نظرية المرونة - القشريات

تُسمّى الأغلفة الحوامل السطحية التي لا يكون سطحها المتوسط مستويًا بل محدبًا بشكل ملحوظ. ويختلف سلوكها الإنشائي اختلافًا كبيرًا عن سلوك اللوح. وعندما يكون لها شكل مناسب، تكون إجهاداتها أقل بكثير، وتكون صلابتها أكبر بما يتناسب مع ذلك، كما تكون عملية الحساب في معظم الحالات أبسط.

يمكن تقسيم إجهاد كل غلاف إلى جزأين: إجهاد غشائي وإجهاد انحناء. ويمكن التعبير عن الإجهادات الغشائية، شأنها شأن الإجهادات في الصفيحة المحمَّلة ضمن مستواها، بواسطة قوى المقطع في المستوى المماسي – فمثلًا في المقطع x=const. تكون القوة العمودية _Nx=_σx*t وقوة القص _Nxy=_τxy*t، حيث إن t هو سُمك الغلاف. أما الإجهادات الناتجة عن الانحناء فهي نفسها كما في الصفائح، ويمكن تمثيلها بعزوم الانحناء Mx، وعزوم الالتواء Mxy، وقوى القص Qx.

تستند الخصائص الأساسية للأغلفة إلى حقيقة أن الإجهادات الناتجة عن الانحناء، كقاعدة عامة، لا تبلغ مقدار الإجهادات الغشائية ولا أهميتها، بحيث يمكن غالبًا إهمالها تمامًا. في هذه الحالة تكون جميع الإجهادات موزعة بانتظام على سُمك الغلاف وتؤثر مماسيًا على السطح المتوسط. وتدخل الحسابات القائمة على هذه الافتراضات ضمن نطاق النظرية الغشائية للأغلفة.

نظرية الغشاء للأغلفة المتماثلة دورانيًا تحت حمل متماثل دورانيًا

الأشكال العامة

تُعتمد خطوط الطول والدوائر المتوازية على السطح الأوسط للقشرة كخطوط إحداثية، فتكون الإحداثيات: السمت ϑ («خط الطول الجغرافي») والميل φ لمماس خط الطول بالنسبة إلى المستوى العمودي على محور التناظر (الشكل 1a). وبناءً على ذلك تكون قوى المقطع: القوة العمودية Nφ في اتجاه خط الطول والقوة العمودية Nϑ في الاتجاه الحلقي (الشكل 1b). أما قوى القص Nφϑ فلا تظهر في حالة الإجهاد المتماثل دورانيًا. ويُشار إلى الحمل على وحدة المساحة على النحو الآتي (الشكل 1b): Y مماسي لخط الطول، موجب في الاتجاه الذي يزداد فيه φ، و Z عمودي على القشرة، وموجب نحو محور التناظر.

الشكل. 1

الشكل. 2

لتكن نصف قطر انحناء خط الزوال r1. وهو دالة للزاوية φ، لذا فإن المعادلة _r1=r1(_φ) تحدد شكل خط الزوال. ويمكن اعتبارها معادلة خط الزوال، وتكون، مثلًا:

للدائرة                                       r1=a=const.

للقطع المكافئ                                  r1=a/cos3__φ

للقطع الناقص          r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2

لحساب القوة العمودية N__φ في اتجاه خط الزوال، يجب وضع شرط اتزان الجزء من القشرة الواقع فوق الدائرة المتوازية φ (شكل 2). إن محصلة الحملين Y و_Z_ المؤثرين على هذا الجزء هي عمودية، نظرًا إلى التناظر. وتُستخرج قيمتها بتكامل على سطح القشرة من φ’=0 إلى φ’=φ. ومساحة عنصر القشرة هي dF=r1d__φ’*rd__ϑ، لذا فإن المركبة العمودية للحمل (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. وبالنسبة إلى الجزء الحلقي الكامل من القشرة الواقع بين الدائرتين φ’ و_φ’+dφ’_ فإن محصلة الحمل الخارجي هي:

dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,

ومن هنا، من خلال التكامل بالنسبة إلى φ’ للجزء من القشرة الذي يقع فوق الدائرة الموازية φ’=φ نحصل على:

المعادلة 1

يستقبل هذا الحملُ القوىَ العمودية في اتجاه خط الزوال، والتي تؤثر على محيط الدائرة المرصودة؛ والمركبة العمودية لمحصلة هذه القوى هي 2__πr * N__φ sin__φ, وبالمساواة من هنا نحصل على القوة العمودية المطلوبة

معادلة 2

إذا قُطِعت القشرة في الجزء العلوي على طول الدائرة φ=φ0 (مثلًا فتحة الإضاءة في القبة)، فإن الحد الأدنى للتكامل يكون، بطبيعة الحال، φ0 وليس الصفر. وإذا كان على حافة القشرة المتشكلة بهذه الطريقة حملٌ R0 أيضًا، فيجب إضافته هو كذلك إلى المحصلة R (الشكل 3).

الشكل. 3

لتحديد القوة العمودية N__ϑ يجب وضع شرط اتزان عنصر الغلاف عموديًا على المستوى المماسي (شكل 4). ومحصل الحمل الخارجي في هذا الاتجاه تساوي Z r1 d__φ r d__ϑ. والقوى N__φ*r d__ϑ الواقعة في المستوى الزوالي تُشكِّل فيما بينها زاوية صغيرة d__φ، ولذلك فإن محصلتها في اتجاه العمود على الغلاف تساوي N__φ r d__ϑ*dφ. وبالمثل، فإن القوى Nϑ r1 dφ الواقعة في مستوى الدائرة الأفقية وتشكل فيما بينها زاوية dϑ لها محصلة Nϑ r1 dφ*dϑ تقع أيضًا في مستوى الدائرة الأفقية، ومن ثم فإنها تصنع مع العمود على الغلاف زاوية 0,5_π-φ_، بحيث لا يدخل في شرط الاتزان إلا مركبتها Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. وعليه فإن شرط الاتزان يكون

أو، عندما يُقسَّم على r r1 dϑ dφ:

Eq. 3

وهنا يُرمز بـ r2=r/sinφ إلى نصف قطر الانحناء الرئيسي الثاني للقشرة.

الشكل. 4

القبة الدائرية

عندما يكون شكل الميريديان معطى تحليليًا بالمعادلة r1=r1(φ) وعندما تكون التعابير التحليلية للأحمال Y(φ) و Z(φ) معطاة، فإن قوى المقطع في الغشاء يمكن دائمًا تحديدها بالتكامل بصيغة مغلقة أو عدديًا باستخدام قاعدة Simpson-ov. وبالنسبة للقبّة الدائرية ذات القطر a تُعرض فيما يلي قوى المقطع لبعض حالات التحميل:

الصيغة الأخيرة، التي تعطي للقيمة φ=0 قوى قص لانهائية الكبر، لا تسري إلا على مسافة معينة من نقطة تأثير القوة. وفي المحيط المباشر لموضع تأثير القوة، حتى عندما تكون موزعة على سطح دائرة ذات قطر محدود لكنه صغير، ينتقل الحمل في الأساس بالانحناء.

يمكن اشتقاق أشكال الأصداف المفتوحة من الأعلى من الأشكال السابقة إذا أضيف حمل وهمي P عند القمة إلى الحمل الفعلي، وتُحدَّد قيمته بحيث إن القوة العمودية الكلية في اتجاه خطّ الزوال المؤثرة على الحافة العليا للصدفة φ=φ0 تساوي Nφ=0، أو تساوي قيمة معينة تحددها القوى الخارجية التي تتلقاها الصدفة هنا.

القشرة المخروطية

الشكل. 5

في الصدفة المخروطية لا يمكن استخدام ميل المريان φ كإحداثي، لأنه يأخذ القيمة نفسها في جميع النقاط. وبدلًا منه يُعرَّف البعد s من قمة القبة مقاسًا على طول المولِّد (الشكل 5). وبناءً على ذلك يُرمز إلى القوة العمودية في اتجاه المريان بـ Ns. ويمكن الحصول على الصيغ المطلوبة من الصيغ المذكورة تحت 1 عند إجراء الانتقال الحدّي. ومن المعادلة (2) نحصل بهذه الطريقة على

ومن المعادلة (3)

Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.

بالنسبة لأهم حالات التحميل تسري الأشكال التالية:

الطريقة البيانية لشكل خط الزوال كيفما كان

الشكل. 6

عندما لا يُعطى منحنى الميريديان بتعبير تحليلي، بل، على سبيل المثال، بشكل بياني، يكون تحديد نصف قطر الانحناء شديد الصعوبة وشديد عدم الدقة. وفي هذه الحالة يكون من الأنسب استخدام الطريقة البيانية (الشكل 6).

تُقسَّم القشرة بعدد كبير من المستويات φ=const.، وتُحسب أوزان Δ_R_ للمناطق الحلقية الواقعة بين المستويات، ومن الأفضل تقسيمها فوراً على 2_π_. وتُرسم هذه القوى ΔR/2π في مخطط القوى (الشكل 6b). وإذا رُسم بعد ذلك، مثلاً، عبر نقطة التقسيم 7 مستقيم موازٍ للمماس عند Meridian في نقطة الـ meridian 7، فإن الأفقي المار بالنقطة العليا من مخطط القوى سيقطع عليه بطول R1/2π sinφ7، ومنه، استناداً إلى المعادلة (2), وبالقسمة على r المناسبة، نحصل على القوة العمودية المناسبة في اتجاه الـ meridian.

ويُستخدم شرط اتزان القوى الأفقية على عنصر واحد من الغشاء لتحديد القوى في الحلقات. وإذا كانت الأحمال المؤثرة عمودية فقط، فإن هذا الشرط يكون كما يلي (الشكل 4):

عندما يُستبدل هنا dφ بفرق نهائي Δφ، الموافق للتقسيم المعتمد للقشرة، وعندما يُستعاض عن r1 dφ بطول Δs لعنصر خط الزوال، نحصل من هنا على

في القوس الموجود على الجانب الأيمن يوجد القطع على المستقيم الأفقي في مخطط القوى. وبذلك يمثّل الجانب الأيمن بأكمله القطع بين نقاط التقسيم على هذا المستقيم. ولكي يمكن قراءتها بدقة كافية، يجب أن يُرسم مخطط القوى بعناية وبمقياس كبير بما يكفي.

الحلقات المشدودة والمضغوطة

يُحدَّد كل غلاف متماثل دورانيًا بواحد أو اثنين من الدوائر الأفقية (الشكل 7). وعلى هذه الحواف لا يمكنه مبدئيًا أن يتحمل إلا مثل هذه الأحمال وردود أفعال المساند التي يكون اتجاهها مماسيًا للمِرْدَان. وإذا كانت القوى الخارجية ذات اتجاه آخر، كما في حمل P من الجزء العلوي من المنشأ أو رد الفعل S لقاع الخزان الموضح في الشكل 97، فيجب، كما هو موضح في الشكل، تحليل هذه القوى إلى مركبتين في اتجاه الدائرة الأفقية والمماس للمِرْدَان. وتكون المركبة P/sinφ0 أو S/sinφu مساوية للقوة العمودية في اتجاه المِرْدَان Nφ المؤثرة في ذلك الموضع، بينما يتطلب استقبال القوة الأفقية Pctgφ0 أو Sctgφu حلقةً تتحمل الشد أو الضغط، وتُحدث فيها هذه الحمولة الشعاعية قوةً عمودية + P r0 ctgφ0، أو -S ru ctgφu. ولا بد من تركيب مثل هذه الحلقات، إلى جانب حواف الغلاف، في جميع المواضع التي يحدث فيها انكسار في منحنى المِرْدَان. وهي تُحدث دائمًا اضطرابًا في حالة الإجهاد الغشائي.

الشكل. 7

الإجهادات الناتجة عن الانحناء في الأصداف المتماثلة دورانيًا

لا تتضمن صيغ نظرية الغشاء عددًا كافيًا من ثوابت التكامل بحيث يمكن تحقيق جميع شروط الحد التي تنطبق فعليًا على المسألة المطروحة. وبشكل خاص، في الأصداف ذات التناظر الدوراني لا يمكن، باختيار مناسب لثوابت التكامل، تحقيق أن تكون الاستطالة εϑ = Nϑ/Et في اتجاه الحلقة على طول حافة الصدفة مساوية للاستطالة المقابلة لجزء إنشائي آخر يكون مرتبطًا بها عند ذلك الموضع ارتباطًا صلبًا. وينطبق الأمر نفسه على الأصداف التي يتغير فيها تقوس المريان على طول دائرة أفقية واحدة تغيرًا فجائيًا، أو سماكة الصدفة، أو الحمل لكل وحدة مساحة. وحتى عندما لا تكون الصدفة مصلَّبة بحلقة على طول إحدى الحواف، لكنها تكون في هذا الموضع محمّلة بقوى لها مركبة في اتجاه العمودي على الصدفة (مثلًا الحمل P في الشكل 7 عند افتراض إزالة الحلقة)، فإنها لا تستطيع تحمّل هذه الأحمال بواسطة قوى الغشاء فقط. في مثل هذه الحالات تؤدي قوة القص وعزوم الانحناء (الشكل 8) دورًا أساسيًا في توزيع القوى في الصدفة، وهو ما يجب أخذه في الحسبان في الحساب الإنشائي.

س. 8

إن الحساب الدقيق لانحناء الغلاف، باستثناء الحالة الخاصة الأبسط جدًا للغلاف الأسطواني، يُعد مهمة شديدة الصعوبة. وبالنسبة إلى الألواح ذات الجدران الرقيقة يمكن إنشاء نظرية تقريبية بسيطة ونافعة جدًا تعتمد على حقيقة معروفة من النظرية الصارمة، وهي أن الإجهادات الناتجة عن الانحناء تتركز في منطقة ضيقة نسبيًا قرب الحافة وتتناقص سريعًا مع ازدياد المسافة عنها. ويتيح ذلك إهمال عدد كبير من الحدود في المعادلة التفاضلية الدقيقة، فتأخذ هذه صيغة مبسطة.

إذا استُبدلت القيمة المتغيرة داخل المنطقة الحدّية، وهي القيمة المهمة وحدها κ، بالقيمة المتوسطة، وهذا ممكن تقريبًا دائمًا، فإن حل المعادلة هو

المعادلتان 4 و 5

حيث إن a1, b1, a2, b2 ثوابت تكامل. وبما أن الحل يهم فقط بالقرب من الحافة φ=φ0، فمن الملائم إدخال البعد الزاوي ω=φ0-φ أو ω=φ-φ0 عن هذه الحافة كإحداثي، وبالتحويل من الحل المذكور أعلاه نحصل على التعبير الآخر المذكور. وهنا تظهر فقط ثابتا تكامل A, B أو C, ψ، لأن الجزء الآخر من الحل الذي يتضمن العامل eκω، وبالتالي لا يتناقص مع ازدياد ω، يمكن استبعاده من الاعتبار.

وبناءً على المعادلة 5 تُستخلص القيم التالية لقوى القص وللدوران κ لمماس خط الزوال:

إجهادات الانحناء في الخزانات ذات الشكل الأسطواني الدائري

لنفترض أن خزانًا أسطوانيًا ارتفاعه h مملوء بالماء (شكل 9). عندئذٍ يكون ضغط الماء على ارتفاع x فوق الخزانين p=γ(h-x). وإذا قُطع من الخزان عند هذا الارتفاع، وبمقطعين أفقيين تفصل بينهما مسافة dx، حلقةٌ تُقسم هذه الحلقة على طول أحد أقطارها إلى جزأين، فإن شرط الاتزان لأحدهما يعطي قوة الغشاء في الحلقة Nφ=pa. وإذا كانت سماكة الخزان في هذا الموضع t، فإن الاستطالة في الحلقة هي εφ=Nφ/Et وبالتالي فإن زيادة نصف قطر الخزان (الهبوط) هي

على الحافة السفلى x=0 يكون بالتالي

الشكل. 9

ولا هذا ولا ذاك يوافق، من حيث المبدأ، الشروط الحدّية، لأن تشوه الجدار مُنع بسبب اتصاله بقاع الخزان. وفي هذا الاتصال بين القاع وجدار الأسطوانة تظهر قوى القص المستعرضة Qx0 والعزوم Mx0 (الشكل 11), ويجب تحديد قيمها بحيث تُحدث، مع القوى الغشائية المحسوبة للتو في الغلاف، هذا التشوه عند حافة الغلاف الذي يسمح به القاع.

الشكل 10، 11، 12، على التوالي

في الشكل 11 يُعرض عنصر القشرة dx*a dφ مع القوى المؤثرة عليه. ويعطي شرط توازن القوى في اتجاه العمود على القشرة

dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,

ومن هنا، بالقسمة على dx dφ:

a Q’x + Nφ = p a.

من شرط أن تكون العزيمة حول المماس الأفقي للأسطوانة مساوية للصفر نحصل على:

dM/dx = M’x = Qx

وبحذف القوة المستعرضة Qx من هاتين المعادلتين ينتج

a M’’x + Nφ = p a.

المعادلة 6

في هذه المعادلة يمكن التعبير عن هذه القوى المقطعية المجهولة بدلالة الهبوط w. وبالنسبة إلى Nφ فقد وُجد سابقًا Nφ=Etw/a, كما أن العزم يتناسب مع انحناء المولد w’’، أي Mx=Kw’’, حيث إن K=Et3/12(1-μ2)، كما في الصفائح، هي صلابة الغلاف، التي قد تكون متغيرة مع x. وإذا أُدرجت هذه التعابير للقوى المتوسطة في المعادلة (6), نحصل على المعادلة التفاضلية لنظرية الخزانات:

لخزان تكون سماكة جداره ثابتة يكون الحل كما يلي:

Eq. 7

حيث إن λ4=3(1-μ2)/a2t2. وإذا كانت λh كبيرة (لنقل، أكبر من 3), فيكون من الأنسب استخدام الدوال الأسية بدلًا من الدوال الزائدية، وعندئذ يكون:

Eq. 8

عندئذ يمكن تحديد الثوابت A1، B1 بصورة مستقلة عن بعضها البعض من شروط الحد عند الحافة السفلية، والثوابت A2، B2 من شروط الحد عند الحافة العلوية، وعادةً ما ينتج A2=B2=0. وبالاعتماد على المعادلتين (8) و(7) تُستخرج قوى القص، عندما يُجرى الحساب بالاتجاه المعاكس وتُدرج في كل مكان المعادلة (8) و(7); وهكذا مثلًا بالنسبة إلى A2=B2=0:

عندما تكون جدران الخزان مثبتة تثبيتًا صلبًا في اللوح، وعندما تكون قاعدة الخزان سميكة بما يكفي لاعتبارها صلبة، يجب تحديد الثوابت A1, B1 من الشروط أن x=0، w=0 و w’=0، فنحصل على:

إذا كانت قاع الخزان لوحة مرنة أو غلافًا، فيجب تحديد القوى العرضية Qx والعزوم Mx على طول الدائرة الحديّة بين القاع وجدار الأسطوانة باستخدام طرائق نظرية الأنظمة غير المحددة استاتيكيًا، وذلك على أساس الشرط القاضي بأن تكون Mx و w’ للقسمين متساويتين.