Черупки се наричат повърхностни носещи елементи, чиято средна повърхност не е равна, а е забележимо изпъкнала. Тяхното статично поведение значително се различава от поведението на плочата. Когато имат подходяща форма, напрежението им е значително по-малко, тяхната коравина е в съответната степен по-голяма, а изчислението в повечето случаи е по-просто.
Напрежението на всяка обвивка може да се разложи на две части: мембранно напрежение и огъване. Мембранните напрежения, подобно на напреженията при плоча, натоварена в собствената си равнина, могат да се изразят чрез сечащи сили в тангенциалната равнина – това са напр. в сечение x=const. нормалната сила _Nx=_σx*t и срязващата сила _Nxy=_τxy*t, където t е дебелината на обвивката. Напреженията от огъване са същите като при плочите и могат да се представят с огъващи моменти Mx, усукващи моменти Mxy и срязващи сили Qx.
Съществените особености на обвивките се основават на факта, че по правило напреженията от огъване нямат нито големината, нито значението на мембранните напрежения, така че често могат да бъдат напълно пренебрегнати. В този случай всички напрежения са равномерно разпределени по дебелината на обвивката и действат тангенциално на средната повърхност. Изчисленията, основани на тези предпоставки, попадат в обхвата на мембранната теория на обвивките.
Мембранна теория на ротационно-симетрични обвивки при ротационно-симетрично натоварване
Общи образци
За координатни линии се приемат меридианите и паралелните окръжности в средната повърхност на обвивката, така че координатите са: азимут ϑ („географска дължина“) и наклон φ на тангентата към меридиана спрямо равнината, перпендикулярна на оста на симетрия (фиг. 1a). Следователно срязващите сили са: нормална сила Nφ в посока на меридиана и нормална сила Nϑ в окръжност (фиг. 1b). Срязващите сили Nφϑ не се появяват при ротационно симетрично напрежение. Натоварването на единица повърхност се означава по следния начин (фиг. 1b): Y тангенциално на меридиана, положително в посоката, в която φ нараства, Z нормално на обвивката, положително към оста на симетрия.
Фиг. 1
Фиг. 2
Нека r1 е радиусът на кривината на меридиана. Той е функция на ъгъла φ, така че с уравнението _r1=r1(_φ) е определена формата на меридиана. Това може да се приеме като уравнение на меридиана и гласи, напр.
за кръг r1=a=const.
за параболата r1=a/cos3__φ
за елипса r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
За изчисляване на нормалната сила N__φ в посока на меридиана трябва да се постави условието за равновесие на частта от обвивката, която лежи над паралелния кръг φ (фиг. 2). Резултантата R от натоварванията Y и Z, действащи върху тази част, е вертикална, поради симетрията. Нейната величина се получава чрез интегриране по повърхността на обвивката от φ’=0 до φ’=φ. Повърхността на елемента на обвивката е dF=r1d__φ’*rd__ϑ, така че вертикалната компонента на натоварването е (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. За целия пръстеновиден участък на обвивката, който лежи между кръговете φ’ и φ’+dφ’, резултантата на външното натоварване е:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
откъдето чрез интегриране по φ’ за частта от обвивката, която лежи над паралелния кръг φ’=φ, се получава:
Ур. 1
Това натоварване се поема от нормалните сили в посока на меридиана, които действат по обиколката на разглеждания кръг; вертикалната компонента на резултантата на тези сили е 2__πr * N__φ sin__φ, а при изравняване оттук се получава търсената нормална сила
Ур. 2
Ако обвивката в горната си част е отрязана по кръг φ=φ0 (напр. отвор за осветление в купол), долната граница на интеграла е, разбира се, φ0, а не нула. Ако върху ръба на обвивката, получена по този начин, действа и натоварване R0, то също трябва да се добави към резултантата R (фиг. 3).
Фиг. 3
За определяне на нормалната сила N__ϑ трябва да се постави условие за равновесие на елемента на обвивката, перпендикулярно на тангенциалната равнина (фиг. 4). Резултантата на външното натоварване в тази посока е Z r1 d__φ r d__ϑ. Силите N__φ*r d__ϑ които лежат в меридионалната равнина, сключват помежду си малък ъгъл d__φ, поради което тяхната резултантна в посока на нормалата към обвивката е N__φ r d__ϑ*dφ. По същия начин и силите Nϑ r1 dφ които лежат в равнината на хоризонталния кръг и помежду си образуват ъгъл dϑ, имат резултантна Nϑ r1 dφ*dϑ, която също лежи в равнината на хоризонталния кръг и следователно с нормалата към обвивката сключва ъгъл 0,5_π-φ_, така че в условието за равновесие влиза само тяхната компонента Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. Следователно условието за равновесие гласи
или, когато се раздели на r r1 dϑ dφ:
Eq. 3
Тук с r2=r/sinφ е означен вторият главен радиус на кривина на обвивката.
Фиг. 4
Кръгъл купол
Когато формата на меридиана е аналитично зададена с уравнението r1=r1(φ) и когато за натоварванията Y(φ) и Z(φ) са дадени аналитични изрази, сечащите сили в обвивката винаги могат да се определят чрез интегриране в затворен вид или числено, като се използва правилото на Симпсън. За кръгъл купол с диаметър a по-долу се дават сечащите сили за някои случаи на натоварване:
Последната формула, която за φ=0 дава безкрайно големи срязващи сили, е валидна едва на известно разстояние от точката на приложение на силата. В непосредствената близост до мястото, където действа силата, дори когато тя е разпределена по повърхността на кръг с краен, но малък диаметър, натоварването главно се пренася чрез огъване.
Образците за черупки, отворени в горната част, могат да се изведат от предходните, ако върху действителното натоварване се добави фиктивен товар P във върха, чиято величина се определя така, ако общата нормална сила в посока на меридиана, действаща върху горния ръб на черупката φ=φ0 е Nφ=0, или е равна на някаква стойност, определена от външните сили, които черупката тук поема.
Конусна обвивка
Фиг. 5
При коничната обвивка наклонът на меридиана φ не може да се използва като координата, тъй като той има една и съща стойност във всички точки. Вместо него се въвежда разстоянието s от върха на купола, измерено по образуващата (фиг. 5). Нормалната сила в посока на меридиана съответно се означава с Ns. Необходимите форми могат да се получат от посочените под 1, когато се извърши граничният преход. От уравнение (2) по този начин се получава
а от уравнение (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
За най-важните случаи на натоварване важат следните формули:
Графичен метод за произволна форма на меридиана
Фиг. 6
Когато кривата на меридиана не е дадена с аналитичен израз, а например графично, определянето на радиуса на кривината е твърде трудно и твърде неточно. В този случай е по-удобно да се използва графичен метод (фиг. 6).
Обвивката се разделя с по-голям брой равнини φ=const., изчисляват се тежестите Δ_R_ на пръстеновидните зони, които лежат между равнините, и е най-добре веднага да се разделят на 2_π_. Тези сили ΔR/2π се нанасят в плана на силите (фиг. 6b). Ако след това, например, през делителната точка 7 се прекара права, успоредна на тангентата към меридиана в точката на меридиана 7, хоризонталата през горната точка на плана на силите ще я пресече на дължина R1/2π sinφ7, от която въз основа на уравнение (2) чрез деление на съответното r се получава съответната нормална сила в посока на меридиана.
За определяне на силите в пръстените служи условието за равновесие на хоризонталните сили върху един елемент на обвивката. Ако действат само вертикални товари, това условие гласи (фиг. 4):
Когато тук dφ се замени с крайна разлика Δφ, която съответства на приетото деление на черупката, и когато вместо r1 dφ се въведе дължината Δs на елемента на меридиана, оттук се получава
В скобата от дясната страна стои отсечката върху хоризонталната права в плана на силите. Следователно цялата дясна страна представлява отсечки между делителните точки на тази права. За да можем да ги отчетем достатъчно точно, планът на силите трябва да бъде начертан грижливо и в достатъчно голям мащаб.
Опънати и натиснати пръстени
Всяка ротационно симетрична обвивка е ограничена от един или два хоризонтални кръга (фиг. 7). По тези ръбове тя по принцип може да поеме само такива товари и реакции на опорите, които имат посока на допирателната към меридиана. Ако външните сили имат друга посока, както напр. натоварването P от горната част на конструкцията или реакцията S на дъното на резервоара, показан на фиг. 97, тези сили трябва, както е показано на фигурата, да се разложат на компоненти в посока на хоризонталния кръг и на допирателната към меридиана. Компонентата P/sinφ0 или S/sinφu е равна на нормалната сила в посока на меридиана Nφ, която действа на това място, докато за поемане на хоризонталната сила Pctgφ0 или Sctgφu е необходим пръстен, който поема опън, респ. натиск и в който това радиално натоварване поражда нормална сила + P r0 ctgφ0, респ. -S ru ctgφu. Такива пръстени, освен по ръбовете на обвивката, трябва да се поставят и на всички онези места, където кривата на меридиана има пречупване. Те винаги предизвикват нарушаване на мембранното напрегнато състояние.
Фиг. 7
Напрежения вследствие на огъване в ротационно симетрични черупки
Формите на мембранната теория не съдържат достатъчен брой интеграционни константи, за да могат да се удовлетворят всички гранични условия, които действително съответстват на поставената задача. Особено при ротационно симетрични обвивки не е възможно чрез подходящ избор на интеграционните константи да се постигне, че деформацията εϑ = Nϑ/Et в пръстенна посока по ръба на обвивката да бъде равна на съответната деформация на някой друг конструктивен елемент, който е здраво свързан с нея на това място. Същото важи и за обвивки, при които по един хоризонтален кръг рязко се променя кривината на меридиана, дебелината на обвивката или натоварването на единица площ. И когато обвивката по някой ръб не е укрепена с пръстен, но на това място е натоварена със сили, които имат компонента в посока на нормалата към обвивката (напр. натоварването P на фиг. 7, ако се приеме, че пръстенът е отстранен), тя не може да поеме такива товари само чрез мембранни сили. В такива случаи срязващата сила и огъващите моменти (фиг. 8) играят съществена роля при разпределението на силите в обвивката, което трябва да се вземе предвид при статическия разчет.
Сл. 8
Точното изчисляване на обвивката при огъване, освен в най-простия специален случай на цилиндрична обвивка, представлява много трудна задача. За тънкостенни обвивки може да се изгради проста и много полезна приближена теория, която се опира на добре известен от строгата теория факт, че напреженията, породени от огъване, се ограничават в сравнително тясна зона край ръба и бързо намаляват с увеличаване на разстоянието от ръба. Това позволява голям брой членове в точната диференциална уравнение да бъдат пренебрегнати, поради което то придобива опростен вид.
Ако в пределната зона, която е единствено интересна κ, се замени със средна стойност, а това почти винаги е възможно, решението на уравнението е
Уравн. 4 и 5
където a1, b1, a2, b2 са интеграционни константи. Тъй като решението е интересно само в близост до ръба φ=φ0, удобно е ъгловото разстояние ω=φ0-φ или ω=φ-φ0 от този ръб да се въведе като координата, след което чрез преобразуване на горното решение се получава вторият посочен израз. Тук се появяват само две интеграционни константи A, B или C, ψ, понеже другата част на решението, която съдържа фактора eκω, и следователно не намалява с нарастване на ω, може да бъде изключена от разглеждане.
Въз основа на уравнение 5 се получават следните стойности за срязващите сили и завъртането κ на тангентата на меридиана:
Напрежения вследствие на огъване в резервоари с форма на кръгов цилиндър
Нека цилиндричен резервоар с височина h е напълнен с вода (фиг. 9), тогава на височина x над двете резервоари налягането на водата е p=γ(h-x). Ако на тази височина от резервоара се изреже пръстен с два хоризонтални среза на разстояние dx. и този пръстен се раздели по един диаметър на две части, условието за равновесие на едната от тях дава мембранната сила в пръстена Nφ=pa. Ако дебелината на резервоара на това място е t, деформацията в пръстена е εφ=Nφ/Et и следователно увеличението на радиуса на резервоара (провисването) е
На долния ръб x=0 следователно
Фиг. 9
Нито едното, нито другото по правило не е в съответствие с граничните условия, защото деформацията на стената е възпрепятствана от връзката с дъното на резервоара. При това на връзката между дъното и стената на цилиндъра се появяват напречни сили Qx0 и моменти Mx0 (фиг. 11), чиято големина трябва да се определи така, че заедно с току-що изчислените мембранни сили в обвивката да предизвикват тази деформация на ръба на обвивката, която е допустима от дъното.
Фиг. 10, 11, 12, съответно
На фиг. 11 е показан елемент на обвивката dx*a dφ със силите, които действат върху него. Условието за равновесие на силите в посока на нормалата към обвивката дава
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
откъдето чрез делене на dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
От условието, че моментът около хоризонталната допирателна към цилиндъра е нула, се получава:
dM/dx = M’x = Qx
Чрез елиминиране на напречната сила Qx от тези две уравнения следва
a M’’x + Nφ = p a.
Ур. 6
В това уравнение тези неизвестни напречни сили могат да се изразят чрез прогиба w. За Nφ вече е намерено Nφ=Etw/a, а моментът е пропорционален на кривината на меридиана w’’, т.е. Mx=Kw’’, като както и при плочите K=Et3/12(1-μ2) е коравината на обвивката, която може да бъде променлива по x. Ако тези изрази за средните сили се заместят в уравнение (6), се получава диференциалното уравнение на теорията на резервоарите:
За резервоар с непроменлива дебелина на стената решението гласи:
Eq. 7
където λ4=3(1-μ2)/a2t2. Ако λh е голямо (да речем, по-голямо от 3), по-удобно е вместо хиперболични функции да се въведат експоненциални, така че:
Eq. 8
Тогава могат независимо една от друга да се определят константите A1, B1 от граничните условия на долния, а константите A2, B2 от граничните условия на горния ръб, при което по правило се получава A2=B2=0. Въз основа на уравнение (8) и (7) се получават срязващите сили, когато изчислението се проведе в обратна посока и навсякъде се въведе уравнение (8) и (7); така например за A2=B2=0:
Когато стените на резервоара са твърдо защипани в плочата, на дъното на резервоара, което е достатъчно дебело, за да може да се счита за твърдо, константите A1, B1 трябва да се определят от условията x=0, w=0 и w’=0 и се получава:
Ако дъното на резервоара е еластична плоча или обвивка, напречните сили Qx и моментите Mx по ръбовия кръг между дъното и стената на цилиндъра трябва да се определят с методите на теорията на статически неопределимите системи въз основа на изискването Mx и w’ за двата части да имат една и съща стойност.