Powłokami nazywa się nośniki powierzchniowe, których powierzchnia środkowa nie jest płaska, lecz wyraźnie wypukła. Ich zachowanie statyczne znacznie odbiega od zachowania płyty. Gdy mają odpowiedni kształt, ich naprężenia są znacznie mniejsze, ich sztywność odpowiednio większa, a obliczenia w większości przypadków prostsze.
Stan naprężenia każdej powłoki można rozłożyć na dwie części: naprężenie membranowe i zginanie. Naprężenia membranowe, podobnie jak naprężenia w płycie obciążonej w swojej płaszczyźnie, można wyrazić za pomocą sił przekrojowych w płaszczyźnie stycznej – są to np. w przekroju x=const. siła normalna _Nx=_σx*t oraz siła tnąca _Nxy=_τxy*t, gdzie t jest grubością powłoki. Naprężenia od zginania są takie same jak w płytach i mogą być przedstawione przez momenty zginające Mx, momenty skręcające Mxy oraz siły tnące Qx.
Istotne właściwości powłok opierają się na fakcie, że z reguły naprężenia od zginania nie mają ani wielkości, ani znaczenia naprężeń membranowych, tak że często można je całkowicie pominąć. W takim przypadku wszystkie naprężenia są równomiernie rozłożone po grubości powłoki i działają stycznie do powierzchni środkowej. Obliczenia oparte na tych założeniach mieszczą się w ramach membranowej teorii powłok.
Teoria membranowa powłok osiowo symetrycznych pod obciążeniem osiowo symetrycznym
Wzory ogólne
Za linie współrzędnych przyjmuje się południki i koła równoległe w powierzchni środkowej powłoki, więc współrzędne są następujące: azymut ϑ („długość geograficzna”) oraz nachylenie φ stycznej do południka względem płaszczyzny prostopadłej do osi symetrii (rys. 1a). Odpowiednio siły przekrojowe to: siła normalna Nφ w kierunku południka oraz siła normalna Nϑ w pierścieniu (rys. 1b). Siły ścinające Nφϑ nie występują przy obciążeniu osiowo symetrycznym. Obciążenie na jednostkę powierzchni oznacza się w następujący sposób (rys. 1b): Y styczne do południka, dodatnie w kierunku, w którym φ rośnie, Z normalne do powłoki, dodatnie w stronę osi symetrii.
Rys. 1
Rys. 2
Niech promień krzywizny południka będzie r1. Jest on funkcją kąta φ, więc równanie _r1=r1(_φ) określa kształt południka. Można je uznać za równanie południka i ma ono postać np.
dla koła r1=a=const.
dla paraboli r1=a/cos3__φ
dla elipsy r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Do obliczenia siły normalnej N__φ w kierunku południka należy przyjąć warunek równowagi części powłoki leżącej ponad okręgiem równoleżnikowym φ (rys. 2). Wypadkowa R obciążeń Y i Z działających na tę część jest pionowa ze względu na symetrię. Jej wartość otrzymuje się przez całkowanie po powierzchni powłoki od φ’=0 do φ’=φ. Powierzchnia elementu powłoki wynosi dF=r1d__φ’*rd__ϑ, więc pionowa składowa obciążenia (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Dla całej pierścieniowej części powłoki leżącej między okręgami φ’ i φ’+dφ’ wypadkowa obciążenia zewnętrznego wynosi:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
stąd przez całkowanie względem φ’ dla części powłoki leżącej ponad kręgiem równoległym φ’=φ otrzymuje się:
Jednostka 1
To obciążenie przejmują siły normalne w kierunku południka, działające na obwodzie rozpatrywanego okręgu; pionowa składowa wypadkowej tych sił wynosi 2__πr * N__φ sin__φ, więc przez zrównanie otrzymuje się stąd szukaną siłę normalną
Równ. 2
Jeśli powłoka w górnej części została przecięta wzdłuż okręgu φ=φ0 (np. otwór do oświetlenia w kopule), dolna granica całki jest oczywiście φ0, a nie zero. Jeżeli na krawędzi powstałej w ten sposób powłoki działa także obciążenie R0, to należy je również dodać do wypadkowej R (rys. 3).
Rys. 3
Aby wyznaczyć siłę normalną N__ϑ, należy sformułować warunek równowagi elementu powłoki prostopadle do płaszczyzny stycznej (rys. 4). Wypadkowa obciążenia zewnętrznego w tym kierunku wynosi Z r1 d__φ r d__ϑ. Siły N__φ*r d__ϑ, leżące w płaszczyźnie południkowej, tworzą między sobą mały kąt d__φ, więc ich wypadkowa w kierunku normalnej do powłoki ma wartość N__φ r d__ϑ*dφ. Podobnie siły Nϑ r1 dφ, leżące w płaszczyźnie koła poziomego i tworzące między sobą kąt dϑ, mają wypadkową Nϑ r1 dφ*dϑ, która również leży w płaszczyźnie koła poziomego i dlatego z normalną do powłoki tworzy kąt 0,5_π-φ_, tak że do warunku równowagi wchodzi jedynie ich składowa Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. Warunek równowagi ma zatem postać
lub, po podzieleniu przez r r1 dϑ dφ:
Równ. 3
Tutaj symbolem r2=r/sinφ oznaczono drugi główny promień krzywizny powłoki.
Rys. 4
Kopuła okrągła
Gdy kształt meridianu jest podany analitycznie równaniem r1=r1(φ) i gdy dla obciążeń Y(φ) i Z(φ) podane są wyrażenia analityczne, siły przekrojowe w powłoce można zawsze wyznaczyć przez całkowanie w postaci zamkniętej albo numerycznie, korzystając z reguły Simpson-a. Dla kopuły kołowej o średnicy a w dalszej części podano siły przekrojowe dla niektórych przypadków obciążenia:
Ostatni wzór, który dla φ=0 daje nieskończenie duże siły poprzeczne, obowiązuje dopiero w pewnej odległości od punktu przyłożenia siły. W bezpośrednim sąsiedztwie miejsca, w którym działa siła, nawet gdy jest ona rozłożona na powierzchni koła o skończonej, lecz małej średnicy, obciążenie przenosi się głównie przez zginanie.
Kształty dla powłok otwartych u góry można wyprowadzić z poprzednich, jeśli do rzeczywistego obciążenia doda się fikcyjne obciążenie P w wierzchołku, którego wielkość określa się tak, że całkowita siła normalna w kierunku południka działająca na górnej krawędzi powłoki φ=φ0 wynosi Nφ=0, albo jest równa pewnej wartości określonej przez siły zewnętrzne, które powłoka tutaj przyjmuje.
Powłoka stożkowa
Rys. 5
W przypadku powłoki stożkowej nachylenia meridianu φ nie można użyć jako współrzędnej, ponieważ ma on we wszystkich punktach tę samą wartość. Zamiast tego wprowadza się odległość s od wierzchołka kopuły, mierzoną wzdłuż tworzącej (rys. 5). Siła normalna w kierunku meridianu oznaczana jest odpowiednio przez Ns. Potrzebne wzory można otrzymać z podanych pod 1, po wykonaniu przejścia granicznego. Z równania (2) otrzymuje się w ten sposób
a z równania (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Dla najważniejszych przypadków obciążenia obowiązują następujące wzory:
Graficzna metoda dla dowolnego kształtu południka
Rys. 6
Gdy krzywa południkowa nie jest podana w postaci analitycznej, lecz na przykład graficznie, określenie promienia krzywizny jest zbyt trudne i zbyt niedokładne. W takim przypadku wygodniej jest zastosować postępowanie graficzne (rys. 6).
Powłokę dzieli się większą liczbą płaszczyzn φ=const., oblicza się ciężary Δ_R_ stref pierścieniowych leżących między płaszczyznami i najlepiej od razu podzielić je przez 2_π_. Siły te ΔR/2π nanosi się na plan sił (rys. 6b). Jeśli następnie, np. przez punkt podziału 7 poprowadzi się prostą równoległą do stycznej do południka w punkcie południka 7, to pozioma przechodząca przez górny punkt planu sił przetnie na niej odcinek R1/2π sinφ7, z którego na podstawie równania (2) przez podzielenie przez odpowiednie r otrzymuje się odpowiednią siłę normalną w kierunku południka.
Do określania sił w pierścieniach służy warunek równowagi sił poziomych na jednym elemencie powłoki. Jeśli działają tylko obciążenia pionowe, warunek ten brzmi (rys. 4):
Gdy tutaj dφ zastąpi się skończoną różnicą Δφ, odpowiadającą przyjętemu podziałowi powłoki, a zamiast r1 dφ wprowadzi się długość Δs elementu południka, otrzymuje się stąd
W nawiasie po prawej stronie znajduje się odcinek na prostej poziomej w wykresie sił. Cała prawa strona przedstawia zatem odcinki między punktami podziału na tej prostej. Aby można je było odczytać z wystarczającą dokładnością, wykres sił powinien być narysowany starannie i w dostatecznie dużej skali.
Pierścienie rozciągane i ściskane
Każda powłoka osiowo symetryczna jest ograniczona jednym lub dwoma poziomymi okręgami (rys. 7). Na tych krawędziach może ona zasadniczo przenosić tylko takie obciążenia i reakcje podpór, które mają kierunek styczny do południka. Jeżeli siły zewnętrzne mają inny kierunek, jak np. obciążenie P od górnej części konstrukcji lub reakcja S dna zbiornika przedstawionego na rys. 97, siły te trzeba, jak pokazano na rysunku, rozłożyć na składowe w kierunku okręgu poziomego i stycznej do południka. Składowa P/sinφ0 lub S/sinφu jest równa sile normalnej w kierunku południka Nφ, która działa w tym miejscu, natomiast do przejęcia siły poziomej Pctgφ0 lub Sctgφu potrzebny jest pierścień przenoszący rozciąganie, wzgl. ściskanie, w którym to obciążenie promieniowe wywołuje siłę normalną + P r0 ctgφ0, wzgl. -S ru ctgφu. Takie pierścienie, poza krawędziami powłoki, muszą być umieszczone także we wszystkich tych miejscach, gdzie krzywa południka ma załamanie. Zawsze powodują one zakłócenie membranowego stanu naprężeń.
Rys. 7
Naprężenia od zginania w powłokach osiowo symetrycznych obrotowo
Postacie teorii membranowej nie zawierają wystarczającej liczby stałych całkowania, aby można było spełnić wszystkie warunki brzegowe rzeczywiście odpowiadające postawionemu zadaniu. Szczególnie w przypadku powłok osiowo symetrycznych nie jest możliwe, przy jakimś odpowiednim doborze stałych całkowania, uzyskanie tego, aby wydłużenie εϑ = Nϑ/Et w kierunku pierścieniowym wzdłuż krawędzi powłoki było równe odpowiedniemu wydłużeniu innej części konstrukcyjnej, która jest z nią w tym miejscu sztywno połączona. To samo dotyczy również powłok, w których wzdłuż jednego poziomego okręgu skokowo zmienia się krzywizna meridianu, grubość powłoki lub obciążenie na jednostkę powierzchni. Nawet gdy powłoka wzdłuż jakiejś krawędzi nie jest usztywniona pierścieniem, ale w tym miejscu jest obciążona siłami mającymi składową w kierunku normalnej do powłoki (np. obciążenie P na rys. 7, gdy wyobrazimy sobie, że pierścień został usunięty), nie może ona przejąć takich obciążeń wyłącznie za pośrednictwem sił membranowych. W takich przypadkach siła tnąca i momenty zginające (rys. 8) odgrywają istotną rolę w rozkładzie sił w powłoce, co należy uwzględnić w obliczeniach statycznych.
Śl. 8
Dokładne obliczenie powłoki na zginanie, poza najprostszym specjalnym przypadkiem powłoki cylindrycznej, stanowi bardzo trudne zadanie. Dla powłok o cienkich ściankach można zbudować prostą i bardzo użyteczną teorię przybliżoną, opartą na fakcie znanym ze ścisłej teorii, że naprężenia wskutek zginania ograniczają się do stosunkowo wąskiej strefy przy krawędzi i szybko maleją wraz ze wzrostem odległości od krawędzi. Umożliwia to pominięcie dużej liczby członów w dokładnym równaniu różniczkowym, przez co otrzymuje ono uproszczoną postać.
Jeżeli w obrębie strefy brzegowej, która jest jedynie interesująca κ, zastąpi się ją wartością średnią, a jest to niemal zawsze możliwe, rozwiązanie równania jest
Równ. 4 i 5
gdzie a1, b1, a2, b2 są stałymi całkowania. Ponieważ rozwiązanie jest interesujące jedynie w pobliżu brzegu φ=φ0, wygodnie jest wprowadzić jako współrzędną kątową odległość ω=φ0-φ lub ω=φ-φ0 od tego brzegu, a po przekształceniu powyższego rozwiązania otrzymuje się drugi podany wyraz. Występują tu tylko dwie stałe całkowania A, B lub C, ψ, ponieważ druga część rozwiązania zawierająca czynnik eκω, a więc nie malejąca wraz ze wzrostem ω, może zostać pominięta.
Na podstawie równania 5 otrzymuje się następujące wartości sił przekrojowych i obrotu κ stycznej południka:
Naprężenia wskutek zginania w zbiornikach o kształcie walca kołowego
Niech cylindryczny zbiornik o wysokości h będzie wypełniony wodą (rys. 9), wtedy na wysokości x ponad dnem zbiornika ciśnienie wody wynosi p=γ(h-x). Jeżeli na tej wysokości z dwóch poziomych przekrojów oddalonych o dx wytnie się ze zbiornika pierścień i podzieli go wzdłuż jednej średnicy na dwie części, warunek równowagi jednej z nich daje siłę błonową w pierścieniu Nφ=pa. Jeśli grubość zbiornika w tym miejscu wynosi t, to odkształcenie w pierścieniu jest εφ=Nφ/Et, a zatem zwiększenie promienia zbiornika (ugięcie) wynosi
Na dolnej krawędzi x=0 jest zatem
Rys. 9
Ani jedno, ani drugie z zasady nie jest zgodne z warunkami brzegowymi, ponieważ odkształcenie ściany jest powstrzymywane przez połączenie z dnem zbiornika. Przy tym na połączeniu dna i ściany cylindra występują siły poprzeczne Qx0 i momenty Mx0 (rys. 11), których wielkość należy tak dobrać, aby razem z właśnie obliczonymi siłami membranowymi w powłoce wywoływały na krawędzi powłoki takie odkształcenie, jakie dopuszcza dno.
Rys. 10, 11, 12, odpowiednio
Na rys. 11 pokazano element powłoki dx*a dφ z działającymi na niego siłami. Warunek równowagi sił w kierunku normalnej do powłoki daje
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
skąd przez podzielenie przez dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Z warunku, że moment względem poziomej stycznej do cylindra jest równy zeru, otrzymuje się:
dM/dx = M’x = Qx
Po wyeliminowaniu siły poprzecznej Qx z tych dwóch równań wynika
a M’’x + Nφ = p a.
Równ. 6
W tym równaniu te niewiadome siły przekrojowe można wyrazić za pomocą ugięcia w. Dla Nφ wyprowadzono już Nφ=Etw/a, a moment jest proporcjonalny do krzywizny południka w’’, tzn. Mx=Kw’’, przy czym, podobnie jak w przypadku płyt, K=Et3/12(1-μ2) jest sztywnością powłoki, która może być zmienna względem x. Jeżeli te wyrażenia dla sił średnich podstawimy do równania (6), otrzymujemy równanie różniczkowe teorii zbiorników:
Dla zbiornika o niezmiennej grubości ścian rozwiązanie brzmi:
Równ. 7
gdzie λ4=3(1-μ2)/a2t2. Jeśli λh jest duże (powiedzmy, większe od 3), wygodniej jest zamiast funkcji hiperbolicznych wprowadzić wykładnicze, a zatem:
Równ. 8
Wówczas można niezależnie od siebie wyznaczyć stałe A1, B1 z warunków brzegowych na dolnej krawędzi, a stałe A2, B2 z warunków brzegowych na górnej krawędzi, przy czym z reguły otrzymuje się A2=B2=0. Na podstawie równania (8) i (7) otrzymuje się siły tnące, gdy obliczenie przeprowadzi się w odwrotnym kierunku i wszędzie wprowadzi równanie (8) i (7); tak np. dla A2=B2=0:
Gdy ściany zbiornika są sztywno zamocowane w płycie, na dnie zbiornika, które jest dostatecznie grube, aby można je było uznać za sztywne, stałe A1, B1 należy wyznaczyć z warunków, że x=0, w=0 oraz w’=0, po czym otrzymuje się:
Jeżeli dno zbiornika jest elastyczną płytą lub powłoką, siły poprzeczne Qx i momenty Mx wzdłuż pierścienia krawędziowego między dnem a ścianą cylindra należy wyznaczyć metodami teorii układów statycznie niewyznaczalnych na podstawie wymogu, aby Mx i w’ dla obu części miały tę samą wartość.