_쉘_은 중간면이 평면이 아니라 눈에 띄게 볼록한 면 구조물을 말한다. 그 정적 거동은 판의 거동과 상당히 다르다. 적절한 형상을 가지면 응력은 훨씬 작고, 강성은 그에 따라 더 크며, 계산은 대부분의 경우 더 간단하다.
각 셸의 응력은 막응력과 굽힘의 두 부분으로 분해할 수 있다. 막응력은 면내하중을 받는 판의 응력과 마찬가지로 접평면의 절단력으로 표현할 수 있는데, 예를 들어 x=const. 단면에서의 법선력 _Nx=_σx*t 및 전단력 _Nxy=__τxy*t_가 그것이며, 여기서 _t_는 셸의 두께이다. 굽힘에 의한 응력은 판과 동일하며, 굽힘모멘트 Mx, 비틀림모멘트 Mxy, 전단력 _Qx_로 나타낼 수 있다.
셸의 중요한 특성은 일반적으로 굽힘에 의한 응력이 막응력만큼의 크기나 중요성을 갖지 않아 종종 완전히 무시할 수 있다는 점에 근거한다. 이 경우 모든 응력은 셸 두께 전체에 균일하게 분포하며 중간면에 접선 방향으로 작용한다. 이러한 가정에 근거한 계산은 셸의 막이론의 범주에 속한다.
회전 대칭 하중을 받는 회전 대칭 쉘의 막 이론
일반식
좌표선으로는 껍질의 중간 면에 있는 자오선과 평행 원을 채택하므로, 좌표는 다음과 같습니다: 방위각 ϑ (“경도”)와 대칭축에 수직한 평면에 대한 자오선 접선의 경사 φ (그림 1a). 따라서 단면력은 자오선 방향의 법선력 _Nφ_와 원주 방향의 법선력 _Nϑ_입니다(그림 1b). 전단력 _Nφϑ_는 회전대칭 응력 상태에서는 나타나지 않습니다. 단위면적당 하중은 다음과 같이 표시합니다(그림 1b): 자오선에 접하는 Y, _φ_가 증가하는 방향을 양(+)으로 하며, 껍질에 수직한 Z, 대칭축 쪽을 양(+)으로 합니다.
그림. 1
그림. 2
메리디안의 곡률반경을 _r1_이라고 하자. 이는 각도 _φ_의 함수이므로 식 _r1=r1(__φ)_에 의해 메리디안의 형태가 결정된다. 이는 메리디안의 방정식으로 볼 수 있으며, 예를 들면 다음과 같다.
원형용 r1=a=const.
포물선의 경우 r1=a/cos3__φ
타원에 대해 r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
단면선의 방향으로 법선력 _N__φ_를 계산하려면, 평행원 φ 위에 놓인 셸 부분의 평형 조건을 세워야 한다(그림 2). 이 부분에 작용하는 하중 _Y_와 _Z_의 합력 _R_는 대칭성에 따라 수직이다. 그 크기는 셸 표면을 따라 φ’=0부터 φ’=_φ_까지 적분하여 얻는다. 셸 요소의 면적은 _dF=r1d__φ’*rd__ϑ_이므로, 하중의 수직 성분은 (Ysin__φ’+Zcos__φ’)_dF_이다. _φ’_와 φ’+dφ’ 사이에 놓인 전체 환형 셸 부분에 대해서는 외력의 합력은 다음과 같다:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
여기서 _φ’_에 대해, φ’=_φ_인 평행 원 위에 놓인 셸 부분을 적분하면 다음을 얻는다:
식. 1
이 하중은 자오선 방향의 법선력에 의해 받게 되며, 이 힘들은 관찰된 원의 둘레를 따라 작용한다. 이 힘들의 합력의 수직 성분은 2__πr * N__φ sin__φ, 이므로, 이를 같게 놓으면 원하는 법선력이 얻어진다.
식 2
상부에서 껍질이 원 φ=_φ0_를 따라 절단되어 있다면(예: 돔의 채광 개구부), 적분의 하한은 당연히 0이 아니라 _φ0_이다. 이와 같이 형성된 껍질의 가장자리에서 하중 _R0_도 작용한다면, 그것도 합력 _R_에 더해야 한다(그림 3).
그림. 3
법선력 _N__ϑ_를 구하기 위해서는 접선 평면에 수직인 껍질 요소의 평형 조건을 세워야 한다(그림 4). 이 방향에서의 외력의 합력은 _Z r1 d__φ r d__ϑ_이다. 횡단면에 놓인 N__φ*r d__ϑ 힘들은 서로 작은 각도 _d__φ_를 이루므로, 껍질 법선 방향의 합력은 _N__φ r d__ϑ*dφ_이다. 마찬가지로 수평원 평면에 놓여 서로 각도 _dϑ_를 이루는 Nϑ r1 dφ 힘들의 합력은 _Nϑ r1 dφ*dϑ_이며, 이 역시 수평원 평면에 놓여 있으므로 껍질 법선과 0,5_π-φ_의 각을 이루어 평형 조건에는 그 성분 _Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ_만 들어간다. 따라서 평형 조건은 다음과 같다
또는, _r r1 dϑ dφ_로 나누면:
Eq. 3
여기서 _r2=r/sinφ_는 쉘의 두 번째 주곡률반경을 나타낸다.
그림. 4
원형 돔
자오선의 형상이 해석적으로 방정식 r1=r1(φ)로 주어지고 하중 Y(φ)와 Z(φ)에 대한 해석식이 주어질 때, 쉘의 단면력은 항상 닫힌 형식으로 적분하거나 Simpson-의 법칙을 사용하여 수치적으로 구할 수 있다. 지름 a인 원형 돔에 대해서는 다음에 몇 가지 하중 경우의 단면력을 제시한다:
마지막 식은 φ=0일 때 무한히 큰 전단력을 주는데, 이는 힘의 작용점에서 어느 정도 떨어진 곳에서만 성립한다. 힘이 작용하는 부근에서는, 비록 유한하지만 작은 직경의 원 표면에 분포하더라도, 하중은 주로 굽힘에 의해 전달된다.
상부가 열린 쉘의 형상은 앞의 식에서 유도할 수 있는데, 실제 하중에 꼭대기에서 가상의 하중 P를 더하여 그 크기를 다음과 같이 정한다. 쉘의 상단 가장자리에 작용하는 경선 방향의 총 법선력 φ=_φ0_가 Nφ=0이 되도록 하거나, 또는 쉘이 여기서 받는 외력에 의해 정해지는 어떤 값과 같게 한다.
원추형 셸
그림. 5
원추 셸에서는 모선의 기울기 _φ_가 모든 점에서 같은 값을 가지므로 좌표로 사용할 수 없다. 대신 모선을 따라 잰 돔 꼭대기에서의 거리 _s_를 도입한다(그림 5). 이에 따라 모선 방향의 법선력은 _Ns_로 표시한다. 필요한 식은 앞서 제시된 1에서 극한 전이를 수행하면 얻을 수 있다. 식 (2)로부터 이렇게
그리고 식(3)에서
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
가장 중요한 하중 경우에는 다음과 같은 식이 적용된다:
임의의 메리디안 형상에 대한 도식적 절차
그림. 6
메리디안 곡선이 해석식으로 주어지지 않고, 예를 들어 그래프로 주어질 경우에는 곡률반경을 구하는 것이 너무 어렵고 너무 부정확하다. 이 경우에는 도식적 방법(도 6)을 사용하는 편이 더 적절하다.
껍질은 여러 평면 φ=const.로 나누고, 그 사이에 놓이는 고리형 구역의 무게 Δ_R_를 계산한 뒤 가능한 한 바로 2_π_로 나누는 것이 좋다. 이 힘들 _ΔR/2π_은 힘 다이어그램(그림 6b)에 표시한다. 그다음 예를 들어 분할점 7를 지나 메리디안 점 7에서의 메리디안 접선에 평행한 직선을 그으면, 힘 다이어그램의 상단점을 지나는 수평선은 그 위에 _R1/2π sinφ7_의 길이로 교차하며, 여기서 식 (2)에 따라 해당 _r_로 나누면 메리디안 방향의 해당 법선력을 얻는다.
링에 작용하는 힘을 구하기 위해서는 쉘의 한 요소에 대해 수평력의 평형 조건을 사용한다. 수직하중만 작용하는 경우 이 조건은 다음과 같다(그림 4):
여기서 _dφ_를 쉘의 채택된 분할에 해당하는 유한한 차이 _Δφ_로 바꾸고, r1 dφ 대신 자오선 요소의 길이 Δs를 대입하면, 여기서 다음이 얻어진다
오른쪽 괄호 안에는 힘도해의 수평선 위 절단선이 있다. 따라서 전체 오른쪽 부분은 이 직선 위의 분할점들 사이의 구간을 나타낸다. 이를 충분히 정확하게 읽어내기 위해서는 힘도해를 세심하게 그리고 충분히 큰 축척으로 작성해야 한다.
인장 및 압축 링
모든 회전대칭 셸은 하나 또는 두 개의 수평 원으로 경계가 지어진다(그림 7). 이 경계에서는 원칙적으로 모선에 접하는 방향을 가진 하중과 지점 반력만을 받을 수 있다. 외력이 다른 방향을 가질 경우, 예를 들어 구조물 상부의 하중 P 또는 그림 97에 나타난 저장탱크 바닥의 반력 _S_와 같은 경우, 이 힘들은 그림에 보인 바와 같이 수평 원의 방향과 모선 접선 방향의 성분으로 분해해야 한다. 성분 P/sinφ0 또는 _S/sinφu_는 그 지점에서 작용하는 모선 방향의 법선력 _Nφ_와 같으며, 수평력 Pctgφ0 또는 _Sctgφu_를 받기 위해서는 인장 또는 압축을 받는 링이 필요하고, 이 방사형 하중은 그 안에서 법선력 + P r0 ctgφ0 또는 -_S ru ctgφu_를 유발한다. 이러한 링은 셸의 경계뿐 아니라 모선 곡선이 꺾이는 모든 지점에도 설치해야 한다. 이들은 항상 막응력 상태의 교란을 일으킨다.
그림. 7
회전대칭 셸의 굽힘에 의한 응력
막 이론의 식들은 실제로 주어진 문제에 해당하는 모든 경계 조건을 만족시키기에는 적분 상수의 수가 충분하지 않다. 특히 회전 대칭 셸의 경우, 적분 상수를 적절히 선택하더라도 셸 가장자리를 따라 원주 방향의 변형 _εϑ = Nϑ/Et_가 그 지점에서 셸과 강하게 결합된 다른 구조 부재의 해당 변형과 같아지게 할 수는 없다. 동일한 점은 한 수평 원을 따라 모선의 곡률, 셸 두께 또는 단위 면적당 하중이 급격히 변하는 셸에도 적용된다. 또한 셸이 어떤 가장자리를 따라 링으로 보강되어 있지 않지만, 그 지점에서 셸의 법선 방향 성분을 갖는 힘을 받는 경우(예: 링을 제거했다고 가정한 그림 P의 하중 7), 막력만으로는 이러한 하중을 받을 수 없다. 이러한 경우에는 전단력과 굽힘 모멘트(그림 8)가 셸 내 힘의 분포에서 중요한 역할을 하며, 정적 계산에서 이를 고려해야 한다.
그림 8
쉘의 휨에 대한 정확한 계산은, 가장 단순한 원통형 쉘의 특수한 경우를 제외하면 매우 어려운 과제이다. 얇은 벽을 가진 쉘에 대해서는 엄밀한 이론에서 알려진 사실, 즉 휨에 의한 응력은 가장자리 부근의 비교적 좁은 구역에 한정되고 가장자리에서 멀어질수록 빠르게 감소한다는 점에 근거한 단순하고 매우 유용한 근사 이론을 세울 수 있다. 이를 통해 정확한 미분방정식의 많은 항을 무시할 수 있게 되고, 그 결과 방정식은 단순화된 형태를 갖게 된다.
변형이 유일하게 관심 있는 경계층 κ 내부에서 평균값으로 대체되면, 그리고 이는 거의 항상 가능하므로, 방정식의 해는
식. 4 및 5
여기서 _a1, b1, a2, b2_는 적분 상수이다. 해는 경계 φ=φ0 부근에서만 중요하므로, 이 경계로부터의 각 거리 ω=φ0-φ 또는 _ω=φ-φ0_를 좌표로 도입하는 것이 적절하며, 위의 해를 변환하면 두 번째로 제시한 식을 얻는다. 여기에는 적분 상수 A, B 또는 C, ψ 두 개만 나타나는데, 해의 다른 부분은 요인 _eκω_를 포함하므로 _ω_가 증가해도 감소하지 않으므로, 검토에서 제외할 수 있다.
방정식 5를 바탕으로 단면력과 자오선 접선의 회전 κ에 대한 다음 값들이 얻어진다:
원형 원통 형상의 저장탱크에서 휨에 의한 응력
높이 _h_의 원통형 저장조가 물로 채워져 있다고 하자(그림 9). 그러면 저장조 바닥 위 높이 _x_에서의 물 압력은 _p=γ(h-x)_이다. 이 높이에서 두 수평 단면 사이의 간격 _dx_로 저장조에서 고리를 절단하고 이를 한 지름을 따라 두 부분으로 나누면, 그중 하나의 평형 조건으로부터 고리의 막력 _Nφ=pa_를 얻는다. 이 지점에서 저장조의 두께가 _t_라면, 고리의 변형률은 _εφ=Nφ/Et_이고 따라서 저장조 반지름의 증가(처짐)는
아래 경계에서 x=0 이므로
그림. 9
어느 쪽도 일반적으로 경계조건과 일치하지 않는데, 이는 저장조 바닥과의 연결 때문에 벽의 변형이 억제되기 때문이다. 이때 원통 벽과 바닥의 접합부에는 횡력 _Qx0_과 모멘트 Mx0(그림 11)가 나타나며, 이들의 크기는 막 계산한 쉘의 막력과 함께 쉘 가장자리에서 바닥이 허용하는 이러한 변형을 일으키도록 정해야 한다.
그림 10, 11, 12, 각각
그림 11에는 작용하는 힘들과 함께 dx*a dφ 셸 요소가 나타나 있다. 셸의 법선 방향에 대한 힘의 평형 조건은 다음을 준다
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
여기서 _dx dφ_로 나누면:
a Q’x + Nφ = p a.
수평 접선에 대한 모멘트가 0이라는 조건으로부터 다음을 얻는다:
dM/dx = M’x = Qx
이 두 방정식에서 횡력 _Qx_를 소거하면 다음을 얻는다
a M’’x + Nφ = p a.
식. 6
이 식에서 이 미지의 단면력들은 처짐 _w_로 표현할 수 있다. _Nφ_에 대해서는 이미 _Nφ=Etw/a_가 구해졌고, 모멘트는 모선 곡률 _w’’_에 비례하므로, 즉 _Mx=Kw’’_이며, 여기서 판과 마찬가지로 _K=Et3/12(1-μ2)_는 셸의 강성으로, x에 따라 변할 수 있다. 이러한 평균력의 표현을 방정식 (6)에 대입하면 탱크 이론의 미분방정식이 얻어진다:
벽 두께가 일정한 저장탱크의 경우 해는 다음과 같다:
Eq. 7
여기서 _λ4=3(1-μ2)/a2t2_이다. _λh_가 크면(예를 들어 3보다 크면), 쌍곡함수 대신 지수함수를 도입하는 것이 더 편리하므로, 다음과 같다:
Eq. 8
그러면 하단의 경계 조건으로부터 상수 A1, _B1_를 서로 독립적으로 결정할 수 있고, 상단 가장자리의 경계 조건으로부터 상수 A2, _B2_를 결정할 수 있으며, 보통 A2=B2=0_가 얻어진다. 식 (8) 및 (7)에 따라 절단력을 구하며, 계산을 역방향으로 수행하고 어디서나 식 (8) 및 (7)을 도입하면 된다. 예를 들어 A2=B2=0_인 경우는 다음과 같다:
저수조의 벽이 판에 강하게 고정되어 있고, 바닥이 충분히 두꺼워 강체로 간주할 수 있는 경우, 상수 _A1, B1_는 x=0, w=0 및 w’=0라는 조건으로부터 정해야 하며, 따라서 다음을 얻는다:
탱크 바닥이 탄성 판 또는 셸인 경우, 바닥과 원통 벽 사이의 가장자리 원을 따라 작용하는 횡력 _Qx_와 모멘트 _Mx_는 _Mx_와 _w’_가 두 부분에서 동일한 값을 갖도록 한다는 조건을 바탕으로 정정 부정 구조 이론의 방법으로 결정해야 한다.