Schalen sind Flächentragwerke, deren Mittelfläche nicht eben, sondern deutlich gewölbt ist. Ihr statisches Verhalten weicht erheblich vom Verhalten einer Platte ab. Bei geeigneter Form sind ihre Spannungen wesentlich geringer, ihre Steifigkeit entsprechend größer, und die Berechnung ist in den meisten Fällen einfacher.
Die Beanspruchung jeder Schale kann in zwei Teile zerlegt werden: Membranspannung und Biegung. Die Membranspannungen können, ähnlich wie die Spannungen bei einer in ihrer Ebene belasteten Platte, mittels der Schnittkräfte in der Tangentialebene ausgedrückt werden – das sind z. B. im Schnitt x=const. die Normalkraft _Nx=_σx*t und die Schubkraft _Nxy=_τxy*t, wobei t die Schalenstärke ist. Die Spannungen infolge Biegung sind dieselben wie bei Platten und können durch Biegemomente Mx, Torsionsmomente Mxy und Schubkräfte Qx dargestellt werden.
Die wesentlichen Eigenschaften der Schalen beruhen auf der Tatsache, dass die Spannungen infolge Biegung in der Regel weder in ihrer Größe noch in ihrer Bedeutung an die Membranspannungen heranreichen, sodass sie häufig vollständig vernachlässigt werden können. In diesem Fall sind alle Spannungen gleichmäßig über die Schalendicke verteilt und wirken tangential auf die Mittelfläche. Berechnungen, die auf diesen Annahmen beruhen, gehören zum Bereich der Membrantheorie der Schalen.
Membrantheorie rotationssymmetrischer Schalen unter rotationssymmetrischer Belastung
Allgemeine Formeln
Als Koordinatenlinien werden Meridiane und Parallelkreise in der mittleren Fläche der Schale angenommen, daher lauten die Koordinaten: Azimut ϑ („geographische Länge“) und Neigung φ der Tangente an den Meridian gegenüber der Ebene senkrecht zur Symmetrieachse (Abb. 1a). Dementsprechend sind die Schnittkräfte: Normalkraft Nφ in Meridiansrichtung und Normalkraft Nϑ im Ring (Abb. 1b). Schubkräfte Nφϑ treten bei rotationssymmetrischer Beanspruchung nicht auf. Die Flächenlast wird wie folgt bezeichnet (Abb. 1b): Y tangential zum Meridian, positiv in der Richtung, in der φ zunimmt, Z normal zur Schale, positiv zur Symmetrieachse hin.
Abb. 1
Abb. 2
Sei der Krümmungsradius des Meridians r1. Er ist eine Funktion des Winkels φ, daher ist mit der Gleichung _r1=r1(_φ) die Form des Meridians bestimmt. Diese kann als Gleichung des Meridians angesehen werden und lautet z. B.
für einen Kreis r1=a=const.
für die Parabel r1=a/cos3__φ
für die Ellipse r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Zur Berechnung der Normalkraft N__φ in Meridianrichtung ist die Gleichgewichtsbedingung des Teils der Schale aufzustellen, der oberhalb des Parallelkreises φ liegt (Abb. 2). Die Resultierende R der Lasten Y und Z, die auf diesen Teil wirken, ist aufgrund der Symmetrie vertikal. Ihr Betrag ergibt sich durch Integration über die Schalenfläche von φ’=0 bis φ’=φ. Die Fläche eines Schalenelements ist dF=r1d__φ’*rd__ϑ, daher ist die vertikale Komponente der Belastung (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Für den gesamten ringförmigen Teil der Schale, der zwischen den Kreisen φ’ und φ’+dφ’ liegt, ist die Resultierende der äußeren Belastung:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
woraus durch Integration über φ’ für den Teil der Schale, der oberhalb des parallelen Kreises φ’=φ liegt, folgendes erhalten wird:
Gleich. 1
Diese Belastung wird von den Normalspannungen in Meridianrichtung aufgenommen, die am Umfang des betrachteten Kreises wirken; die vertikale Komponente der Resultierenden dieser Kräfte ist 2__πr * N__φ sin__φ, und durch Gleichsetzen ergibt sich daraus die gesuchte Normalkraft
Gl. 2
Wenn die Schale im oberen Bereich entlang des Kreises φ=φ0 (z. B. eine Lichtöffnung in der Kuppel) abgeschnitten ist, ist die untere Grenze des Integrals selbstverständlich φ0 und nicht null. Wenn am Rand der auf diese Weise entstandenen Schale auch die Belastung R0 wirkt, so ist auch diese zur Resultierenden R zu addieren (Abb. 3).
Abb. 3
Zur Bestimmung der Normalspannung N__ϑ ist die Gleichgewichtsbedingung des Schalelements senkrecht zur Tangentialebene aufzustellen (Abb. 4). Die Resultierende der äußeren Belastung in dieser Richtung beträgt Z r1 d__φ r d__ϑ. Die Kräfte N__φ*r d__ϑ, die in der Meridianebene liegen, schließen miteinander den kleinen Winkel d__φ ein, daher ist ihre Resultierende in Richtung der Normale zur Schale N__φ r d__ϑ*dφ. Ebenso haben die Kräfte Nϑ r1 dφ, die in der Ebene des Horizontalkreises liegen und zwischen sich den Winkel dϑ bilden, die Resultierende Nϑ r1 dφ*dϑ, die ebenfalls in der Ebene des Horizontalkreises liegt und daher mit der Normale zur Schale den Winkel 0,5_π-φ_ einschließt, sodass in die Gleichgewichtsbedingung nur ihre Komponente Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ eingeht. Die Gleichgewichtsbedingung lautet daher
oder, wenn durch r r1 dϑ dφ geteilt wird:
Eins. 3
Hier ist mit r2=r/sinφ der zweite Hauptkrümmungsradius der Schale bezeichnet.
Abb. 4
Kuppelkreis
Wenn die Form des Meridians analytisch durch die Gleichung r1=r1(φ) gegeben ist und für die Lasten Y(φ) und Z(φ) analytische Ausdrücke vorliegen, können die Schnittkräfte in der Schale stets durch Integration in geschlossener Form oder numerisch mithilfe der Simpson-Regel bestimmt werden. Für eine kreisförmige Kuppel mit dem Durchmesser a werden im Folgenden die Schnittkräfte für einige Belastungsfälle angegeben:
Die letzte Formel, die für φ=0 unendlich große Querkraftwerte ergibt, gilt erst in einem gewissen Abstand vom Angriffspunkt der Kraft. In unmittelbarer Nähe der Stelle, an der die Kraft wirkt, selbst wenn sie über die Fläche eines Kreises mit endlichem, aber kleinem Durchmesser verteilt ist, wird die Belastung im Wesentlichen durch Biegung übertragen.
Formen für oben offene Schalen können aus den vorherigen abgeleitet werden, wenn zur tatsächlichen Belastung in der Scheitelpunktslage eine fiktive Last P hinzugefügt wird, deren Größe so bestimmt wird, dass die gesamte Normalkraft in Meridianrichtung, die auf den oberen Rand der Schale φ=φ0 wirkt, Nφ=0 beträgt, oder einem durch die äußeren Kräfte bestimmten Wert entspricht, die die Schale hier aufnimmt.
Konische Schale
Abb. 5
Bei einer Kegelschale kann die Neigung des Meridians φ nicht als Koordinate verwendet werden, da sie an allen Punkten denselben Wert hat. Stattdessen wird der Abstand s von der Kuppelspitze eingeführt, gemessen entlang der Erzeugenden (Abb. 5). Die Normalkraft in Meridiанrichtung wird entsprechend mit Ns bezeichnet. Die erforderlichen Ansätze können aus den unter 1 genannten durch einen Grenzübergang gewonnen werden. Aus Gleichung (2) erhält man auf diese Weise
und aus der Gleichung (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Für die wichtigsten Belastungsfälle gelten die folgenden Formeln:
Grafisches Verfahren für eine beliebige Form des Meridians
Abb. 6
Wenn die Meridiankurve nicht durch einen analytischen Ausdruck gegeben ist, sondern etwa grafisch, ist die Bestimmung des Krümmungsradius viel zu schwierig und viel zu ungenau. In diesem Fall ist es zweckmäßiger, das graphische Verfahren zu verwenden (Abb. 6).
Die Schale wird durch eine größere Anzahl von Ebenen φ=const. unterteilt, die Gewichte Δ_R_ der ringförmigen Zonen zwischen den Ebenen werden berechnet und am besten sofort durch 2_π_ geteilt. Diese Kräfte ΔR/2π werden in den Kraftplan eingetragen (Abb. 6b). Wenn man dann z. B. durch den Teilungspunkt 7 eine Gerade parallel zur Tangente an den Meridian im Punkt des Meridians 7 zieht, schneidet die Horizontale durch den oberen Punkt des Kraftplans auf ihr die Strecke R1/2π sinφ7, aus der sich auf Grundlage der Gleichung (2) durch Division durch den entsprechenden r die entsprechende Normalkraft in Meridiansrichtung ergibt.
Zur Bestimmung der Kräfte in den Ringen dient die Gleichgewichtsbedingung der Horizontalkräfte an einem Schalenelement. Wenn nur vertikale Lasten wirken, lautet diese Bedingung (Abb. 4):
Wenn hier dφ durch die endliche Differenz Δφ ersetzt wird, die der angenommenen Einteilung der Schale entspricht, und statt r1 dφ die Länge Δs des Meridian-Elements eingesetzt wird, ergibt sich daraus
In der Klammer auf der rechten Seite steht der Abschnitt auf der horizontalen Geraden im Kraftplan. Die gesamte rechte Seite stellt demnach die Abschnitte zwischen den Teilpunkten auf dieser Geraden dar. Damit sie ausreichend genau abgelesen werden können, muss der Kraftplan sorgfältig und in ausreichend großem Maßstab gezeichnet werden.
Zug- und Druckringe
Jede rotationssymmetrische Schale ist durch einen oder zwei horizontale Kreise begrenzt (Abb. 7). An diesen Rändern kann sie grundsätzlich nur solche Lasten und Auflagerreaktionen aufnehmen, die in Richtung der Meridiantangente wirken. Haben die äußeren Kräfte eine andere Richtung, wie z. B. die Last P aus dem oberen Teil der Konstruktion oder die Reaktion S des Bodens des in Abb. 97 dargestellten Behälters, so müssen diese Kräfte, wie in der Abbildung gezeigt, in Komponenten in Richtung des horizontalen Kreises und der Tangente an den Meridian zerlegt werden. Die Komponente P/sinφ0 bzw. S/sinφu ist gleich der in diesem Punkt wirkenden Normalkraft in Meridiansrichtung Nφ, während zur Aufnahme der horizontalen Kraft Pctgφ0 bzw. Sctgφu ein Ring erforderlich ist, der Zug bzw. Druck aufnimmt und in dem diese Radialbelastung eine Normalkraft + P r0 ctgφ0, bzw. -S ru ctgφu hervorruft. Solche Ringe müssen außer an den Schalenrändern auch an allen Stellen angeordnet werden, an denen die Meridiankurve einen Knick aufweist. Sie verursachen stets eine Störung des Membranspannungszustands.
Abb. 7
Spannungen infolge Biegung in rotationssymmetrischen Schalen
Die Ansätze der Membrantheorie enthalten nicht genügend Integrationskonstanten, um alle Randbedingungen zu erfüllen, die dem gestellten Problem tatsächlich entsprechen. Insbesondere bei rotationssymmetrischen Schalen ist es durch eine geeignete Wahl der Integrationskonstanten nicht möglich, zu erreichen, dass die Dehnung εϑ = Nϑ/Et in Umfangsrichtung entlang des Schalenrandes der entsprechenden Dehnung eines anderen Konstruktionsteils gleich ist, der an dieser Stelle fest mit ihr verbunden ist. Dasselbe gilt auch für Schalen, bei denen sich entlang eines horizontalen Kreises die Meridiankrümmung, die Schalendicke oder die Flächenlast sprungartig ändert. Und auch wenn die Schale entlang einer Kante nicht durch einen Ring ausgesteift ist, dort aber durch Kräfte belastet wird, die eine Komponente in Richtung der Schalen-Normale haben (z. B. die Belastung P in Abb. 7, wenn man sich vorstellt, dass der Ring entfernt ist), kann sie solche Lasten nicht allein über Membrankräfte aufnehmen. In solchen Fällen spielen die Querkraft und die Biegemomente (Abb. 8) eine wesentliche Rolle bei der Kraftverteilung in der Schale, was bei der statischen Berechnung zu berücksichtigen ist.
Abb. 8
Die genaue Berechnung einer Schale auf Biegung ist, außer im einfachsten Sonderfall einer Zylinderschale, eine sehr schwierige Aufgabe. Für dünnwandige Schalen lässt sich eine einfache und sehr brauchbare Näherungstheorie aufstellen, die sich auf die aus der strengen Theorie bekannte Tatsache stützt, dass sich die Biegespannungen auf eine relativ schmale Zone nahe dem Rand beschränken und mit zunehmendem Abstand vom Rand rasch abnehmen. Dadurch kann eine große Zahl von Gliedern in der genauen Differentialgleichung vernachlässigt werden, sodass diese eine vereinfachte Form erhält.
Wenn innerhalb der einzigen interessierenden Randzone κ durch den Mittelwert ersetzt wird, was fast immer möglich ist, lautet die Lösung der Gleichung
Gl. 4 und 5
wobei a1, b1, a2, b2 Integrationskonstanten sind. Da die Lösung nur in der Nähe des Randes φ=φ0 von Interesse ist, ist es zweckmäßig, den Winkelabstand ω=φ0-φ oder ω=φ-φ0 von diesem Rand als Koordinate einzuführen; durch die Transformation der obigen Lösung erhält man dann den zweiten angegebenen Ausdruck. Hier treten nur zwei Integrationskonstanten A, B bzw. C, ψ auf, da der andere Teil der Lösung, der den Faktor eκω enthält und daher mit zunehmendem ω nicht abnimmt, aus der Betrachtung ausgeschlossen werden kann.
Auf Grundlage der Gleichung 5 ergeben sich die folgenden Werte für die Querkraft und die Verdrehung κ der Meridian-Tangente:
Biegebeanspruchungen in Behältern zylindrischer Form
Sei ein zylindrischer Behälter der Höhe h mit Wasser gefüllt (Abb. 9), dann beträgt in der Höhe x über den beiden Behältern der Wasserdruck p=γ(h-x). Wird auf dieser Höhe aus dem Behälter zwischen zwei horizontalen Schnitten im Abstand dx. ein Ring herausgeschnitten und dieser entlang eines Durchmessers in zwei Teile geteilt, so ergibt die Gleichgewichtsbedingung eines davon die Membrankraft im Ring Nφ=pa. Ist die Dicke des Behälters an dieser Stelle t, so ist die Dehnung im Ring εφ=Nφ/Et und damit die Vergrößerung des Behälterradius (Durchbiegung)
Am unteren Rand x=0 gilt daher
Abb. 9
Weder das eine noch das andere entspricht in der Regel den Randbedingungen, da die Verformung der Wand durch die Verbindung mit dem Boden des Behälters verhindert wird. Dabei treten an der Verbindung zwischen Boden und Zylinderwand die Querkraft Qx0 und die Momente Mx0 (Abb. 11) auf, deren Größe so zu bestimmen ist, dass sie zusammen mit den gerade berechneten Membrankräften in der Schale diese Verformung am Schalenrand hervorrufen, die der Boden zulässt.
Abb. 10, 11, 12, jeweils
In Abb. 11 ist das Schalenelement dx*a dφ mit den auf es wirkenden Kräften dargestellt. Die Gleichgewichtsbedingung der Kräfte in Richtung der Normale zur Schale ergibt
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
woraus durch Division durch dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Aus der Bedingung, dass das Moment um die horizontale Tangente am Zylinder gleich Null ist, ergibt sich:
dM/dx = M’x = Qx
Durch Eliminierung der Querkraft Qx aus diesen beiden Gleichungen folgt
a M’’x + Nφ = p a.
Gleichung 6
In dieser Gleichung können diese unbekannten Schnittkräfte mithilfe der Durchbiegung w ausgedrückt werden. Für Nφ wurde bereits Nφ=Etw/a, gefunden, und das Moment ist proportional zur Meridiankrümmung w’’, d. h. Mx=Kw’’, wobei wie bei Platten K=Et3/12(1-μ2) die Steifigkeit der Schale ist, die mit x veränderlich sein kann. Werden diese Ausdrücke für die mittleren Kräfte in die Gleichung (6) eingesetzt, erhält man die Differentialgleichung der Behältertheorie:
Für einen Behälter mit unveränderlicher Wanddicke lautet die Lösung:
Eins. 7
wobei λ4=3(1-μ2)/a2t2. Wenn λh groß ist (sagen wir, größer als 3), ist es zweckmäßiger, statt hyperbolischer Funktionen exponentielle einzuführen, also gilt:
Eins. 8
Dann können die Konstanten A1, B1 unabhängig voneinander aus den Randbedingungen am unteren und die Konstanten A2, B2 aus den Randbedingungen am oberen Rand bestimmt werden, wobei in der Regel A2=B2=0 herauskommt. Auf Grundlage der Gleichungen (8) und (7) erhält man die Querkraftgrößen, wenn die Rechnung in umgekehrter Richtung durchgeführt und überall die Gleichungen (8) und (7) eingeführt werden; so ist z. B. für A2=B2=0:
Wenn die Wände des Behälters starr in die Platte eingespannt sind und der Boden des Behälters hinreichend dick ist, um als starr zu gelten, sind die Konstanten A1, B1 aus den Bedingungen zu bestimmen, dass x=0, w=0 und w’=0 ist, und es ergibt sich:
Ist der Boden des Behälters eine elastische Platte oder Schale, so sind die Querkraft Qx und die Momente Mx entlang des Randkreises zwischen Boden und Zylinderwand mit Methoden der Theorie statisch unbestimmter Systeme auf Grundlage der Forderung zu bestimmen, dass Mx und w’ für beide Teile denselben Wert haben.