Gelwir cregyn yn gynhalwyr arwynebol, nad yw eu harwyneb canol yn wastad ond yn amlwg yn amgrwm. Mae eu hymddygiad statig yn gwyro’n sylweddol oddi wrth ymddygiad plât. Pan fydd ganddynt ffurf addas, mae eu straen yn llawer llai, eu hanystwythder yn fwy yn ôl y gofyn, a’r cyfrifiad yn y rhan fwyaf o achosion yn symlach.
Gellir rhannu straen pob cragen yn ddwy ran: straen bilen a phlygu. Gellir mynegi’r straen bilen, yn yr un modd â’r straen mewn plât wedi’i lwytho yn ei blân ei hun, drwy gyfrwng grymoedd trawsdoriadol yn yr awyren tangiol – dyma, er enghraifft, yn y toriad x=const. y grym arferol _Nx=_σx*t a’r grym cneifio _Nxy=_τxy*t, lle mae t yn drwch y gragen. Mae’r straen oherwydd plygu yr un fath ag mewn platiau a gellir eu cynrychioli gan eiliadau plygu Mx, eiliadau torsïon Mxy a grymoedd cneifio Qx.
Mae nodweddion pwysig cregyn yn seiliedig ar y ffaith nad oes gan y straeniau oherwydd plygu, fel rheol, nac arwyddocâd na maint straeniau bilen, fel y gellir eu hanwybyddu’n llwyr yn aml. Yn yr achos hwn mae’r holl straeniau wedi’u dosbarthu’n unffurf dros drwch y gragen ac yn gweithredu’n tangiadol i’r arwyneb canol. Mae cyfrifiadau sy’n seiliedig ar y rhagdybiaethau hyn yn perthyn i fframwaith theori bilen cregyn.
Damcaniaeth bilen cregyn cylchdro-symetrig dan lwyth cylchdro-symetrig
Ffurfiau cyffredinol
Ar gyfer y llinellau cyfesurynnol derbynnir y meridianau a’r cylchoedd cyfochrog ar wyneb canol y plisgyn, ac felly’r cyfesurynnau yw: azimuth ϑ (“hydred daearyddol”) a’r gogwydd φ o’r tangiad i’r meridian o’i gymharu â’r plân sy’n berpendicwlar i’r echel gymesuredd (ffig. 1a). Yn unol â hynny, y grymoedd trawstoriadol yw: y grym arferol Nφ i gyfeiriad y meridian a’r grym arferol Nϑ yn y cylch (ffig. 1b). Nid yw grymoedd cneifio Nφϑ yn ymddangos mewn straen cymesurol cylchdro. Dynodir y llwyth fesul uned arwyneb fel a ganlyn (ffig. 1b): Y yn tangiadol i’r meridian, yn gadarnhaol i’r cyfeiriad y mae φ yn cynyddu, Z yn berpendicwlar i’r plisgyn, yn gadarnhaol tuag at echel y cymesuredd.
Ffig. 1
Ffig. 2
Gadewch i radiws crymedd y meridián fod yn r1. Mae’n swyddogaeth yr ongl φ, felly mae ffurf y meridián wedi’i bennu gan yr hafaliad _r1=r1(_φ) . Gellir ystyried hwn fel hafaliad y meridián ac mae’n darllen, er enghraifft.
ar gyfer cylch r1=a=const.
ar gyfer parabolas r1=a/cos3__φ
ar gyfer yr elips r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Er mwyn cyfrifo’r grym arferol N__φ i gyfeiriad y meridian, rhaid gosod amod ecwilibriwm ar ran y plisgyn sydd uwchlaw’r cylch paralel φ (ffig. 2). Mae’r grym cyfansoddol R o’r llwythi Y a Z sy’n gweithredu ar y rhan hon yn fertigol, o ystyried y cymesuredd. Ceir ei faint drwy integreiddio dros arwyneb y plisgyn o φ’=0 i φ’=φ. Arwyneb elfen y plisgyn yw dF=r1d__φ’*rd__ϑ, felly mae’r cydran fertigol o’r llwyth (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Ar gyfer y rhan gylchog gyfan o’r plisgyn sydd rhwng y cylchoedd φ’ a φ’+dφ’ mae’r grym cyfansoddol o’r llwyth allanol yn:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
lle, trwy integreiddio dros φ’ ar gyfer rhan o’r gragen sy’n gorwedd uwchben y cylch cyfochrog φ’=φ, ceir:
Haf. 1
Caiff y llwyth hwn ei dderbyn gan y grymoedd normal i gyfeiriad y meridian, sy’n gweithredu ar gylchedd y cylch a welwyd; cydran fertigol y grym canlyniadol o’r grymoedd hyn yw 2__πr * N__φ sin__φ, ac felly ceir, drwy hafalu, y grym normal a geisir
Haf. 2
Os yw’r gragen yn y rhan uchaf wedi’i thorri ar hyd cylch φ=φ0 (er enghraifft, agoriad goleuo mewn cromen), yna’r terfyn isaf i’r annatod, wrth gwrs, yw φ0, ac nid sero. Os yw llwyth R0 hefyd yn gweithredu ar ymyl y gragen a ffurfiwyd yn y modd hwn, rhaid ei ychwanegu hefyd at y canlyniad R (ffig. 3).
Ffig. 3
I bennu’r grym arferol N__ϑ rhaid gosod amod cydbwysedd elfen y plisgyn yn berpendicwlar i’r plân tangential (ffig. 4). Mae canlyniad y llwyth allanol yn y cyfeiriad hwn yn hafal i Z r1 d__φ r d__ϑ. Mae’r grymoedd N__φ*r d__ϑ sy’n gorwedd yn y plân meridiannol yn ffurfio ongl fach d__φ rhyngddynt, felly mae eu canlyniad i gyfeiriad y normal i’r plisgyn yn N__φ r d__ϑ*dφ. Yn yr un modd, mae’r grymoedd Nϑ r1 dφ sy’n gorwedd yn y plân cylch llorweddol ac yn ffurfio ongl dϑ rhyngddynt yn cael canlyniad Nϑ r1 dφ*dϑ sydd hefyd yn gorwedd yn y plân cylch llorweddol ac felly’n ffurfio ongl 0,5_π-φ_ gyda’r normal i’r plisgyn, fel mai dim ond eu cydran Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ sy’n mynd i mewn i’r amod cydbwysedd. Felly, yr amod cydbwysedd yw
neu, pan gaiff ei rannu â r r1 dϑ dφ:
Un.3
Yma, gyda r2=r/sinφ nodir ail brif radiws crymedd y gragen.
Ffig. 4
Cromen gylchol
Pan roddir siâp y meridian yn ddadansoddol gan yr hafaliad r1=r1(φ) ac mae mynegiadau dadansoddol ar gael ar gyfer y llwythi Y(φ) a Z(φ), gellir bob amser pennu’r grymoedd trawsdoriadol yn y plisgyn trwy integreiddio ar ffurf gaeedig neu’n rhifol, gan ddefnyddio rheol Simpson. Ar gyfer cromen gron o ddiamedr a, ceir isod y grymoedd trawsdoriadol ar gyfer rhai achosion o lwytho:
Mae’r fformiwla olaf, sydd ar gyfer φ=0 yn rhoi grymoedd cneifio anfeidrol fawr, ond yn ddilys ar bellter penodol oddi wrth bwynt gweithredu’r grym. Yn y cyffiniau uniongyrchol lle mae’r grym yn gweithredu, hyd yn oed pan gaiff ei ddosbarthu dros arwyneb cylch o ddiamedr terfynol ond bach, trosglwyddir y llwyth yn bennaf trwy blygu.
Gellir deillio ffurfiau ar gyfer cregyn sydd ar agor yn y rhan uchaf o’r rhai blaenorol, os ychwanegir llwyth ffuglennol P wrth y copa at y llwyth gwirioneddol, a phennir ei faint felly os yw’r grym normal cyfan sy’n gweithredu i gyfeiriad y meridïan ar ymyl uchaf y gragen φ=φ0 yn hafal i Nφ=0, neu’n hafal i ryw werth a bennir gan y grymoedd allanol a dderbynnir gan y gragen yma.
Plisgyn conigol
Ffig. 5
Yn achos y gragen gonigol ni ellir defnyddio gogwydd y meridian φ fel cyfesuryn, gan fod ganddo’r un gwerth ym mhob pwynt. Yn ei le cyflwynir y pellter s o gopa’r gromen wedi’i fesur ar hyd y llinell gynhyrchol (ffig. 5). Yn unol â hynny, dynodir y grym arferol yn y cyfeiriad meridianaidd â Ns. Gellir cael y fformiwlâu angenrheidiol o’r rhai a roddir o dan 1 pan wneir y newid terfynol. O hafaliad (2) ceir felly
a o’r hafaliad (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Ar gyfer yr achosion llwytho pwysicaf, mae’r fformiwlâu canlynol yn berthnasol:
Gweithdrefn graffig ar gyfer siâp mydryddol mympwyol
Ffig. 6
Pan na roddir y gromlin meridian mewn mynegiad dadansoddol, ond, dyweder, yn graffigol, mae pennu’r radiws crymedd yn rhy anodd ac yn rhy anghywir. Yn yr achos hwn mae’n fwy cyfleus defnyddio’r weithdrefn graffigol (ffig. 6).
Rhennir y gragen â nifer mwy o blân φ=const., cyfrifir pwysau’r parthau cylchog Δ_R_ sy’n gorwedd rhwng y plânau ac mae’n well eu rhannu ar unwaith â 2_π_. Caiff y grymoedd hyn ΔR/2π eu gosod yn y cynllun grymoedd (ffig. 6b). Os wedyn, er enghraifft, trwy’r pwynt rhannu 7 tynnir llinell sy’n gyfochrog â’r tangiad i’r meridian yn y pwynt meridian 7, yna bydd y llorweddol trwy bwynt uchaf y cynllun grymoedd yn ei dorri ar hyd R1/2π sinφ7 ac, yn ôl hafaliad (2), drwy rannu â’r r cyfatebol ceir y grym arferol cyfatebol i gyfeiriad y meridian.
I bennu’r grymoedd mewn cylchoedd, defnyddir yr amod ecwilibriwm ar gyfer grymoedd llorweddol ar elfen o’r plisgyn. Os mai llwythi fertigol yn unig sy’n gweithredu, mae’r amod hwn yn darllen (ffig. 4):
Pan amnewidir dφ yma â gwahaniaeth terfynol Δφ, sy’n cyfateb i’r rhaniad a dderbyniwyd ar gyfer y gragen, ac wrth roi, yn lle r1 dφ, hyd Δs elfen y meridiwn, ceir o hyn
Yn y cromfachau ar yr ochr dde ceir y toriad ar y llinell lorweddol yn y cynllun grymoedd. Felly, mae’r ochr dde gyfan yn cynrychioli’r segmentau rhwng y pwyntiau rhannu ar y llinell hon. Er mwyn gallu eu darllen yn ddigon cywir, rhaid llunio’r cynllun grymoedd yn ofalus ac mewn graddfa ddigon mawr.
Modrwyau tynnol a gwasgedig
Mae pob cragen gylchdro-symetrig wedi’i chyfyngu gan un neu ddwy gylch llorweddol (ffig. 7). Ar yr ymylon hyn, yn egwyddorol, dim ond y fath lwythi ac adweithiau cynhaliaeth y gall eu derbyn, sydd â chyfeiriad tangiad i’r meridian. Os oes gan y grymoedd allanol gyfeiriad arall, megis llwyth P o ran uchaf y strwythur neu adwaith S gwaelod y gronfa a ddangosir ar ffig. 97, rhaid i’r grymoedd hyn, fel y dangosir yn y ffigur, gael eu dadelfennu’n gydrannau i gyfeiriad y cylch llorweddol a’r tangiad i’r meridian. Mae’r gydran P/sinφ0 neu S/sinφu yn hafal i’r grym arferol i gyfeiriad y meridian Nφ sy’n gweithredu yn y fan honno, tra bo angen cylch sy’n derbyn tyniant, h.y. gwasgiad, i dderbyn y grym llorweddol Pctgφ0 neu Sctgφu, ac ynddo mae’r llwyth rheiddiol hwn yn achosi grym arferol + P r0 ctgφ0, h.y. -S ru ctgφu. Rhaid gosod cylchoedd o’r fath, heblaw ar ymylon y gragen, hefyd ym mhob man lle mae cromlin y meridian yn cael torbwynt. Maent bob amser yn achosi aflonyddwch i’r cyflwr straen bilen.
Ffig. 7
Pwysau oherwydd plygu mewn cragenau cylchdro-symetrig
Nid yw fformiwlâu theori’r bilen yn cynnwys digon o gysonion integreiddio i allu bodloni’r holl amodau ffin sy’n cyfateb yn wirioneddol i’r dasg a osodwyd. Yn arbennig yn achos cregyn sy’n gymesur o ran cylchdro, nid yw’n bosibl, drwy ddewis addas o gysonion integreiddio, sicrhau bod y darniad εϑ = Nϑ/Et yn y cyfeiriad cylch ar hyd ymyl y gragen yn hafal i’r darniad cyfatebol mewn rhyw ran strwythurol arall sydd wedi’i chlymu’n gadarn wrthi yn y man hwnnw. Mae’r un peth yn wir hefyd ar gyfer cregyn lle mae cromlin y meridian, trwch y gragen neu’r llwyth fesul uned arwynebedd yn newid yn sydyn ar hyd un cylch llorweddol. Hyd yn oed pan nad yw’r gragen wedi’i chryfhau â chylch ar hyd rhyw ymyl, ond ei bod yn y fan honno wedi’i llwytho â grymoedd sydd â chydran i gyfeiriad y normal i’r gragen (e.e. y llwyth P ar ffig. 7 pan dybir bod y cylch wedi’i dynnu), ni all dderbyn llwythi o’r fath drwy rymoedd bilen yn unig. Mewn achosion o’r fath, mae’r grym cneifio a’r momentau plygu (ffig. 8) yn chwarae rhan hanfodol yn y dosbarthiad grymoedd yn y gragen, ac mae’n rhaid cymryd hyn i ystyriaeth yn y cyfrifiad statig.
Ffig. 8
Mae cyfrifo union gragen am blygu, ac eithrio yn yr achos arbennig symlaf o gragen silindrog, yn dasg hynod anodd. Ar gyfer cregyn â waliau tenau gellir adeiladu damcaniaeth fras syml iawn ac ymarferol iawn sy’n seiliedig ar y ffaith a elwir o’r ddamcaniaeth fanwl, sef bod y straeniau oherwydd plygu wedi’u cyfyngu i barth cymharol gul ger yr ymyl ac yn lleihau’n gyflym wrth i’r pellter oddi wrth yr ymyl gynyddu. Mae hyn yn caniatáu hepgor nifer fawr o dermau yn yr hafaliad differol union, ac felly mae’n cymryd ffurf symlach.
Os, o fewn y parth ymylol sydd o ddiddordeb yn unig κ, rhoddir y gwerth cyfartalog yn lle hyn, a bron bob amser mae hynny’n bosibl, mae datrysiad yr hafaliad yn
Haf. 4 a 5
lle mae a1, b1, a2, b2 yn gysonion integreiddio. Gan fod y datrysiad o ddiddordeb yn unig yn agos at yr ymyl φ=φ0, mae’n briodol cyflwyno’r pellter onglog ω=φ0-φ neu ω=φ-φ0 oddi wrth yr ymyl hon fel cyfesuryn, ac yna drwy drawsnewid y datrysiad uchod ceir yr ail fynegiad a nodir. Yma dim ond dau gysonyn integreiddio A, B neu C, ψ sy’n ymddangos, oherwydd gellir hepgor y rhan arall o’r datrysiad sy’n cynnwys y ffactor eκω, ac felly nad yw’n lleihau gyda chynnydd ω, o’r ystyriaeth.
Ar sail hafaliad 5 ceir y gwerthoedd canlynol ar gyfer y grymoedd trawsdoriadol a throelli κ y tangiad meridiannaidd:
Straeniau a achosir gan blygu mewn tanciau siâp silindr crwn
Gadewch i gynhwysydd silindrog o uchder h gael ei lenwi â dŵr (ffig. 9), yna ar uchder x uwchlaw’r ddau gynhwysydd mae pwysedd y dŵr yn p=γ(h-x). Os ar yr uchder hwn, gyda dau doriad llorweddol ar bellter dx., torrir cylch o’r cynhwysydd ac fe’i rhennir ar hyd un diamedr yn ddwy ran, mae amod cydbwysedd un ohonynt yn rhoi’r grym bilen yn y cylch Nφ=pa. Os yw trwch y cynhwysydd yn y fan hon t, yna mae’r ymestyniad yn y cylch yn εφ=Nφ/Et ac felly mae’r cynnydd yn radiws y cynhwysydd (ysgodiad) yn
Ar yr ymyl isaf x=0 mae felly
Ffig. 9
Nid yw’r naill na’r llall, yn ôl y rheol, yn cyd-fynd â’r amodau terfynol, oherwydd bod anffurfiad y wal yn cael ei atal gan y cysylltiad â gwaelod y tanc. Yn y cysylltiad rhwng gwaelod a wal y silindr, mae grymoedd traws Qx0 a momennau Mx0 yn ymddangos (ffig. 11), y dylid pennu eu maint fel eu bod, ynghyd â’r grymoedd membran a gyfrifwyd yn union yn y plisgyn, yn achosi’r anffurfiad hwn ar ymyl y plisgyn a ganiateir gan y gwaelod.
Ffig. 10, 11, 12, yn y drefn honno
Yn sl. 11 dangosir elfen y plisgyn dx*a dφ gyda’r grymoedd sy’n gweithredu arni. Mae amod ecwilibriwm y grymoedd i gyfeiriad y normal i’r plisgyn yn rhoi
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
o ble drwy rannu â dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
O’r amod bod y moment o amgylch tangiad llorweddol i’r silindr yn sero, ceir:
dM/dx = M’x = Qx
Trwy ddileu’r grym trawslinellol Qx o’r ddau hafaliad hyn, ceir
a M’’x + Nφ = p a.
Haf. 6
Yn yr hafaliad hwn gellir mynegi’r lluoedd trawstoriadol anhysbys hyn drwy’r gwyriad w. Ar gyfer Nφ eisoes cafwyd Nφ=Etw/a, ac mae’r moment yn gymesur â chryndod y meridian w’’, h.y. Mx=Kw’’, lle, yn debyg i blatiau, K=Et3/12(1-μ2) yw anystwythder y gragen, a all fod yn amrywiol gyda x. Os mewnosodir yr ymadroddion hyn ar gyfer y lluoedd cyfartalog yn yr hafaliad (6), ceir hafaliad gwahaniaethol theori’r gronfa:
Ar gyfer tanc â thrwch wal cyson, y datrysiad yw:
Un.7
lle λ4=3(1-μ2)/a2t2. Os yw λh yn fawr (dyweder, yn fwy na 3), mae’n fwy cyfleus cyflwyno swyddogaethau esbonyddol yn lle swyddogaethau hyperbolig, ac felly:
Un.8
Yna gellir pennu’n annibynnol oddi wrth ei gilydd y cysonion A1, B1 o’r amodau ffin ar yr ymyl isaf, a’r cysonion A2, B2 o’r amodau ffin ar yr ymyl uchaf, ac fel rheol ceir A2=B2=0. Ar sail hafaliad (8) a (7) ceir y grymoedd cneifio, pan gyflawnir y cyfrifiad i’r cyfeiriad gwrthwyneb a chyflwynir ym mhobman hafaliad (8) a (7); felly, er enghraifft, ar gyfer A2=B2=0:
Pan fo waliau’r tanc wedi’u glymu’n anhyblyg i’r plât, ar waelod y tanc sydd yn ddigon trwchus i’w ystyried yn anhyblyg, dylid pennu’r cysonion A1, B1 o’r amod bod x=0, w=0 ac w’=0, ac yna ceir:
Os yw gwaelod y tanc yn blât neu’n gragen elastig, dylid pennu’r grymoedd traws Qx a’r fomentau Mx ar hyd y cylch ymylol rhwng y gwaelod a wal y silindr trwy ddulliau theori systemau statig amhenodol, ar sail y gofyniad bod Mx a w’ ar gyfer y ddwy ran yn cael yr un gwerth.