د ارتجاعیت تیوري - پوښونه

شیلونو ته سطحې وړونکي ویل کېږي، چې منځنۍ سطحه یې همواره نه وي بلکې په څرګند ډول برامده وي. د هغوی استاتیک چلند د تختې له چلند څخه په څرګند ډول توپیر لري. کله چې مناسب شکل ولري، د هغوی تنش ډېر کم وي، کلکوالی یې په مناسب ډول زیات وي، او محاسبه یې په ډېرو مواردو کې ساده وي.

د هرې پوښ تنش په دوو برخو وېشل کېدای شي: غشایي تنش او کږېدل. غشایي تنشونه، لکه د هغه تختې تنشونه چې په خپله الوتکه کې پرې بار وارد شوی وي، د تماس په الوتکه کې د پرېکون د ځواکونو په وسیله څرګندېدای شي – لکه د بېلګې په ډول په x=const. مقطع کې عمودي ځواک _Nx=_σx*t او د پرې کولو ځواک _Nxy=_τxy*t، چېرې چې t د پوښ ضخامت دی. د کږېدو له امله تنشونه د تختو په څېر دي او د کږېدو مومینتونو Mx، د تاوولو مومینتونو Mxy او د پرې کولو ځواکونو Qx په وسیله ښودل کېدای شي.

د پوښونو مهمې ځانګړنې پر دې حقیقت ولاړې دي چې د قاعدې له مخې د کږېدو له امله تنشونه د غشایي تنشونو په اندازه او اهمیت نه لري، نو ډېر ځله په بشپړ ډول له پامه غورځول کېدای شي. په دې حالت کې ټول تنشونه د پوښ په ضخامت کې په یوشان ډول وېشل شوي وي او د منځنۍ سطحې سره مماسي عمل کوي. هغه محاسبې چې پر دې انګېرنو ولاړې وي، د پوښونو د غشایي تیورۍ په چوکاټ کې راځي.

د دوراني متقارنو پوټکو د څرخش-متقارن بار لاندې د غشا نظریه

عمومي فورمولونه

د مختصاتو د کرښو په توګه د پوښ د منځنۍ سطحې مریدیانونه او موازي کړۍ منل کېږي، نو مختصات دا دي: اېزیموت ϑ (“جغرافیایي اوږدوالی”) او د مریدیان پر لور د تانجنس کرښې تمایل φ د هغه سطحې په مقابل کې چې د تقارن له محور سره عمودي وي (شکل 1a). له همدې امله د پرېکون قواوې دا دي: نورمال ځواک Nφ د مریدیان په لور او نورمال ځواک Nϑ په کړۍ کې (شکل 1b). د برشي قواوو Nφϑ د دوراني متقارن تنش په حالت کې نه راڅرګندېږي. په هر واحد سطحه بار په لاندې ډول ښودل کېږي (شکل 1b): Y د مریدیان په لمس کې، مثبت په هغه لوري کې چې φ لوړېږي، Z د پوښ پر عمود، مثبت د تقارن محور ته.

سل.1

سل.2

فرض کړو چې د مېریدیان د قوس شعاع r1 ده. دا د زاویې φ تابع ده، نو د _r1=r1(_φ) معادله د مېریدیان بڼه ټاکي. دا د مېریدیان د معادلې په توګه ګڼل کېدای شي او مثلاً داسې لیکل کېږي.

د کړۍ لپاره                                       r1=a=const.

د پارابولا لپاره                                  r1=a/cos3__φ

د ellipse لپاره          r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2

د مېرېډیان په لوري د نورمال ځواک N__φ د محاسبې لپاره باید د هغه پوښۍ د برخې د توازن شرط وټاکل شي چې د موازي دایرې φ (انځور 2) پورته پرته ده. د دې برخې ته د متوجه شوو بارونو Y او Z برآیند R د تقارن له امله عمودي دی. د هغه اندازه د پوښۍ په سطحه د φ’=0 څخه تر φ’=φ پورې د انتګراسیون له لارې ترلاسه کېږي. د پوښۍ د عنصر سطحه dF=r1d__φ’*rd__ϑ ده، نو د بار عمودي برخه (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF کېږي. د ټول کړۍ‌يي برخې لپاره چې د φ’ او φ’+dφ’ تر منځ پرته ده، د بهرنۍ بارونې برآیند دا دی:

dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,

له دې ځایه، د φ’ په نسبت د هغې پوښۍ د برخې لپاره چې د موازي کړۍ φ’=φ پورته پرته ده، د انتګرال اخیستلو په وسیله ترلاسه کېږي:

معادله 1

دا بار د مېریدیان په لوري نورمال قوتونه اخلي، چې د لیدل شوي کړۍ پر محیط عمل کوي؛ د دغو قوتونو د حاصل عمودي برخه 2__πr * N__φ sin__φ, ده، نو د برابروالي له لارې له دې ځایه غوښتل شوی نورمال ځواک تر لاسه کېږي

معادله 2

که خولۍ په پورني برخه کې د φ=φ0 دایرې تر کرښې لاندې پرې کړل شي (لکه د ګنبد د رڼا لپاره پرانیسته)، د انتګرال ښکته حد، لکه څنګه چې څرګنده ده، φ0 دی، نه صفر. که د دې ډول رامنځته شوې خولۍ په څنډه کې R0 بار هم عمل کوي، نو هغه باید د پایلې R (شکل 3) ته هم ورزیات شي.

سل.3

د نورمال ځواک N__ϑ د ټاکلو لپاره باید د پوښ د عنصر د تعادل شرط د تنګیسي سطحې پر عمود وټاکل شي (شکل 4). په دې لوري کې د بهرنۍ بارونې نتیجه Z r1 d__φ r d__ϑ ده. هغه ځواکونه N__φ*r d__ϑ چې په مېریډیاني سطحه کې پراته دي، له یو بل سره کوچنی زاویه d__φ جوړوي، نو د پوښ د نورمال په لوري یې نتیجه N__φ r d__ϑ*dφ ده. همدارنګه هغه ځواکونه Nϑ r1 dφ چې د افقي کړۍ په سطحه کې پراته دي او تر منځ dϑ زاویه جوړوي، داسې نتیجه Nϑ r1 dφ*dϑ لري چې دا هم د افقي کړۍ په سطحه کې پرته ده او له همدې امله له د پوښ له نورمال سره 0,5_π-φ_ زاویه جوړوي، نو د تعادل په شرط کې یوازې د هغې برخه Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ داخلېږي. له دې امله د تعادل شرط داسې دی

یا، کله چې په r r1 dϑ dφ وویشل شي:

یو.3

دلته r2=r/sinφ د پوښ د انحناء دوهم اصلي نیم‌قطر ښودل شوی دی.

سل.4

ګرد ګنبد

کله چې د مرېدین بڼه په تحلیلي ډول د r1=r1(φ) معادلې په وسیله ورکړل شوې وي او د Y(φ) او Z(φ) بارونو لپاره تحلیلي څرګندونې ورکړل شوې وي، نو په شیل کې مقطعي ځواکونه تل د تړلي بڼې په انتګراسیون سره یا عددي ډول، د Simpson- قاعدې په کارولو، ټاکل کېدای شي. د a قطر لرونکې ګردې ګنبد لپاره په لاندې کې د ځینو بارونې حالاتو لپاره مقطعي ځواکونه ښودل شوي دي:

وروستۍ بڼه، چې د φ=0 لپاره بې‌پایه لوی مقطعي قواوې ورکوي، یوازې د قوې د اغېز له ټکي څخه په یو ټاکلي واټن کې اعتبار لري. د هغه ځای په نږدې شاوخوا کې چې قوه عمل کوي، حتی که هغه د یوې دایرې په سطحه کې د یوې ټاکلې خو کوچنۍ قطر په اوږدو کې وویشل شوې هم وي، بار په عمده توګه د خمېدو له لارې لېږدول کېږي.

د هغو شیلونو بڼې چې پورته پرانیستې وي له مخکنيو څخه ترلاسه کېدای شي، که په واقعي بار باندې په څوکه کې یو خیالي بار P ورزیات شي، چې اندازه یې داسې ټاکل کېږي: که د شیل په لوړه څنډه باندې د مریډیان په لوري ټول عمودي ځواک φ=φ0 وي، نو Nφ=0، یا د کومې هغې ارزښت سره برابر وي چې د هغو بهرنيو ځواکونو له مخې ټاکل شوی وي چې شیل یې دلته اخلي.

مخروطي پوښ

سل.5

په مخروطي پوټکي کې د مېرېډیان د φ تمایل د مختصات په توګه نه شي کارېدلی، ځکه چې په ټولو ټکو کې یو شان ارزښت لري. د هغه پر ځای د ګومبزې له سر څخه د تولیدکوونکې کرښې په اوږدو کې اندازه شوی واټن s معرفي کېږي (شکل 5). د مېرېډیان په لوري نورمال قوه د همدې له مخې د Ns په توګه نښه کېږي. اړین فورمې له پورته شویو 1 څخه د حدّي بدلون په ترسره کولو سره ترلاسه کېدای شي. د معادلې (2) څخه په دې توګه

او له معادلې (3)

Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.

د بارونې د مهمو حالاتو لپاره لاندې فورمولونه معتبر دي:

د مریډیان د هر ډول شکل لپاره ګرافیکي طریقه

انځور. 6

کله چې د مېرډیان کږه په تحلیلي څرګندونه نه وي ورکړل شوې، بلکې، مثلاً، په ګرافیکي ډول وي، د کږوالي د شعاع ټاکل ډېر ستونزمن او ډېر ناسم وي. په داسې حالت کې له ګرافیکي طریقې څخه استفاده کول مناسب دي (sl. 6).

پوسته د φ=const. د څو ډېرو سطحو په وسیله وېشل کېږي، د هغو کړیو زونونو وزنونه Δ_R_ چې د سطحو ترمنځ پراته دي حسابېږي او غوره ده چې سمدستي یې په 2_π_ ووېشل شي. دغه ځواکونه ΔR/2π د ځواکونو په پلان کې اېښوول کېږي (شکل 6b). که بیا، د بېلګې په توګه، د وېش ټکي 7 له لارې هغه کرښه راکش شي چې د مریډیان په ټکي 7 کې له تانجنت سره موازي وي، نو د ځواکونو د پلان له لوړې نقطې څخه افقي کرښه به په هغې باندې د R1/2π sinφ7 په اوږدوالي پرې کړي، چې له هغې څخه د معادلې (2) پر بنسټ د اړوند r په وېشلو سره د مریډیان په جهت کې اړوند عمودي ځواک ترلاسه کېږي.

د کړیو د ځواکونو د ټاکلو لپاره د شیل پر یوه عنصر د افقي ځواکونو د توازن شرط کارول کېږي. که یوازې عمودي بارونه عمل وکړي، دا شرط داسې وي (شکل 4):

کله چې دلته dφ د پایدار توپير Δφ سره، چې د منل شوې د پوښ د وېش سره سمون لري، بدل شي او د r1 dφ پر ځای د مریډیان د عنصر اوږدوالی Δs داخل شي، له دې څخه ترلاسه کېږي

په ښي لوري بریکټ کې د قوو په پلان کې په افقي کرښه د پرې شوې برخې نښه ده. له همدې امله ټول ښی لور په دې کرښه کې د وېش ټکو تر منځ برخې ښيي. د دې لپاره چې موږ یې په کافي دقت ولولو، د قوو پلان باید په پاملرنې او په کافي لوی مقیاس رسم شي.

کش شوي او فشاردار کړۍ

هره دوراني متقارنه پوسته له یوه یا دوو افقي کړیو سره محدوده وي (شکل 7). په دې څنډو کې هغه په اصولي ډول یوازې هغه بارونه او د تکیې غبرګونونه اخیستی شي چې د مریدین د مماس په لور وي. که بهرني ځواکونه بل لور ولري، لکه د جوړښت د پورته برخې بار P یا د په شکل 97 کې ښودل شوي زیرمې د تل غبرګون S، نو دا ځواکونه باید، لکه څنګه چې په انځور کې ښودل شوي، د افقي کړۍ او د مریدین د مماس په لور برخو ته ووېشل شي. برخه P/sinφ0 یا S/sinφu د مریدین په لور د عمودي ځواک Nφ سره برابره ده چې په هغه ځای کې عمل کوي، حال دا چې د افقي ځواک Pctgφ0 یا Sctgφu د اخیستلو لپاره داسې کړۍ ته اړتیا ده چې کشش، یا فشار، قبل کړي او په هغې کې دغه شعاعي بار د عمودي ځواک + P r0 ctgφ0، یا -S ru ctgφu رامنځته کوي. دا ډول کړۍ، د پوښ د څنډو ترڅنګ، باید په ټولو هغو ځایونو کې هم ولګول شي چېرې چې د مریدین کرښه ماتېدنه ولري. دا تل د غشا د تنش حالت ګډوډوي.

سل.7

په تاوېدو کې رامنځته کېدونکي تنشونه په دوراني متقارن پوښونو کې

د غشا تیورۍ فورمې د ادغام د ثابتهاو کافي شمېر نه لري څو ټول هغه حدّي شرایط پوره کړي چې په رښتیا له ټاکل شوې مسئلې سره سمون لري. په ځانګړي ډول د دوراني-متناظر پوټکو لپاره دا ممکنه نه ده چې د ادغام د ثابتهاو په کوم مناسب انتخاب سره دا ترلاسه شي چې د εϑ = Nϑ/Et غځېدنه د پوټکي د څنډې په اوږدو کې د کړۍ په لوري د کوم بل ساختماني برخې له اړوند غځېدنې سره برابره شي چې په هماغه ځای کې ورسره کلکه تړلې وي. دا خبره د هغو پوټکو لپاره هم صدق کوي چې د یوه افقي کړۍ په اوږدو کې د مېرېډیان کږوالي، د پوټکي ضخامت یا د سطحې په واحد کې بار ناڅاپي بدلون مومي. او کله چې پوټکی د کومې څنډې په اوږدو کې په کړۍ نه وي کلک شوی، خو په دې ځای کې د هغو ځواکونو له امله بار شوی وي چې د پوټکي په عمودي جهت کې برخه ولري (لکه د P بار په شکل 7 کې، کله چې داسې انګېرل شي چې کړۍ لرې شوې ده)، نو دا ډول بارونه یوازې د غشایي ځواکونو له لارې نشي زغملای. په داسې حالاتو کې د پرېکون قوه او د تاوېدو ممانتونه (شکل 8) د پوټکي په دننه کې د ځواکونو د وېش په برخه کې مهم رول لوبوي، چې په سټاتیکي محاسبه کې باید په پام کې ونیول شي.

سل. 8

د تاوېدو لپاره د شیل دقیق محاسبه، د سلنډري شیل د تر ټولو ساده ځانګړي حالت پرته، یو ډېر سخت کار دی. د نریو دیوالونو لرونکو شیلونو لپاره یوه ساده او ډېر کارېدونکې نږدې‌والي تیوري جوړېدای شي چې له هغې سختې تیورۍ څخه پېژندل شوي حقیقت ته تکیه کوي، چې د تاوېدو له امله رامنځته شوي تنشونه د څنډې تر څنګ په نسبي تنګه سیمه کې محدودېږي او له څنډې څخه د واټن په زیاتېدو سره ژر کمېږي. دا اجازه ورکوي چې په دقیق تفاضلي معادله کې د غړو لویه برخه له پامه وغورځول شي، نو معادله ساده بڼه اخلي.

که په یوازینۍ د پام وړ څنډوي زون کې κ د اوسط ارزښت په وسیله بدل شي، او دا تقریباً تل ممکن وي، نو د معادلې حل دا دی

معادلې 4 او 5

چېرې چې a1, b1, a2, b2 د انتګراسیون ثابتونه دي. ځکه چې حل یوازې د څنډې φ=φ0 ته نږدې په زړه پورې دی، نو مناسب ده چې د دې څنډې څخه زاویوي واټن ω=φ0-φ یا ω=φ-φ0 د مختصاتو په توګه وکارول شي، او د پورته یاد شوي حل د بدلون له لارې دوهمه یاد شوې جمله تر لاسه کېږي. دلته یوازې دوه انتګراسیون ثابتونه A, B یا C, ψ راڅرګندېږي، ځکه چې د حل هغه بله برخه چې eκω عامل لري، او له همدې امله د ω له زیاتېدو سره نه کمیږي، له څېړنې څخه ایستل کېدای شي.

د معادلې 5 پر بنسټ د مقطعي قواوو او د مېریدیان د tangent د κ څرخېدو لپاره لاندې ارزښتونه ترلاسه کېږي:

په ګرد سلنډر بڼه زېرمو کې د کږېدو له امله رامنځته کېدونکي تنشونه

فرض کړو یو سلنډري زېرمتون چې لوړوالی یې h وي له اوبو ډک دی (شکل 9). نو د دوو زېرمتونونو له سطحې څخه د x په لوړوالي کې د اوبو فشار p=γ(h-x) دی. که په همدې لوړوالي کې د دوو افقي مقطعو له مخې د dx په واټن له زېرمتون څخه یوه کړۍ پرې شي او دا د یوه قطر په اوږدو دوه برخو وویشل شي، د دغو برخو د یوې د تعادل شرط په کړۍ کې غشايي ځواک Nφ=pa ورکوي. که په دې ځای کې د زېرمتون ضخامت t وي، نو په کړۍ کې غځېدنه εφ=Nφ/Et ده او له همدې امله د زېرمتون د شعاع زیاتوالی (کږېدنه) دا دی

د x=0 په ښکته څنډه کې نو

سل.9

نه یو او نه بل عموماً له حدي شرایطو سره سمون خوري، ځکه د دېوال بدلېدنه د زیرمې له تل سره د تړاو له امله مخنیول کېږي. په دې حالت کې د سلنډر د تل او دېوال تر منځ په تړاو کې عرضي ځواکونه Qx0 او مومنټونه Mx0 (شکل 11) راڅرګندېږي، چې اندازه یې باید داسې وټاکل شي چې له همدا اوس محاسبه شوو غشاوي ځواکونو سره په ګډه د پوښ په څنډه کې هغه بدلېدنه رامنځته کړي چې تل یې اجازه ورکوي.

شکل 10, 11, 12, په ترتیب سره

Na sl. 11 prikazan je element ljuske dx*a dφ sa silama koje na njega djeluju. Uslov ravnoteže sila u pravcu normale na ljuski daje

dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,

له کومه ځایه د dx dφ په ویشلو سره:

a Q’x + Nφ = p a.

له دې شرط څخه چې د افقي ټانجنس شاوخوا مومېنټ په سلنډر کې صفر وي، دا ترلاسه کېږي:

dM/dx = M’x = Qx

د متقاطع ځواک Qx له دغو دوو معادلو څخه په حذفولو سره تر لاسه کېږي

a M’’x + Nφ = p a.

معادله 6

په دې معادله کې دغه نامعلوم پرېکوني ځواکونه د w خمش له لارې څرګندېدای شي. د Nφ لپاره مخکې موندل شوې ده Nφ=Etw/a, او مومینت د مریدین د کږوالي w’’ سره متناسب دی، یعنې Mx=Kw’’, چېرې چې د تختو په څېر K=Et3/12(1-μ2) د پوښ کلکوالی دی، چې له x سره متغیر کېدای شي. که د منځنیو ځواکونو دا څرګندونې په معادله (6) کې ځای پر ځای شي، د زیرمو د تیورۍ تفاضلي معادله تر لاسه کېږي:

د هغه زیرمتون لپاره چې د دېوال ضخامت یې نه بدلېدونکی وي، حل داسې دی:

یو.7

چې λ4=3(1-μ2)/a2t2 دی. که λh لوی وي (مثلاً، له 3 څخه لوی)، نو د هایپربولیکو دندو پر ځای د اېکسپوننشل دندو راوړل مناسب دي، نو:

یو.8

بیا د یو بل څخه په خپلواک ډول د A1 او B1 ثابتونه د لاندې څنډې له حدّي شرایطو څخه، او د A2، B2 ثابتونه د پورنۍ څنډې له حدّي شرایطو څخه ټاکل کېدای شي، چې د قاعدې له مخې A2=B2=0 ترلاسه کېږي. د معادلې (8) او (7) پر بنسټ قطع کوونکې قوې ترلاسه کېږي، کله چې حساب په معکوس لوري ترسره شي او هر ځای معادله (8) او (7) وکارول شي؛ نو بېلګه یې د A2=B2=0 لپاره ده:

کله چې د زیرمتون دېوالونه په کلکه په پلیټ کې ټینګ شوي وي، او د زیرمتون تل چې دومره غټ وي چې کلک ګڼل کېدای شي، نو ثابتې A1, B1 باید د دې شرطونو له مخې وټاکل شي چې x=0, w=0 او w’=0 وي، نو ترلاسه کېږي:

که د زیرمې تل یوه ارتجاعي پلېټ یا پوټکی وي، نو د Qx عرضي قوې او Mx ممانتونه د تل او د سلنډر د دېوال تر منځ د څنډې د کړۍ په اوږدو کې باید د جامد نامعین سیستمونو د تیورۍ له میتودونو سره سم د دې غوښتنې پر بنسټ وټاکل شي چې Mx او w’ د دواړو برخو لپاره یو شان ارزښت ولري.