component P/sinφ0 o S/sinφu és igual a la força normal en la direcció del meridià Nφ que actua en aquell punt, mentre que per rebre la força horitzontal Pctgφ0 o Sctgφu cal un anell que suporti tracció, respectivament compressió, i en el qual aquesta càrrega radial provoca una força normal + P r0 ctgφ0, respectivament -S ru ctgφu. Aquests anells, a més de les arestes de la closca, també s’han de col·locar en tots aquells punts on la corba del meridià presenta una inflexió. Sempre provoquen una alteració de l’estat membranós de tensió.
Fig. 7
Tensions degudes a la flexió en closques de simetria de rotació
Les expressions de la teoria de membrana no contenen un nombre suficient de constants d’integració per poder complir totes les condicions de contorn que realment corresponen al problema plantejat. En especial, en el cas de closques rotacionalment simètriques, no és possible, amb una tria adequada de les constants d’integració, aconseguir que l’allargament εϑ = Nϑ/Et en la direcció de l’anell al llarg de la vora de la closca sigui igual a l’allargament corresponent d’una altra part constructiva que hi està rigidament unida en aquest punt. Això també val per a les closques en què, al llarg d’un cercle horitzontal, canvien bruscament la curvatura del meridià, el gruix de la closca o la càrrega per unitat de superfície. I fins i tot quan la closca al llarg d’una vora no està rigiditzada per un anell, però en aquest punt està sotmesa a forces que tenen una component en la direcció de la normal a la closca (per exemple, la càrrega P a la fig. 7 quan s’imagina que l’anell ha estat retirat), no pot suportar aquestes càrregues només a través de les forces de membrana. En aquests casos, la força tallant i els moments de flexió (fig. 8) tenen un paper essencial en la distribució de forces dins la closca, cosa que s’ha de tenir en compte en el càlcul estàtic.
Fig. 8
El càlcul exacte d’una closca a flexió, llevat del cas especial més senzill d’una closca cilíndrica, representa una tasca molt difícil. Per a closques de paret prima es pot construir una teoria aproximada simple i molt útil que es basa en el fet, conegut de la teoria rigorosa, que les tensions degudes a la flexió es limiten a una zona relativament estreta prop de la vora i disminueixen ràpidament a mesura que augmenta la distància de la vora. Això permet negligir un gran nombre de termes en l’equació diferencial exacta, de manera que aquesta adopta una forma simplificada.
Si dins la zona de vora, que és l’única interessant, κ se substitueix per un valor mitjà, cosa que gairebé sempre és possible, la solució de l’equació és
Un. 4 i 5
on a1, b1, a2, b2 són constants d’integració. Com que la solució només és interessant prop de la vora φ=φ0, convé introduir com a coordenada la distància angular ω=φ0-φ o ω=φ-φ0 respecte d’aquesta vora, i així, mitjançant la transformació de la solució anterior, s’obté l’altra expressió indicada. Aquí només apareixen dues constants d’integració A, B o C, ψ, ja que la segona part de la solució, que conté el factor eκω, i per tant no disminueix amb l’augment de ω, pot excloure’s de l’anàlisi.
A partir de l’equació 5 s’obtenen els valors següents per a les forces tallants i la rotació κ de la tangent del meridià:
Tensions degudes a la flexió en dipòsits de forma de cilindre circular
Suposem que un dipòsit cilíndric d’alçada h està ple d’aigua (fig. 9); llavors, a una altura x per damunt dels dos dipòsits, la pressió de l’aigua és p=γ(h-x). Si, en aquesta alçada, amb dues seccions horitzontals separades per dx. es talla del dipòsit un anell i aquest es divideix al llarg d’un diàmetre en dues parts, la condició d’equilibri d’una d’elles dóna la força membranal a l’anell Nφ=pa. Si el gruix del dipòsit en aquest punt és t, la dilatació a l’anell és εφ=Nφ/Et i, per tant, l’augment del radi del dipòsit (fletxa) és
A la vora inferior x=0 és, per tant
Fig. 9
Ni una cosa ni l’altra, per regla general, no s’ajusta a les condicions de contorn, perquè la deformació de la paret queda impedida per la seva connexió amb el fons del dipòsit. En aquesta connexió entre el fons i la paret del cilindre apareixen forces transversals Qx0 i moments Mx0 (fig. 11), la magnitud dels quals s’ha de determinar de manera que, juntament amb les forces membranals recentment calculades a la closca, provoquin aquesta deformació a la vora de la closca que permet el fons.
Fig. 10, 11, 12, respectivament
A la fig. 11 es mostra l’element de closca dx*a dφ amb les forces que hi actuen. La condició d’equilibri de forces en la direcció de la normal a la closca dona
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
d’on, dividint per dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
De la condició que el moment al voltant de la tangent horitzontal al cilindre és zero, s’obté:
dM/dx = M’x = Qx
Eliminant la força transversal Qx d’aquestes dues equacions, se’n dedueix
a M’’x + Nφ = p a.
Eq. 6
En aquesta equació, aquestes forces de tall desconegudes es poden expressar mitjançant la fletxa w. Per a Nφ ja s’ha trobat Nφ=Etw/a, i el moment és proporcional a la curvatura del meridià w’’, és a dir, Mx=Kw’’, essent, com en el cas de les plaques, K=Et3/12(1-μ2) la rigidesa de la carcassa, que pot variar amb x. Si aquestes expressions de les forces mitjanes s’introdueixen a l’equació (6), s’obté l’equació diferencial de la teoria dels dipòsits:
Per a un dipòsit amb gruix de paret constant, la solució és:
Un.7
on λ4=3(1-μ2)/a2t2. Si λh és gran (posem per cas, superior a 3), és més convenient introduir funcions exponencials en lloc de funcions hiperbòliques, i aleshores:
Un.8
Aleshores es poden determinar independentment l’una de l’altra les constants A1, B1 a partir de les condicions de contorn a l’aresta inferior, i les constants A2, B2 a partir de les condicions de contorn a l’aresta superior, i per regla general s’obté A2=B2=0. A partir de les equacions (8) i (7) s’obtenen els esforços tallants, quan el càlcul es fa en sentit invers i s’introdueixen arreu les equacions (8) i (7); així, per exemple, per a A2=B2=0:
Quan les parets del dipòsit estan rígidamente encastades a la placa, al fons del dipòsit, que és prou gruixut per poder ser considerat rígid, les constants A1, B1 s’han de determinar a partir de les condicions que x=0, w=0 i w’=0, i s’obté:
Si el fons del dipòsit és una placa elàstica o una closca, les forces transversals Qx i els moments Mx al llarg del cercle perifèric entre el fons i la paret del cilindre s’han de determinar mitjançant els mètodes de la teoria dels sistemes estàticament indeterminats, sobre la base del requisit que Mx i w’ per a les dues parts tinguin el mateix valor.