Kiautais vadinami paviršiniai nešantieji elementai, kurių vidurinis paviršius nėra plokščias, o yra pastebimai išgaubtas. Jų statinis elgesys gerokai skiriasi nuo plokštės elgesio. Kai jie turi tinkamą formą, jų įtempimai yra gerokai mažesni, jų standumas atitinkamai didesnis, o skaičiavimas daugeliu atvejų paprastesnis.
Kiekvieno kiauto įtempimą galima suskirstyti į dvi dalis: membraninį įtempimą ir lenkimą. Membraniniai įtempiai, panašiai kaip ir plokštės, apkrautos savo plokštumoje, įtempiai gali būti išreikšti skerspjūvio jėgomis liestinės plokštumoje – tai, pavyzdžiui, skerspjūvyje x=const. normalioji jėga _Nx=_σx*t ir skersinė jėga _Nxy=_τxy*t, kur t yra kiauto storis. Įtempiai dėl lenkimo yra tokie pat kaip ir plokštėse ir gali būti vaizduojami lenkimo momentais Mx, sukimo momentais Mxy ir skersinėmis jėgomis Qx.
Svarbios kiautų savybės grindžiamos tuo, kad paprastai įtempiai dėl lenkimo neturi nei dydžio, nei reikšmės, palyginti su membraniniais įtempiais, todėl dažnai gali būti visiškai ignoruojami. Tokiu atveju visi įtempiai tolygiai pasiskirsto per kiauto storį ir veikia tangentiškai viduriniam paviršiui. Skaičiavimai, paremti šiomis prielaidomis, priklauso kiautų membraninės teorijos sričiai.
Rotaciškai simetriškų kevalų membraninė teorija esant rotaciškai simetrinei apkrovai
Bendrosios formos
Koordinatų linijomis laikomi meridianai ir lygiagretės lukšto viduriniame paviršiuje, todėl koordinatės yra: azimutas ϑ („geografinė ilguma“) ir meridiano liestinės nuolydis φ plokštumos, statmenos simetrijos ašiai, atžvilgiu (pav. 1a). Atitinkamai pjūvio jėgos yra: normalioji jėga Nφ meridiano kryptimi ir normalioji jėga Nϑ žiedine kryptimi (pav. 1b). Šlyties jėgos Nφϑ neatsiranda esant rotaciškai simetriškam įtempiui. Apkrova ploto vienetui žymima taip (pav. 1b): Y tangentiškai meridianui, teigiama ta kryptimi, kuria didėja φ, Z statmena lukštui, teigiama link simetrijos ašies.
Pav. 1
pav. 2
Tegul meridiano kreivumo spindulys būna r1. Jis yra kampo φ funkcija, todėl lygtimi _r1=r1(_φ) nustatoma meridiano forma. Tai galima laikyti meridiano lygtimi ir ji, pavyzdžiui, yra tokia:
apskritimui r1=a=const.
parabolės atveju r1=a/cos3__φ
elipsei r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Norint apskaičiuoti normalinę jėgą N__φ meridiano kryptimi, reikia nustatyti tos kevalo dalies, kuri yra virš lygiagrečiojo apskritimo φ (pav. 2), pusiausvyros sąlygą. Šioje dalyje veikiančių apkrovų Y ir Z rezultantas R dėl simetrijos yra vertikalus. Jo dydis gaunamas integruojant kevalo paviršių nuo φ’=0 iki φ’=φ. Kevalo elemento paviršius yra dF=r1d__φ’*rd__ϑ, todėl vertikalioji apkrovos dedamoji (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Visam žiediniam kevalo ruožui, esančiam tarp apskritimų φ’ ir φ’+dφ’, išorinės apkrovos rezultantas yra:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
iš kur integruojant pagal φ’ apvalkalo daliai, esančiai virš lygiagrečiojo apskritimo φ’=φ, gaunama:
Lygt. 1
Šią apkrovą perima normaliosios jėgos meridiano kryptimi, kurios veikia išilgai pastebėto apskritimo perimetro; šių jėgų rezultanto vertikalioji dedamoji yra 2__πr * N__φ sin__φ, todėl sulyginus iš čia gaunama ieškoma normalioji jėga
Lygt. 2
Jei apvalkalo viršutinė dalis nupjauta išilgai apskritimo φ=φ0 (pvz., šviesos anga kupole), apatinė integralo riba, savaime suprantama, yra φ0, o ne nulis. Jei ant tokiu būdu susidariusio apvalkalo krašto veikia ir apkrova R0, ją taip pat reikia pridėti prie rezultanto R (pav. 3).
Pav. 3
Norint nustatyti normalinę jėgą N__ϑ, reikia sudaryti pusiausvyros sąlygą kiauto elementui, statmenam tangentinei plokštumai (pav. 4). Išorinės apkrovos rezultantė šia kryptimi lygi Z r1 d__φ r d__ϑ. Jėgos N__φ*r d__ϑ, esančios meridianinėje plokštumoje, tarpusavyje sudaro mažą kampą d__φ, todėl jų rezultantė kiauto normalei lygi N__φ r d__ϑ*dφ. Panašiai ir jėgos Nϑ r1 dφ, esančios horizontaliojo apskritimo plokštumoje ir tarpusavyje sudarančios kampą dϑ, turi rezultantę Nϑ r1 dφ*dϑ, kuri taip pat yra horizontaliojo apskritimo plokštumoje ir todėl su kiauto normale sudaro kampą 0,5_π-φ_, taigi į pusiausvyros sąlygą įeina tik jų dedamoji Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. Pusiausvyros sąlyga todėl yra tokia
arba, padalijus iš r r1 dϑ dφ:
Vienas.3
Čia su r2=r/sinφ pažymėtas antrasis pagrindinis kiauto kreivumo spindulys.
Pav. 4
Apvali kupola
Kai meridiano forma analitiškai duota lygtimi r1=r1(φ) ir kai apkrovoms Y(φ) ir Z(φ) pateiktos analitinės išraiškos, kiauto skerspjūvio jėgos visada gali būti nustatomos integruojant uždarąja forma arba skaitmeniškai, naudojant Simpson-o taisyklę. Cirkulinei kupolui, kurio skersmuo a, toliau pateikiamos skerspjūvio jėgos kai kuriems apkrovimo atvejams:
Paskutinė formulė, kuriam φ=0 duoda begaliniai dideles skersines jėgas, galioja tik tam tikru atstumu nuo jėgos veikimo taško. Artimiausioje jėgos veikimo vietos aplinkoje, net ir kai ji pasiskirsčiusi apskritimo, kurio skersmuo baigtinis, bet mažas, plote, apkrova daugiausia perduodama lenkimu.
Viršuje atviros kevalų formos gali būti išvestos iš ankstesnių, jei prie tikrosios apkrovos viršūnėje pridedama fiktyvi apkrova P, kurios dydis taip nustatomas, kai bendra normali jėga meridiano kryptimi, veikianti viršutiniame kevalo krašte φ=φ0, yra Nφ=0, arba lygi kokiai nors vertei, nustatytai išorinių jėgų, kurias kevalas čia priima.
Kūginis kevalas
Pav. 5
Kūginio kevalo atveju meridianinis nuolydis φ negali būti naudojamas kaip koordinatė, nes visose taškuose jis turi tą pačią reikšmę. Vietoj jo įvedamas atstumas s nuo kupolo viršūnės, matuojamas išilgai sudaromosios (pav. 5). Atitinkamai meridianinės krypties normalioji jėga žymima Ns. Reikalingos schemos gali būti gautos iš nurodytų po 1, kai atliekamas ribinis perėjimas. Iš lygties (2) tokiu būdu gaunama
o iš lygties (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Svarbiausiems apkrovos atvejams galioja šios išraiškos:
Grafinis metodas bet kokios meridiano formos atveju
pav. 6
Kai meridiano kreivė nėra pateikta analitine išraiška, o, tarkime, grafiškai, kreivumo spindulio nustatymas yra pernelyg sunkus ir pernelyg netikslus. Tokiu atveju patogiau naudotis grafiniu būdu (sl. 6).
Korpusas padalijamas daugybe plokštumų φ=const., apskaičiuojami žiedinių zonų, esančių tarp plokštumų, svoriai Δ_R_ ir geriausia juos iš karto padalyti iš 2_π_. Šios jėgos ΔR/2π perkeliamos į jėgų planą (pav. 6b). Jei po to, pavyzdžiui, per skiriantį tašką 7 nubrėžiama tiesė, lygiagreti liestinei meridiano taške 7, horizontali per viršutinį jėgų plano tašką ją kirs atkarpoje R1/2π sinφ7, iš kurios, remiantis lygtimi (2), padalijant iš atitinkamo r, gaunama atitinkama normali jėga meridiano kryptimi.
Jėgoms žieduose nustatyti naudojama horizontalių jėgų pusiausvyros sąlyga viename kiauto elemente. Jei veikia tik vertikalios apkrovos, ši sąlyga yra tokia (pav. 4):
Kai čia dφ pakeičiamas baigtiniu skirtumu Δφ, atitinkančiu priimtą kiauto padalijimą, o vietoj r1 dφ įrašomas meridiano elemento ilgis Δs, iš čia gaunama
Skliausteliuose dešinėje pusėje pateikiama atkarpa horizontaliai tiesei jėgų plane. Taigi visa dešinioji pusė vaizduoja atkarpas tarp padalijimo taškų šioje tiesėje. Kad galėtume juos pakankamai tiksliai nuskaityti, jėgų planas turi būti nubrėžtas kruopščiai ir pakankamai dideliu masteliu.
Tempiamieji ir gniuždomieji žiedai
Kiekvienas sukimosi simetriškas kiautas yra apribotas vienu arba dviem horizontaliais apskritimais (pav. 7). Šiuose kraštuose jis iš esmės gali priimti tik tokias apkrovas ir atramų reakcijas, kurių kryptis yra meridianinės tangentės kryptis. Jei išorinės jėgos turi kitą kryptį, kaip antai apkrova P nuo viršutinės konstrukcijos dalies arba reakcija S rezervuaro dugno, pavaizduoto pav. 97, šios jėgos turi, kaip parodyta paveiksle, būti išskaidytos į komponentes horizontaliojo apskritimo ir meridianinės tangentės kryptimis. Komponentė P/sinφ0 arba S/sinφu yra lygi normaliajai jėgai meridiano kryptimi Nφ, kuri toje vietoje veikia, o horizontaliajai jėgai Pctgφ0 arba Sctgφu priimti reikalingas žiedas, kuris priima tempimą, atitinkamai gniuždymą, ir kuriame ši radialinė apkrova sukelia normaliają jėgą + P r0 ctgφ0, atitinkamai -S ru ctgφu. Tokie žiedai, be kiauto kraštų, turi būti įrengiami ir visose vietose, kur meridiano kreivė turi lūžį. Jie visada sukelia membraninės įtempių būsenos sutrikimą.
Pav. 7
Lenkimo įtempiai rotaciškai simetriškuose kiautuose
Membraninės teorijos schemose nėra pakankamo integravimo konstantų skaičiaus, kad būtų galima įvykdyti visas ribines sąlygas, kurios iš tikrųjų atitinka nagrinėjamą uždavinį. Ypač rotaciškai simetriškų kevalų atveju negalima tinkamai parinkus integravimo konstantų pasiekti, kad išilginis deformavimasis εϑ = Nϑ/Et žiedo kryptimi išilgai kevalo krašto būtų lygus atitinkamam kito konstrukcinio elemento, kuris toje vietoje su juo standžiai sujungtas, deformavimuisi. Tas pats galioja ir kevalams, kuriuose išilgai vieno horizontalaus apskritimo staigiai keičiasi meridianinė kreivė, kevalo storis arba apkrova ploto vienetui. Net ir tada, kai kevalas išilgai kurios nors briaunos nėra standinamas žiedu, bet šioje vietoje apkrautas jėgomis, kurios turi komponentę kevalo normalės kryptimi (pvz., apkrova P pav. 7, kai įsivaizduojama, kad žiedas pašalintas), jis negali priimti tokių apkrovų vien membraninėmis jėgomis. Tokiais atvejais kirpimo jėga ir lenkimo momentai (pav. 8) vaidina svarbų vaidmenį jėgų pasiskirstymui kevale, į ką statiniame skaičiavime būtina atsižvelgti.
Pav. 8
Tikslus kevalo lenkimo skaičiavimas, išskyrus paprasčiausią specialų cilindrinio kevalo atvejį, yra labai sunkus uždavinys. Plonasieniams kevalams galima sudaryti paprastą ir labai naudingą apytikrę teoriją, kuri remiasi iš griežtosios teorijos žinoma tiesa, kad lenkimo sukeliami įtempiai apsiriboja gana siaura zona prie krašto ir greitai mažėja didėjant atstumui nuo krašto. Tai leidžia neatsižvelgti į daugelį tikslios diferencialinės lygties narių, todėl ji įgyja supaprastintą formą.
Jei į vienintelį svarbų kraštinį tašką κ įstatoma vidutinė reikšmė, o tai beveik visada įmanoma, lygties sprendinys yra
Lygt. 4 ir 5
kur a1, b1, a2, b2 yra integravimo konstantos. Kadangi sprendimas įdomus tik prie krašto φ=φ0, patogu įvesti kampinį nuotolį ω=φ0-φ arba ω=φ-φ0 nuo šio krašto kaip koordinatę, todėl transformavus pirmiau pateiktą sprendimą gaunama kita nurodyta išraiška. Čia atsiranda tik dvi integravimo konstantos A, B arba C, ψ, nes antrąją sprendimo dalį, kurioje yra daugiklis eκω, ir kuri todėl didėjant ω nemažėja, galima išskirti iš nagrinėjimo.
Remiantis lygtimi 5 gaunamos tolesnės skersinių jėgų ir meridiano liestinės sukimosi κ reikšmės:
Lenkimo įtempiai apskritos formos cilindriniuose rezervuaruose
Tarkime, kad cilindrinis h aukščio rezervuaras yra pripildytas vandens (pav. 9), tada aukštyje x virš rezervuaro vandens slėgis yra p=γ(h-x). Jei šiame aukštyje iš rezervuaro dviem horizontaliais pjūviais, esančiais atstumu dx, išpjaunamas žiedas ir šis padalijamas išilgai vieno skersmens į dvi dalis, vienos jų pusiausvyros sąlyga duoda žiedo membraninę jėgą Nφ=pa. Jei rezervuaro storis šioje vietoje yra t, tai žiedo santykinė deformacija yra εφ=Nφ/Et ir todėl rezervuaro spindulio padidėjimas (įlinkis) yra
Apatinėje briaunoje x=0 todėl
Pav. 9
Nei vienas, nei kitas paprastai neatitinka ribinių sąlygų, nes sienelės deformaciją riboja ryšys su rezervuaro dugnu. Tuo tarpu jungtyje tarp cilindro dugno ir sienelės atsiranda skersinės jėgos Qx0 ir momentai Mx0 (pav. 11), kurių dydis turi būti nustatytas taip, kad kartu su ką tik apskaičiuotomis membraninėmis jėgomis kiaute sukeltų tą kiauto krašto deformaciją, kurią leidžia dugnas.
Pav. 10, 11, 12, atitinkamai
Pav. 11 pavaizduotas apvalkalo elementas dx*a dφ su jį veikiančiomis jėgomis. Jėgų pusiausvyros sąlyga apvalkalo normalės kryptimi duoda
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
iš kur dalijant iš dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Iš sąlygos, kad momentas apie horizontalią cilindro liestinė yra lygus nuliui, gauname:
dM/dx = M’x = Qx
Pašalinus transversalinę jėgą Qx iš šių dviejų lygčių, gauname
a M’’x + Nφ = p a.
Lygt. 6
Šioje lygtije šias nežinomas skersines jėgas galima išreikšti per įlinkius w. Nφ jau nustatyta Nφ=Etw/a, o momentas yra proporcingas meridiano kreivumui w’’, t. y. Mx=Kw’’, kai, kaip ir plokščių atveju, K=Et3/12(1-μ2) yra kiauto standumas, kuris gali kisti pagal x. Įrašius šias vidutinių jėgų išraiškas į lygtį (6), gaunama rezervuarų teorijos diferencialinė lygtis:
Rezervuarui, kurio sienelės storis nekinta, sprendinys yra toks:
Vienas.7
kur λ4=3(1-μ2)/a2t2. Jei λh didelis (tarkime, didesnis už 3), patogiau vietoj hiperbolinių funkcijų įvesti eksponentines, todėl:
Vienas.8
Tada galima nepriklausomai viena nuo kitos nustatyti konstantas A1, B1 iš ribinių sąlygų apatiniame krašte, o konstantas A2, B2 iš ribinių sąlygų viršutiniame krašte; paprastai gaunama A2=B2=0. Remiantis lygtimis (8) ir (7) gaunamos skersinės jėgos, kai skaičiavimas atliekamas atvirkštine kryptimi ir visur įvedamos lygtis (8) ir (7); taip, pavyzdžiui, kai A2=B2=0:
Kai rezervuaro sienos standžiai įtvirtintos į plokštę, o rezervuaro dugnas yra pakankamai storas, kad būtų galima laikyti jį standžiu, konstantas A1, B1 reikia nustatyti iš sąlygų, kad x=0, w=0 ir w’=0; gaunama:
Jei rezervuaro dugnas yra elastinga plokštė arba kevalas, skersines jėgas Qx ir momentus Mx išilgai žiedinio kontūro tarp dugno ir cilindro sienos reikia nustatyti statiškai neapibrėžtų sistemų teorijos metodais, remiantis reikalavimu, kad Mx ir w’ abiem dalims turėtų tą pačią reikšmę.