Lus ialah sebutan bagi penyangga permukaan, yang permukaan tengahnya bukan rata tetapi jelas melengkung ke luar. Kelakuan statiknya banyak berbeza daripada kelakuan plat. Apabila bentuknya sesuai, tegasan yang dialaminya jauh lebih kecil, kekakuannya pula lebih besar pada tahap yang sepadan, dan pengiraannya dalam kebanyakan kes lebih mudah.
Tegasan setiap cangkerang boleh diuraikan kepada dua bahagian: tegasan membran dan lenturan. Tegasan membran, sama seperti tegasan pada plat yang dibebani dalam bidangnya, boleh dinyatakan melalui daya keratan dalam satah tangen – contohnya dalam keratan x=const. daya normal _Nx=_σx*t dan daya ricih _Nxy=_τxy*t, di mana t ialah ketebalan cangkerang. Tegasan akibat lenturan adalah sama seperti pada plat dan boleh diwakili oleh momen lentur Mx, momen kilas Mxy dan daya ricih Qx.
Ciri-ciri penting cangkerang berasaskan kepada hakikat bahawa, pada umumnya, tegasan akibat lenturan tidak mempunyai magnitud atau kepentingan seperti tegasan membran, sehingga ia sering boleh diabaikan sepenuhnya. Dalam kes itu, semua tegasan diagihkan secara seragam melalui ketebalan cangkerang dan bertindak secara tangen pada permukaan tengah. Pengiraan yang berasaskan andaian ini termasuk dalam rangka teori membran cangkerang.
Teori membran bagi cangkerang simetri putaran di bawah beban simetri putaran
Bentuk umum
Bagi garis koordinat, meridian dan bulatan selari pada permukaan tengah cangkerang diambil, maka koordinatnya ialah: azimut ϑ (“garis bujur geografi”) dan kecondongan φ tangen kepada meridian terhadap satah yang tegak lurus pada paksi simetri (raj. 1a). Oleh itu daya keratan ialah: daya normal Nφ dalam arah meridian dan daya normal Nϑ dalam gelang (raj. 1b). Daya ricih Nφϑ tidak muncul dalam tegasan simetri putaran. Beban per unit luas ditandakan seperti berikut (raj. 1b): Y tangen kepada meridian, positif dalam arah φ meningkat, Z normal kepada cangkerang, positif ke arah paksi simetri.
Raj. 1
Gamb. 2
Biarkan jejari kelengkungan meridian ialah r1. Ia ialah fungsi sudut φ maka bentuk meridian ditentukan oleh persamaan r1=r1(__φ). Ini boleh dianggap sebagai persamaan meridian dan berbunyi, misalnya.
untuk bulatan r1=a=const.
untuk parabola r1=a/cos3__φ
untuk elips r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Untuk mengira daya normal N__φ dalam arah meridian, perlu ditetapkan syarat keseimbangan bagi bahagian cangkang yang terletak di atas bulatan selari φ (raj. 2). Resultan beban Y dan Z yang bertindak pada bahagian ini adalah menegak, memandangkan simetri. Nilainya diperoleh dengan mengintegrasi pada permukaan cangkang dari φ’=0 hingga φ’=φ. Luas unsur cangkang ialah dF=r1d__φ’*rd__ϑ, maka komponen menegak beban (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Bagi keseluruhan bahagian gelang cangkang yang terletak di antara bulatan φ’ dan φ’+dφ’, resultan beban luar ialah:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
dari mana dengan mengintegrasikan mengikut φ’ untuk bahagian cangkerang yang terletak di atas bulatan selari φ’=φ diperoleh:
Pers. 1
Beban ini ditanggung oleh daya normal dalam arah meridian, yang bertindak di sepanjang lilitan bulatan yang diperhatikan; komponen menegak hasil daya ini ialah 2__πr * N__φ sin__φ, maka dengan menyamakan daripadanya diperoleh daya normal yang dikehendaki
Pers. 2
Jika cangkerang di bahagian atas dipotong sepanjang bulatan φ=φ0 (contohnya, bukaan untuk pencahayaan pada kubah), had bawah kamiran itu, sudah tentu, ialah φ0, bukan sifar. Jika pada tepi cangkerang yang terhasil dengan cara ini turut bertindak beban R0, maka ia juga perlu ditambahkan kepada hasil R (raj. 3).
Raj. 3
Untuk menentukan daya normal N__ϑ perlu ditetapkan syarat keseimbangan bagi unsur cangkang yang tegak lurus terhadap satah tangen (raj. 4). Hasil tambah daya luar dalam arah ini ialah Z r1 d__φ r d__ϑ. Daya N__φ*r d__ϑ yang terletak dalam satah meridian membentuk antara satu sama lain sudut kecil d__φ, maka hasil tambahnya dalam arah normal pada cangkang ialah N__φ r d__ϑ*dφ. Begitu juga, daya Nϑ r1 dφ yang terletak dalam satah bulatan mendatar dan membentuk antara satu sama lain sudut dϑ mempunyai hasil tambah Nϑ r1 dφ*dϑ yang juga terletak dalam satah bulatan mendatar dan oleh itu dengan normal pada cangkang membentuk sudut 0,5_π-φ_, sehingga dalam syarat keseimbangan hanya komponen mereka Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ yang diambil kira. Maka syarat keseimbangan ialah
atau, apabila dibahagikan dengan r r1 dϑ dφ:
satu.3
Di sini dengan r2=r/sinφ ditandakan jejari utama kedua bagi kelengkungan cangkang.
Raj. 4
Kubah bulat
Apabila bentuk meridian diberikan secara analitik dengan persamaan r1=r1(φ) dan apabila bagi beban Y(φ) dan Z(φ) diberikan ungkapan analitik, daya ricih dalam cangkerang sentiasa boleh ditentukan dengan pengamiran dalam bentuk tertutup atau secara numerik, dengan menggunakan peraturan Simpson-. Bagi kubah bulat berdiameter a, berikut diberikan daya ricih untuk beberapa keadaan pembebanan:
Corak terakhir, yang bagi φ=0 menghasilkan daya ricih yang sangat besar, hanya terpakai pada jarak tertentu dari titik tindakan daya. Di sekitar kawasan tempat daya bertindak secara langsung, walaupun ia diedarkan pada permukaan bulatan berdiameter terhingga tetapi kecil, beban terutamanya dipindahkan melalui lenturan.
Bentuk bagi cangkerang yang terbuka di bahagian atas boleh diperoleh daripada yang sebelumnya, jika pada beban sebenar ditambah beban khayalan P pada puncak, yang besarannya ditentukan sedemikian jika jumlah daya normal dalam arah meridian yang bertindak pada pinggir atas cangkerang φ=φ0 ialah Nφ=0, atau sama dengan sesuatu nilai yang ditentukan oleh daya luar yang diterima cangkerang di sini.
Cangkang kon
Raj. 5
Bagi cangkerang kon, kecondongan meridian φ tidak boleh digunakan sebagai koordinat, kerana ia mempunyai nilai yang sama pada semua titik. Sebaliknya, diperkenalkan jarak s dari puncak kubah yang diukur sepanjang garis penjana (raj. 5). Daya normal dalam arah meridian ditandakan dengan Ns. Corak yang diperlukan boleh diperoleh daripada yang diberikan di bawah 1 apabila peralihan had dilakukan. Daripada persamaan (2) dengan cara ini diperoleh
dan daripada persamaan (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Bagi kes beban yang paling penting, rumus berikut diguna pakai:
Kaedah grafik untuk bentuk meridian yang sebarang
Gamb. 6
Apabila lengkung meridian tidak diberikan dengan ungkapan analitik, tetapi, misalnya, secara grafik, penentuan jejari kelengkungan menjadi terlalu sukar dan terlalu tidak tepat. Dalam kes itu lebih sesuai menggunakan kaedah grafik (raj. 6).
Sampul dibahagikan dengan sejumlah besar satah φ=konstan, berat Δ_R_ zon cincin yang terletak di antara satah-satah itu dikira dan sebaiknya terus dibahagikan dengan 2_π_. Daya-daya ΔR/2π ini dimasukkan ke dalam pelan daya (rajah 6b). Jika kemudian, misalnya, melalui titik pembahagian 7 ditarik satu garis selari dengan tangen pada meridian di titik meridian 7, garisan mendatar melalui titik atas pelan daya akan memotongnya pada panjang R1/2π sinφ7 yang, berdasarkan persamaan (2), dengan membahagikan dengan r yang sepadan, memberikan daya normal yang bersesuaian ke arah meridian.
Untuk menentukan daya dalam gelang digunakan syarat keseimbangan daya mendatar pada satu elemen cangkerang. Jika hanya beban menegak bertindak, syarat ini berbunyi (raj. 4):
Apabila di sini dφ digantikan dengan perbezaan terhingga Δφ, yang sepadan dengan pembahagian kulit yang diambil, dan apabila sebagai ganti r1 dφ dimasukkan panjang Δs unsur meridian, daripada ini diperoleh
Dalam kurungan di sebelah kanan terdapat bahagian potongan pada garis mendatar dalam pelan daya. Oleh itu, keseluruhan bahagian kanan mewakili segmen antara titik pembahagian pada garis ini. Untuk membolehkannya dibaca dengan cukup tepat, pelan daya hendaklah dilukis dengan teliti dan pada skala yang cukup besar.
Cincin tegangan dan mampatan
Setiap cangkerang simetri putaran dibatasi oleh satu atau dua bulatan mendatar (raj. 7). Pada tepi ini, pada prinsipnya ia hanya boleh menerima beban dan tindak balas sokongan yang mempunyai arah tangen pada meridian. Jika daya luaran mempunyai arah yang lain, seperti beban P daripada bahagian atas struktur atau tindak balas S di dasar takungan yang ditunjukkan pada raj. 97, daya ini mesti, seperti ditunjukkan dalam rajah, diuraikan kepada komponen dalam arah bulatan mendatar dan tangen pada meridian. Komponen P/sinφ0 atau S/sinφu sama dengan daya normal dalam arah meridian Nφ yang bertindak di tempat itu, manakala untuk menerima daya mendatar Pctgφ0 atau Sctgφu diperlukan gelang yang menerima tegangan, iaitu tekanan, dan di mana beban radial ini menimbulkan daya normal + P r0 ctgφ0, iaitu -S ru ctgφu. Gelang seperti ini, selain pada tepi cangkerang, juga mesti dipasang pada semua tempat di mana lengkung meridian mempunyai selekoh. Ia sentiasa menyebabkan gangguan keadaan tegasan membran.
Raj. 7
Tegasan akibat lenturan dalam cangkerang berputar simetri
Corak teori membran tidak mengandungi bilangan pemalar integrasi yang mencukupi untuk memenuhi semua syarat sempadan yang benar-benar sepadan dengan tugasan yang diberikan. Khususnya bagi cangkerang simetri putaran, tidak mungkin melalui pemilihan pemalar integrasi yang sesuai untuk mencapai supaya regangan εϑ = Nϑ/Et dalam arah gelang sepanjang tepi cangkerang adalah sama dengan regangan yang sepadan pada bahagian struktur lain yang pada tempat itu terikat kukuh dengannya. Perkara yang sama juga terpakai kepada cangkerang yang sepanjang satu bulatan mendatar berlaku perubahan mendadak pada kelengkungan meridian, ketebalan cangkerang atau beban per unit luas. Walaupun cangkerang sepanjang suatu tepi tidak dikukuhkan oleh gelang, tetapi di tempat itu dikenakan beban oleh daya yang mempunyai komponen dalam arah normal kepada cangkerang (misalnya beban P pada raj. 7 apabila gelang dibayangkan telah dibuang), ia tidak dapat menanggung beban sedemikian hanya melalui daya membran. Dalam kes seperti ini, daya ricih dan momen lentur (raj. 8) memainkan peranan penting dalam pengagihan daya dalam cangkerang, yang mesti diambil kira dalam pengiraan statik.
Raj. 8
Pengiraan tepat kulit terhadap lenturan, kecuali dalam kes khas yang paling mudah bagi kulit silinder, merupakan tugas yang amat sukar. Bagi kulit berdinding nipis boleh dibina teori anggaran yang ringkas dan sangat berguna, berasaskan hakikat yang diketahui daripada teori tepat, bahawa tegasan akibat lenturan terhad kepada zon yang agak sempit di tepi dan cepat menurun apabila jarak dari tepi bertambah. Ini membolehkan sejumlah besar sebutan dalam persamaan pembezaan yang tepat diabaikan, lalu persamaan itu menjadi bentuk yang dipermudah.
Jika dalam zon tepi yang hanya penting κ digantikan dengan nilai purata, dan ini hampir selalu mungkin, penyelesaian persamaan ialah
Pers. 4 dan 5
di mana a1, b1, a2, b2 ialah pemalar pengamiran. Memandangkan penyelesaian ini hanya menarik berhampiran tepi φ=φ0, adalah sesuai untuk memperkenalkan jarak sudut ω=φ0-φ atau ω=φ-φ0 dari tepi ini sebagai koordinat, lalu melalui transformasi penyelesaian di atas diperoleh ungkapan kedua yang disebut. Di sini hanya muncul dua pemalar pengamiran A, B atau C, ψ, kerana bahagian kedua penyelesaian yang mengandungi faktor eκω, dan oleh itu tidak berkurang apabila ω bertambah, boleh dikecualikan daripada pertimbangan.
Berdasarkan persamaan 5 diperoleh nilai-nilai berikut bagi daya keratan dan putaran κ tangen meridian:
Tegasan akibat lenturan dalam takungan berbentuk silinder bulat
Andaikata sebuah takungan silinder setinggi h diisi dengan air (raj. 9), maka pada ketinggian x di atas dasar takungan tekanan air ialah p=γ(h-x). Jika pada ketinggian ini, dengan dua keratan mendatar pada jarak dx., satu cincin dipotong daripada takungan dan dibahagi sepanjang satu diameter kepada dua bahagian, syarat keseimbangan salah satunya memberikan daya membran dalam cincin Nφ=pa. Jika ketebalan takungan pada tempat ini ialah t, regangan dalam cincin ialah εφ=Nφ/Et dan oleh itu pertambahan jejari takungan (lendutan) ialah
Pada tepi bawah x=0 maka
Raj. 9
Kedua-duanya, pada dasarnya, tidak selaras dengan syarat sempadan, kerana deformasi dinding dihalang oleh sambungan dengan dasar takungan. Pada sambungan antara dasar dan dinding silinder, daya melintang Qx0 dan momen Mx0 (raj. 11) muncul, yang magnitudnya perlu ditentukan sedemikian rupa sehingga bersama-sama dengan daya membran yang baru dikira dalam selubung, ia menghasilkan deformasi pada tepi selubung yang dibenarkan oleh dasar.
Raj. 10, 11, 12, masing-masing
Pada raj. 11 ditunjukkan unsur cangkerang dx*a dφ dengan daya yang bertindak ke atasnya. Syarat keseimbangan daya dalam arah normal kepada cangkerang memberikan
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
daripada mana melalui pembahagian dengan dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Daripada syarat bahawa momen sekitar tangen mendatar pada silinder adalah sifar, diperoleh:
dM/dx = M’x = Qx
Dengan menghapuskan daya melintang Qx daripada dua persamaan ini diperoleh
a M’’x + Nφ = p a.
Pers. 6
Dalam persamaan ini, daya keratan yang tidak diketahui ini boleh dinyatakan melalui lenturan w. Bagi Nφ telah diperoleh Nφ=Etw/a, dan momen berkadar dengan kelengkungan meridian w’’, iaitu Mx=Kw’’, di mana, sama seperti pada plat, K=Et3/12(1-μ2) ialah kekakuan cangkerang, yang boleh berubah dengan x. Jika ungkapan bagi daya purata ini dimasukkan ke dalam persamaan (6), maka diperoleh persamaan pembezaan teori takungan:
Bagi tangki yang ketebalan dindingnya tidak berubah, penyelesaiannya ialah:
satu.7
di mana λ4=3(1-μ2)/a2t2. Jika λh besar (katakanlah, lebih besar daripada 3), adalah lebih sesuai untuk memperkenalkan fungsi eksponen sebagai ganti fungsi hiperbolik, maka:
satu.8
Maka pemalar A1, B1 dapat ditentukan secara bebas antara satu sama lain daripada syarat sempadan pada bahagian bawah, dan pemalar A2, B2 daripada syarat sempadan pada tepi atas, di mana pada umumnya diperoleh A2=B2=0. Berdasarkan persamaan (8) dan (7) diperoleh daya ricih, apabila pengiraan dilakukan ke arah songsang dan persamaan (8) dan (7) digunakan di mana-mana; maka, contohnya, untuk A2=B2=0:
Apabila dinding tangki diikat tegar pada plat, pada dasar tangki yang cukup tebal untuk dianggap tegar, pemalar A1, B1 hendaklah ditentukan daripada syarat bahawa x=0, w=0 dan w’=0 lalu diperoleh:
Jika dasar tangki ialah plat atau cangkerang anjal, daya melintang Qx dan momen Mx sepanjang bulatan tepi antara dasar dan dinding silinder hendaklah ditentukan dengan kaedah teori sistem tak tentu statik berdasarkan keperluan bahawa Mx dan w’ bagi kedua-dua bahagian mempunyai nilai yang sama.