Si chjamanu cunchiglie i portanti di superficia, a so superficia media ùn hè micca piana ma nettamente bombata. U so cumpurtamentu staticu si scarta assai da quellu di a tavula. Quandu anu una forma adatta, e so tensione sò assai più chjuche, a so rigidezza hè in modu currispundente più grande, è u calculu, in a maiò parte di i casi, più simplice.
A tensione di ogni cunchiglia si pò scompone in duie parte: tensione membranale è flessione. E tensioni membranale, simile à e tensioni d’una piastra caricata in u so pianu, ponu esse espresse per mezu di e forze di sezzione in u pianu tangenziale – per esempiu, in a sezzione x=const. a forza nurmale _Nx=_σx*t è a forza di tagliu _Nxy=_τxy*t, induve t hè u spessore di a cunchiglia. E tensioni per via di a flessione sò listesse chè in e piastre è ponu esse raprisentate da i momenti di flessione Mx, i momenti torcenti Mxy è e forze di tagliu Qx.
E caratteristiche essenziali di e cunchiglie si basanu nantu à u fattu chì, in regula, e tensioni per via di a flessione ùn anu nè l’ordine di grandezza nè l’impurtanza di e tensioni membranale, cusì chì spessu si ponu scartà cumpletamente. In quellu casu, tutte e tensioni sò distribuite uniformemente nantu à u spessore di a cunchiglia è agiscenu tangenzialmente nantu à a superficia media. I calculi chì si basanu nant’à ste ipotesi rientranu in u quadru di a teoria membranale di e cunchiglie.
Teuria di a membrana di e cupole rotazionalmente simmetriche sottu carica rotazionalmente simmetrica
Forme generali
Cum’è linee di coordenate si piglianu i meridiani è i circuli paralleli nant’à a superficia media di a cunchiglia, è dunque e coordenate sò: l’azimut ϑ (“longitudine geografica”) è l’inclinazione φ di a tangente à u meridianu versu u pianu perpendiculare à l’asse di simmetria (fig. 1a). Dunque, e forze interne sò: a forza normale Nφ in direzzione di u meridianu è a forza normale Nϑ in u sensu di l’anellu (fig. 1b). E forze di tagliu Nφϑ ùn appariscenu micca in casu di sforzu rotazionalmente simmetricu. A carica per unità di superficia si indica in stu modu (fig. 1b): Y tangenziale à u meridianu, pusitiva in a direzzione induve φ cresce, Z nurmale à a cunchiglia, pusitiva versu l’asse di simmetria.
Fig. 1
Fig. 2
Chì u raghju di curvatura di u meridianu sia r1. Hè una funzione di l’angulu φ, tandu a forma di u meridianu hè determinata da l’equazione r1=r1(__φ). Questa pò esse cunsiderata cum’è l’equazione di u meridianu è hà a forma, per esempiu.
per u circulu r1=a=const.
per a parabola r1=a/cos3__φ
per l’ellisse r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Per calculà a forza nurmale N__φ in direzzione di u meridianu, ci vole à pone a cundizione d’equilibriu di a parte di a calotta chì si trova sopra à u circhiu parallelu φ (fig. 2). A risultante R di i carichi Y è Z chì agiscenu nant’à sta parte hè verticale, per via di a simmetria. A so magnitudine si ottene integrendu nant’à a superficia di a calotta da φ’=0 sin’à φ’=φ. A superficia di l’elementu di calotta hè dF=r1d__φ’*rd__ϑ, dunque a cumpunente verticale di u caricu (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Per tuttu u duminiu annulari di a calotta chì si trova trà i circhii φ’ è φ’+dφ’, a risultante di u caricu esternu hè:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
da induve, integrendu rispetto à φ’ per a parte di a carcassa chì si trova sopra à u circhulu parallelu φ’=φ, si ottene:
Eq. 1
Stu caricu hè ripigliatu da e forze nurmale in direzzione di u meridianu, chì agiscenu nant’à a circonferenza di u circulu cunsideratu; a cumpunente verticale di a risultante di ste forze hè 2__πr * N__φ sin__φ, è, per equilibriu, si ottene di quì a forza nurmale ricircata
Eq. 2
S’è a cunchiglia in a parte alta hè tagliata longu u circulu φ=φ0 (per esempiu, un’apertura di illuminazione in una cupola), a limita inferiore di l’integrale hè, ben intesu, φ0, è micca zeru. S’è nantu à u bordu di a cunchiglia cusì ottenuta agisce ancu u caricu R0, ancu quellu ci vole à aghjunghje lu à a risultante R (fig. 3).
Fig. 3
Per determinà a forza nurmale N__ϑ ci vole à pone a cundizione d’equilibriu di l’elementu di a cunchiglia perpendicularmente à u pianu tangenziale (fig. 4). A risultante di u caricu esternu in sta direzzione hè Z r1 d__φ r d__ϑ. E forze N__φ*r d__ϑ chì si trovanu in u pianu meridianu formanu trà elle un picculu angulu d__φ, cusì chì a so risultante in a direzzione di a nurmale à a cunchiglia hè N__φ r d__ϑ*dφ. Di listessa manera, e forze Nϑ r1 dφ chì si trovanu in u pianu di u cerchju orizzuntale è furmanu trà elle l’angulu dϑ anu una risultante Nϑ r1 dφ*dϑ chì si trova dinù in u pianu di u cerchju orizzuntale è, dunque, face cù a nurmale à a cunchiglia un angulu 0,5_π-φ_, cusì chì in a cundizione d’equilibriu entre solu a so cumpunente Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. A cundizione d’equilibriu hè dunque
o, quandu si divide per r r1 dϑ dφ:
Unu.3
Quì cù r2=r/sinφ hè indicatu u secondu raghju principale di curvatura di a cunchiglia.
Fig. 4
Cupola circulare
Quandu a forma di u meridianu hè data analiticamente da l’equazione r1=r1(φ) è quandu per e cariche Y(φ) è Z(φ) sò dati espressioni analitiche, e forze sezziunali in a cunchiglia ponu sempre esse determinate per integrazione in forma chjusa o numericamente, aduprendu a regula di Simpson. Per una cupola circulare di diametru a, quì sottu si danu e forze sezziunali per certi casi di carica:
L’ultimu schema, chì per φ=0 dà forze di tagliu infinitamente grande, vale solu à una certa distanza da u puntu d’applicazione di a forza. In l’immediata vicinanza di u locu induve agisce a forza, ancu quand’ella hè ripartita nantu à a superficia d’un circulu di diametru finitu ma chjucu, u caricu hè soprattuttu trasmessu da a flessione.
I profili per cunchiglie aperte in a parte suprana ponu esse ricavati da quelli precedenti, s’ellu si aghjusta à u caricu reale una carica fittizia P à a cima, a quale hè cusì determinata se a forza nurmale tutale in direzzione di u meridianu chì agisce nantu à u bordu supranu di a cunchiglia φ=φ0 hè Nφ=0, o s’ella hè uguale à una certa valore determinata da e forze esterne chì a cunchiglia riceve quì.
Calotta conica
Fig. 5
In u casu di a cunchiglia conica, l’inclinazione di u meridianu φ ùn pò esse aduprata cum’è coordenata, perchè hà u listessu valore in tutti i punti. À u so postu si introduce a distanza s da u vertice di a cupola misurata longu à a generatrice (fig. 5). A forza nurmale in a direzzione di u meridianu si marca di cunsiguenza cù Ns. I schemi richiesti si ponu ottene da quelli citati sottu à 1 quandu si face u passaghju di limite. Da l’equazione (2) si ottene in stu modu
è da l’equazione (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Per i casi di caricu i più impurtanti valenu i schemi seguenti:
Procedura grafica per una forma arbitraria di u meridianu
Fig. 6
Quandu a curva di u meridianu ùn hè micca data da un’espressione analitica, ma, per esempiu, graficamente, a determinazione di u raghju di curvatura hè troppu difficiule è troppu inesatta. In quellu casu hè più cunveniente d’adoprà una prucedura grafica (sl. 6).
A cunchiglia hè spartuta da un numeru maiò di piani φ=const., si calculanu i pesi Δ_R_ di e zone ad anellu chì si trovanu trà i piani è hè megliu sparteli subitu per 2_π_. Ste forze ΔR/2π si riportanu in u pianu di e forze (fig. 6b). S’è tandu, per esempiu, per mezu di u puntu di spartizione 7 si traccia una diritta parallela à a tangente di u meridianu in u puntu di u meridianu 7, a horizontale passendu per u puntu supranu di u pianu di e forze a taglierà nant’à di ella secondu a lunghezza R1/2π sinφ7 da a quale, secondu l’equazione (2), dividendula per u rispettivu r, si ottene a forza nurmale currispundente in direzzione di u meridianu.
Per determinà e forze in l’anelli serve a cundizione d’equilibriu di e forze urizzuntali nant’à un elementu di cunchiglia. S’ellu agiscenu solu carichi verticali, sta cundizione si scrive (fig. 4):
Quandu quì dφ hè sustituitu da a differenza finita Δφ, chì currisponde à a divisione aduttata di a cunchiglia, è quandu in locu di r1 dφ si mette a lunghezza Δs di l’elementu di meridianu, da quì si ottene
In a parentesi nant’à u latu dirittu si trova u tagliatu nant’à a retta orizuntale in u pianu di e forze. Tutta a parte diritta rapresenta dunque i segmenti trà i punti di divisione nant’à sta retta. Per pudè leghje li cun abbastanza precisione, u pianu di e forze deve esse disegnatu cun cura è in una scala abbastanza grande.
Anelli tesi è compressi
Ogni cunchiglia simmetricamente rotaziunale hè limitata da unu o dui circhi orizontali (fig. 7). À sti bordi, in principiu, pò riceve solu tali carichi è reazzioni di appoghju chì anu a direzzione di a tangente à u meridianu. S’è e forze esterne anu un’altra direzzione, cum’è per esempiu u caricu P da a parte suprana di a struttura o a reazzione S di u fondu di u reservoir prisentatu in a fig. 97, ste forze devenu, cum’ellu hè mustratu in a figura, esse scomposte in cumpunenti in a direzzione di u circulu orizontale è di a tangente à u meridianu. A cumpunente P/sinφ0 o S/sinφu hè uguale à a forza nurmale in a direzzione di u meridianu Nφ chì agisce à quellu locu, mentre chì per riceve a forza orizontale Pctgφ0 o Sctgφu hè necessariu un anellu chì riceve a trazione, rispettivamente a pressione, è in u quale stu caricu radiale provoca a forza nurmale + P r0 ctgφ0, rispettivamente -S ru ctgφu. Tali anelli, fora di i bordi di a cunchiglia, devenu esse piazzati dinù in tutti i lochi induve a curva di u meridianu hà una rottura. Elli causanu sempre una perturbazione di u statu di tensione membranale.
Fig. 7
Tensioni per via di a flessione in cunchiglie à simmetria di rotazione
I schemi di a teoria di membrana ùn cuntenenu micca un numeru abbastanza grande di custanti d’integrazione per chì possinu esse cumpiuti tutti i cundizioni à u limitu chì currispondenu veramente à u compitu stabilitu. In particulare, per e cunchiglie à simetria di rotazione, ùn hè micca pussibule, cù una scelta adatta di e custanti d’integrazione, di fà chì a dilatazione εϑ = Nϑ/Et in a direzzione di l’anellu longu à u bordu di a cunchiglia sia uguale à a dilatazione currispundente d’un altru elementu strutturale chì hè rigidamente cunnessu cun ella in quellu puntu. U stessu vale dinù per e cunchiglie induve longu à un circhiu orizuntale a curvatura di u meridianu, u spessore di a cunchiglia o u caricu per unità di superficia cambianu à saltu. È quandu a cunchiglia longu à un certu bordu ùn hè micca irrigidita da un anellu, ma hè in stu locu caricata da forze chì anu una cumpunente in a direzzione di a normale à a cunchiglia (per esempiu u caricu P nant’à a fig. 7 quandu si imagina chì l’anellu hè cacciatu), ella ùn pò ripiglià tali carichi solu per mezu di e forze di membrana. In tali casi, a forza di tagliu è i mumenti di piegatura (fig. 8) ghjocanu un rolu essenziale in a ripartizione di e forze in a cunchiglia, ciò chì in u calculu staticu ci vole à piglià in contu.
Fig. 8
U calculu esattu di una cunchiglia à flessione, fora di u casu speziale più simplice di a cunchiglia cilindrica, raprisenta un compitu assai difficiule. Per e cunchiglie à parete fina si pò custruì una teoria apprussimata simplice è assai utile, basata annantu à u fattu cunnisciutu da a teoria rigorosa chì e tensioni per via di a flessione sò limitate à una zona relativamente stretta vicinu à l’orlu è diminuiscenu prestu cù l’aumentu di a distanza da l’orlu. Questu permette di trascurà un gran numeru di termini in l’equazione differenziale esatta, chì cusì piglia una forma simplificata.
S’è in a zona di bordu chì hè solu d’interessu κ si rimpiazza da u valore mediu, è questu hè guasi sempre pussibule, a suluzione di l’equazione hè
Eq. 4 è 5
induve a1, b1, a2, b2 sò custanti d’integrazione. Siccomu a suluzione hè interessante solu vicinu à u bordu φ=φ0, hè cunveniente introduce a distanza angulare ω=φ0-φ o ω=φ-φ0 da stu bordu cum’è coordenata, è cusì per trasfurmazione di a suluzione sopra mintuvata si ottene l’altra espressione indicata. Quì appariscenu solu duie custanti d’integrazione A, B o C, ψ, postu chì l’altra parte di a suluzione chì cuntene u fattore eκω, è dunque chì ùn diminuisce micca cù a crescita di ω, pò esse esclusa da a discussione.
In basa à l’equazione 5 si ottenenu i valori seguenti per e forze di sezzione è a rotazione κ di a tangente di u meridianu:
Tensioni per via di a flessione in serbatoi di forma di cilindru circulare
Ch’ellu sia un reservoir cilindricu d’altezza h pienu d’acqua (fig. 9), tandu à l’altezza x sopra à dui reservoir a pressione di l’acqua hè p=γ(h-x). S’è à sta altezza, cù dui tagli orizzuntali à distanza dx. si taglia da u reservoir un anellu è quessu si divide longu un diametru in dui parte, a cundizione d’equilibriu d’una di elle dà a forza di membrana in l’anellu Nφ=pa. S’è u spessore di u reservoir in stu locu hè t, a dilatazione in l’anellu hè εφ=Nφ/Et è dunque l’aumentu di u raghju di u reservoir (abbassamentu) hè
À u bordu inferiore x=0 hè dunque
Fig. 9
Nè l’una nè l’altra ùn sò in regula in cunfurmità cù e cundizioni limite, perchè a deformazione di u muru hè impedita da u ligame cù u fondu di u reservoir. In issu casu, à l’unione trà u fondu è u muru di u cilindru appariscenu e forze trasversali Qx0 è i mumenti Mx0 (fig. 11), a so grandezza ci vole à determinà la in tale modu chì, inseme cù e forze membranose appena calculate in a cunchiglia, pruvuchinu sta deformazione à u bordu di a cunchiglia chì hè permessa da u fondu.
Fig. 10, 11, 12, rispettivamente
In a fig. 11 hè prisentatu l’elementu di a calotta dx*a dφ cù e forze chì agiscenu nant’à ellu. A cundizione d’equilibriu di e forze in direzzione di a nurmale à a calotta dà
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
da induve per divisione cù dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Da a cundizione chì u mumentu annantu à a tangente orizontale à u cilindru hè zeru, si ottene:
dM/dx = M’x = Qx
Eliminendu a forza trasversale Qx da ste duie equazioni, ne vene
a M’’x + Nφ = p a.
Eq. 6
In issa equazione, ste forze di tagliu scunnisciute ponu esse espresse per mezu di a freccia w. Per Nφ hè dighjà statu trovu Nφ=Etw/a, è u mumentu hè prupurziunale à a curvatura di u meridianu w’’, vale à dì Mx=Kw’’, induve, cum’è per e lastre, K=Et3/12(1-μ2) hè a rigidezza di a cunchiglia, chì pò esse variabile cù x. S’è sti espressioni pè e forze medie sò inserite in l’equazione (6), si ottene l’equazione differenziale di a teoria di i serbatoi:
Per un serbatoiu di cui u spessore di u muru hè invariabile, a suluzione hè:
Unu.7
induve λ4=3(1-μ2)/a2t2. S’è λh hè grande (diciamu, più grande chè 3), hè più cunveniente d’introduce funzioni esponenziali invece di e funzioni iperboliche, è tandu:
Unu.8
Tandu si ponu determinà indipindentemente l’una di l’altra e custanti A1, B1 da e cundizioni à u limitu nant’à u bordu inferiore, è e custanti A2, B2 da e cundizioni à u limitu nant’à u bordu superiore, cù u risultatu chì di regula si ottene A2=B2=0. Nantu à a basa di l’equazione (8) è (7) si ottenenu e forze di tagliu, quandu u calculu si face in sensu inversu è s’inserisce in ogni locu l’equazione (8) è (7); cusì, per esempiu, per A2=B2=0:
Quandu i muri di u serbatoiu sò rigidamente incastrati in a lastra, nant’à u fondu di u serbatoiu, abbastanza spessu da pudè esse cunsideratu rigidu, e custante A1, B1 devenu esse determinate da e cundizione chì x=0, w=0 è w’=0, è si ottene:
S’è u fondu di u serbatu hè una piastra elastica o una cunchiglia, e forze trasversali Qx è i mumenti Mx longu à u circulu di cunfine trà u fondu è u muru di u cilindru ci vole à determinà li cù i metudi di a teoria di i sistemi staticamente indeterminati, nantu à a basa di a cundizione chì Mx è w’ per e duie parte anu u listessu valore.