Yo rele kokiy eleman sipò sifas yo, kote sifas mwayen yo pa plat, men yo genyen yon koub ki klèman bombé. Konpòtman estatik yo diferan anpil de sa yon plak montre. Lè yo gen yon fòm ki apwopriye, kontrent yo pi piti anpil, rijidite yo pi gwo nan mezi ki koresponn lan, epi kalkil la nan pifò ka yo pi senp.
Estrès chak koki ka dekonpoze an de pati: estrès manbràn ak fleksyon. Estrès manbràn yo, menm jan ak estrès nan yon plak ki chaje nan pwòp plan li, ka eksprime avèk fòs seksyon nan plan tanjansyèl la – sa yo se, pa egzanp, nan seksyon x=const., fòs nòmal _Nx=_σx*t ak fòs sizo _Nxy=_τxy*t, kote t se epesè koki a. Estrès akòz fleksyon yo menm jan ak sa yo ki nan plak yo epi yo ka reprezante pa moman fleksyon Mx, moman tòsyon Mxy ak fòs sizo Qx.
Karakteristik enpòtan koki yo baze sou lefèt ke, kòm règ, estrès akòz fleksyon pa gen ni grandè ni enpòtans estrès manbràn yo, konsa yo ka souvan neglije nèt. Nan ka sa a, tout estrès yo distribye inifòmman sou epesè koki a epi yo aji tanjansyèlman sou sifas mwayen an. Kalkil ki baze sou sipozisyon sa yo antre nan kad teyori manbràn koki yo.
Teyori manbràn kokiy rotasyon senmetrik anba chajman rotasyon senmetrik
Modèl jeneral yo
Pou liy kowòdone yo, yo pran meridyen yo ak sèk paralèl yo nan sifas mwayen koki a, kidonk kowòdone yo se: azimit ϑ (“longitid jeyografik”) ak pant φ tangen an sou meridyen an parapò ak plan ki pèpandikilè ak aks simetri a (fig. 1a). Kidonk, fòs entèseksyon yo se: fòs nòmal Nφ nan direksyon meridyen an ak fòs nòmal Nϑ nan direksyon bag la (fig. 1b). Fòs taye Nφϑ pa parèt nan ka tansyon ki simetrik sou plan wotasyon. Chaj pou chak inite sifas la make jan sa a (fig. 1b): Y tanzant sou meridyen an, pozitif nan direksyon kote φ ap ogmante, Z nòmal sou koki a, pozitif vè aks simetri a.
Figi 1
Fig. 2
Ann pran reyon koub meridyen an r1. Li se yon fonksyon ang φ la, kidonk fòm meridyen an detèmine pa ekwasyon r1=r1(__φ). Sa a ka konsidere kòm ekwasyon meridyen an epi li ekri, pa egzanp.
pou sèk la r1=a=const.
pou parabòl la r1=a/cos3__φ
pou elips la r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Pou kalkile fòs nòmal N__φ nan direksyon meridyen an, fòk nou poze kondisyon ekilib pou pati kokiy la ki chita anwo sèk paralèl φ a (fig. 2). Rezilta R chaj Y ak Z ki aji sou pati sa a vètikal, poutèt simetri a. Yo jwenn grandè li lè yo entegre sou sifas kokiy la depi φ’=0 rive φ’=φ. Sifas eleman kokiy la se dF=r1d__φ’*rd__ϑ, donk konpozan vètikal chaj la se (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Pou tout pati bag ki nan kokiy la ki chita ant sèk φ’ ak φ’+dφ’, rezilta chaj ekstèn lan se:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
kote, lè yo entegre sou φ’ pou pati kokiy la ki chita anlè sèk paralèl φ’=φ, nou jwenn:
Eq. 1
Chaj sa a resevwa pa fòs nòmal yo nan direksyon meridyen an, ki aji sou sikonferans sèk ki obsève a; konpozan vètikal rezilta fòs sa yo se 2__πr * N__φ sin__φ, konsa, lè yo egalize sa yo, yo jwenn fòs nòmal ki chache a
Eq. 2
Si koki a koupe nan pati anlè a sou sikonferans φ=φ0 a (pa egzanp, yon ouvèti pou limyè nan yon dòm), limit anba entegal la se, natirèlman, φ0, epi non pa zewo. Si sou rebò koki ki fòme nan fason sa a aji tou chaj R0, sa a dwe ajoute tou ak rezilta R a (fig. 3).
Fig. 3
Pou detèmine fòs nòmal N__ϑ a, fòk yo mete kondisyon ekilib pou eleman kokiy la pèpandikilè ak plan tangansyèl la (fig. 4). Reziltan chaj ekstèn lan nan direksyon sa a egal a Z r1 d__φ r d__ϑ. Fòs N__φ*r d__ϑ ki chita nan plan meridyen an fòme yon ti ang d__φ youn ak lòt, kidonk reziltan yo nan direksyon nòmal sou kokiy la se N__φ r d__ϑ*dφ. Menm jan an tou, fòs Nϑ r1 dφ ki chita nan plan sèk orizontal la epi ki fòme ant yo yon ang dϑ gen reziltan Nϑ r1 dφ*dϑ ki chita tou nan plan sèk orizontal la epi kidonk li fòme ak nòmal sou kokiy la ang 0,5_π-φ_, konsa se sèlman konpozan li Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ ki antre nan kondisyon ekilib la. Se poutèt sa, kondisyon ekilib la se
oswa, lè yo divize l pa r r1 dϑ dφ:
Youn.3
Isit la, r2=r/sinφ make dezyèm gwo reyon koub koki a.
Fig. 4
Dòm sikilè
Lè fòm meridyen an bay analitikman pa ekwasyon r1=r1(φ) epi lè yo bay ekspresyon analitik pou chay yo Y(φ) ak Z(φ) , fòs seksyon nan koki a ka toujou detèmine pa entegrasyon an fòm fèmen oswa numarikman, lè nou itilize règ Simpson- an. Pou yon koupòl sikilè dyamèt a, anba a yo bay fòs seksyon pou kèk ka chajman:
Dènye modèl la, ki pou φ=0 bay gwo fòs seksyon ki enfini, aplike sèlman apre yon sèten distans de pwen kote fòs la aji. Nan zòn ki tou pre kote fòs la aplike a, menm lè li distribye sou sifas yon sèk ki gen dyamèt fini men piti, chaj la sitou transmèt pa fleksyon.
Fòm pou kokiy ki ouvri nan pati anwo a ka sòti nan sa ki anvan yo, si sou chaj reyèl la yo ajoute yon chaj fiktif P nan somè a, kote valè li detèmine konsa: si fòs nòmal total nan direksyon meridyen ki aji sou rebò anwo kokiy la φ=φ0 egal Nφ=0, oswa si li egal ak yon valè ki detèmine pa fòs ekstèn kokiy la resevwa isit la.
Kokiy konik
Fig. 5
Nan ka kokiy konik la, pant meridyen an φ pa ka sèvi kòm kowòdone, paske li gen menm valè nan tout pwen yo. Olye de sa, yo entwodui distans s soti nan somè dòm nan, mezire sou liy jeneratris la (fig. 5). Fòs nòmal nan direksyon meridyen an make kòmsadwa pa Ns. Fòmil ki nesesè yo ka jwenn nan sa yo ki bay anba 1 lè yo fè pasaj limit la. Soti nan ekwasyon (2) la, yo jwenn nan fason sa a
epi nan ekwasyon (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Pou ka chajman ki pi enpòtan yo, fòmil sa yo aplike:
Pwosedi grafik pou nenpòt fòm meridyen an
Fig. 6
Lè koub meridyen an pa bay pa yon ekspresyon analitik, men, pa egzanp, grafikman, detèmine reyon koub la twò difisil epi twò pa presi. Nan ka sa a, li pi pratik pou sèvi ak metòd grafik la (sl. 6).
Lè yo divize kokiy la ak yon pi gwo kantite plan φ=const., yo kalkile chay Δ_R_ nan zòn anoulè ki chita ant plan yo, epi li pi bon pou divize yo touswit pa 2_π_. Fòs sa yo ΔR/2π yo plase nan plan fòs la (fig. 6b). Si apre sa, pa egzanp, yo trase yon liy paralèl ak tanjan meridyen an nan pwen meridyen 7 la atravè pwen divizyon 7, liy orizontal ki pase nan pwen siperyè plan fòs la ap koupe sou li yon longè R1/2π sinφ7; apati sa, sou baz ekwasyon (2) la, lè yo divize pa r ki apwopriye a, yo jwenn fòs nòmal ki koresponn lan nan direksyon meridyen an.
Pou detèmine fòs nan bag yo, yo sèvi ak kondisyon ekilib fòs orizontal yo sou yon eleman koki. Si sèlman chaj vètikal yo aji, kondisyon sa a di konsa (sl. 4):
Lè isit la yo ranplase dφ ak yon diferans fini Δφ, ki koresponn ak divizyon yo adopte pou koki a, epi lè yo mete olye de r1 dφ longè Δs eleman meridyen an, apati sa a yo jwenn
Nan parantèz ki sou bò dwat la, gen seksyon an sou liy orizontal la nan plan fòs la. Konsa, tout bò dwat la reprezante seksyon ki genyen ant pwen gradasyon yo sou liy sa a. Pou nou ka li yo avèk ase presizyon, fòk plan fòs la trase ak anpil swen epi nan yon echèl ase gwo.
Bag ki an tansyon ak an konpresyon
Chak koki ki simetrik an wotasyon limite ak youn oswa de sèk orizontal (fig. 7). Sou reb sa yo, an prensip, li ka pran sèlman chaj ak reyaksyon sipò ki gen direksyon tanjant ak meridyen an. Si fòs ekstèn yo gen yon lòt direksyon, tankou chaj P ki soti nan pati anlè estrikti a oswa reyaksyon S nan fon rezèvwa ki montre nan fig. 97, fòs sa yo dwe, jan yo montre sou figi a, dekonpoze an konpozan nan direksyon sèk orizontal la ak tanjant meridyen an. Konpozan P/sinφ0 oswa S/sinφu a egal ak fòs nòmal nan direksyon meridyen an Nφ ki aji nan pwen sa a, tandiske pou resevwa fòs orizontal Pctgφ0 oswa Sctgφu a, li nesesè yon bag ki pran tansyon, oswa konpresyon, epi kote chaj radyal sa a pwovoke yon fòs nòmal + P r0 ctgφ0, oswa -S ru ctgφu. Bag konsa yo, apa reb koki a, dwe mete tou nan tout kote kote koub meridyen an gen yon chanjman angilè. Yo toujou lakòz yon deranjman nan eta estrès manbràn nan.
Fig. 7
Kontrent ki soti nan koube nan kokiy ki simetrik pa wotasyon
Fòmil teyori manbràn yo pa gen ase konstan entegrasyon pou yo ka satisfè tout kondisyon limit ki koresponn reyèlman ak travay ki poze a. Espesyalman nan kokiy ki simetrik pa wotasyon, li pa posib, ak kèk chwa apwopriye konstan entegrasyon, pou fè dilatasyon εϑ = Nϑ/Et nan direksyon bag la sou kwen kokiy la egal ak dilatasyon ki koresponn nan yon lòt pati konstriktif ki fiks byen sere ak li nan pwen sa a. Sa a valab tou pou kokiy kote, sou yon sèk orizontal, koub meridyen an, epesè kokiy la oswa chaj la pou chak inite sifas chanje bridsoukou. E menm lè kokiy la pa rèd ak yon bag sou youn nan kwen li yo, men li chaje nan plas sa a ak fòs ki gen yon konpozan nan direksyon nòmal ak kokiy la (pa egzanp chaj P sou fig. 7 lè nou imajine yo retire bag la), li pa ka pran chaj sa yo sèlman atravè fòs manbràn yo. Nan ka konsa, fòs sizo ak moman pliye yo (fig. 8) jwe yon wòl enpòtan nan repatisyon fòs yo nan kokiy la, sa ki dwe pran an konsiderasyon nan kalkil estatik la.
Fig. 8
Kalkil egzak yon koki sou fleksyon, eksepte nan ka espesyal ki pi senp lan, sa vle di koki silendrik la, se yon travay ki trè difisil. Pou koki ak mi mens, yo ka konstwi yon teyori apwoksimatif ki senp e trè itil, ki baze sou yon reyalite yo konnen nan teyori strik la, ke kontrent ki soti nan fleksyon an limite nan yon zòn relativman etwat bò kote kwen an epi yo diminye rapidman pandan distans ak kwen an ogmante. Sa pèmèt yo neglije yon gwo kantite tèm nan ekwasyon diferans egzak la, kidonk li pran yon fòm senplifye.
Si, nan zòn kwen an ki enteresan sèlman κ a, yo ranplase li pa valè mwayèn nan, epi sa prèske toujou posib, solisyon ekwasyon an se
Ekw. 4 ak 5
kote a1, b1, a2, b2 se konstan entegrasyon. Kòm solisyon an enteresan sèlman toupre rebò φ=φ0, li apwopriye pou nou prezante distans angilè a ω=φ0-φ oswa ω=φ-φ0 depi rebò sa a kòm yon kowòdone, epi pa transfòmasyon solisyon ki mansyone pi wo a nou jwenn dezyèm ekspresyon ki site a. Isit la sèlman de konstan entegrasyon A, B oswa C, ψ parèt, paske dezyèm pati solisyon an ki gen faktè eκω, epi donk ki pa diminye lè ω ap ogmante, ka retire nan konsiderasyon.
Sou baz ekwasyon 5 yo jwenn valè sa yo pou fòs transvèsal yo ak tòsyon κ tangant meridyen an:
Tansyon ki soti nan koube nan rezèvwa ki gen fòm silenn sikilè
Ann sipoze yon rezèvwa silendrik ki gen wotè h plen ak dlo (fig. 9), lè sa a, nan wotè x anwo de rezèvwa yo, presyon dlo a se p=γ(h-x). Si, nan wotè sa a, yo koupe yon bag nan rezèvwa a ak de sekyon orizontal ki separe pa yon distans dx. epi yo divize l sou longè yon dyamèt an de pati, kondisyon ekilib youn ladan yo bay fòs manbràn nan bag la Nφ=pa. Si epesè rezèvwa a nan plas sa a se t, dilatasyon nan bag la se εφ=Nφ/Et e donk ogmantasyon reyon rezèvwa a (fleksyon) se
Sou rebò anba a x=0 se kidonk
Fig. 9
Ni youn ni lòt, an jeneral, pa ann amoni ak kondisyon limit yo, paske deformation mi a anpeche akòz koneksyon li ak fon tank la. Nan koneksyon ant fon an ak mi silenn lan, fòs transversal Qx0 ak moman Mx0 (fig. 11) parèt, epi yo dwe detèmine grandè yo konsa pou ansanm ak fòs manbràn yo ki fèk kalkile nan kokiy la, yo lakòz deformation sa a sou rebò kokiy la ke fon an pèmèt.
Fig. 10, 11, 12, respektivman
Nan sl. 11 yo montre yon eleman kokiy dx*a dφ avèk fòs ki aji sou li yo. Kondisyon ekilib fòs nan direksyon nòmal ak kokiy la bay
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
de kote sa a, lè nou divize pa dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Soti nan kondisyon ke moman an ozalantou tanjant orizontal sou silenn lan egal a zewo, nou jwenn:
dM/dx = M’x = Qx
Lè nou elimine fòs transvèsal Qx nan de ekwasyon sa yo, nou jwenn
a M’’x + Nφ = p a.
Eq. 6
Nan ekwasyon sa a, fòs enteryè ki pa konnen sa yo ka eksprime atravè deplasman w. Pou Nφ deja jwenn Nφ=Etw/a, epi moman an pwopòsyonèl ak kourb meridyen an w’’, sètadi Mx=Kw’’, kote, menm jan ak pou plak yo, K=Et3/12(1-μ2) se rijidite koki a, ki ka varye ak x. Si yo mete ekspresyon sa yo pou fòs mwayen yo nan ekwasyon an (6), yo jwenn ekwasyon diferansyèl teyori rezèvwa a:
Pou yon rezèvwa ki gen epesè miray li pa chanje, solisyon an se:
Youn.7
kote λ4=3(1-μ2)/a2t2. Si λh a gwo (pa egzanp, pi gwo pase 3), li pi pratik pou entwodui fonksyon eksponansyèl olye de fonksyon ipèbolik yo, epi konsa:
Youn.8
Lè sa a, yo ka detèmine endepandamman youn de lòt konstan A1, B1 yo soti nan kondisyon limit yo sou bò anba a, epi konstan A2, B2 yo soti nan kondisyon limit yo sou bò anlè a; kòm règ, yo jwenn A2=B2=0. Sou baz ekwasyon (8) ak (7) yo jwenn fòs sikiz yo, lè kalkil la fèt nan sans opoze a epi ekwasyon (8) ak (7) a antre tout kote; konsa, pa egzanp, pou A2=B2=0:
Lè mi rezèvwa yo ankrase rigidman nan plak la, sou fon rezèvwa a ki ase epè pou yo ka konsidere l kòm rigid, yo dwe detèmine konstan A1, B1 yo nan kondisyon ke x=0, w=0 ak w’=0 epi yo jwenn:
Si fon rezèvwa a se yon plak elastik oswa yon kokiy, fòs transvèsal yo Qx ak moman yo Mx sou sikonferans kwen an ant fon an ak miray silenn lan dwe detèmine pa metòd teyori sistèm statikman endeterminasyon yo, sou baz egzijans pou Mx ak w’ pou tou de pati yo gen menm valè a.