Kabuklar orta yüzeyi düz değil, belirgin biçimde dışbükey olan yüzey taşıyıcılarıdır. Statik davranışları, levhanın davranışından önemli ölçüde farklıdır. Uygun bir biçime sahip olduklarında gerilmeleri çok daha az, rijitlikleri buna uygun ölçüde daha büyük olur ve hesapları çoğu durumda daha basittir.
Her kabuğun gerilmesi iki bölüme ayrılabilir: membran gerilmesi ve eğilme. Membran gerilmeleri, düzleminde yüklenen bir levhadaki gerilmeler gibi, teğetsel düzlemdeki kesit kuvvetleri ile ifade edilebilir; örneğin x=const. kesitinde normal kuvvet _Nx=_σx*t ve kayma kuvveti _Nxy=_τxy*t olup burada t kabuk kalınlığıdır. Eğilmeden doğan gerilmeler ise levhalardakiyle aynıdır ve eğilme momentleri Mx, burulma momentleri Mxy ve kayma kuvvetleri Qx ile temsil edilebilir.
Kabukların temel özellikleri, kural olarak eğilmeden doğan gerilmelerin membran gerilmeleriyle ne büyüklük ne de önem bakımından kıyaslanabilir olmamasına dayanır; bu nedenle çoğu kez tamamen ihmal edilebilirler. Bu durumda tüm gerilmeler kabuk kalınlığı boyunca eşit dağılmıştır ve orta yüzeye teğetsel olarak etki eder. Bu varsayımlara dayanan hesaplar, kabukların membran teorisi kapsamına girer.
Dönel simetrik kabukların dönel simetrik yükleme altındaki membran teorisi
Genel formüller
Koordinat çizgileri olarak kabuğun orta yüzeyindeki meridyenler ve paralel daireler kabul edilir; buna göre koordinatlar: azimut ϑ (“coğrafi boylam”) ve simetri eksenine dik düzleme göre meridyene teğetin eğimi φ (şek. 1a). Buna göre kesme kuvvetleri: meridyen doğrultusundaki normal kuvvet Nφ ve halka doğrultusundaki normal kuvvet Nϑ (şek. 1b). Saptırıcı kuvvetler Nφϑ, dönel simetrik gerilmede ortaya çıkmaz. Birim yüzey başına yükleme şu şekilde gösterilir (şek. 1b): meridyene teğetsel Y, φ’nın arttığı yönde pozitif, kabuğa normal Z, simetri eksenine doğru pozitif.
Şek. 1
Şek. 2
Meridyen eğrilik yarıçapı r1 olsun. Bu, φ açısının bir fonksiyonudur; dolayısıyla _r1=r1(_φ) denklemi meridyenin şeklini belirler. Bu, meridyen denklemi olarak kabul edilebilir ve örneğin şöyledir.
daire için r1=a=const.
parabol için r1=a/cos3__φ
elips için r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Meridyen yönündeki normal kuvvet N__φ’yi hesaplamak için, paralel daire φ (şek. 2) üstünde kalan kabuk bölümünün denge koşulunu kurmak gerekir. Bu bölüm üzerinde etkili olan Y ve Z yüklerinin bileşkesi R, simetri nedeniyle düşeydir. Büyüklüğü, kabuk yüzeyi üzerinde φ’=0’den φ’=φ’ye kadar integre edilerek elde edilir. Kabuk elemanının yüzeyi dF=r1d__φ’*rd__ϑ olduğundan, yükün düşey bileşeni (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF’dir. φ’ ve φ’+dφ’ daireleri arasında kalan tüm halka biçimli kabuk bölümü için dış yükün bileşkesi şöyledir:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
buradan, φ’’ye göre, φ’=φ paralel dairesinin üzerinde kalan kabuk kısmı için integrasyon yapıldığında elde edilir:
Denk. 1
Bu yükü meridyen doğrultusundaki normal kuvvetler taşır; bunlar gözlenen dairenin çevresi boyunca etki eder; bu kuvvetlerin bileşkesinin düşey bileşeni 2__πr * N__φ sin__φ, olduğundan, eşitlik kurularak aranan normal kuvvet elde edilir
Denk. 2
Eğer kabuk üst bölümde φ=φ0 dairesi boyunca kesilmişse (örneğin kubbede aydınlatma açıklığı), integralin alt sınırı, doğal olarak, sıfır değil φ0 olur. Bu şekilde oluşan kabuğun kenarında ayrıca R0 yükü de etkiliyse, bunu da R bileşkesine eklemek gerekir (şek. 3).
Şek. 3
Normal kuvvet N__ϑ’nin belirlenmesi için, kabuk elemanının teğetsel düzleme dik yöndeki denge koşulu kurulmalıdır (şek. 4). Bu yöndeki dış yük bileşkesi Z r1 d__φ r d__ϑ’dir. Meridyen düzleminde yer alan N__φ*r d__ϑ kuvvetleri birbirleriyle küçük bir d__φ açısı yapar; dolayısıyla bunların kabuğa normal doğrultudaki bileşkesi N__φ r d__ϑ*dφ olur. Benzer biçimde, yatay çember düzleminde yer alan ve kendi aralarında dϑ açısı oluşturan Nϑ r1 dφ kuvvetlerinin de bileşkesi Nϑ r1 dφ*dϑ’dir; bu bileşke de yatay çember düzleminde yer alır ve buna göre kabuğun normaliyle 0,5_π-φ_ açısı yapar; böylece denge koşuluna yalnızca bunun Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ bileşeni girer. Buna göre denge koşulu şöyledir
veya r r1 dϑ dφ’ye bölündüğünde:
Denk. 3
Burada r2=r/sinφ ile kabuğun ikinci ana eğrilik yarıçapı gösterilmiştir.
Şek. 4
Dairesel kubbe
Meridyenin şekli analitik olarak r1=r1(φ) denklemi ile verildiğinde ve Y(φ) ile Z(φ) yükleri için analitik ifadeler verildiğinde, kabuktaki kesit kuvvetleri her zaman kapalı biçimde integrasyonla veya sayısal olarak, Simpson- kuralı kullanılarak belirlenebilir. Çapı a olan dairesel bir kubbe için aşağıda bazı yükleme durumlarına ilişkin kesit kuvvetleri verilmektedir:
φ=0 için sonsuz büyük kesme kuvvetleri veren son bağıntı, ancak kuvvetin etki noktasından belirli bir uzaklıkta geçerlidir. Kuvvetin etkidiği yerin hemen yakınında, kuvvet sonsuz olmayan fakat küçük çaplı bir dairenin yüzeyine yayılmış olsa bile, yük esas olarak eğilme ile iletilir.
Üst kısmı açık kabuklar için desenler, gerçek yük üzerine tepede hayali bir P yükü eklenerek önceki desenlerden türetilebilir; bu yükün büyüklüğü, kabuğun üst kenarında etki eden meridyen doğrultusundaki toplam normal kuvvet φ=φ0 = Nφ=0 olduğunda ya da kabuğun burada aldığı dış kuvvetler tarafından belirlenen herhangi bir değere eşit olduğunda böylece belirlenir.
Konik kabuk
Şek. 5
Konik kabukta meridyen eğimi φ koordinat olarak kullanılamaz, çünkü tüm noktalarda aynı değere sahiptir. Bunun yerine, tepe noktasından doğrultma boyunca ölçülen s uzaklığı tanıtılır (şek. 5). Buna göre meridyen doğrultusundaki normal kuvvet Ns ile gösterilir. Gerekli ifadeler, sınır geçişi yapıldığında yukarıda verilen 1’den elde edilebilir. Denklem (2)’den bu şekilde
ve denklemden (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
En önemli yükleme durumları için aşağıdaki bağıntılar geçerlidir:
Meridyenin keyfi biçimi için grafik yöntem
Şek. 6
Meridyen eğrisi analitik bir ifade ile verilmemişse, örneğin grafik olarak verilmişse, eğrilik yarıçapını belirlemek çok zor ve çok yanıltıcıdır. Bu durumda grafik yöntemini kullanmak daha uygundur (şek. 6).
Kabuk, φ=const. düzlemlerinden oluşan çok sayıda parçaya bölünür; bu düzlemler arasında kalan halka bölgelerin ağırlıkları Δ_R_ hesaplanır ve bunların hemen 2_π_ ile bölünmesi en iyisidir. Bu kuvvetler ΔR/2π kuvvet diyagramına uygulanır (şek. 6b). Daha sonra, örneğin bölme noktası 7 üzerinden, meridyenin 7 noktasındaki teğetine paralel bir doğru çizilirse, kuvvet diyagramının üst noktasından geçen yatay doğru, üzerinde R1/2π sinφ7 uzunluğu boyunca onu kesecektir; buradan, denklem (2) esas alınarak ve uygun r’ye bölünerek meridyen doğrultusundaki ilgili normal kuvvet elde edilir.
Halkalardaki kuvvetlerin belirlenmesi için, kabuğun bir elemanındaki yatay kuvvetlerin denge koşulu kullanılır. Yalnızca düşey yükler etkidiğinde bu koşul şöyledir (şek. 4):
Burada dφ, kabuğun benimsenen bölünmesine karşılık gelen sonlu fark Δφ ile ve r1 dφ yerine meridyen elemanının uzunluğu Δs ile değiştirilirse, buradan elde edilir
Sağ taraftaki parantez içinde, kuvvetler diyagramındaki yatay doğru üzerindeki kesit yer almaktadır. Buna göre sağ tarafın tamamı, bu doğru üzerindeki bölme noktaları arasındaki parçaları göstermektedir. Bunların yeterince doğru okunabilmesi için kuvvetler diyagramı dikkatle ve yeterince büyük ölçekte çizilmelidir.
Gerilmiş ve sıkıştırılmış halkalar
Her dönel simetrik kabuk, bir veya iki yatay daire ile sınırlandırılmıştır (şek. 7). Bu kenarlarda prensip olarak yalnızca meridyene teğet doğrultuda olan yükleri ve mesnet tepkilerini alabilir. Dış kuvvetler başka bir doğrultuya sahipse, örneğin yapının üst kısmından gelen P yükü veya şekil 97’de gösterilen rezervuar tabanının S tepkisi gibi, bu kuvvetler, şekilde gösterildiği üzere, yatay daire doğrultusundaki ve meridyene teğet doğrultudaki bileşenlerine ayrılmalıdır. P/sinφ0 veya S/sinφu bileşeni, o noktada etkili olan meridyen doğrultusundaki normal kuvvete Nφ eşittir; yatay kuvvet Pctgφ0 veya Sctgφu’nun karşılanması için çekme, yani basınç taşıyan ve bu radyal yükün + P r0 ctgφ0 ya da -S ru ctgφu normal kuvvetini oluşturduğu bir halka gerekir. Bu tür halkalar, kabuğun kenarlarının yanı sıra meridyen eğrisinin kırılma yaptığı tüm noktalara da yerleştirilmelidir. Bunlar her zaman membran gerilme durumunda bozulma yaratır.
Şek. 7
Dönel simetrik kabuklarda eğilmeden kaynaklanan gerilmeler
Membran teorisinin ifadeleri, gerçekten ortaya konulan probleme karşılık gelen tüm sınır koşullarını karşılayabilecek yeterli sayıda integrasyon sabiti içermez. Özellikle dönel simetrili kabuklarda, integrasyon sabitlerinin uygun bir seçimiyle, kabuk kenarı boyunca halka doğrultusundaki uzamanın εϑ = Nϑ/Et orada onunla rijit olarak bağlı bulunan başka bir yapı elemanının karşılık gelen uzamasıyla eşitlenmesi sağlanamaz. Aynı durum, bir yatay çevre boyunca meridyen eğriliğinin, kabuk kalınlığının veya birim yüzey yükünün ani olarak değiştiği kabuklar için de geçerlidir. Bir kabuk bir kenar boyunca bir halka ile rijitleştirilmemiş olsa bile, bu noktada kabuğa normal doğrultuda bileşeni olan kuvvetlerle yüklenmişse (örn. halka kaldırılmış olarak düşünüldüğünde şek. 7’deki P yükü), bu tür yükleri yalnızca membran kuvvetleriyle taşıyamaz. Böyle durumlarda kayma kuvveti ve eğilme momentleri (şek. 8) kabuktaki kuvvet dağılımında önemli rol oynar; bu da statik hesapta dikkate alınmalıdır.
Şek. 8
Kabukta eğilmeye ilişkin doğru hesap, silindirik kabuğun en basit özel durumu dışında, çok zor bir iştir. İnce cidarlı kabuklar için, kesin teoriden bilinen şu olguyu esas alan basit ve çok kullanışlı bir yaklaşık teori kurulabilir: eğilmeden doğan gerilmeler kenara yakın nispeten dar bir bölgede yoğunlaşır ve kenardan uzaklık arttıkça hızla azalır. Bu, kesin diferansiyel denklemdeki birçok terimin ihmal edilmesine olanak verir ve denklem bu sayede basitleştirilmiş biçimini alır.
Sadece ilgi çekici olan κ sınır bölgesindeki değer ortalama değerle değiştirilirse, ki bu neredeyse her zaman mümkündür, denklemin çözümü şudur
Denk. 4 ve 5
burada a1, b1, a2, b2 integral sabitleridir. Çözüm yalnızca φ=φ0 kenarına yakın bölgede ilgi çekici olduğundan, bu kenardan olan açısal uzaklığı ω=φ0-φ ya da ω=φ-φ0 koordinat olarak almak uygundur; böylece yukarıdaki çözümün dönüştürülmesiyle ikinci belirtilen ifade elde edilir. Burada yalnızca iki integral sabiti A, B ya da C, ψ ortaya çıkar; çünkü eκω faktörünü içeren ve dolayısıyla ω arttıkça azalmayan çözümün ikinci kısmı incelemeden çıkarılabilir.
Denklem 5 esas alınarak kesme kuvvetleri ve meridyen teğetinin κ dönmesi için aşağıdaki değerler elde edilir:
Dairesel silindir biçimli haznelerde eğilmeden kaynaklanan gerilmeler
Yüksekliği h olan silindirik bir depo suyla doldurulmuş olsun (şek. 9); o zaman x yüksekliğinde, deponun üstünden itibaren su basıncı p=γ(h-x) olur. Bu yükseklikte, birbirinden dx uzaklıktaki iki yatay kesitte depodan bir halka kesilip bu halka bir çap boyunca iki parçaya ayrılırsa, bunlardan birinin denge koşulu halkadaki membran kuvvetini Nφ=pa olarak verir. Eğer bu noktadaki deponun kalınlığı t ise, halkadaki uzama εφ=Nφ/Et olur ve buna göre deponun yarıçapındaki artış (sehim) şöyledir
Alt kenarda x=0 buna göre
Şek. 9
Ne biri ne de diğeri kural olarak sınır koşullarıyla uyumlu değildir, çünkü duvarın deformasyonu tank tabanına olan bağlantı nedeniyle engellenmiştir. Bu sırada silindirin tabanı ile duvarı arasındaki bağlantıda enine kuvvetler Qx0 ve momentler Mx0 (şek. 11) ortaya çıkar; bunların büyüklüğü, kabukta henüz hesaplanmış membran kuvvetleriyle birlikte kabuğun kenarında tabanın izin verdiği bu deformasyonu oluşturacak şekilde belirlenmelidir.
Şek. 10, 11, 12, sırasıyla
Şek. 11’de, üzerine etki eden kuvvetlerle birlikte dx*a dφ kabuk elemanı gösterilmiştir. Kabuk normali doğrultusundaki kuvvet dengesi koşulu şunu verir
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
buradan dx dφ ile bölünerek:
a Q’x + Nφ = p a.
Silindire olan yatay teğet ekseni etrafındaki momentin sıfır olduğu koşulundan şu elde edilir:
dM/dx = M’x = Qx
Enine kuvvet Qx bu iki denklemlerden elimine edilirse elde edilir
a M’’x + Nφ = p a.
Denk. 6
Bu denklemde bu bilinmeyen kesit kuvvetleri, sehim w yardımıyla ifade edilebilir. Nφ için zaten Nφ=Etw/a bulunmuştur ve moment, meridyen eğriliği w’’ ile orantılıdır, yani Mx=Kw’’; burada, levhalardaki gibi K=Et3/12(1-μ2) kabuk rijitliğidir ve x ile değişken olabilir. Bu ortalama kuvvet ifadeleri denklem (6) içine konursa, rezervuar teorisinin diferansiyel denklemi elde edilir:
Duvar kalınlığı değişmeyen bir tank için çözüm şöyledir:
Denk. 7
burada λ4=3(1-μ2)/a2t2 olur. Eğer λh büyükse (örneğin 3’den büyükse), hiperbolik fonksiyonlar yerine üstel fonksiyonları kullanmak daha uygundur, dolayısıyla:
Denk. 8
O zaman, sınır koşullarından alt kenardaki A1, B1 sabitleri birbirinden bağımsız olarak, üst kenardaki sınır koşullarından ise A2, B2 sabitleri belirlenebilir; bu durumda kural olarak A2=B2=0 elde edilir. Denklem (8) ve (7) esas alınarak kesme kuvvetleri, hesap ters yönde yürütülüp her yerde denklem (8) ve (7) uygulanarak elde edilir; böylece örneğin A2=B2=0 için:
Tank duvarları döşemeye rijit olarak ankastre edildiğinde, yeterince kalın olup rijit kabul edilebilen tank tabanında, sabitler A1, B1 şu koşullardan belirlenmelidir: x=0, w=0 ve w’=0; böylece elde edilir:
Eğer rezervuarın tabanı elastik bir levha ya da kabuk ise, taban ile silindir duvarı arasındaki çevresel halka boyunca Qx enine kuvvetleri ve Mx momentleri, Mx ve w’’nin her iki parça için aynı değere sahip olması gereğine dayanılarak statikçe belirsiz sistemler teorisinin yöntemleriyle belirlenmelidir.