On appelle coques les structures de surface dont la surface moyenne n’est pas plane mais nettement bombée. Leur comportement statique s’écarte sensiblement de celui d’une plaque. Lorsqu’elles ont une forme appropriée, leurs contraintes sont beaucoup plus faibles, leur rigidité correspondante est plus élevée, et le calcul est dans la plupart des cas plus simple.
L’état de contrainte de chaque coque peut être décomposé en deux parties : contrainte membranaire et flexion. Les contraintes membranaires, tout comme les contraintes dans une plaque chargée dans son propre plan, peuvent être exprimées au moyen des efforts sectionnels dans le plan tangent – ce sont par exemple, dans la section x=const., l’effort normal _Nx=_σx*t et l’effort tranchant _Nxy=_τxy*t, où t est l’épaisseur de la coque. Les contraintes dues à la flexion sont les mêmes que pour les plaques et peuvent être représentées par les moments de flexion Mx, les moments de torsion Mxy et les efforts tranchants Qx.
Les propriétés essentielles des coques reposent sur le fait que, en règle générale, les contraintes dues à la flexion n’ont ni l’ampleur ni l’importance des contraintes membranaires, de sorte qu’on peut souvent les négliger complètement. Dans ce cas, toutes les contraintes sont réparties uniformément dans l’épaisseur de la coque et agissent tangentiellement à la surface moyenne. Les calculs fondés sur ces hypothèses relèvent de la théorie membranaire des coques.
Théorie membranaire des coques de révolution soumises à un chargement axisymétrique
Formules générales
Pour lignes de coordonnées, on adopte les méridiens et les parallèles sur la surface moyenne de la coque, de sorte que les coordonnées soient : l’azimut ϑ (« longitude géographique ») et l’inclinaison φ de la tangente au méridien par rapport au plan perpendiculaire à l’axe de symétrie (fig. 1a). Les efforts tranchants sont donc : l’effort normal Nφ dans la direction du méridien et l’effort normal Nϑ dans l’anneau (fig. 1b). Les efforts de cisaillement Nφϑ n’apparaissent pas dans le cas d’un état de contraintes symétrique par rotation. La charge par unité de surface est indiquée comme suit (fig. 1b) : Y tangent au méridien, positif dans la direction où φ augmente, Z normal à la coque, positif vers l’axe de symétrie.
Fig. 1
Fig. 2
Soit r1 le rayon de courbure du méridien. Il est fonction de l’angle φ, de sorte que l’équation _r1=r1(_φ) détermine la forme du méridien. Celle-ci peut être considérée comme l’équation du méridien et s’écrit, par exemple,
pour cercle r1=a=const.
pour la parabole r1=a/cos3__φ
pour l’ellipse r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Pour calculer l’effort normal N__φ dans la direction du méridien, il faut poser la condition d’équilibre de la partie de la coque située au-dessus du cercle parallèle φ (fig. 2). La résultante R des charges Y et Z agissant sur cette partie est verticale, compte tenu de la symétrie. Sa valeur s’obtient par intégration sur la surface de la coque de φ’=0 à φ’=φ. La surface de l’élément de coque est dF=r1d__φ’*rd__ϑ, donc la composante verticale de la charge (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Pour l’ensemble de la partie annulaire de la coque située entre les cercles φ’ et φ’+dφ’, la résultante de la charge extérieure est :
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
d’où, par intégration par rapport à φ’ pour la partie de la coque située au-dessus du cercle parallèle φ’=φ, on obtient :
Éq. 1
Cette charge est reprise par les efforts normaux dans la direction du méridien, qui agissent sur la circonférence du cercle considéré ; la composante verticale de la résultante de ces efforts est 2__πr * N__φ sin__φ, et l’égalité permet d’obtenir l’effort normal recherché
Équ. 2
Si la coque est découpée dans sa partie supérieure le long du cercle φ=φ0 (par ex. une ouverture d’éclairage dans une coupole), la borne inférieure de l’intégrale est, bien entendu, φ0, et non pas zéro. Si, sur le bord de la coque ainsi obtenue, agit aussi la charge R0, il faut l’ajouter elle aussi à la résultante R (fig. 3).
Fig. 3
Pour déterminer la force normale N__ϑ, il faut poser la condition d’équilibre de l’élément de coque perpendiculairement au plan tangent (fig. 4). La résultante de la charge extérieure dans cette direction vaut Z r1 d__φ r d__ϑ. Les forces N__φ*r d__ϑ situées dans le plan méridien forment entre elles un petit angle d__φ, de sorte que leur résultante dans la direction de la normale à la coque est N__φ r d__ϑ*dφ. De même, les forces Nϑ r1 dφ situées dans le plan du cercle horizontal et formant entre elles l’angle dϑ ont une résultante Nϑ r1 dφ*dϑ qui se trouve également dans le plan du cercle horizontal et fait donc avec la normale à la coque un angle 0,5_π-φ_, de sorte que seule leur composante Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ intervient dans la condition d’équilibre. La condition d’équilibre s’écrit donc
ou, lorsqu’on la divise par r r1 dϑ dφ:
Éq. 3
Ici, r2=r/sinφ désigne le deuxième rayon principal de courbure de la coque.
Fig. 4
Dôme circulaire
Lorsque la forme du méridien est donnée analytiquement par l’équation r1=r1(φ) et que des expressions analytiques sont données pour les charges Y(φ) et Z(φ), les efforts de coupe dans la coque peuvent toujours être déterminés par intégration sous forme fermée ou numériquement, en utilisant la règle de Simpson. Pour une coupole circulaire de diamètre a, on donne ci-après les efforts de coupe pour quelques cas de chargement :
La dernière formule, qui donne pour φ=0 des efforts tranchants infiniment grands, n’est valable qu’à une certaine distance du point d’application de la force. Dans le voisinage immédiat du point où la force agit, même lorsqu’elle est répartie sur la surface d’un cercle de diamètre fini mais petit, la charge est principalement transmise par flexion.
Les formes de coques ouvertes dans leur partie supérieure peuvent être dérivées des précédentes si l’on ajoute à la charge réelle une charge fictive P au sommet, dont la valeur est ainsi déterminée lorsque l’effort normal total dans la direction du méridien agissant sur le bord supérieur de la coque φ=φ0 vaut Nφ=0, ou est égal à une certaine valeur déterminée par les forces extérieures que la coque reçoit ici.
Coque conique
Fig. 5
Dans le cas d’une coque conique, l’inclinaison du méridien φ ne peut pas être utilisée comme coordonnée, car elle a la même valeur en tous les points. On introduit à sa place la distance s à partir du sommet de la coupole, mesurée le long de la génératrice (fig. 5). L’effort normal dans la direction méridienne est désigné en conséquence par Ns. Les formes nécessaires peuvent être obtenues à partir de celles indiquées sous 1 lorsqu’on effectue le passage à la limite. De l’équation (2) on obtient ainsi
et de l’équation (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Pour les cas de charge les plus importants, les formules suivantes s’appliquent :
Procédé graphique pour une forme quelconque du méridien
Fig. 6
Lorsque la courbe méridienne n’est pas donnée par une expression analytique mais, par exemple, graphiquement, la détermination du rayon de courbure est trop difficile et trop imprécise. Dans ce cas, il est plus approprié d’utiliser la méthode graphique (fig. 6).
La coque est divisée par un plus grand nombre de plans φ=const., on calcule les poids Δ_R_ des zones annulaires situées entre les plans et il est préférable de les diviser immédiatement par 2_π_. Ces forces ΔR/2π sont reportées dans le plan des forces (fig. 6b). Si l’on trace ensuite, par exemple, par le point de division 7 une droite parallèle à la tangente au méridien au point du méridien 7, l’horizontale passant par le point supérieur du plan des forces y coupera la longueur R1/2π sinφ7 d’où, sur la base de l’équation (2), en divisant par le r correspondant, on obtient la force normale correspondante dans la direction du méridien.
Pour déterminer les efforts dans les anneaux, on utilise la condition d’équilibre des forces horizontales sur un élément de coque. Si seules des charges verticales agissent, cette condition s’écrit (fig. 4):
Lorsque, ici, dφ est remplacé par la différence finie Δφ, correspondant à la subdivision adoptée de la coque, et qu’à la place de r1 dφ on introduit la longueur Δs de l’élément du méridien, on obtient
Dans la parenthèse à droite figure l’intersection sur la droite horizontale du plan des forces. L’ensemble du côté droit représente donc les segments entre les points de division sur cette droite. Pour pouvoir les lire avec une précision suffisante, le plan des forces doit être dessiné avec soin et à une échelle suffisamment grande.
Anneaux tendus et comprimés
Toute coque à symétrie de révolution est limitée par un ou deux cercles horizontaux (fig. 7). Sur ces bords, elle ne peut en principe reprendre que des charges et réactions d’appui ayant une direction tangente au méridien. Si les forces extérieures ont une autre direction, comme par exemple la charge P provenant de la partie supérieure de la construction ou la réaction S du fond du réservoir représenté à la fig. 97, ces forces doivent, comme le montre la figure, être décomposées en composantes dans la direction du cercle horizontal et de la tangente au méridien. La composante P/sinφ0 ou S/sinφu est égale à la force normale dans la direction du méridien Nφ qui agit en ce point, tandis que pour reprendre la force horizontale Pctgφ0 ou Sctgφu il faut un anneau reprenant la traction, resp. la compression, et dans lequel cette charge radiale provoque une force normale + P r0 ctgφ0, resp. -S ru ctgφu. De tels anneaux, outre sur les bords de la coque, doivent aussi être placés en tous les endroits où la courbe méridienne présente une rupture. Ils provoquent toujours une perturbation de l’état de contrainte membranaire.
Fig. 7
Contraintes dues à la flexion dans les coques à symétrie de révolution
Les formes de la théorie des membranes ne contiennent pas un nombre suffisant de constantes d’intégration pour que toutes les conditions aux limites correspondant réellement au problème posé puissent être satisfaites. En particulier, dans le cas des coques à symétrie de révolution, il n’est pas possible, par un choix approprié des constantes d’intégration, d’obtenir que la dilatation εϑ = Nϑ/Et dans la direction circonférentielle le long du bord de la coque soit égale à la dilatation correspondante d’un autre élément de structure qui lui est rigidement lié en ce point. Il en va de même pour les coques pour lesquelles la courbure du méridien, l’épaisseur de la coque ou la charge par unité de surface changent brusquement le long d’un cercle horizontal. Même lorsque la coque n’est pas raidie par un anneau le long d’un bord, mais qu’elle est à cet endroit chargée par des forces ayant une composante dans la direction normale à la coque (par ex. la charge P à la fig. 7 si l’on imagine l’anneau supprimé), elle ne peut reprendre de telles charges uniquement par des forces membranaires. Dans de tels cas, l’effort tranchant et les moments de flexion (fig. 8) jouent un rôle essentiel dans la répartition des efforts dans la coque, ce qui doit être pris en compte dans le calcul statique.
Fig. 8
Le calcul exact d’une coque en flexion, sauf dans le cas particulier le plus simple d’une coque cylindrique, constitue une tâche très difficile. Pour les coques à parois minces, on peut établir une théorie approximative simple et très utilisable qui s’appuie sur un fait connu de la théorie rigoureuse, à savoir que les contraintes dues à la flexion sont limitées à une zone relativement étroite près du bord et diminuent rapidement à mesure que l’on s’éloigne du bord. Cela permet de négliger un grand nombre de termes dans l’équation différentielle exacte, qui prend ainsi une forme simplifiée.
Si, dans la zone limite qui seule nous intéresse, κ est remplacé par sa valeur moyenne, ce qui est presque toujours possible, la solution de l’équation est
Éq. 4 et 5
où a1, b1, a2, b2 sont des constantes d’intégration. Comme la solution n’est intéressante qu’au voisinage du bord φ=φ0, il est commode d’introduire comme coordonnée l’écart angulaire ω=φ0-φ ou ω=φ-φ0 à partir de ce bord, de sorte que la transformation de la solution ci-dessus donne la seconde expression indiquée. Ici, il n’apparaît que deux constantes d’intégration A, B ou C, ψ, car la seconde partie de la solution, qui contient le facteur eκω, et qui par conséquent ne décroît pas lorsque ω augmente, peut être écartée de l’examen.
Sur la base de l’équation 5, on obtient les valeurs suivantes pour les efforts tranchants et la rotation κ de la tangente méridienne :
Contraintes dues à la flexion dans les réservoirs de forme cylindrique circulaire
Soit un réservoir cylindrique de hauteur h rempli d’eau (fig. 9), alors à la hauteur x au-dessus des deux réservoirs la pression de l’eau est p=γ(h-x). Si, à cette hauteur, on découpe dans le réservoir, à partir de deux sections horizontales séparées de dx., un anneau que l’on divise suivant un diamètre en deux parties, la condition d’équilibre de l’une d’elles donne la force membranaire dans l’anneau Nφ=pa. Si l’épaisseur du réservoir en ce point est t, la déformation dans l’anneau est εφ=Nφ/Et et, par conséquent, l’augmentation du rayon du réservoir (flèche) est
Au bord inférieur x=0 il en résulte donc
Fig. 9
Ni l’un ni l’autre n’est en règle générale conforme aux conditions aux limites, car la déformation de la paroi est empêchée par la liaison avec le fond du réservoir. À cet endroit, sur la liaison entre le fond et la paroi du cylindre, apparaissent des forces transversales Qx0 et des moments Mx0 (fig. 11), dont il faut déterminer la valeur de manière à ce qu’avec les efforts membranaires tout juste calculés dans la coque, ils provoquent cette déformation au bord de la coque autorisée par le fond.
Fig. 10, 11, 12, respectivement
À la fig. 11 est représenté l’élément de coque dx*a dφ avec les forces qui agissent sur lui. La condition d’équilibre des forces dans la direction de la normale à la coque donne
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
d’où, en divisant par dx dφ :
a Q’x + Nφ = p a.
De la condition que le moment autour de la tangente horizontale au cylindre est nul, on obtient :
dM/dx = M’x = Qx
En éliminant l’effort tranchant Qx de ces deux équations, il s’ensuit
a M’’x + Nφ = p a.
Éq. 6
Dans cette équation, ces inconnues de forces de section peuvent être exprimées au moyen de la flèche w. Pour Nφ, on a déjà trouvé Nφ=Etw/a, et le moment est proportionnel à la courbure de la méridienne w’’, c’est-à-dire Mx=Kw’’, où, comme pour les plaques, K=Et3/12(1-μ2) est la rigidité de la coque, qui peut être variable avec x. Si l’on introduit ces expressions des forces moyennes dans l’équation (6), on obtient l’équation différentielle de la théorie des réservoirs :
Pour un réservoir dont l’épaisseur de paroi est constante, la solution est la suivante :
Éq. 7
où λ4=3(1-μ2)/a2t2. Si λh est grand (par exemple, supérieur à 3), il est plus commode d’introduire des fonctions exponentielles au lieu des fonctions hyperboliques, et l’on obtient alors :
Éq. 8
On peut alors déterminer indépendamment les constantes A1, B1 à partir des conditions aux limites sur l’arête inférieure, et les constantes A2, B2 à partir des conditions aux limites sur l’arête supérieure, et l’on obtient en règle générale A2=B2=0. À partir des équations (8) et (7) on obtient les efforts tranchants, lorsque le calcul est effectué dans le sens inverse et que l’on introduit partout les équations (8) et (7); ainsi, par exemple, pour A2=B2=0:
Lorsque les parois du réservoir sont rigidement encastrées dans une dalle de fond suffisamment épaisse pour être considérée comme rigide, les constantes A1, B1 doivent être déterminées à partir des conditions x=0, w=0 et w’=0, d’où l’on obtient :
Si le fond du réservoir est une plaque ou une coque élastique, les efforts tranchants Qx et les moments Mx le long du cercle périphérique entre le fond et la paroi du cylindre doivent être déterminés par les méthodes de la théorie des systèmes statiquement indéterminés, sur la base de l’exigence que Mx et w’ aient la même valeur pour les deux parties.