E taʻua o atigi o uta i luga, e le o mafolafola le latou luga ogatotonu ae e manino le faaoso aʻe. E matuā ese lava lo latou amioga faatestatika mai le amioga a le laupapa. Pe a talafeagai lo latou foliga, e sili atu ona laʻititi lo latou mamafa, e sili atu le malosi o lo latou maʻaʻa i se tulaga talafeagai, ma e faigofie atu le fuafuaina i le tele o tulaga.
E mafai ona vaevaeina le mamafa o so’o se atigi i ni vaega se lua: le mamafa membrane ma le punou. O mamafa membrane, e pei fo’i o mamafa i se laupapa o loo uta i lona lava va’alele, e mafai ona fa’aalia e ala i malosiaga tipi i le va’alele tangent – e pei o, i le vaega x=const. le malosi masani _Nx=_σx*t ma le malosi sele _Nxy=_τxy*t, lea o le t o le mafiafia o le atigi. O mamafa ona o le punou e tutusa ma ia o laupapa ma e mafai ona fa’atusalia e ala i moment o le punou Mx, moment torsion Mxy ma malosi sele Qx.
O uiga tāua o atigi e fa’avae i luga o le mea moni e faapea, e pei o le tulafono, e lē o iai i mamafa ona o le punou le lapopo’a po o le tāua o mamafa membrane, o lea e masani ona mafai ai ona tu’u ese atoa. I lenā tulaga, e tufatufa tutusa uma mamafa i le mafiafia o le atigi ma galue tangent i le luga ogatotonu. O fuafuaga e fa’avae i nei manatu e ulu atu i totonu o le a’oa’oga membrane o atigi.
O le teoria o atigi e tutusa le taamilosaga i lalo o se uta e tutusa le taamilosaga
Fomu lautele
Mo laina faamaopoopo e talia ai meridiani ma liʻo tutusa i le ʻili ogatotonu o le atigi, o lea la o faamaopoopoga e faapea: azimuth ϑ (“teletele faafanua”) ma le tulimanu φ o le laina pa‘i i le meridiani e faatatau i le va‘alele tūsa‘o i le au o le tutusa (sl. 1a). E tusa ai la, o malosi tipi e faapea: le malosi masani Nφ i le itu o le meridiani ma le malosi masani Nϑ i le mama (sl. 1b). E lē aliali mai malosi sele Nφϑ i le mamafa faataamilosaga tutusa. O le uta i le iunite o le vaega e faailoa faapea (sl. 1b): Y e tū sa‘o i le meridiani, lelei i le itu e faatupulaia ai φ, Z e tū sa‘o i le atigi, lelei aga‘i i le au o le tutusa.
Ata. 1
Fig. 2
Seʻi avea le radius o le piʻo o le meridian r1. O ia o se galuega o le tulimanu φ o lea e ala i le faiga _r1=r1(_φ) e fuafuaina ai le foliga o le meridian. E mafai ona manatu lenei mea o le faiga o le meridian ma e faapea, faataitaiga.
mo le li‘o r1=a=const.
mo le parabola r1=a/cos3__φ
mo le elipise r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Mo le fuafuaina o le malosi masani N__φ i le itu o le meridian, e tatau ona faatulaga le tulaga o le paleni o le vaega o le atigi o loo taoto i luga aʻe o le liʻo tutusa φ (ata 2). O le iʻuga R o avega Y ma Z o loo galue i lenei vaega e tū saʻo i luga, ona o le tutusa. E maua lona telē e ala i le tuufaatasia i luga o le pito o le atigi mai le φ’=0 seʻia oo i le φ’=φ. O le vaega o le elemene o le atigi o dF=r1d__φ’*rd__ϑ, o lea la e avea le vaega tūsaʻo o le avega (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Mo le vaega faataamilosaga atoa o le atigi o loo i le va o liʻo φ’ ma φ’+dφ’, o le iʻuga o le avega i fafo o le:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
mai i inā, e ala i le faiga o le integrasi i φ’ mo le vaega o le atigi o loo taoto i luga aʻe o le liʻo faatasi φ’=φ e maua ai:
Fua. 1
O lenei uta e taliaina e malosi masani i le itu o le meridiano, lea e galue i le taamilosaga o le liʻo ua maitauina; o le vaega tūsaʻo o le iʻuga tuufaatasi o nei malosi o 2__πr * N__φ sin__φ, ma e maua ai le malosi masani ua manaʻomia e ala i le faatusatusaina mai i inei
Iun. 2
Afai ua tipi le atigi i lona vaega i luga i le ala o le liʻo φ=φ0 (faataʻitaʻiga, o le avanoa mo le malamalama i le kupola), o le tuaoi pito i lalo o le integral, e pei ona masani ai, o le φ0, ae lē o le zero. Afai e galue foʻi le avega R0 i le pito o le atigi na fausia i lenei auala, e tatau foʻi ona faaopoopo i le iʻuga R (sl. 3).
Ata 3
Ina ia fuafua le malosi masani N__ϑ e tatau ona faatuina le tulaga o le paleni o le elemene o le atigi e faasaga i le vaalele tangential (ata 4). O le i‘uga o le avega i fafo i lenei itu e maua ai Z r1 d__φ r d__ϑ. O malosi N__φ*r d__ϑ o loo taoto i le vaalele meridional e faia ai i le va o i latou se tulimanu laitiiti d__φ, o lea la o lo latou i‘uga i le itu o le masani i le atigi o N__φ r d__ϑ*dφ. E faapena foi, o malosi Nϑ r1 dφ o loo taoto i le vaalele o le liʻo faalava ma faia i le va o i latou se tulimanu dϑ e maua ai le i‘uga Nϑ r1 dφ*dϑ e taoto foi i le vaalele o le liʻo faalava ma o lea e faia ai ma le masani i le atigi se tulimanu 0,5_π-φ_, ma o lea e ulu atu ai i le tulaga o le paleni na o le vaega o lea malosi Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. O le tulaga o le paleni o lea e faapea
po o lea, pe a vaevaeina i le r r1 dϑ dφ:
Tasi.3
O iinei ua faailogaina ai i le r2=r/sinφ le isi afa‑lautele autū o le piʻo o le atigi.
Ata. 4
Kupola lapotopoto
Pe a tuuina mai le foliga o le meridiana i le tulaga faamatalaina e le faata‘ita‘iga r1=r1(φ) ma pe a tuuina mai faamatalaga faamatalaina mo uta Y(φ) ma Z(φ), e mafai lava ona fuafuaina malosi‘aga tipi i le atigi e ala i le faamasaniina i le foliga tapunia po o le auala numera, e faaaogā ai le tulafono a Simpson. Mo le kupola liʻo e iai le lautele a, o loo tuuina atu i lalo malosi‘aga tipi mo nisi tulaga o le uta:
O le mamanu mulimuli, lea mo le φ=0 e maua ai ni malosi sele e matua tele, e aoga na o se mamao faapitoa mai le nofoaga e aafia ai le malosi. I le lata ane tonu o le nofoaga e galue ai le malosi, e oo lava ina tufatufaina i luga o le eria o se liʻo e iai se lautele faatapulaʻa ae laitiiti, e tele lava ina ave le avega e le piʻo.
E mafai ona maua mai faiga mo atigi e tatala i le vaega pito i luga mai mea ua muamua, pe a faaopoopo i le uta moni se uta faafoliga P i le tumutumu, lea e fuafuaina lona telē pe a tutusa le malosi masani atoa i le itu o le meridiana o loo galue i le pito i luga o le atigi φ=φ0 ma Nφ=0, pe e tutusa ma se tau ua fuafuaina e malosi i fafo o loo ave e le atigi i inei.
Atigi faalaugatasi
Ata 5
I le atigi konikala, e lē mafai ona faaaogā le mālifa o le meridiano φ e fai ma faamaopoopoga, auā e tutusa lona tau i nofoaga uma. Nai lo lea, e faaulufale mai le mamao s mai le tumutumu o le dome, e fua i luga o le laina faatupu (ata 5). O le malosi masani i le itu o le meridiano e tusa ai ma lea e faailogaina i le Ns. E mafai ona maua faiga manaʻomia mai mea ua taʻua i lalo o 1 pe a faia le suiga i le tuaoi. Mai le faaupuga (2) e maua ai i lena auala
ma mai le faatusa (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Mo tulaga sili ona tāua o le avega, e faaaogā ai faiga nei:
Faiga ata mo le foliga faafuaseʻi o le meridiana
Fig. 6
Pe a lē tuuina mai le piʻoga o le meridiana i se faamatalaga auiliili, ae faataitaʻi, i se ata, e matua faigatā ma e lē saʻo le fuafuaina o le radius o le piʻoga. I lenā tulaga e sili atu ona talafeagai le faaaogāina o le auala ata (sl. 6).
E vaevaeina le atigi i le tele o vaalele φ=const., e fuafua ai mamafa Δ_R_ o sone fa‘a-mamae o loo ta‘oto i le va o vaalele ma e sili ona vave vaevaeina i le 2_π_. O nei malosi ΔR/2π e fa‘ata‘atia i le fuafuaga o malosi (ata 6b). Afai e mulimuli ane, fa‘ata‘ita‘iga, e ala atu i le vaega vaevae 7 e toso ai se laina e tutusa ma le tangent i le meridian i le vaega o le meridian 7, o le a tipiina e le laina faalava e ui atu i le pito i luga o le fuafuaga o malosi i luga o lea laina le umi R1/2π sinφ7 lea, e fa‘avae i luga o le fa‘atusa (2), e ala i le vaevaeina i le r talafeagai, e maua ai le malosi masani talafeagai i le itu o le meridian.
Mo le fuafuaina o malosi‘aga i mama e faaaogā ai le aiaiga o le paleni o malosi‘aga faalava i luga o se elemene e tasi o le atigi. Afai e na o uta tūsa‘o e galue, e faapea lenei aiaiga (sl. 4):
Pe a suia iinei le dφ i le eseesega faaiʻu Δφ, e fetaui ma le vaevaega ua talia o le atigi, ma pe a tuu i totonu nai lo le r1 dφ le umi Δs o le elemene o le meridiana, ona maua mai ai lea
I le puipui i le itu taumatau o loo i ai le vaega tipi i luga o le laina faalava i le fuafuaga o malosiaga. O le itu taumatau atoa o lea la e fai ma sui o vaega i le va o manatu vaevae i luga o lenei laina. Ina ia mafai ona faitau saʻo lava i latou, e tatau ona tusia le fuafuaga o malosiaga ma le faaeteete ma i se fua tetele lava.
Mama toso ma mama fetaomi
E fa’atapula’aina fo’i e se atigi e tutusa fa’ata’amilomilo i se tasi po o ni li’o fa’alava se lua (sl. 7). I nei pito e mafai ona ia talia na’o ia uta ma tali a lagolago e iai le itu o le tangent i le meridian. Afai e i ai se isi itu o malosiaga i fafo, e pei o le uta P mai le vaega pito i luga o le fausaga po o le tali S o le pito i lalo o le tane o loo faaalia i le sl. 97, e tatau ona, e pei ona fa’aalia i le ata, vaevaeina nei malosiaga i vaega i le itu o le li’o fa’alava ma le tangent i le meridian. O le vaega P/sinφ0 po o S/sinφu e tutusa ma le malosi masani i le itu o le meridian Nφ o loo galue i lea nofoaga, ae mo le taliaina o le malosi fa’alava Pctgφ0 po o Sctgφu e mana’omia se mama e taliaina le toso, po o le omiga, ma i totonu o ia mea e tupu ai e lenei uta fa’ata’amilo le malosi masani + P r0 ctgφ0, po o -S ru ctgφu. O ia mama, e lē gata i pito o le atigi, e tatau fo’i ona tu’u i nofoaga uma e punou ai le pi’o o le meridian. E latou te fa’alavelave pea i le tulaga membrane o le mamafa.
Ata. 7
Tigaina ona o le punou i atigi fa’ata’amilo tutotonu
E le o iai i faiga o le talitonuga membrani se numera lava o tumau faapipiiina e mafai ai ona faamalieina aiaiga uma o tuaoi e matua fetaui ma le galuega ua faatulagaina. Aemaise lava i atigi faasimeti faataamilomilo, e lē mafai ona ausia, i se filifiliga talafeagai o tumau faapipiiina, le tutusa o le faalauteleina εϑ = Nϑ/Et i le itu o le mama i le pito o le atigi ma le faalauteleina tutusa o se isi vaega fausaga ua mausali ona fesootai i ai i lenā nofoaga. E faapena foʻi mo atigi e suia faafuaseʻi ai, i le liʻo faalava e tasi, le piʻo o le meridiano, le mafiafia o le atigi, po o le avega i le iunite o le vaega. E oo foʻi ina lē faamalosia se atigi i le itu o se pito i se mama, ae ua utaina i lenā nofoaga i malosiaga e iai se vaega i le itu o le masani i le atigi (faataʻitaʻiga, le avega P i le ata 7 pe a manatu ua aveese le mama), e lē mafai ona taliaina e ia ia avega na o malosiaga membrani. I ia tulaga, e tāua tele le sao o le malosi tipi ma momenti punou (ata 8) i le tufatufaina o malosiaga i le atigi, ma e tatau ona amanaʻia i le fuafuaga faapitoa.
Ata. 8
O le fuafuaga sa’o o le atigi i le punou, vagana ai i le tulaga fa’apitoa sili ona faigofie o le atigi fa’asilinder, o se galuega e matua faigata. Mo atigi ma puipui manifinifi e mafai ona fausia se teoria fa’ata’ita’i faigofie ma aoga tele e fa’avae i luga o le mea moni ua iloa mai le teoria sa’o, o omiga ona o le punou e fa’atapula’aina i se sone vaapiapi i tafatafa o le pito ma vave ona fa’aitiitia pe a fa’ateleina le mamao mai le pito. E mafai ai ona tu’ua’ia le tele o fa’aupuga i le fa’atusa fa’afeoloolo sa’o, ma ua maua ai se foliga fa’afaigofie.
Afai i totonu o le tuaoi e na’o le κ e tāua, e suitulaga i le tau feololo, ma e toetoe lava o taimi uma e mafai ai lea, o le tali o le fa’atusa o le
Eq. 4 ma 5
lea e a1, b1, a2, b2 o faamautu tuufaatasi. Talu ai e na o le vavalalata i le itu φ=φ0 e tāua ai le fofo, e talafeagai le faaulufaleina o le eseʻesega faatafa ω=φ0-φ po o le ω=φ-φ0 mai lenei itu e avea ma faamaopoopoga, ona maua lea i le suiga o le fofo ua taʻua i luga le faaupuga lona lua ua taʻua. I inei e na o ni faamautu tuufaatasi se lua A, B po o C, ψ e aliali mai, auā o le vaega lona lua o le fofo o loo iai le vaega eκω, ma o lea e lē faaitiitia a o faateleina le ω, e mafai ona aveese mai le iloiloina.
Faavae i luga o le faataitaiga 5 e maua ai tulaga nei mo malosi sele ma le liliu κ o le tangent o le meridian:
O mamafa ona o le punou i tane e faataamilomilo foliga faasilinder
Sei manatu o se tane faalava e iai le maualuga h ua faatumu i le vai (ata 9), ona o lea i le maualuga x i luga aʻe o le tane e lua e tutusa, o le mamafa o le vai p=γ(h-x). Afai i lenei maualuga mai faalava se lua e mamao ese dx e tipi ese mai le tane se mama ma vaevaeina lenei mea i le umi o le tasi diamita i ni vaega se lua, o le tulaga o le paleni o le tasi o ia vaega e aumaia ai le malosi membrane i le mama Nφ=pa. Afai o le mafiafia o le tane i lenei nofoaga t, o le faalautelega i le mama o le εφ=Nφ/Et ma o lea la o le faateleina o le faataamilosaga o le tane (deflection) o le
I le pito i lalo x=0 o lea
Ata. 9
E lē ogatasi nei mea uma e lua ma tulaga faatapulaʻa, ona ua taofia le suiga o le puipui ona o lona sootaga ma le pito i lalo o le tane. I lea sootaga i le va o le pito i lalo ma le puipui o le silinder, e aliali mai ai malosi faalava Qx0 ma momenti Mx0 (ata. 11), ma e tatau ona filifilia lo latou telē ina ia faatasi ai ma malosi membrane ua faatoa fuafuaina i le atigi e mafua ai lenei suiga i le pito o le atigi e faatagaina e le pito i lalo.
Ata 10, 11, 12, fa’asolosolo
I le sl. 11 o loo faaalia ai le elemene o le atigi dx*a dφ fa’atasi ai ma malosiaga o loo galue iā te ia. O le tulaga o le paleni o malosiaga i le itu o le normal i le atigi e maua ai
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
mai i inā e ala i le vaevaeina i dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Mai le tuutuuga e faapea o le moment i le tangent faalava i le silinder e zero, e maua ai:
dM/dx = M’x = Qx
I le aveeseina o le malosi faalava Qx mai nei faata‘ita‘iga e lua e mulimuli mai
a M’’x + Nφ = p a.
Faat. 6
I lenei fa’atatau, e mafai ona fa’aalia nei malosiaga tipi e le iloa e ala i le fa’ase’e w. Mo le Nφ ua uma ona maua Nφ=Etw/a, ae o le moment e fa’atusa tonu i le pi’o o le meridian w’’, o lona uiga Mx=Kw’’, ma e pei fo’i o laupapa K=Et3/12(1-μ2) o le maaa o le atigi, lea e mafai ona fesuisuia’i ma x. Afai e tu’u nei fa’amatalaga mo malosiaga averesi i le fa’atusa (6), e maua ai le fa’atusa fa’avasega o le a’oa’oga o tane:
Mo se tane o lona mafiafia o le puipui e lē suia, e faapea le fofo:
Tasi.7
lea e λ4=3(1-μ2)/a2t2. Afai e tele le λh (faataʻitaʻiga, e sili atu i le 3), e sili atu ona faigofie le faaofiina o galuega faailo nai lo galuega hyperbolic, o lea la:
Tasi.8
Ona mafai lea ona fuafuaina tutoʻatasi le tasi mai le isi o tumau A1, B1 mai aiaiga o tuaoi i le pito i lalo, ae o tumau A2, B2 mai aiaiga o tuaoi i le pito i luga, ma e masani ona maua A2=B2=0. E faavae i luga o le faaupuga (8) ma le (7), e maua ai malosiaga tipi, pe a fai le fuafuaga i le itu faafeagai ma faaaofia i soo se mea le faaupuga (8) ma le (7); o lea, mo se faataitaiga, mo A2=B2=0:
Pe a mau malosi puipui o le tane i totonu o le laupapa, i le pito i lalo o le tane lea e lava le mafiafia e mafai ai ona manatu e maaa, e tatau ona fuafua le tumau A1, B1 mai tulaga e faapea o le x=0, w=0 ma le w’=0 ona maua ai lea:
Afai o le pito i lalo o le tane o se ipu fetuutuunai po o se atigi, e tatau ona fuafua le malosi tipi Qx ma momenti Mx i le liʻo o le tuaoi i le va o le pito i lalo ma le pa o le ogāumu e ala i metotia o le talitonuga o faiga e lē faamaoti tumau, e faavae i le manaʻoga ina ia tutusa le tau o le Mx ma le w’ mo vaega uma e lua.