Škrupinami sa nazývajú plošné nosníky, ktorých stredná plocha nie je rovná, ale je zreteľne vypuklá. Ich statické správanie sa podstatne odlišuje od správania dosky. Keď majú vhodný tvar, ich namáhanie je podstatne menšie, ich tuhosť je primerane väčšia a výpočet je vo väčšine prípadov jednoduchší.
Napetost vsake lupine lahko razdelimo na dva dela: membransko napetost in upogib. Membranske napetosti se podobno kot napetosti pri plošči, obremenjeni v svoji ravnini, lahko izrazijo s presečnimi silami v tangencialni ravnini – to so npr. v preseku x=const. normalna sila _Nx=_σx*t in strižna sila _Nxy=_τxy*t, kjer je t debelina lupine. Napetosti zaradi upogiba so enake kot pri ploščah in jih lahko predstavimo z upogibnimi momenti Mx, torzijskimi momenti Mxy in strižnimi silami Qx.
Bistvene lastnosti lupin temeljijo na dejstvu, da po pravilu napetosti zaradi upogiba po velikosti in pomenu ne dosegajo membranskih napetosti, tako da jih je pogosto mogoče povsem zanemariti. V tem primeru so vse napetosti enakomerno porazdeljene po debelini lupine in delujejo tangencialno na srednjo površino. Izračuni, ki temeljijo na teh predpostavkah, sodijo v okvir membranske teorije lupin.
Membranska teorija rotacijsko simetričnih lupin pri rotacijsko simetrični obremenitvi
Splošni obrazci
Za súradnicové čiary sa prijímajú poludníky a rovnobežky v strednej ploche škrupiny, takže súradnice sú: azimut ϑ („zemepisná dĺžka“) a sklon φ dotyčnice k poludníku vzhľadom na rovinu kolmicu na os symetrie (obr. 1a). Podľa toho sú priečne sily: normálna sila Nφ v smere poludníka a normálna sila Nϑ v prstenci (obr. 1b). Šmykové sily Nφϑ sa pri rotačne symetrickom namáhaní nevyskytujú. Zaťaženie na jednotku plochy sa označuje takto (obr. 1b): Y tangenciálne na poludník, kladne v smere, v ktorom φ rastie, Z kolmo na škrupinu, kladne k osi symetrie.
Obr. 1
Obr. 2
Naj bo polmer krivine poldnevnika r1. To je funkcija kota φ, zato je z enačbo _r1=r1(_φ) določena oblika poldnevnika. To se lahko šteje za enačbo poldnevnika in se glasi npr.
za krog r1=a=const.
za parabolo r1=a/cos3__φ
za elipso r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Za izračunavanje normalne sile N__φ v smeri meridiana je treba postaviti pogoj ravnotežja dela lupine, ki leži nad vzporednim krogom φ (sl. 2). Rezultanta R obtežb Y in Z, ki delujeta na ta del, je zaradi simetrije navpična. Njena velikost se določi z integracijo po površini lupine od φ’=0 do φ’=φ. Površina elementa lupine je dF=r1d__φ’*rd__ϑ, zato je navpična komponenta obtežbe (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Za celoten obročasti del lupine, ki leži med krogoma φ’ in φ’+dφ’, je rezultanta zunanje obtežbe:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
od koder se z integriranjem po φ’ za del lupine, ki leži nad vzporednim krogom φ’=φ, dobi:
Enač. 1
To obremenitev prevzemajo normalne sile v smeri meridianov, ki delujejo po obodu opazovanega kroga; navpična komponenta rezultante teh sil je 2__πr * N__φ sin__φ, zato se z enačenjem od tod dobi zahtevana normalna sila
Enač. 2
Če je lupina v zgornjem delu odrezana vzdolž kroga φ=φ0 (npr. odprtina za osvetlitev v kupoli), je spodnja meja integrala seveda φ0, in ne nič. Če na robu lupine, ki je na ta način nastala, deluje tudi obtežba R0, jo je treba prišteti rezultanti R (sl. 3).
Obr. 3
Za določitev normalne sile N__ϑ je treba postaviti pogoj ravnotežja elementa lupine pravokotno na tangencialno ravnino (sl. 4). Rezultanta zunanje obremenitve v tej smeri znaša Z r1 d__φ r d__ϑ. Sili N__φ*r d__ϑ v meridionalni ravnini oklepata majhen kot d__φ, zato je njuna rezultanta v smeri normale na lupino N__φ r d__ϑ*dφ. Podobno imata tudi sili Nϑ r1 dφ, ki ležita v ravnini vodoravnega kroga in med seboj tvorita kot dϑ, rezultanto Nϑ r1 dφ*dϑ, ki prav tako leži v ravnini vodoravnega kroga in zato z normalo na lupino oklepa kot 0,5_π-φ_, tako da v pogoj ravnotežja vstopa le njuna komponenta Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. Pogoj ravnotežja se torej glasi
ali, ko se deli z r r1 dϑ dφ:
Jeden.3
Tu je pomocou r2=r/sinφ označený druhý hlavný polomer zakrivenia škrupiny.
Obr. 4
Krožna kupola
Kadar je oblika meridiana analitično podana z enačbo r1=r1(φ) in kadar so za obtežbi Y(φ) in Z(φ) podani analitični izrazi, je presečne sile v lupini mogoče vedno določiti z integriranjem v zaprti obliki ali numerično, z uporabo Simpsonove pravila. Za krožno kupolo premera a so v nadaljevanju navedene presečne sile za nekatere primere obtežbe:
Zadnja formula, ki za φ=0 daje neskončno velike prečne sile, velja šele na določeni oddaljenosti od točke delovanja sile. V neposredni okolici mesta, kjer deluje sila, tudi kadar je ta razporejena po površini kroga končnega, a majhnega premera, se obtežba pretežno prenaša z upogibom.
Tvary pre škrupiny otvorené v hornej časti možno odvodiť z predchádzajúcich, ak sa k skutočnému zaťaženiu pridá fiktívne zaťaženie P v temene, ktorého veľkosť sa určí tak, že ak celková normálová sila v smere poludníka pôsobiaca na hornom okraji škrupiny φ=φ0 je Nφ=0, alebo sa rovná nejakej hodnote určenej vonkajšími silami, ktoré škrupina tu prijíma.
Kónická škrupina
Obr. 5
Pri stožčasti lupini naklona meridiana φ ni mogoče uporabiti kot koordinate, ker ima v vseh točkah enako vrednost. Namesto njega uvedemo razdaljo s od vrha kupole, merjeno vzdolž generatrise (sl. 5). Normalna sila v smeri meridiana se v skladu s tem označuje z Ns. Potrebne oblike je mogoče dobiti iz navedenih pod 1, ko se izvede mejni prehod. Iz enačbe (2) se na ta način dobi
a iz enačbe (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Za najpomembnejše primere obremenitve veljajo naslednji obrazci:
Grafični postopek za poljubno obliko meridiana
Obr. 6
Keď krivka poludníka nie je daná analytickým výrazom, ale napríklad graficky, určenie polomeru zakrivenia je príliš ťažké a príliš nepresné. V tom prípade je vhodnejšie použiť grafický postup (obr. 6).
Lupina se razdeli z večjim številom ravnin φ=const., izračunajo se teže Δ_R_ obročastih con, ki ležijo med ravninami, in jih je najbolje takoj deliti z 2_π_. Te sile ΔR/2π se nanašajo v načrt sil (sl. 6b). Če se nato npr. skozi delilno točko 7 potegne premica, vzporedna tangenti na meridian v točki meridiana 7, bo horizontala skozi zgornjo točko načrta sil na njej odrezala dolžino R1/2π sinφ7, iz katere se na osnovi enačbe (2) z deljenjem z ustreznim r dobi ustrezna normalna sila v smeri meridiana.
Za določanje sil v obročih služi pogoj ravnotežja vodoravnih sil na enem elementu lupine. Če delujejo samo navpične obtežbe, ta pogoj se glasi (sl. 4):
Keď sa tu dφ nahradí konečným rozdielom Δφ, ktorý zodpovedá prijatému rozdeleniu škrupiny, a keď sa namiesto r1 dφ dosadí dĺžka Δs elementu meridiánu, odtiaľ sa dostane
V oklepaju na desni strani je odsek na vodoravni premici v načrtu sil. Celotna desna stran zato predstavlja odseke med delilnimi točkami na tej premici. Da bi jih lahko dovolj natančno odčitali, mora biti načrt sil narisan skrbno in v dovolj velikem merilu.
Nategnjeni in tlačeni obroči
Vsaka rotacijsko simetrična lupina je omejena z enim ali dvema horizontalnima krogoma (sl. 7). Na teh robovih lahko načeloma sprejme le take obtežbe in reakcije podpor, ki imajo smer tangente na meridian. Če imajo zunanje sile drugo smer, npr. obremenitev P iz zgornjega dela konstrukcije ali reakcija S dna rezervoarja, prikazanega na sl. 97, je treba te sile, kot je prikazano na sliki, razstaviti na komponenti v smeri horizontalnega kroga in tangente na meridian. Komponenta P/sinφ0 ali S/sinφu je enaka normalni sili v smeri meridiana Nφ, ki na tem mestu deluje, medtem ko je za sprejem horizontalne sile Pctgφ0 ali Sctgφu potreben obroč, ki prevzema natezanje oziroma pritisk in v katerem ta radialna obremenitev povzroča normalno silo + P r0 ctgφ0, oziroma -S ru ctgφu. Takšne obroče je treba poleg robov lupine postaviti tudi na vseh tistih mestih, kjer ima krivulja meridiana prelom. Ti vedno povzročajo motnjo membranskega napetostnega stanja.
Obr. 7
Napetosti zaradi upogibanja v rotacijsko simetričnih lupinah
Oblike membranske teorije ne vsebujejo zadostnega števila integracijskih konstant, da bi lahko izpolnili vse robne pogoje, ki dejansko ustrezajo zastavljeni nalogi. Posebej pri rotacijsko simetričnih lupinah ni mogoče s kakšno ustrezno izbiro integracijskih konstant doseči, da bi bila dilatacija εϑ = Nϑ/Et v obročni smeri vzdolž roba lupine enaka ustrezni dilataciji nekega drugega konstrukcijskega dela, ki je na tem mestu z njo togo povezan. Enako velja tudi za lupine, pri katerih se vzdolž enega vodoravnega kroga skokovito spreminjajo krivina meridiana, debelina lupine ali obtežitev na enoto površine. Tudi kadar lupina vzdolž nekega roba ni utrjena z obročem, vendar je na tem mestu obtežena s silami, ki imajo komponento v smeri normale na lupino (npr. obtežitev P na sl. 7, če si zamislimo, da je obroč odstranjen), takih obremenitev ne more prevzeti samo preko membranskih sil. V takih primerih igrata strižna sila in upogibna momenta (sl. 8) bistveno vlogo pri porazdelitvi sil v lupini, kar je treba pri statičnem izračunu upoštevati.
Obr. 8
Presný výpočet škrupiny na ohyb predstavuje okrem najjednoduchšieho špeciálneho prípadu valcovej škrupiny veľmi náročnú úlohu. Pre škrupiny s tenkými stenami možno zostrojiť jednoduchú a veľmi použiteľnú približnú teóriu, ktorá sa opiera o skutočnosť známeho z prísnej teórie, že napätia od ohybu sú obmedzené na relatívne úzku zónu pri okraji a s rastúcou vzdialenosťou od okraja rýchlo klesajú. To umožňuje zanedbať veľký počet členov v presnej diferenciálnej rovnici, takže tá nadobúda zjednodušený tvar.
Če se znotraj robnega tona, ki je edino zanimiv κ, to nadomesti s srednjo vrednostjo, kar je skoraj vedno mogoče, je rešitev enačbe
Enač. 4 in 5
kjer so a1, b1, a2, b2 integracijske konstante. Ker je rešitev zanimiva samo v bližini roba φ=φ0, je smiselno, da se kotna razdalja ω=φ0-φ ali ω=φ-φ0 od tega roba uvede kot koordinata, nato pa se s transformacijo zgoraj navedene rešitve dobi drugi navedeni izraz. Tu se pojavita le dve integracijski konstanti A, B ali C, ψ, ker je drugi del rešitve, ki vsebuje faktor eκω, in zato z naraščanjem ω ne upada, mogoče izločiti iz obravnave.
Na osnovi enačbe 5 se dobijo naslednje vrednosti za presečne sile in zasuk κ tangente meridiana:
Napetosti zaradi upogibanja v rezervoarjih krožnocilindrične oblike
Naj bo valjasti rezervoar višine h napolnjen z vodo (sl. 9), tedaj je na višini x nad dnom rezervoarja tlak vode p=γ(h-x). Če na tej višini iz rezervoarja izrežemo obroč med dvema vodoravnima prerezoma na razdalji dx. in ga razdelimo vzdolž enega premera na dva dela, pogoj ravnotežja enega od njiju da membransko silo v obroču Nφ=pa. Če je debelina rezervoarja na tem mestu t, je raztezek v obroču εφ=Nφ/Et in zato povečanje polmera rezervoarja (poves) je
Na spodnjem robu x=0 je torej
Slika 9
Niti eno niti drugo praviloma ni skladno s mejnimi pogoji, ker je deformacija stene preprečena zaradi povezave z dnom rezervoarja. Pri tem se na stiku med dnom in steno valja pojavijo prečne sile Qx0 in momenti Mx0 (sl. 11), katerih velikost je treba tako določiti, da skupaj pravkar izračunanimi membranskimi silami v lupini povzročajo to deformacijo na robu lupine, ki jo dopušča dno.
Obr. 10, 11, 12, resp.
Na sl. 11 je prikazan element lupine dx*a dφ s silami, ki delujejo nanj. Pogoj ravnotežja sil v smeri normale na lupino daje
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
od koder z deljenjem z dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Iz pogoja, da je moment okoli vodoravne tangente na valj enak nič, dobimo:
dM/dx = M’x = Qx
Z izločitvijo prečne sile Qx iz teh dveh enačb sledi
a M’’x + Nφ = p a.
En. 6
V tej enačbi lahko te neznane presečne sile izrazimo s povesi w. Za Nφ je že bilo ugotovljeno Nφ=Etw/a, moment pa je sorazmeren ukrivljenosti meridiana w’’, tj. Mx=Kw’’, pri čemer je tako kot pri ploščah K=Et3/12(1-μ2) togost lupine, ki je lahko spremenljiva z x. Če se ti izrazi za srednje sile vstavijo v enačbo (6), dobimo diferencialno enačbo teorije rezervoarjev:
Za rezervoar, pri katerem je debelina stene nespremenljiva, velja rešitev:
Jeden.7
kjer je λ4=3(1-μ2)/a2t2. Če je λh velik (recimo, večji od 3), je ugodneje namesto hiperboličnih funkcij uvesti eksponentne, zato velja:
Jeden.8
Tedaj je mogoče neodvisno drug od drugega določiti konstante A1, B1 iz robnih pogojev na spodnjem, konstante A2, B2 pa iz robnih pogojev na zgornjem robu, pri čemer se praviloma dobi A2=B2=0. Na podlagi enačb (8) in (7) dobimo prečne sile, ko izračun izvedemo v obratni smeri in povsod uvedemo enačbi (8) in (7); tako je npr. za A2=B2=0:
Kadar so stene rezervoarja togo vpetje v ploščo, je treba na dnu rezervoarja, ki je dovolj debelo, da se lahko šteje za togo, konstanti A1, B1 določiti iz pogojev, da je x=0, w=0 in w’=0, zato dobimo:
Če je dno rezervoarja elastična plošča ali lupina, je treba prečne sile Qx in momente Mx vzdolž obodnega kroga med dnom in steno valja določiti z metodami teorije statično nedoločenih sistemov na podlagi zahteve, da imata Mx in w’ za oba dela enako vrednost.