Лушпи се нарекуваат површински носачи, чија средна површина не е рамна, туку е забележливо испакната. Нивното статичко однесување значително отстапува од однесувањето на плочата. Кога имаат погодна форма, нивното напрегање е значително помало, нивната крутост соодветно поголема, а пресметката во повеќето случаи поедноставна.
Напрегањето на секоја школка може да се разложи на два дела: мембранско напрегање и свиткување. Мембранските напони, слично како и напоните кај плоча оптоварена во својата рамнина, можат да се изразат со помош на пресечните сили во тангенцијалната рамнина – тоа се напр. во пресек x=const. нормалната сила _Nx=_σx*t и смолкнувачката сила _Nxy=_τxy*t, каде што t е дебелината на школката. Напоните поради свиткување се исти како и кај плочите и може да се прикажат со моментите на свиткување Mx, торзионите моменти Mxy и смолкнувачките сили Qx.
Суштинските особини на школките се засноваат на фактот дека, по правило, напоните поради свиткување немаат ни големина ни значење на мембранските напони, така што често можат целосно да се занемарат. Во тој случај сите напони се рамномерно распределени по дебелината на школката и дејствуваат тангенцијално на средната површина. Пресметките што се засноваат на овие претпоставки влегуваат во рамките на мембранската теорија на школки.
Мембранска теорија на ротационо симетрични школки под ротационо симетрично оптоварување
Општи обрасци
За координатни линии се усвојуваат меридијаните и паралелните кругови на средната површина на обвивката, па координатите се: азимут ϑ (“географска должина”) и наклон φ на тангентата на меридијанот спрема рамнината нормална на оската на симетрија (сл. 1a). Според тоа пресечните сили се: нормална сила Nφ во правец на меридијанот и нормална сила Nϑ во прстенот (сл. 1b). Сечните сили Nφϑ не се појавуваат кај ротационо симетрично напрегање. Оптоварувањето по единица површина се означува на следниов начин (сл. 1b): Y тангенцијално на меридијанот, позитивно во правецот во кој φ расте, Z нормално на обвивката, позитивно кон оската на симетрија.
Сл.1
Сл. 2
Нека е полупречникот на кривината на меридијанот r1. Тој е функција на аголот φ па со равенката _r1=r1(_φ) е определена формата на меридијанот. Ова може да се смета за равенка на меридијанот и гласи, на пр.
за круг r1=a=const.
за парабола r1=a/cos3__φ
за елипса r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
За пресметување на нормалната сила N__φ во правец на меридијанот треба да се постави услов за рамнотежа на делот од обвивката што лежи над паралелниот круг φ (сл. 2). Резултантата R на товарите Y и Z што дејствуваат на овој дел е вертикална, со оглед на симетријата. Нејзината големина се добива со интегрирање по површината на обвивката од φ’=0 до φ’=φ. Површината на елементот на обвивката е dF=r1d__φ’*rd__ϑ, па вертикалната компонента на оптоварувањето е (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. За целиот прстенест дел од обвивката што лежи меѓу круговите φ’ и φ’+dφ’ резултантата на надворешното оптоварување е:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
од каде што со интегрирање по φ’ за делот од обвивката што лежи над паралелниот круг φ’=φ се добива:
Едн. 1
Ова оптоварување го примаат нормалните сили во правец на меридијанот, кои дејствуваат по обемот на набљудуваниот круг; вертикалната компонента на резултантата на овие сили е 2__πr * N__φ sin__φ, па со изедначување од тука се добива бараната нормална сила
Рав. 2
Ако обвивката на горниот дел е пресечена по кружницата φ=φ0 (на пр. отвор за осветлување во купола), долната граница на интегралот е, се разбира, φ0, а не нула. Ако на работ на обвивката што настанала на овој начин дејствува и оптоварување R0, и тоа треба да се додаде на резултантата R (сл. 3).
Сл.3
За определување на нормалната сила N__ϑ треба да се постави услов за рамнотежа на елементот на лушпата нормално на тангенцијалната рамнина (сл. 4). Резултантата на надворешното оптоварување во овој правец изнесува Z r1 d__φ r d__ϑ. Силите N__φ*r d__ϑ што лежат во меридијалната рамнина затвораат меѓусебно мал агол d__φ, па нивната резултанта во правец на нормалата на лушпата е N__φ r d__ϑ*dφ. Слично на тоа и силите Nϑ r1 dφ што лежат во рамнината на хоризонталниот круг и меѓусебно образуваат агол dϑ имаат резултанта Nϑ r1 dφ*dϑ која исто така лежи во рамнината на хоризонталниот круг и затоа со нормалата на лушпата затвора агол 0,5_π-φ_, така што во условот за рамнотежа влегува само нивната компонента Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. Условот за рамнотежа според тоа гласи
или, кога се подели со r r1 dϑ dφ:
Еден.3
Тука со r2=r/sinφ е означен вториот главен полупречник на закривеност на школката.
Сл.4
Кружна купола
Кога обликот на меридијанот е аналитички даден со равенката r1=r1(φ) и кога за товарите Y(φ) и Z(φ) се дадени аналитички изрази, пресечните сили во обвивката секогаш можат да се одредат со интегрирање во затворена форма или нумерички, користејќи го Simpson-овото правило. За кружна купола со дијаметар a, во продолжение се даваат пресечните сили за некои случаи на оптоварување:
Последната формула, која за φ=0 дава бесконечно големи пресечни сили, важи дури на одредено растојание од местото на дејство на силата. Во непосредната околина на местото каде што дејствува силата, дури и кога таа е распоредена по површината на круг со конечен, но мал дијаметар, оптоварувањето главно се пренесува со свиткување.
Обрасците за школки отворени на горниот дел можат да се изведат од претходните, ако на стварното оптоварување се додаде фиктивен товар P во темето, чија големина така се одредува ако вкупната нормална сила во правецот на меридијанот што дејствува на горниот раб на школката φ=φ0 изнесува Nφ=0, или е еднаква на некоја вредност определена од надворешните сили што школката овде ги прима.
Конусна обвивка
Сл.5
Кај конусна школка наклонот на меридијанот φ не може да се користи како координата, бидејќи тој има на сите точки иста вредност. Наместо него се воведува оддалеченоста s од врвот на куполата мерена долж изводницата (сл. 5). Нормалната сила во правец на меридијанот согласно со тоа се означува со Ns. Потребните обрасци може да се добијат од наведените под 1 кога ќе се изврши граничниот премин. Од равенката (2) се добива на тој начин
а од равенката (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
За најважните случаи на оптоварување важат следниве обрасци:
Графички постапок за произволна форма на меридијанот
Сл. 6
Кога кривата на меридијаната не е дадена со аналитички израз, туку, на пример, графички, определувањето на радиусот на кривината е премногу тешко и премногу неточно. Во тој случај попогодно е да се користи графичка постапка (сл. 6).
Школката се дели со поголем број рамнини φ=const., се пресметуваат тежините Δ_R_ на прстенестите зони што лежат меѓу рамнините и најдобро веднаш да се поделат со 2_π_. Овие сили ΔR/2π се нанесуваат во планот на сили (сл. 6b). Ако потоа, на пр., низ поделбената точка 7 се повлече права паралелна на тангентата на меридијанот во точката на меридијанот 7, хоризонталата низ горната точка на планот на сили ќе ја пресече на неа долж R1/2π sinφ7 од која врз основа на равенката (2) со делење со соодветното r се добива соодветната нормална сила во правец на меридијанот.
За определување на силите во прстеновите служи условот на рамнотежа на хоризонталните сили на еден елемент од обвивката. Ако дејствуваат само вертикални товари, овој услов гласи (сл. 4):
Кога тука dφ се замени со конечната разлика Δφ, која одговара на усвоената поделба на школката, и кога наместо r1 dφ се внесе должината Δs на елементот на меридијанот, оттука се добива
Во заградата на десната страна стои отсечокот на хоризонталната права во планот на сили. Целата десна страна, според тоа, претставува отсечки меѓу поделните точки на оваа права. За да можат доволно точно да се прочитаат, планот на сили треба да биде нацртан внимателно и во доволно голем размер.
Затегнати и притиснати прстени
Секоја ротационо симетрична школка е ограничена со еден или два хоризонтални круга (сл. 7). На овие рабови таа принципиелно може да прими само такви товари и реакции на потпорите, кои имаат насока на тангента на меридијанот. Ако надворешните сили имаат друга насока, како напр. оптоварувањето P од горниот дел на конструкцијата или реакцијата S на дното на резервоарот прикажан на сл. 97, овие сили мора, како што е прикажано на сликата, да се разложат на компоненти во насока на хоризонталниот круг и тангентата на меридијанот. Компонентата P/sinφ0 или S/sinφu е еднаква на нормалната сила во насока на меридијанот Nφ што дејствува на тоа место, додека за прием на хоризонталната сила Pctgφ0 или Sctgφu е потребен прстен што прима затегнување, одн. притисок и во кој ова радијално оптоварување предизвикува нормална сила + P r0 ctgφ0, одн. -S ru ctgφu. Такви прстени, освен на рабовите на школката, мора да се постават и на сите места каде кривата на меридијанот има прекин. Тие секогаш предизвикуваат нарушување на мембранската состојба на напонот.
Сл. 7
Напони предизвикани од свиткување кај ротациски симетрични лушпи
Обрасците на мембранската теорија не содржат доволен број интеграциони константи за да можат да се исполнат сите гранични услови што навистина одговараат на поставената задача. Особено кај ротационо симетрични школки, не е можно со некаков погоден избор на интеграциони константи да се постигне дилатацијата εϑ = Nϑ/Et во правец на прстенот долж работ на школката да биде еднаква на соодветната дилатација на некој друг конструктивен дел што е на тоа место цврсто врзан со неа. Истото важи и за школки кај кои долж еден хоризонтален круг нагло се менува кривината на меридијанот, дебелината на школката или оптоварувањето по единица површина. И кога школката долж некој раб не е зацврстена со прстен, но на ова место е оптоварена со сили што имаат компонента во правец на нормалата на школката (на пр. оптоварување P на сл. 7 кога ќе се замисли дека прстенот е отстранет), таа не може да ги прими ваквите товари само преку мембрански сили. Во вакви случаи смичечката сила и моментите на свиткување (сл. 8) играат суштинска улога при распоредот на силите во школката, што во статичкиот пресмет мора да се земе предвид.
Сл. 8
Точната пресметка на школка на свиткување, освен во наједноставниот специјален случај на цилиндрична школка, претставува многу тежок задача. За школки со тенки ѕидови може да се изгради едноставна и многу употреблива приближна теорија која се потпира на факт познат од строгата теорија, дека напоните поради свиткување се ограничуваат на релативно тесна зона покрај работ и брзо опаѓаат со зголемување на оддалеченоста од работ. Ова овозможува да се занемари голем број членови во точната диференцијална равенка, па таа добива поедноставена форма.
Ако во единствено интересната ивична зона κ се замени со средна вредност, а тоа е скоро секогаш можно, решението на равенката е
Равн. 4 и 5
каде што a1, b1, a2, b2 се интеграциски константи. Бидејќи решението е интересно само во близина на работ φ=φ0, погодно е аголното растојание ω=φ0-φ или ω=φ-φ0 од овој раб да се воведе како координата, па со трансформација на горенаведеното решение се добива другиот наведен израз. Тука се појавуваат само две интеграциски константи A, B или C, ψ, бидејќи другиот дел од решението што го содржи факторот eκω, а со тоа и со растењето на ω не опаѓа, може да се исклучи од разгледување.
Na osnova na jednačkata 5 se dobijat slednite vrednosti za presečnite sili i vrtenjeto κ na tangensot na meridianot:
Напони поради свиткување во резервоари со облик на кружен цилиндар
Нека цилиндричен резервоар со висина h е наполнет со вода (сл. 9), тогаш на висина x над дното на резервоарот притисокот на водата е p=γ(h-x). Ако на оваа висина, со два хоризонтални пресека на растојание dx. се исече од резервоарот прстен и тој се подели по должина на еден пречник на два дела, условот за рамнотежа на еден од нив дава мембранска сила во прстенот Nφ=pa. Ако дебелината на резервоарот на ова место е t, дилатацијата во прстенот е εφ=Nφ/Et и според тоа зголемувањето на полупречникот на резервоарот (угибот) е
На долниот раб x=0 е според тоа
Сл. 9
Ниту едното ниту другото по правило не е во согласност со граничните услови, бидејќи деформацијата на ѕидот е спречена поради врската со дното на резервоарот. Притоа на врската меѓу дното и ѕидот на цилиндерот се појавуваат трансверзални сили Qx0 и моменти Mx0 (сл. 11), чија големина треба така да се одреди што заедно со токму пресметаните мембрански сили во школката ја предизвикуваат оваа деформација на работ на школката што ја дозволува дното.
Сл. 10, 11, 12, соодветно
На сл. 11 е прикажан елемент на обвивка dx*a dφ со силите што дејствуваат врз него. Условот за рамнотежа на силите во правецот на нормалата на обвивката дава
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
од каде со делење со dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Од условот дека моментот околу хоризонталната тангента на цилиндерот е нула, се добива:
dM/dx = M’x = Qx
Елиминацијата на трансверзалната сила Qx од овие две равенки следи
a M’’x + Nφ = p a.
Рав. 6
Во оваа равенка овие непознати пресечни сили можат да се изразат со помош на отклонувањето w. За Nφ веќе е најдено Nφ=Etw/a, а моментот е пропорционален на закривеноста на меридијанот w’’, т.е. Mx=Kw’’, при што, како и кај плочите, K=Et3/12(1-μ2) е крутост на школката, која може да биде променлива со x. Ако овие изрази за просечните сили се внесат во равенката (6), се добива диференцијална равенка на теоријата на резервоарите:
За резервоар со непроменлива дебелина на ѕидот, решението гласи:
Еден.7
каде што λ4=3(1-μ2)/a2t2. Ако λh е големо (на пример, поголемо од 3), поудобно е наместо хиперболични функции да се воведат експоненцијални, па е:
Еден.8
Тогаш независно едни од други може да се одредат константите A1, B1 од граничните услови на долниот, а константите A2, B2 од граничните услови на горниот раб, при што по правило се добива A2=B2=0. Врз основа на равенката (8) и (7) се добиваат пресечните сили, кога пресметката се спроведе во обратен правец и насекаде се воведе равенката (8) и (7); така, на пр., за A2=B2=0:
Кога ѕидовите на резервоарот се круто вклештени во плоча, на дното на резервоарот кое е доволно дебело за да може да се смета за круто, константите A1, B1 треба да се определат од условите дека x=0, w=0 и w’=0 па се добива:
Ако дното на резервоарот е еластична плоча или школка, трансверзалните сили Qx и моментите Mx долж ободниот круг меѓу дното и ѕидот на цилиндерот треба да се одредат со методите на теоријата на статички неопределени системи врз основа на барањето Mx и w’ за двата дела да имаат иста вредност.