Skořepinami se nazývají plošné nosníky, jejichž střední plocha není rovinná, ale je patrně vypouklá. Jejich statické chování se podstatně odlišuje od chování desky. Mají-li vhodný tvar, jejich namáhání je podstatně menší, jejich tuhost odpovídajícím způsobem větší a výpočet je ve většině případů jednodušší.
Napětí každé skořepiny lze rozložit na dvě části: membránové napětí a ohyb. Membránová napětí lze podobně jako napětí u desky zatížené ve své rovině vyjádřit pomocí vnitřních sil v tečné rovině – to jsou např. v řezu x=const. normálová síla _Nx=_σx*t a smyková síla _Nxy=_τxy*t, kde t je tloušťka skořepiny. Napětí od ohybu jsou stejná jako u desek a lze je představit ohybovými momenty Mx, torzními momenty Mxy a smykovými silami Qx.
Podstatné vlastnosti skořepin vycházejí ze skutečnosti, že napětí od ohybu zpravidla nemají ani velikost, ani význam membránových napětí, takže je lze často zcela zanedbat. V tom případě jsou všechna napětí rovnoměrně rozložena po tloušťce skořepiny a působí tečně k střední ploše. Výpočty založené na těchto předpokladech spadají do rámce membránové teorie skořepin.
Membránová teorie rotačně symetrických skořepin při rotačně symetrickém zatížení
Obecné vzorce
Za souřadnicové čáry se přijímají meridiány a rovnoběžky ve střední ploše skořepiny, takže souřadnice jsou: azimut ϑ („zeměpisná délka“) a sklon φ tečny k meridiánu vůči rovině kolmé na osu symetrie (obr. 1a). Podle toho jsou výsledné síly: normálová síla Nφ ve směru meridiánu a normálová síla Nϑ v kruhu (obr. 1b). Smykové síly Nφϑ se při rotačně symetrickém namáhání nevyskytují. Zatížení na jednotku plochy se označuje následovně (obr. 1b): Y tečně k meridiánu, kladně ve směru, v němž φ roste, Z kolmo ke skořepině, kladně k ose symetrie.
Obr. 1
Obr. 2
Nechť je poloměr křivosti poledníku r1. Je funkcí úhlu φ, a proto je rovnicí _r1=r1(_φ) určen tvar poledníku. Tuto lze považovat za rovnici poledníku a zní např.
pro kruh r1=a=const.
pro parabolu r1=a/cos3__φ
pro elipsu r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Pro výpočet normálové síly N__φ ve směru poledníku je třeba stanovit podmínku rovnováhy části skořepiny ležící nad rovnoběžným kruhem φ (obr. 2). Výslednice R zatížení Y a Z, působících na tuto část, je vzhledem k symetrii svislá. Její velikost se získá integrací po povrchu skořepiny od φ’=0 do φ’=φ. Plocha elementu skořepiny je dF=r1d__φ’*rd__ϑ, takže svislá složka zatížení (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Pro celý prstencový díl skořepiny ležící mezi kruhy φ’ a φ’+dφ’ je výslednice vnějšího zatížení:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
odkud se integrací podle φ’ pro část skořepiny ležící nad paralelním kruhem φ’=φ dostane:
Rov. 1
Toto zatížení přenášejí normálové síly ve směru poledníků, které působí po obvodu pozorovaného kruhu; svislá složka výslednice těchto sil je 2__πr * N__φ sin__φ, a porovnáním odtud se získá hledaná normálová síla
Rov. 2
Jestliže je skořepina nahoře odříznuta po kružnici φ=φ0 (např. otvor pro osvětlení v kupoli), je dolní mez integrálu samozřejmě φ0, nikoli nula. Působí-li na okraji takto vzniklé skořepiny i zatížení R0, je třeba je přičíst k výslednici R (obr. 3).
Obr. 3
Pro určení normálové síly N__ϑ je třeba stanovit podmínku rovnováhy elementu skořepiny kolmo k tečné rovině (obr. 4). Výslednice vnějšího zatížení v tomto směru činí Z r1 d__φ r d__ϑ. Síly N__φ*r d__ϑ, které leží v poledníkové rovině, svírají navzájem malý úhel d__φ, takže jejich výslednice ve směru normály ke skořepině je N__φ r d__ϑ*dφ. Podobně i síly Nϑ r1 dφ, které leží v rovině vodorovného kruhu a mezi sebou vytvářejí úhel dϑ, mají výslednici Nϑ r1 dφ*dϑ, která rovněž leží v rovině vodorovného kruhu a s normálou ke skořepině tedy svírá úhel 0,5_π-φ_, takže do podmínky rovnováhy vstupuje jen jejich složka Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. Podmínka rovnováhy tedy zní
nebo, když se vydělí r r1 dϑ dφ:
Jeden.3
Zde je označen r2=r/sinφ druhý hlavní poloměr křivosti skořepiny.
Obr. 4
Kruhová kupole
Když je tvar meridiánu analyticky zadán rovnicí r1=r1(φ) a když jsou pro zatížení Y(φ) a Z(φ) dány analytické výrazy, lze příčné síly ve skořepině vždy určit integrací v uzavřeném tvaru nebo numericky s použitím Simpsonova pravidla. Pro kruhovou kupoli o průměru a se níže uvádějí příčné síly pro některé případy zatížení:
Poslední vzorec, který pro φ=0 dává nekonečně velké příčné síly, platí teprve v určité vzdálenosti od místa působení síly. V bezprostřední blízkosti místa, kde síla působí, i když je rozložena po ploše kruhu konečného, avšak malého průměru, je zatížení přenášeno převážně ohybem.
Tvary pro skořepiny otevřené v horní části lze odvodit z předchozích, pokud se k skutečnému zatížení přidá fiktivní zatížení P v temeni, jehož velikost se určí tak, že celková normálová síla ve směru poledníku působící na horní hraně skořepiny φ=φ0 činí Nφ=0, nebo je rovna nějaké hodnotě určené vnějšími silami, které skořepina zde přenáší.
Kónická skořepina
Obr. 5
U kuželové skořepiny nelze sklon meridiánu φ použít jako souřadnici, protože má ve všech bodech stejnou hodnotu. Místo něj se zavádí vzdálenost s od vrcholu kupole měřená podél generatrixe (obr. 5). Normální síla ve směru meridiánu se tomu odpovídajícím způsobem označuje Ns. Potřebné vztahy lze získat z uvedených pod 1, když se provede hraniční přechod. Z rovnice (2) se tak získá
a z rovnice (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Pro nejdůležitější případy zatížení platí následující vzorce:
Grafický postup pro libovolný tvar meridiánu
Obr. 6
Když není křivka meridiánu dána analytickým výrazem, ale například graficky, je určení poloměru zakřivení příliš obtížné a příliš nepřesné. V tom případě je vhodnější použít grafický postup (obr. 6).
Plášť se rozdělí větším počtem rovin φ=const., vypočtou se tíhy Δ_R_ prstencových zón, které leží mezi rovinami, a je nejlepší je hned vydělit 2_π_. Tyto síly ΔR/2π se nanesou do silového obrazce (obr. 6b). Jestliže se pak např. přes dělící bod 7 vede přímka rovnoběžná s tečnou k meridiánu v bodě meridiánu 7, protíná svislá přímka vedená horním bodem silového obrazce na této přímce úsečku o délce R1/2π sinφ7, z níž se na základě rovnice (2) dělením příslušným r získá odpovídající normálová síla ve směru meridiánu.
Pro stanovení sil v prstencích slouží podmínka rovnováhy vodorovných sil na jednom prvku skořepiny. Působí-li pouze svislá zatížení, zní tato podmínka (obr. 4):
Když se zde dφ nahradí konečným rozdílem Δφ, který odpovídá zvolenému dělení skořepiny, a když se místo r1 dφ dosadí délka Δs prvku poledníku, dostává se odtud
V závorkách na pravé straně je uveden úsek na vodorovné přímce v silovém plánu. Celá pravá strana tedy představuje úseky mezi dílčími body na této přímce. Abychom je mohli dostatečně přesně odečíst, musí být silový plán nakreslen pečlivě a v dostatečně velkém měřítku.
Tažené a tlačené prstence
Každá rotačně symetrická skořepina je ohraničena jedním nebo dvěma vodorovnými kruhy (obr. 7). Na těchto hranách může v zásadě přijímat pouze taková zatížení a reakce podpor, která mají směr tečny k meridiánu. Jestliže mají vnější síly jiný směr, jako např. zatížení P od horní části konstrukce nebo reakce S dna zásobníku zobrazeného na obr. 97, musí se tyto síly, jak je na obrázku znázorněno, rozložit na složky ve směru vodorovného kruhu a tečny k meridiánu. Složka P/sinφ0 nebo S/sinφu je rovna normálové síle ve směru meridiánu Nφ, která v daném místě působí, zatímco pro přijetí vodorovné síly Pctgφ0 nebo Sctgφu je potřebný prstenec přenášející tah, popř. tlak, v němž toto radiální zatížení vyvolává normálovou sílu + P r0 ctgφ0, popř. -S ru ctgφu. Takové prstence se kromě hran skořepiny musejí umístit i na všech místech, kde mají meridiánové křivky zlom. Vždy vyvolávají porušení membránového stavu napětí.
Obr. 7
Napětí od ohybu v rotačně symetrických skořepinách
Přístupy membránové teorie neobsahují dostatečný počet integračních konstant, aby bylo možné splnit všechny okrajové podmínky, které ve skutečnosti odpovídají zadanému úkolu. Zvláště u rotačně symetrických skořepin není možné vhodnou volbou integračních konstant dosáhnout toho, aby přetvoření εϑ = Nϑ/Et ve směru kružnice podél okraje skořepiny bylo stejné jako odpovídající přetvoření nějakého jiného konstrukčního dílu, který je s ní v tomto místě pevně spojen. Totéž platí i pro skořepiny, u nichž se podél jednoho vodorovného kruhu skokově mění křivost meridiánu, tloušťka skořepiny nebo zatížení na jednotku plochy. I když skořepina není podél některé hrany ztužena prstencem, ale je v tomto místě zatížena silami, které mají složku ve směru normály ke skořepině (např. zatížení P na obr. 7, když si představíme, že prstenec je odstraněn), nemůže taková zatížení přenést pouze membránovými silami. V takových případech hrají smyková síla a ohybové momenty (obr. 8) podstatnou úlohu při rozdělení sil ve skořepině, což je třeba při statickém výpočtu zohlednit.
Obr. 8
Přesný výpočet skořepiny na ohyb, s výjimkou nejjednoduššího speciálního případu válcové skořepiny, je velmi obtížný úkol. Pro skořepiny s tenkými stěnami lze sestavit jednoduchou a velmi užitečnou přibližnou teorii, která vychází ze skutečnosti známé z přesné teorie, že napětí vyvolaná ohybem jsou omezená na relativně úzkou oblast poblíž okraje a s rostoucí vzdáleností od okraje rychle klesají. To umožňuje zanedbat velký počet členů v přesné diferenciální rovnici, takže tato dostává zjednodušený tvar.
Jestliže se v mezní oblasti, která je jediná důležitá, κ nahradí střední hodnotou, a to je skoro vždy možné, řešení rovnice je
Rovnice 4 a 5
kde jsou a1, b1, a2, b2 integrační konstanty. Poněvadž je řešení zajímavé jen v blízkosti okraje φ=φ0, je vhodné zavést jako souřadnici úhlovou vzdálenost ω=φ0-φ nebo ω=φ-φ0 od tohoto okraje, a transformací výše uvedeného řešení se získá druhý uvedený výraz. Zde vystupují pouze dvě integrační konstanty A, B nebo C, ψ, neboť druhá část řešení obsahující faktor eκω, a tedy s rostoucím ω neklesající, může být z úvahy vyloučena.
Na základě rovnice 5 se získají následující hodnoty pro průřezové síly a otočení κ tečny poledníku:
Napětí v důsledku ohybu v nádržích kruhového válcového tvaru
Nechť je válcová nádrž výšky h naplněna vodou (obr. 9), pak je ve výšce x nad nádrží tlak vody p=γ(h-x). Jestliže se v této výšce ze dvou vodorovných řezů ve vzdálenosti dx. vyřízne z nádrže prstenec a ten se podél jednoho průměru rozdělí na dvě části, podmínka rovnováhy jedné z nich dává membránovou sílu v prstenci Nφ=pa. Je-li tloušťka nádrže v tomto místě t, je poměrné prodloužení v prstenci εφ=Nφ/Et a tedy zvětšení poloměru nádrže (průhyb) je
Na dolním okraji x=0 je tedy
Obr. 9
Ani jedno ani druhé zpravidla není v souladu s okrajovými podmínkami, protože deformaci stěny brání spojení s dnem nádrže. Přitom se ve styku mezi dnem a stěnou válce objevují příčné síly Qx0 a momenty Mx0 (obr. 11), jejichž velikost je třeba určit tak, aby spolu s právě vypočtenými membránovými silami ve skořepině vyvolaly tuto deformaci na okraji skořepiny, kterou dno připouští.
Obr. 10, 11, 12, resp.
Na obr. 11 je zobrazen prvek skořepiny dx*a dφ se silami, které na něj působí. Podmínka rovnováhy sil ve směru normály ke skořepině dává
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
odkud dělením dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Z podmínky, že moment kolem vodorovné tečny k válci je nulový, plyne:
dM/dx = M’x = Qx
Eliminací příčné síly Qx z těchto dvou rovnic plyne
a M’’x + Nφ = p a.
Jednotka 6
V této rovnici lze tyto neznámé příčné síly vyjádřit pomocí průhybu w. Pro Nφ bylo již zjištěno Nφ=Etw/a, a moment je úměrný křivosti meridiánu w’’, tj. Mx=Kw’’, přičemž stejně jako u desek K=Et3/12(1-μ2) je tuhost skořepiny, která může být proměnná s x. Vloží-li se tyto výrazy pro průměrné síly do rovnice (6), dostane se diferenciální rovnice teorie nádrží:
Pro nádrž, jejíž tloušťka stěny je neměnná, zní řešení:
Jeden.7
kde λ4=3(1-μ2)/a2t2. Je-li λh velké (řekněme větší než 3), je výhodnější místo hyperbolických funkcí zavést exponenciální, a pak platí:
Jeden.8
Potom lze nezávisle na sobě určit konstanty A1, B1 z okrajových podmínek na dolním okraji a konstanty A2, B2 z okrajových podmínek na horním okraji, přičemž se zpravidla získá A2=B2=0. Na základě rovnice (8) a (7) se získají posouvající síly, když se výpočet provede v obráceném směru a všude se dosadí rovnice (8) a (7); tak je např. pro A2=B2=0:
Jsou-li stěny nádrže pevně vetknuty do desky na dně nádrže, která je dostatečně silná, aby mohla být považována za tuhou, je třeba konstanty A1, B1 určit z podmínek, že x=0, w=0 a w’=0, a vychází:
Je-li dno rezervoáru pružná deska nebo skořepina, je třeba příčné síly Qx a momenty Mx podél okrajového kruhu mezi dnem a stěnou válce určit metodami teorie staticky neurčitých systémů na základě požadavku, aby Mx a w’ pro obě části měly stejnou hodnotu.