Абалонкамі называюць паверхневыя нясучыя элементы, чыя сярэдняя паверхня не плоская, а прыкметна выпуклая. Іх статычная паводзіны істотна адхіляецца ад паводзін пліты. Калі яны маюць адпаведную форму, іх напружанні значна меншыя, іх жорсткасць у адпаведнай ступені большая, а разлік у большасці выпадкаў прасцейшы.
Напружанне кожнай абалонкі можна раскласці на дзве часткі: мембраннае напружанне і выгіб. Мембранныя напружанні, падобна да напружанняў у пліце, загружанай у сваёй плоскасці, могуць быць выражаны праз перасекаючыя сілы ў датычнай плоскасці — гэта, напрыклад, у сячэнні x=const. нармальная сіла _Nx=_σx*t і зрухальная сіла _Nxy=_τxy*t, дзе t — таўшчыня абалонкі. Напружанні ад выгібу такія ж, як і ў плітах, і могуць быць прадстаўлены выгібнымі момантамі Mx, круцільнымі момантамі Mxy і зрухальнымі сіламі Qx.
Важныя ўласцівасці абалонак грунтуюцца на тым, што, як правіла, напружанні ад выгібу не маюць ні велічыні, ні значэння мембранных напружанняў, так што іх часта можна цалкам ігнараваць. У такім выпадку ўсе напружанні раўнамерна размеркаваны па таўшчыні абалонкі і дзейнічаюць датычна да сярэдняй паверхні. Разлікі, што грунтуюцца на гэтых дапушчэннях, уваходзяць у межы мембраннай тэорыі абалонак.
Мембранная тэорыя ратацыйна сіметрычных абалонак пад ратацыйна сіметрычнай нагрузкай
Агульныя формы
За каардынатныя лініі прымаюцца мерыдыяны і паралельныя колы на сярэдняй паверхні абалонкі, таму каардынаты: азімут ϑ («геаграфічная даўгата») і нахіл φ датычнай да мерыдыяна адносна плоскасці, перпендыкулярнай восі сіметрыі (сл. 1a). Адпаведна, перасячальныя сілы: нармальная сіла Nφ у напрамку мерыдыяна і нармальная сіла Nϑ у кольцы (сл. 1b). Зрухальныя сілы Nφϑ не ўзнікаюць пры ратацыйна-сіметрычным напружанні. Нагрузка на адзінку паверхні абазначаецца наступным чынам (сл. 1b): Y датычна да мерыдыяна, станоўчая ў напрамку, у якім φ павялічваецца, Z перпендыкулярна да абалонкі, станоўчая ў бок восі сіметрыі.
Мал. 1
Мал. 2
Няхай радыус крывізны мерыдыяна r1. Ён з’яўляецца функцыяй вугла φ, таму раўнаннем _r1=r1(_φ) вызначаецца форма мерыдыяна. Гэта можна лічыць раўнаннем мерыдыяна, якое мае выгляд, напр.
для круга r1=a=const.
для парабалы r1=a/cos3__φ
для эліпса r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Для разліку нармальнай сілы N__φ у напрамку мерыдыяна трэба задаць умову раўнавагі часткі абалонкі, якая ляжыць вышэй за паралельнае кола φ (рыс. 2). Раўнадзейная R нагрузак Y і Z, што дзейнічаюць на гэтую частку, з’яўляецца вертыкальнай з прычыны сіметрыі. Яе велічыня вызначаецца інтэграваннем па паверхні абалонкі ад φ’=0 да φ’=φ. Плошча элемента абалонкі роўная dF=r1d__φ’*rd__ϑ, таму вертыкальная складовая нагрузкі (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Для ўсёй кальцавой часткі абалонкі, якая ляжыць паміж коламі φ’ і φ’+dφ’, раўнадзейная знешняй нагрузкі роўная:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
адкуль шляхам інтэгравання па φ’ для часткі абалонкі, якая ляжыць вышэй паралельнага круга φ’=φ, атрымліваецца:
Раўн. 1
Гэтае нагрузжанне ўспрымаюць нармальныя сілы ў напрамку мерыдыяна, якія дзейнічаюць па акружнасці заўважанага круга; вертыкальная кампанента раўнадзейнай гэтых сіл — 2__πr * N__φ sin__φ, таму шляхам прыраўноўвання адсюль атрымліваецца шуканая нармальная сіла
Раўн. 2
Калі абалонка ў верхняй частцы выразана па крузе φ=φ0 (напрыклад, праём для асвятлення ў купале), ніжняя мяжа інтэграла, зразумела, φ0, а не нуль. Калі на краі абалонкі, якая ўтварылася такім чынам, дзейнічае таксама нагрузка R0, яе таксама трэба дадаць да раўнадзейнай R (рыс. 3).
Мал. 3
Для вызначэння нармальнай сілы N__ϑ трэба паставіць умову раўнавагі элемента абалонкі перпендыкулярна да датычнай плоскасці (сл. 4). Рэзанант знешняй нагрузкі ў гэтым напрамку складае Z r1 d__φ r d__ϑ. Сілы N__φ*r d__ϑ, якія ляжаць у мерыдыянальнай плоскасці, утвараюць паміж сабой малы вугал d__φ, таму іх рэзультанта ў напрамку нармалі да абалонкі роўная N__φ r d__ϑ*dφ. Аналагічна і сілы Nϑ r1 dφ, якія ляжаць у плоскасці гарызантальнага круга і ўтвараюць паміж сабой вугал dϑ, маюць рэзультанту Nϑ r1 dφ*dϑ, якая таксама ляжыць у плоскасці гарызантальнага круга і, такім чынам, з нармаллю да абалонкі ўтварае вугал 0,5_π-φ_, так што ва ўмову раўнавагі ўваходзіць толькі іх кампанента Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. Умова раўнавагі, такім чынам, мае выгляд
ці, калі падзяліць на r r1 dϑ dφ:
Eq. 3
Тут пад r2=r/sinφ абазначаны другі галоўны радыус крывізны абалонкі.
Мал. 4
Круглы купал
Калі форма мерыдыяна аналітычна зададзена раўнаннем r1=r1(φ) і калі для нагрузак Y(φ) і Z(φ) зададзены аналітычныя выразы, папярочныя сілы ў абалонцы можна заўсёды вызначыць інтэграваннем у замкнёным выглядзе або лікава, выкарыстоўваючы правіла Сімпсана. Для круглай купалы дыяметра a ніжэй прыводзяцца папярочныя сілы для некаторых выпадкаў нагрузкі:
Апошняя формула, якая для φ=0 дае бясконца вялікія папярочныя сілы, дзейнічае толькі на пэўнай адлегласці ад пункта прыкладання сілы. У непасрэднай блізкасці да месца, дзе дзейнічае сіла, нават калі яна размеркавана па паверхні круга канчатковага, але малога дыяметра, нагрузка перадаецца пераважна згінаннем.
Формы для абалонак, адкрытых уверсе, можна атрымаць з папярэдніх, калі да рэальнага нагрузжання дадаць фіктыўную нагрузку P у вяршыні, велічыня якой вызначаецца так: калі агульная нармальная сіла ў напрамку мерыдыяна, што дзейнічае на верхнім краі абалонкі φ=φ0 складае Nφ=0, або роўная некаторай велічыні, вызначанай знешнімі сіламі, якія абалонка тут успрымае.
Конусная абалонка
Мал. 5
У канічнай абалонцы нахіл мерыдыяна φ нельга выкарыстоўваць як каардынату, бо ён мае ва ўсіх пунктах аднолькавае значэнне. Замест яго ўводзіцца адлегласць s ад вяршыні купала, вымераная ўздоўж утваральнай (мал. 5). Нармальная сіла ў кірунку мерыдыяна адпаведна абазначаецца Ns. Патрэбныя формулы можна атрымаць з прыведзеных пад 1, калі выканаць гранічны пераход. З раўнання (2) такім чынам атрымліваецца
а з раўнання (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Для найважнейшых выпадкаў нагрузкі дзейнічаюць наступныя схемы:
Графічны спосаб для адвольнай формы мерыдыяна
Мал. 6
Калі крывая мерыдыяна не зададзена аналітычным выразам, а, скажам, графічна, вызначэнне радыуса крывізны занадта цяжкае і занадта неўладкаванае. У такім выпадку зручней скарыстацца графічным спосабам (мал. 6).
Абалонку разбіваюць вялікай колькасцю плоскасцей φ=const., вылічваюць вагі Δ_R_ кальцавых зон, што ляжаць паміж гэтымі плоскасцямі, і лепш адразу падзяліць іх на 2_π_. Гэтыя сілы ΔR/2π наносяць на план сіл (рыс. 6b). Калі затым, напрыклад, праз падзельную кропку 7 правесці прамую, паралельную датычнай да мерыдыяна ў кропцы мерыдыяна 7, гарызанталь праз верхнюю кропку плана сіл перасячэ на ёй адрэзак даўжынёй R1/2π sinφ7, з якога на падставе ўраўнення (2) падзелам на адпаведны r атрымліваюць адпаведную нармальную сілу ў кірунку мерыдыяна.
Для вызначэння сіл у кольцах служыць умова раўнавагі гарызантальных сіл на адным элеменце абалонкі. Калі дзейнічаюць толькі вертыкальныя нагрузкі, гэтая ўмова мае выгляд (рыс. 4):
Калі тут dφ замяніць канчатковай розніцай Δφ, якая адпавядае прынятаму падзелу абалонкі, і калі замест r1 dφ падставіць даўжыню Δs элемента мерыдыяна, адсюль атрымліваецца
У дужцы справа знаходзіцца адсячэнне на гарызантальнай прамой у плане сіл. Уся правая частка, такім чынам, прадстаўляе адрэзкі паміж падзельнымі кропкамі на гэтай прамой. Каб іх можна было дастаткова дакладна прачытаць, план сіл трэба выконваць уважліва і ў дастаткова вялікім маштабе.
Расцягнутыя і сціснутыя кольцы
Кожная ратацыйна-сіметрычная абалонка абмежавана адным або двума гарызантальнымі коламі (рыс. 7). На гэтых краях яна можа ў прынцыпе ўспрымаць толькі такія нагрузкі і рэакцыі апор, якія маюць кірунак датычнай да мерыдыяна. Калі знешнія сілы маюць іншы кірунак, напрыклад нагрузка P ад верхняй часткі канструкцыі або рэакцыя S дна рэзервуара, паказанага на рыс. 97, гэтыя сілы неабходна, як паказана на малюнку, разлажыць на складнікі ў кірунку гарызантальнага кола і датычнай да мерыдыяна. Складнік P/sinφ0 або S/sinφu роўны нармальнай сіле ў кірунку мерыдыяна Nφ, якая дзейнічае ў гэтым месцы, а для ўспрымання гарызантальнай сілы Pctgφ0 або Sctgφu патрэбнае кольца, якое ўспрымае расцяжэнне, адп. ціск, і ў якім гэта радыяльнае нагрузжанне выклікае нармальную сілу + P r0 ctgφ0, адп. -S ru ctgφu. Такія кольцы, акрамя краёў абалонкі, павінны быць устаноўлены і ва ўсіх тых месцах, дзе крывая мерыдыяна мае пералом. Яны заўсёды выклікаюць парушэнне мембраннага стану напружання.
Мал. 7
Напружанні, выкліканыя згінаннем у ратацыйна сіметрычных абалонках
Формулы мембраннай тэорыі не ўтрымліваюць дастатковай колькасці інтэграцыйных канстантаў, каб можна было задаволіць усе граничныя ўмовы, якія сапраўды адпавядаюць пастаўленай задачы. Асабліва ў выпадку абалонак ратацыйнай сіметрыі немагчыма нейкім прыдатным выбарам інтэграцыйных канстантаў дасягнуць таго, каб дэфармацыя εϑ = Nϑ/Et у кірунку кальца ўздоўж краю абалонкі была роўная адпаведнай дэфармацыі нейкай іншай канструктыўнай часткі, якая ў гэтым месцы жорстка з ёй злучана. Гэта ж адносіцца і да абалонак, у якіх уздоўж аднаго гарызантальнага кола скачкападобна змяняюцца крывізна мерыдыяна, таўшчыня абалонкі або нагрузка на адзінку плошчы. І калі абалонка ўздоўж нейкага краю не ўмацавана кальцом, але ў гэтым месцы нагружана сіламі, якія маюць складнік у кірунку нармалі да абалонкі (напрыклад, нагрузка P на мал. 7, калі ўявіць, што кальцо выдалена), яна не можа ўспрымаць такія нагрузкі толькі праз мембранныя сілы. У такіх выпадках зрухальная сіла і моманты выгібу (мал. 8) адыгрываюць істотную ролю ў размеркаванні сіл у абалонцы, што ў статычным разліку неабходна ўлічваць.
Сл. 8
Дакладны разлік абалонкі на выгіб, за выключэннем найпрасцейшага прыватнага выпадку цыліндрычнай абалонкі, з’яўляецца вельмі складанай задачай. Для абалонак з тонкімі сценкамі можна распрацаваць простую і вельмі карысную набліжаную тэорыю, якая абапіраецца на вядомы са строгае тэорыі факт, што напружанні ад выгібу абмяжоўваюцца адносна вузкай зонай каля краю і хутка змяншаюцца з павелічэннем адлегласці ад краю. Гэта дазваляе занядбаць вялікай колькасцю членаў у дакладным дыферэнцыяльным раўнанні, і яно набывае спрашчаны выгляд.
Калі ва ўрадавым слоі, які толькі і мае значэнне κ, яго замяніць сярэднім значэннем, а гэта амаль заўсёды магчыма, рашэнне ўраўнення ёсць
Адн. 4 і 5
дзе a1, b1, a2, b2 — канстанты інтэгравання. Паколькі рашэнне цікавае толькі ў ваколіцах краю φ=φ0, зручна ўвесці вуглавое адлегласць ω=φ0-φ або ω=φ-φ0 ад гэтага краю як каардынату, пасля чаго пераўтварэннем вышэйпададзенага рашэння атрымліваецца другі згаданы выраз. Тут з’яўляюцца толькі дзве канстанты інтэгравання A, B або C, ψ, бо другая частка рашэння, якая змяшчае множнік eκω, і таму пры павелічэнні ω не змяншаецца, можа быць выключана з разгляду.
На падставе ўраўнення 5 атрымліваюцца наступныя значэнні для папярочных сіл і павароту κ датычнай мерыдыяна:
Напружанні ў выніку выгіну ў рэзервуарах формы круглага цыліндра
Няхай цыліндрычны рэзервуар вышынёй h запоўнены вадой (сл. 9), тады на вышыні x над двума рэзервуарамі ціск вады p=γ(h-x). Калі на гэтай вышыні з двух гарызантальных перасекаў на адлегласці dx. выразаць з рэзервуара кальцо і падзяліць яго ўздоўж аднаго дыяметра на дзве часткі, умова раўнавагі адной з іх дае мембранную сілу ў кальцы Nφ=pa. Калі таўшчыня рэзервуара ў гэтым месцы t, то дэфармацыя ў кальцы εφ=Nφ/Et, і, адпаведна, павелічэнне радыуса рэзервуара (прагін) роўнае
На ніжнім краі x=0, такім чынам,
Мал. 9
Ні адно, ні другое, як правіла, не адпавядае граничным умовам, бо дэфармацыя сцяны перашкаджаецца з-за сувязі з дном рэзервуара. Пры гэтым у месцы злучэння дна і сценкі цыліндра ўзнікаюць папярочныя сілы Qx0 і моманты Mx0 (сл. 11), велічыню якіх трэба так вызначыць, каб разам з толькі што разлічанымі мембраннымі сіламі ў абалонцы яны выклікалі гэту дэфармацыю на краі абалонкі, якую дапускае дно.
Рыс. 10, 11, 12, адпаведна
На рыс. 11 паказаны элемент абалонкі dx*a dφ з сіламі, якія на яго дзейнічаюць. Умова раўнавагі сіл у напрамку нармалі да абалонкі дае
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
адкуль пасля дзялення на dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
З умовы, што момант вакол гарызантальнай дотыку да цыліндра роўны нулю, атрымліваецца:
dM/dx = M’x = Qx
Пры выключэнні папярочнай сілы Qx з гэтых двух раўнанняў вынікае
a M’’x + Nφ = p a.
Раўн. 6
У гэтым раўнанні гэтыя невядомыя папярочныя сілы можна выразіць праз прагін w. Для Nφ ужо знойдзена Nφ=Etw/a, а момант прапарцыйны крывізне мерыдыяна w’’, г. зн. Mx=Kw’’, прычым, як і для пліт, K=Et3/12(1-μ2) — калянасць абалонкі, якая можа змяняцца з x. Калі гэтыя выразы для сярэдніх сіл падставіць у раўнанне (6), атрымліваецца дыферэнцыяльнае раўнанне тэорыі рэзервуара:
Для рэзервуара, чыя таўшчыня сценкі нязменная, рашэнне гучыць так:
Eq. 7
дзе λ4=3(1-μ2)/a2t2. Калі λh вялікае (скажам, больш за 3), зручней замест гіпербалічных функцый увесці экспаненцыяльныя, таму:
Eq. 8
Тады можна незалежна адна ад адной вызначыць канстанты A1, B1 з граничных умоў на ніжнім, а канстанты A2, B2 з граничных умоў на верхнім краі, прычым па звычайнаму атрымліваецца A2=B2=0. На падставе раўнання (8) і (7) атрымліваюцца папярочныя сілы, калі разлік весці ў зваротным кірунку і ўсюды ўвесці раўнанне (8) і (7); так, напрыклад, для A2=B2=0:
Калі сценкі рэзервуара жорстка заціснутыя ў пліту, на дне рэзервуара, якое дастаткова тоўстае, каб лічыцца жорсткім, канстанты A1, B1 трэба вызначыць з умоў, што x=0, w=0 і w’=0, пасля чаго атрымліваецца:
Калі дно рэзервуара з’яўляецца эластычнай плітой або абалонкай, папярочныя сілы Qx і моманты Mx уздоўж краявога круга паміж дном і сценкай цыліндра трэба вызначаць метадамі тэорыі статычна невызначальных сістэм на аснове патрабавання, каб Mx і w’ для абедзвюх частак мелі аднолькавае значэнне.