Оболочками называются поверхностные несущие элементы, средняя поверхность которых не плоская, а заметно выпуклая. Их статическое поведение существенно отличается от поведения плиты. При подходящей форме их напряжения значительно меньше, жесткость соответственно выше, а расчет в большинстве случаев проще.
Напряженное состояние каждой оболочки можно разложить на две части: мембранное напряжение и изгиб. Мембранные напряжения, подобно напряжениям в пластине, нагруженной в своей плоскости, могут быть выражены через поперечные силы в касательной плоскости — это, например, в сечении x=const. нормальная сила _Nx=_σx*t и сдвигающая сила _Nxy=_τxy*t, где t — толщина оболочки. Напряжения от изгиба такие же, как и у пластин, и могут быть представлены изгибающими моментами Mx, крутящими моментами Mxy и сдвигающими силами Qx.
Важные свойства оболочек основаны на том, что, как правило, напряжения от изгиба не имеют ни величины, ни значения мембранных напряжений, так что их часто можно полностью пренебречь. В этом случае все напряжения равномерно распределены по толщине оболочки и действуют по касательной к средней поверхности. Расчеты, основанные на этих предпосылках, входят в область мембранной теории оболочек.
Мембранная теория вращательно-симметричных оболочек при вращательно-симметричной нагрузке
Общие формулы
В качестве координатных линий принимаются меридианы и параллельные круги на средней поверхности оболочки, поэтому координаты: азимут ϑ («географическая долгота») и наклон φ касательной к меридиану к плоскости, перпендикулярной оси симметрии (рис. 1a). Соответственно поперечные силы: нормальная сила Nφ в направлении меридиана и нормальная сила Nϑ в кольце (рис. 1b). Сдвигающие силы Nφϑ не возникают при вращательно-симметричном напряжённом состоянии. Нагрузка на единицу поверхности обозначается следующим образом (рис. 1b): Y касательно к меридиану, положительно в направлении, в котором φ возрастает, Z нормально к оболочке, положительно к оси симметрии.
Рис. 1
Рис. 2
Пусть радиус кривизны меридиана равен r1. Он является функцией угла φ, поэтому формулой _r1=r1(_φ) определяется форма меридиана. Её можно рассматривать как уравнение меридиана, и оно имеет вид, например.
за круг r1=a=const.
для параболы r1=a/cos3__φ
для эллипса r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Для вычисления нормальной силы N__φ в направлении меридиана необходимо составить условие равновесия части оболочки, расположенной выше параллельного круга φ (рис. 2). Результирующая R нагрузок Y и Z, действующих на эту часть, является вертикальной, в силу симметрии. Ее величина определяется интегрированием по поверхности оболочки от φ’=0 до φ’=φ. Площадь элемента оболочки равна dF=r1d__φ’*rd__ϑ, поэтому вертикальная составляющая нагрузки (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Для всей кольцевой части оболочки, лежащей между кругами φ’ и φ’+dφ’, результирующая внешней нагрузки равна:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
откуда путем интегрирования по φ’ для части оболочки, лежащей выше параллельного круга φ’=φ, получается:
Уравн. 1
Эта нагрузка воспринимается нормальными силами в направлении меридиана, действующими по окружности рассматриваемого круга; вертикальная составляющая результирующей этих сил равна 2__πr * N__φ sin__φ, и путем приравнивания отсюда получается искомая нормальная сила
Почт. 2
Если оболочка в верхней части срезана по окружности φ=φ0 (например, световой проем в куполе), нижняя граница интеграла, разумеется, φ0, а не нуль. Если на кромке оболочки, возникшей таким образом, действует также нагрузка R0, то ее тоже следует прибавить к равнодействующей R (рис. 3).
Рис. 3
Для определения нормальной силы N__ϑ необходимо составить условие равновесия элемента оболочки перпендикулярно касательной плоскости (рис. 4). Результанта внешней нагрузки в этом направлении равна Z r1 d__φ r d__ϑ. Силы N__φ*r d__ϑ, лежащие в меридиональной плоскости, образуют между собой малый угол d__φ, поэтому их результанта по направлению нормали к оболочке равна N__φ r d__ϑ*dφ. Аналогично, силы Nϑ r1 dφ, лежащие в плоскости горизонтального круга и образующие между собой угол dϑ, имеют результанту Nϑ r1 dφ*dϑ, которая также лежит в плоскости горизонтального круга и, следовательно, с нормалью к оболочке образует угол 0,5_π-φ_, так что в условие равновесия входит лишь ее составляющая Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. Следовательно, условие равновесия имеет вид
или, если разделить на r r1 dϑ dφ:
Уравнение. 3
Здесь под r2=r/sinφ обозначен второй главный радиус кривизны оболочки.
Рис. 4
Круглый купол
Когда форма меридиана аналитически задана уравнением r1=r1(φ), а для нагрузок Y(φ) и Z(φ) даны аналитические выражения, поперечные силы в оболочке всегда можно определить интегрированием в замкнутом виде либо численно, используя правило Simpson-а. Для круглого купола диаметра a ниже приводятся поперечные силы для некоторых случаев нагружения:
Последняя формула, которая для φ=0 дает бесконечно большие поперечные силы, справедлива лишь на некотором расстоянии от точки приложения силы. В непосредственной окрестности места, где действует сила, даже если она распределена по поверхности круга конечного, но малого диаметра, нагрузка в основном передается изгибом.
Формы для оболочек, открытых в верхней части, могут быть получены из предыдущих, если к действительной нагрузке добавить фиктивную нагрузку P в вершине, величина которой определяется так: если полная нормальная сила в меридиональном направлении, действующая на верхний край оболочки φ=φ0, составляет Nφ=0, либо равна некоторому значению, определенному внешними силами, которые здесь воспринимает оболочка.
Коническая оболочка
Рис. 5
В случае конической оболочки наклон меридиана φ нельзя использовать в качестве координаты, поскольку он во всех точках имеет одно и то же значение. Вместо него вводится расстояние s от вершины купола, измеренное вдоль образующей (рис. 5). Соответственно нормальная сила в направлении меридиана обозначается Ns. Необходимые формулы можно получить из приведённых под 1, если выполнить предельный переход. Из уравнения (2) таким образом получается
а из уравнения (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Для наиболее важных случаев нагружения действуют следующие формулы:
Графический способ для произвольной формы меридиана
Рис. 6
Когда кривая меридиана задана не аналитическим выражением, а, например, графически, определение радиуса кривизны оказывается слишком трудным и слишком неточным. В этом случае удобнее воспользоваться графическим способом (рис. 6).
Оболочка делится большим числом плоскостей φ=const., вычисляются веса Δ_R_ кольцевых зон, лежащих между плоскостями, и лучше сразу разделить их на 2_π_. Эти силы ΔR/2π наносятся на план сил (рис. 6b). Если затем, например, через разделительную точку 7 провести прямую, параллельную касательной к меридиану в точке меридиана 7, горизонталь через верхнюю точку плана сил пересечет на ней отрезок R1/2π sinφ7, из которого на основании уравнения (2) делением на соответствующее r получается соответствующая нормальная сила в направлении меридиана.
Для определения сил в кольцах служит условие равновесия горизонтальных сил на одном элементе оболочки. Если действуют только вертикальные нагрузки, это условие имеет вид (рис. 4):
Когда здесь dφ заменяют конечной разностью Δφ, соответствующей принятому делению оболочки, и когда вместо r1 dφ подставляют длину Δs элемента меридиана, отсюда получается
В скобке с правой стороны стоит отрезок на горизонтальной прямой на плане сил. Следовательно, вся правая часть представляет собой отрезки между делительными точками на этой прямой. Чтобы можно было достаточно точно их считать, план сил следует чертить аккуратно и в достаточно крупном масштабе.
Растянутые и сжатые кольца
Каждая вращательно-симметричная оболочка ограничена одним или двумя горизонтальными кругами (рис. 7). На этих кромках она в принципе может воспринимать только такие нагрузки и реакции опор, которые направлены по касательной к меридиану. Если внешние силы имеют другое направление, как, например, нагрузка P от верхней части конструкции или реакция S дна резервуара, показанного на рис. 97, эти силы должны, как показано на рисунке, быть разложены на составляющие в направлении горизонтального круга и касательной к меридиану. Составляющая P/sinφ0 или S/sinφu равна нормальной силе в направлении меридиана Nφ, действующей в данном месте, тогда как для восприятия горизонтальной силы Pctgφ0 или Sctgφu требуется кольцо, воспринимающее растяжение, соответственно сжатие, в котором эта радиальная нагрузка вызывает нормальную силу + P r0 ctgφ0, соответственно -S ru ctgφu. Такие кольца, помимо кромок оболочки, должны устанавливаться и во всех тех местах, где кривая меридиана имеет излом. Они всегда вызывают нарушение мембранного напряженного состояния.
Рис. 7
Напряжения вследствие изгиба в вращательно-симметричных оболочках
Формулы мембранной теории не содержат достаточного числа интеграционных постоянных, чтобы можно было выполнить все граничные условия, которые в действительности соответствуют поставленной задаче. Особенно для вращательно-симметричных оболочек невозможно каким-либо подходящим выбором интеграционных постоянных добиться того, чтобы удлинение εϑ = Nϑ/Et в кольцевом направлении вдоль кромки оболочки было равно соответствующему удлинению какой-либо другой конструктивной части, жёстко связанной с ней в этом месте. То же самое относится и к оболочкам, у которых вдоль одного горизонтального круга скачкообразно изменяются кривизна меридиана, толщина оболочки или нагрузка на единицу площади. И когда оболочка вдоль какой-либо кромки не усилена кольцом, но в этом месте нагружена силами, имеющими компоненту в направлении нормали к оболочке (например, нагрузка P на рис. 7, если мысленно удалить кольцо), она не может воспринимать такие нагрузки только посредством мембранных сил. В таких случаях поперечная сила и изгибающие моменты (рис. 8) играют существенную роль в распределении сил в оболочке, что при статическом расчёте необходимо учитывать.
Сл. 8
Точный расчет оболочки на изгиб, кроме простейшего специального случая цилиндрической оболочки, представляет собой очень трудную задачу. Для оболочек с тонкими стенками можно построить простую и весьма полезную приближенную теорию, опирающуюся на известный из строгой теории факт, что напряжения, возникающие от изгиба, ограничиваются сравнительно узкой зоной возле края и быстро уменьшаются с увеличением расстояния от края. Это позволяет пренебречь большим числом членов в точном дифференциальном уравнении, вследствие чего оно приобретает упрощенный вид.
Если в пределах кромочной зоны, которая представляет интерес только κ, заменить средним значением, а это почти всегда возможно, решение уравнения имеет вид
Ур. 4 и 5
где a1, b1, a2, b2 — интеграционные константы. Поскольку решение интересно только вблизи границы φ=φ0, удобно ввести угловое расстояние ω=φ0-φ или ω=φ-φ0 от этой границы как координату, и тогда преобразованием вышеуказанного решения получается второе приведенное выражение. Здесь появляются только две интеграционные постоянные A, B или C, ψ, поскольку вторую часть решения, содержащую множитель eκω и, следовательно, не убывающую с ростом ω, можно исключить из рассмотрения.
На основе уравнения 5 получаются следующие значения поперечных сил и поворота κ касательной меридиана:
Напряжения от изгиба в резервуарах цилиндрической формы
Пусть цилиндрический резервуар высотой h заполнен водой (рис. 9); тогда на высоте x над двумя резервуарами давление воды равно p=γ(h-x). Если на этой высоте из резервуара вырезать кольцо двумя горизонтальными сечениями на расстоянии dx. и разделить его вдоль одного диаметра на две части, условие равновесия одной из них дает мембранную силу в кольце Nφ=pa. Если толщина резервуара в этом месте t, то относительное удлинение в кольце εφ=Nφ/Et, и, следовательно, увеличение радиуса резервуара (прогиб) равно
На нижней кромке x=0 следовательно
Рис. 9
Ни то ни другое, как правило, не соответствует граничным условиям, поскольку деформация стены предотвращается благодаря связи с днищем резервуара. При этом в месте соединения днища и стенки цилиндра возникают поперечные силы Qx0 и моменты Mx0 (рис. 11), величину которых следует определить так, чтобы вместе с только что вычисленными мембранными силами в оболочке они вызывали у края оболочки ту деформацию, которую допускает днище.
Рис. 10, 11, 12, соответственно
На рис. 11 показан элемент оболочки dx*a dφ с действующими на него силами. Условие равновесия сил в направлении нормали к оболочке дает
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
откуда после деления на dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Из условия, что момент относительно горизонтательной касательной к цилиндру равен нулю, получаем:
dM/dx = M’x = Qx
Исключая поперечную силу Qx из этих двух уравнений, получаем
a M’’x + Nφ = p a.
Урав. 6
В этом уравнении эти неизвестные внутренние силы можно выразить через прогиб w. Для Nφ уже найдено Nφ=Etw/a, а момент пропорционален кривизне меридиана w’’, т. е. Mx=Kw’’, причем, как и для пластин, K=Et3/12(1-μ2) — жесткость оболочки, которая может быть переменной по x. Если эти выражения для средних сил подставить в уравнение (6), получается дифференциальное уравнение теории резервуаров:
Для резервуара с неизменной толщиной стенки решение имеет вид:
Уравнение. 7
где λ4=3(1-μ2)/a2t2. Если λh велико (скажем, больше 3), удобнее вместо гиперболических функций ввести экспоненциальные, тогда:
Уравнение. 8
Тогда независимо друг от друга могут быть определены постоянные A1, B1 из граничных условий на нижней, а постоянные A2, B2 — из граничных условий на верхней кромке, при этом, как правило, получается A2=B2=0. На основании уравнений (8) и (7) получаются поперечные силы, когда расчёт ведут в обратном направлении и повсюду вводят уравнения (8) и (7); так, например, для A2=B2=0:
Когда стенки резервуара жёстко защемлены в плиту, на дне резервуара, которое достаточно толстое, чтобы считаться жёстким, константы A1, B1 следует определить из условий x=0, w=0 и w’=0, тогда получается:
Если дно резервуара представляет собой упругую плиту или оболочку, поперечные силы Qx и моменты Mx вдоль краевого круга между днищем и стенкой цилиндра следует определять методами теории статически неопределимых систем на основе требования, чтобы Mx и w’ для обеих частей имели одинаковое значение.