Si chiamano gusci le strutture superficiali la cui superficie media non è piana, bensì notevolmente convessa. Il loro comportamento statico si discosta in modo significativo da quello della lastra. Quando hanno una forma adatta, le loro tensioni sono notevolmente più basse, la loro rigidezza è opportunamente maggiore e il calcolo, nella maggior parte dei casi, è più semplice.
Lo stato tensionale di ogni guscio può essere scomposto in due parti: tensione membranale e flessione. Le tensioni membranali, analogamente alle tensioni di una piastra caricata nel suo piano, possono essere espresse mediante le forze di sezione nel piano tangenziale – ad esempio, nella sezione x=const. la forza normale _Nx=_σx*t e la forza di taglio _Nxy=_τxy*t, dove t è lo spessore del guscio. Le tensioni dovute alla flessione sono le stesse delle piastre e possono essere rappresentate dai momenti flettenti Mx, dai momenti torcenti Mxy e dalle forze di taglio Qx.
Le caratteristiche essenziali dei gusci si basano sul fatto che, di regola, le tensioni dovute alla flessione non hanno né l’entità né l’importanza delle tensioni membranali, per cui spesso possono essere del tutto trascurate. In tal caso tutte le tensioni sono uniformemente distribuite lungo lo spessore del guscio e agiscono tangenzialmente alla superficie media. I calcoli basati su queste ipotesi rientrano nell’ambito della teoria membranale dei gusci.
Teoria membranale delle gusci rotazionalmente simmetrici sotto carico rotazionalmente simmetrico
Formule generali
Per le linee coordinate si assumono i meridiani e i cerchi paralleli sulla superficie media del guscio, quindi le coordinate sono: azimut ϑ (“longitudine geografica”) e inclinazione φ della tangente al meridiano rispetto al piano perpendicolare all’asse di simmetria (fig. 1a). Di conseguenza, le forze di sezione sono: forza normale Nφ nella direzione del meridiano e forza normale Nϑ nell’anello (fig. 1b). Le forze di taglio Nφϑ non compaiono nel caso di sollecitazione simmetricamente rotazionale. Il carico per unità di superficie si indica nel modo seguente (fig. 1b): Y tangenziale al meridiano, positivo nel verso in cui cresce φ, Z normale al guscio, positivo verso l’asse di simmetria.
Fig. 1
Fig. 2
Sia r1 il raggio di curvatura del meridiano. Esso è funzione dell’angolo φ, pertanto con l’equazione _r1=r1(_φ) è determinata la forma del meridiano. Questa può essere considerata come equazione del meridiano e, per esempio, si scrive così.
per il cerchio r1=a=const.
per la parabola r1=a/cos3__φ
per l’ellisse r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Per il calcolo della forza normale N__φ nella direzione del meridiano occorre impostare la condizione di equilibrio della parte di guscio che si trova al di sopra del cerchio parallelo φ (fig. 2). La risultante R dei carichi Y e Z che agiscono su questa parte è verticale, per simmetria. Il suo valore si ottiene integrando sulla superficie del guscio da φ’=0 a φ’=φ. La superficie dell’elemento di guscio è dF=r1d__φ’*rd__ϑ, quindi la componente verticale del carico (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Per l’intera parte anulare del guscio compresa tra i cerchi φ’ e φ’+dφ’ la risultante del carico esterno è:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
da cui, integrando rispetto a φ’ per la parte della calotta che si trova al di sopra del cerchio parallelo φ’=φ, si ottiene:
Eq. 1
Questo carico è assorbito dalle forze normali nella direzione del meridiano, che agiscono lungo la circonferenza del cerchio considerato; la componente verticale della risultante di queste forze è 2__πr * N__φ sin__φ, e uguagliando si ottiene la forza normale richiesta
Eq. 2
Se il guscio nella parte superiore è tagliato lungo il cerchio φ=φ0 (ad es. apertura di illuminazione nella cupola), il limite inferiore dell’integrale è, naturalmente, φ0, e non zero. Se sul bordo del guscio così ottenuto agisce anche il carico R0, esso deve essere aggiunto anche alla risultante R (fig. 3).
Fig. 3
Per determinare la forza normale N__ϑ occorre impostare la condizione di equilibrio dell’elemento di guscio perpendicolarmente al piano tangenziale (fig. 4). La risultante del carico esterno in questa direzione è Z r1 d__φ r d__ϑ. Le forze N__φ*r d__ϑ che giacciono nel piano meridiano formano tra loro un piccolo angolo d__φ, perciò la loro risultante nella direzione della normale al guscio è N__φ r d__ϑ*dφ. Analogamente, anche le forze Nϑ r1 dφ che giacciono nel piano del cerchio orizzontale e formano tra loro un angolo dϑ hanno una risultante Nϑ r1 dφ*dϑ che pure giace nel piano del cerchio orizzontale e quindi con la normale al guscio forma l’angolo 0,5_π-φ_, per cui nella condizione di equilibrio entra soltanto la loro componente Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. La condizione di equilibrio quindi è la seguente
oppure, quando si divide per r r1 dϑ dφ:
Eq. 3
Qui con r2=r/sinφ è indicato il secondo raggio principale di curvatura della calotta.
Fig. 4
Cupola circolare
Quando la forma del meridiano è data analiticamente dall’equazione r1=r1(φ) e quando per i carichi Y(φ) e Z(φ) sono dati espressioni analitiche, le forze di taglio nel guscio possono sempre essere determinate per integrazione in forma chiusa oppure numericamente, usando la regola di Simpson-. Per una cupola circolare di diametro a si riportano qui di seguito le forze di taglio per alcuni casi di carico:
L’ultima formula, che per φ=0 fornisce forze di taglio infinitamente grandi, vale solo a una certa distanza dal punto di applicazione della forza. Nelle immediate vicinanze del punto in cui agisce la forza, anche quando essa è distribuita sulla superficie di un cerchio di diametro finito ma piccolo, il carico viene trasmesso soprattutto per flessione.
Le forme per gusci aperti nella parte superiore possono essere ricavate dalle precedenti, se al carico reale si aggiunge un carico fittizio P nel vertice, la cui entità si determina in modo che la forza normale totale nella direzione del meridiano che agisce sul bordo superiore del guscio φ=φ0 sia Nφ=0, oppure uguale a un certo valore determinato dalle forze esterne che il guscio riceve in questo punto.
Guscio conico
Fig. 5
Nel caso della calotta conica, l’inclinazione del meridiano φ non può essere usata come coordinata, poiché in tutti i punti ha lo stesso valore. Al suo posto si introduce la distanza s dal vertice della cupola misurata lungo la generatrice (fig. 5). La forza normale nella direzione del meridiano si indica di conseguenza con Ns. Gli schemi necessari si possono ottenere da quelli riportati sotto 1 quando si esegue il passaggio al limite. Dall’equazione (2) si ottiene in tal modo
e dall’equazione (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Per i casi di carico più importanti valgono i seguenti schemi:
Procedimento grafico per una forma qualsiasi del meridiano
Fig. 6
Quando la curva meridiana non è data da un’espressione analitica, ma, per esempio, graficamente, la determinazione del raggio di curvatura è troppo difficile e troppo imprecisa. In tal caso è più opportuno ricorrere al procedimento grafico (fig. 6).
La calotta si suddivide con un maggior numero di piani φ=const., si calcolano i pesi Δ_R_ delle zone ad anello che si trovano tra i piani e, se possibile, si dividono subito per 2_π_. Queste forze ΔR/2π si riportano nel piano delle forze (fig. 6b). Se poi, ad esempio, attraverso il punto di divisione 7 si traccia una retta parallela alla tangente al meridiano nel punto del meridiano 7, l’orizzontale passante per il punto superiore del piano delle forze la intersecherà sulla lunghezza R1/2π sinφ7, dalla quale, in base all’equazione (2), dividendo per il corrispondente r, si ottiene la corrispondente forza normale nella direzione del meridiano.
Per determinare le forze negli anelli si usa la condizione di equilibrio delle forze orizzontali su un elemento di guscio. Se agiscono solo carichi verticali, questa condizione è (fig. 4):
Quando qui dφ viene sostituito dalla differenza finita Δφ, corrispondente alla suddivisione assunta della calotta, e quando al posto di r1 dφ viene inserita la lunghezza Δs dell’elemento di meridiano, da ciò si ottiene
Tra parentesi, sul lato destro, si trova il segmento sulla retta orizzontale nel diagramma delle forze. L’intero lato destro rappresenta pertanto i segmenti tra i punti di divisione su tale retta. Per poterli leggere con sufficiente precisione, il diagramma delle forze deve essere disegnato con cura e in una scala sufficientemente grande.
Anelli tesi e compressi
Ogni guscio assialmente simmetrico è delimitato da uno o due cerchi orizzontali (fig. 7). Su questi bordi esso può, in linea di principio, ricevere soltanto quei carichi e quelle reazioni degli appoggi che hanno direzione tangente al meridiano. Se le forze esterne hanno un’altra direzione, come ad esempio il carico P della parte superiore della struttura o la reazione S del fondo del serbatoio mostrato in fig. 97, tali forze devono essere, come mostrato in figura, scomposte in componenti nella direzione del cerchio orizzontale e della tangente al meridiano. La componente P/sinφ0 oppure S/sinφu è uguale alla forza normale nella direzione del meridiano Nφ che agisce in quel punto, mentre per l’assunzione della forza orizzontale Pctgφ0 oppure Sctgφu è necessario un anello che sopporti trazione, ossia compressione, e nel quale questo carico radiale provoca una forza normale + P r0 ctgφ0, ossia -S ru ctgφu. Tali anelli, oltre che sui bordi del guscio, devono essere disposti anche in tutti quei punti in cui la curva del meridiano presenta una discontinuità. Essi provocano sempre una perturbazione dello stato tensionale membranale.
Fig. 7
Tensioni dovute alla flessione nelle membrane a simmetria rotazionale
Gli schemi della teoria delle membrane non contengono un numero sufficiente di costanti di integrazione per poter soddisfare tutte le condizioni al contorno che corrispondono realmente al problema posto. In particolare, nel caso delle calotte assialsimmetriche, non è possibile, con una scelta opportuna delle costanti di integrazione, ottenere che la dilatazione εϑ = Nϑ/Et nella direzione dell’anello lungo il bordo della calotta sia uguale alla corrispondente dilatazione di un’altra parte costruttiva che in quel punto è rigidamente collegata con essa. Lo stesso vale anche per le calotte nelle quali, lungo una circonferenza orizzontale, cambiano bruscamente la curvatura meridiana, lo spessore della calotta o il carico per unità di superficie. Anche quando la calotta lungo un bordo non è irrigidita da un anello, ma in quel punto è soggetta a forze che hanno una componente nella direzione della normale alla calotta (ad es. il carico P in fig. 7 quando si immagina che l’anello sia rimosso), essa non può assorbire tali carichi solo tramite le tensioni di membrana. In questi casi la forza di taglio e i momenti flettenti (fig. 8) svolgono un ruolo essenziale nella distribuzione delle forze nella calotta, cosa che nel calcolo statico deve essere presa in considerazione.
Fig. 8
Il calcolo esatto di un guscio a flessione, salvo nel caso speciale più semplice del guscio cilindrico, rappresenta un compito molto difficile. Per i gusci a parete sottile si può elaborare una teoria approssimata semplice e molto utilizzabile, basata sul fatto noto dalla teoria rigorosa che le tensioni dovute alla flessione sono limitate a una zona relativamente stretta presso il bordo e diminuiscono rapidamente con l’aumentare della distanza dal bordo. Ciò permette di trascurare un gran numero di termini nell’equazione differenziale esatta, che così assume una forma semplificata.
Se all’interno della zona di bordo, che è l’unica interessante κ, si sostituisce il valore medio, e ciò è quasi sempre possibile, la soluzione dell’equazione è
Eq. 4 e 5
dove a1, b1, a2, b2 sono costanti di integrazione. Poiché la soluzione è interessante solo in prossimità del bordo φ=φ0, è opportuno introdurre come coordinata la distanza angolare ω=φ0-φ oppure ω=φ-φ0 da questo bordo, e mediante la trasformazione della soluzione sopra indicata si ottiene la seconda espressione menzionata. Qui compaiono solo due costanti di integrazione A, B oppure C, ψ, poiché la seconda parte della soluzione che contiene il fattore eκω e, quindi, non diminuisce con l’aumentare di ω, può essere esclusa dall’analisi.
Sulla base dell’equazione 5 si ottengono i seguenti valori per le forze di taglio e la rotazione κ della tangente meridiana:
Tensioni dovute alla flessione nei serbatoi di forma cilindrica circolare
Supponiamo che un serbatoio cilindrico di altezza h sia riempito d’acqua (fig. 9), allora all’altezza x sopra i due serbatoi la pressione dell’acqua è p=γ(h-x). Se a questa altezza, con due sezioni orizzontali a distanza dx., si ricava dal serbatoio un anello e lo si divide lungo un diametro in due parti, la condizione di equilibrio di una di esse fornisce la forza di membrana nell’anello Nφ=pa. Se lo spessore del serbatoio in questo punto è t, la dilatazione nell’anello è εφ=Nφ/Et e pertanto l’aumento del raggio del serbatoio (inflessione) è
Sul bordo inferiore x=0 vale pertanto
Fig. 9
Né l’uno né l’altro, di norma, è in accordo con le condizioni al contorno, poiché la deformazione della parete è impedita dal collegamento con il fondo del serbatoio. In corrispondenza del collegamento tra il fondo e la parete del cilindro compaiono forze trasversali Qx0 e momenti Mx0 (fig. 11), la cui entità deve essere determinata in modo tale che, insieme alle forze di membrana appena calcolate nella calotta, provochino questa deformazione sul bordo della calotta consentita dal fondo.
Fig. 10, 11, 12, rispettivamente
Nella fig. 11 è mostrato l’elemento del guscio dx*a dφ con le forze che agiscono su di esso. La condizione di equilibrio delle forze nella direzione della normale al guscio fornisce
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
da cui, dividendo per dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Dalla condizione che il momento attorno alla tangente orizzontale al cilindro sia nullo si ottiene:
dM/dx = M’x = Qx
Eliminando la forza trasversale Qx da queste due equazioni risulta
a M’’x + Nφ = p a.
Eq. 6
In questa equazione queste forze di sezione incognite possono essere espresse mediante la freccia w. Per Nφ è già stato trovato Nφ=Etw/a, e il momento è proporzionale alla curvatura del meridiano w’’, cioè Mx=Kw’’, dove, come per le piastre, K=Et3/12(1-μ2) è la rigidezza del guscio, che può variare con x. Se questi espressioni per le forze medie vengono inserite nell’equazione (6), si ottiene l’equazione differenziale della teoria dei serbatoi:
Per un serbatoio di spessore della parete costante, la soluzione è la seguente:
Eq. 7
dove λ4=3(1-μ2)/a2t2. Se λh è grande (ad esempio, maggiore di 3), è più conveniente introdurre funzioni esponenziali invece di quelle iperboliche, quindi:
Eq. 8
In tal caso le costanti A1, B1 possono essere determinate indipendentemente l’una dall’altra dalle condizioni al contorno sul bordo inferiore, e le costanti A2, B2 dalle condizioni al contorno sul bordo superiore, ottenendosi di regola A2=B2=0. Sulla base delle equazioni (8) e (7) si ottengono le forze di taglio, quando il calcolo viene eseguito in senso inverso e in tutti i punti si introduce l’equazione (8) e (7); così, ad esempio, per A2=B2=0:
Quando le pareti del serbatoio sono rigidamente incastrate nella piastra, sul fondo del serbatoio, che è sufficientemente spesso da potersi considerare rigido, le costanti A1, B1 devono essere determinate dalle condizioni x=0, w=0 e w’=0 e si ottiene:
Se il fondo del serbatoio è una piastra elastica o una calotta, le forze trasversali Qx e i momenti Mx lungo il cerchio di bordo tra il fondo e la parete del cilindro devono essere determinati con i metodi della teoria dei sistemi staticamente indeterminati, sulla base dell’esigenza che Mx e w’ per entrambe le parti abbiano lo stesso valore.