Ljuske su površinski nosači čija srednja površina nije ravna nego je zamjetno ispupčena. Njihovo statičko ponašanje znatno odstupa od ponašanja ploče. Kada imaju prikladan oblik, njihovo je naprezanje znatno manje, njihova krutost u odgovarajućoj mjeri veća, a proračun je u većini slučajeva jednostavniji.
Naprezanje svake ljuske može se razložiti na dva dijela: membransko naprezanje i savijanje. Membranska naprezanja se, slično kao i naprezanja kod ploče opterećene u svojoj ravnini, mogu izraziti pomoću presječnih sila u tangencijalnoj ravnini – to su npr. u presjeku x=const. normalna sila _Nx=_σx*t i smična sila _Nxy=_τxy*t, gdje je t debljina ljuske. Naprezanja uslijed savijanja ista su kao i kod ploča i mogu se predstaviti momentima savijanja Mx, torzijskim momentima Mxy i smičnim silama Qx.
Bitna svojstva ljuski temelje se na činjenici da, po pravilu, naprezanja uslijed savijanja nemaju ni veličinu ni značenje membranskih naprezanja, tako da se često mogu potpuno zanemariti. U tom su slučaju sva naprezanja ravnomjerno raspoređena po debljini ljuske i djeluju tangencijalno na srednju površinu. Proračuni koji se temelje na tim pretpostavkama ulaze u okvir membranske teorije ljuski.
Membranska teorija rotacijski simetričnih ljuski pod rotacijski simetričnim opterećenjem
Opći obrasci
Za koordinatne linije usvajaju se meridijani i paralelni krugovi u srednjoj površini ljuske, pa su koordinate: azimut ϑ (“geografska dužina”) i nagib φ tangente na meridijan prema ravnini okomitoj na osovinu simetrije (sl. 1a). Prema tome su presječne sile: normalna sila Nφ u smjeru meridijana i normalna sila Nϑ u prstenu (sl. 1b). Smičuće sile Nφϑ ne pojavljuju se kod rotacijski simetričnog naprezanja. Opterećenje na jedinicu površine označava se na sljedeći način (sl. 1b): Y tangencijalno na meridijan, pozitivno u smjeru u kojem φ raste, Z normalno na ljusku, pozitivno prema osovini simetrije.
Slika 1
Slika 2
Neka je polumjer zakrivljenosti meridijana r1. On je funkcija kuta φ, pa je jednadžbom _r1=r1(_φ) određen oblik meridijana. To se može smatrati jednadžbom meridijana i glasi, npr.
za kružnicu r1=a=const.
kod parabole r1=a/cos3__φ
kod elipse r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Za izračunavanje normalne sile N__φ u smjeru meridijana treba postaviti uvjet ravnoteže dijela ljuske koji leži iznad paralelnog kruga φ (sl. 2). Rezultanta R tereta Y i Z koji djeluju na ovaj dio je vertikalna, s obzirom na simetriju. Njena veličina dobiva se integriranjem po površini ljuske od φ’=0 do φ’=φ. Površina elementa ljuske je dF=r1d__φ’*rd__ϑ, pa je vertikalna komponenta opterećenja (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Za cijeli prstenasti dio ljuske koji leži između krugova φ’ i φ’+dφ’ rezultanta vanjskog opterećenja je:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
odakle se integriranjem po φ’ za dio ljuske koji leži iznad paralelnog kruga φ’=φ dobiva:
Jedin. 1
Ovo opterećenje preuzimaju normalne sile u smjeru meridijana, koje djeluju po obodu promatranog kruga; vertikalna komponenta rezultante tih sila je 2__πr * N__φ sin__φ, pa se izjednačavanjem odavde dobiva tražena normalna sila
Jed. 2
Ako je ljuska na gornjem dijelu izrezana duž kruga φ=φ0 (npr. otvor za osvjetljenje u kupoli), donja granica integrala je, razumije se, φ0, a ne nula. Ako na rubu ljuske koja je nastala na ovaj način djeluje i opterećenje R0, i to treba dodati rezultanti R (sl. 3).
Slika 3
Za određivanje normalne sile N__ϑ treba postaviti uvjet ravnoteže elementa ljuske okomitog na tangencijalnu ravninu (sl. 4). Rezultanta vanjskog opterećenja u tom smjeru iznosi Z r1 d__φ r d__ϑ. Sile N__φ*r d__ϑ koje leže u meridijalnoj ravnini zatvaraju međusobno mali kut d__φ, pa je njihova rezultanta u smjeru normale na ljusku N__φ r d__ϑ*dφ. Slično tome i sile Nϑ r1 dφ koje leže u ravnini horizontalnog kruga i međusobno tvore kut dϑ imaju rezultantu Nϑ r1 dφ*dϑ koja također leži u ravnini horizontalnog kruga i prema tome s normalom na ljusku zatvara kut 0,5_π-φ_, tako da u uvjet ravnoteže ulazi samo njihova komponenta Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. Uvjet ravnoteže prema tome glasi
ili, kada se podijeli s r r1 dϑ dφ:
Eq. 3
Ovdje je s r2=r/sinφ označen drugi glavni polumjer zakrivljenosti ljuske.
Slika 4
Okrugla kupola
Kada je oblik meridijana analitički zadan jednadžbom r1=r1(φ) i kada su za opterećenja Y(φ) i Z(φ) dani analitički izrazi, poprečne sile u ljusci mogu se uvijek odrediti integriranjem u zatvorenom obliku ili numerički, koristeći Simpson-ovo pravilo. Za kružnu kupolu promjera a u nastavku se daju poprečne sile za neke slučajeve opterećenja:
Posljednji obrazac, koji za φ=0 daje beskonačno velike poprečne sile, vrijedi tek na određenoj udaljenosti od napadne točke sile. U neposrednoj okolini mjesta na kojem djeluje sila, čak i kada je ona raspodijeljena po površini kruga konačnog ali malog promjera, opterećenje se uglavnom prenosi savijanjem.
Oblici za školjke otvorene na gornjem dijelu mogu se izvesti iz prethodnih, ako se na stvarno opterećenje doda fiktivni teret P u vrhu, čija se veličina tako određuje ako ukupna normalna sila u smjeru meridijana koja djeluje na gornjem rubu školjke φ=φ0 iznosi Nφ=0, ili je jednaka nekoj vrijednosti određenoj vanjskim silama koje školjka ovdje prima.
Stožasta ljuska
Slika 5
Kod stožaste ljuske nagib meridijana φ ne može se koristiti kao koordinata, jer on ima u svim točkama istu vrijednost. Umjesto njega uvodi se odstojanje s od vrha kupole mjereno duž izvodnice (sl. 5). Normalna sila u smjeru meridijana u skladu s tim označava se sa Ns. Potrebni obrasci mogu se dobiti iz navedenih pod 1 kada se provede granični prijelaz. Iz jednadžbe (2) dobiva se na taj način
a iz jednadžbe (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Za najvažnije slučajeve opterećenja vrijede sljedeći obrasci:
Grafički postupak za proizvoljan oblik meridijana
Slika 6
Kad krivulja meridijana nije zadana analitičkim izrazom, nego, primjerice, grafički, određivanje radijusa zakrivljenosti preteško je i previše netočno. U tom je slučaju prikladnije koristiti se grafičkim postupkom (sl. 6).
Ljuska se podijeli većim brojem ravnina φ=const., izračunaju se težine Δ_R_ prstenastih zona koje leže između ravnina i najbolje odmah podijeliti sa 2_π_. Te se sile ΔR/2π nanose u plan sila (sl. 6b). Ako se zatim, npr., kroz podijeljenu točku 7 povuče pravac paralelan tangenti na meridijan u točki meridijana 7, horizontala kroz gornju točku plana sila sjeći će na njoj duž R1/2π sinφ7 iz koje se na osnovu jednadžbe (2) dijeljenjem s odgovarajućim r dobiva odgovarajuća normalna sila u smjeru meridijana.
Za određivanje sila u prstenovima služi uvjet ravnoteže horizontalnih sila na jednom elementu ljuske. Ako djeluju samo vertikalna opterećenja, taj uvjet glasi (sl. 4):
Kada se ovdje dφ zamijeni konačnom razlikom Δφ, koja odgovara usvojenoj podjeli ljuske, i kada se umjesto r1 dφ unese duljina Δs elementa meridijana, odavde se dobiva
U zagradi na desnoj strani stoji odsječak na horizontalnoj pravoj u planu sila. Cjelokupna desna strana prema tome predstavlja odsječke između podjelnih točaka na ovoj pravoj. Da bismo ih mogli dovoljno točno očitati, plan sila treba nacrtati brižljivo i u dovoljno velikom mjerilu.
Napeti i stisnuti prstenovi
Svaka rotacijski simetrična ljuska ograničena je jednim ili dvama horizontalnim krugovima (sl. 7). Na tim rubovima ona načelno može primiti samo takva opterećenja i reakcije oslonaca koji imaju smjer tangente na meridijan. Ako vanjske sile imaju drugi smjer, kao npr. opterećenje P od gornjeg dijela konstrukcije ili reakcija S dna rezervoara prikazanog na sl. 97, te se sile moraju, kako je to na slici prikazano, razložiti na komponente u smjeru horizontalnog kruga i tangente na meridijan. Komponenta P/sinφ0 ili S/sinφu jednaka je normalnoj sili u smjeru meridijana Nφ koja na tom mjestu djeluje, dok je za prihvat horizontalne sile Pctgφ0 ili Sctgφu potreban prsten koji prima zatezanje, odnosno tlak i u kojem ovo radijalno opterećenje izaziva normalnu silu + P r0 ctgφ0, odnosno -S ru ctgφu. Takvi se prstenovi, osim na rubovima ljuske, moraju postaviti i na svim onim mjestima gdje kriva meridijana ima prijelom. Oni uvijek izazivaju poremećaj membranskog stanja naprezanja.
Slika 7
Naponi uslijed savijanja u rotacijski simetričnim ljuskama
Obrasci membranske teorije ne sadrže dovoljan broj integracijskih konstanti da bi se mogli ispuniti svi rubni uvjeti koji stvarno odgovaraju postavljenom zadatku. Posebno kod rotacijski simetričnih ljuski nije moguće nekim prikladnim izborom integracijskih konstanti postići da dilatacija εϑ = Nϑ/Et u smjeru prstena duž ruba ljuske bude jednaka odgovarajućoj dilataciji nekoga drugog konstruktivnog dijela koji je s njom na tom mjestu čvrsto vezan. Isto vrijedi i za ljuske kod kojih se duž jednoga horizontalnog kruga skokovito mijenja zakrivljenost meridijana, debljina ljuske ili opterećenje po jedinici površine. I kada ljuska duž nekoga ruba nije ukrućena prstenom, ali je na tom mjestu opterećena silama koje imaju komponentu u smjeru normale na ljusku (npr. opterećenje P na sl. 7 kada se zamisli da je prsten uklonjen), ona ne može primiti takva opterećenja samo preko membranskih sila. U ovakvim slučajevima poprečna sila i momenti savijanja (sl. 8) igraju bitnu ulogu pri rasporedu sila u ljusci, što se u statičkom proračunu mora uzeti u obzir.
Sl. 8
Točan proračun ljuske na savijanje, osim u najjednostavnijem posebnom slučaju cilindrične ljuske, predstavlja veoma težak zadatak. Za ljuske s tankim zidovima može se izgraditi jednostavna i vrlo uporabljiva približna teorija koja se oslanja na činjenicu poznatu iz stroge teorije, da se naponi uslijed savijanja ograničavaju na relativno usku zonu uz rub i brzo opadaju s porastom udaljenosti od ruba. To omogućuje da se veliki broj članova u točnoj diferencijalnoj jednadžbi zanemari, pa ova dobiva pojednostavljen oblik.
Ako se unutar rubne tone koja je jedino interesantna κ zamijeni srednjom vrijednošću, a ovo je skoro uvijek moguće, rješenje jednadžbe je
Jedinice 4 i 5
gdje su a1, b1, a2, b2 integracijske konstante. Kako je rješenje zanimljivo samo u blizini ruba φ=φ0, prikladno je da se kutni razmak ω=φ0-φ ili ω=φ-φ0 od tog ruba uvede kao koordinata, pa se transformacijom gore navedenog rješenja dobiva drugi navedeni izraz. Ovdje se pojavljuju samo dvije integracijske konstante A, B ili C, ψ, budući da se drugi dio rješenja koji sadrži faktor eκω, i prema tome s porastom ω ne opada, može isključiti iz razmatranja.
Na temelju jednadžbe 5 dobivaju se sljedeće vrijednosti za poprečne sile i zakretanje κ tangente meridijana:
Naponi uslijed savijanja u spremnicima kružnoga cilindra
Neka je cilindrični rezervoar visine h napunjen vodom (sl. 9), tada je na visini x iznad dva rezervoara pritisak vode p=γ(h-x). Ako se na toj visini s dva horizontalna reza na razmaku dx. iz rezerovara izreže prsten i taj se podijeli duž jednog promjera na dva dijela, uvjet ravnoteže jednoga od njih daje membransku silu u prstenu Nφ=pa. Ako je debljina rezervoara na tome mjestu t, dilatacija u prstenu je εφ=Nφ/Et i prema tome povećanje polumjera rezervoara (ugib) je
Na donjem rubu x=0 je prema tome
Slika 9
Ni jedno ni drugo po pravilu nije u suglasnosti s rubnim uvjetima, jer je deformacija zida spriječena zbog veze s dnom spremnika. Pri tome se na vezi između dna i zida cilindra pojavljuju transverzalne sile Qx0 i momenti Mx0 (sl. 11), čiju veličinu treba tako odrediti da zajedno s upravo proračunatim membranskim silama u ljusci izazivaju ovu deformaciju na rubu ljuske koju dopušta dno.
Sl. 10, 11, 12, redom
Na sl. 11 prikazan je element ljuske dx*a dφ sa silama koje na njega djeluju. Uvjet ravnoteže sila u smjeru normale na ljusku daje
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
odakle dijeljenjem s dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Iz uvjeta da je moment oko horizontalne tangente na cilindar jednak nuli dobiva se:
dM/dx = M’x = Qx
Eliminacijom transverzalne sile Qx iz ovih dviju jednadžbi slijedi
a M’’x + Nφ = p a.
Jedinica 6
U ovoj jednadžbi se te nepoznate presječne sile mogu izraziti pomoću progiba w. Za Nφ je već nađeno Nφ=Etw/a, a moment je proporcionalan zakrivljenosti meridijana w’’, tj. Mx=Kw’’, pri čemu je kao i kod ploča K=Et3/12(1-μ2) krutost ljuske, koja može biti promjenljiva s x. Ako se ovi izrazi za prosječne sile unesu u jednadžbu (6), dobiva se diferencijalna jednadžba teorije rezervoara:
Za spremnik čija je debljina stijenke nepromjenjiva rješenje glasi:
Eq. 7
gdje je λ4=3(1-μ2)/a2t2. Ako je λh veliko (recimo, veće od 3), zgodnije je da se umjesto hiperboličkih funkcija uvedu eksponencijalne, pa je:
Eq. 8
Tada se mogu neovisno jedna od druge odrediti konstante A1, B1 iz rubnih uvjeta na donjoj, a konstante A2, B2 iz rubnih uvjeta na gornjem rubu, pri čemu se u pravilu dobiva A2=B2=0. Na temelju jednadžbe (8) i (7) dobivaju se poprečne sile, kada se proračun provede u obrnutom smjeru i posvuda uvede jednadžba (8) i (7); tako je npr. za A2=B2=0:
Kada su zidovi spremnika kruto ukliješteni u ploču, na dnu spremnika koja je dovoljno debela da se može smatrati krutom, konstante A1, B1 treba odrediti iz uvjeta da je x=0, w=0 i w’=0 pa se dobiva:
Ako je dno spremnika elastična ploča ili ljuska, poprečne sile Qx i momente Mx duž rubnog kruga između dna i zida cilindra treba odrediti metodama teorije statički neodređenih sustava na temelju zahtjeva da Mx i w’ za oba dijela imaju istu vrijednost.