ෂෙල් ලෙස හැඳින්වෙන්නේ මධ්ය පෘෂ්ඨය සම්තල නොව, පැහැදිලිව උඩුබිම් වූ පෘෂ්ඨ දරන වාහකයන්ය. ඒවායේ ස්ථිතික හැසිරීම තහඩුවක හැසිරීමට වඩා සැලකිය යුතු ලෙස වෙනස් වේ. සුදුසු ආකාරයක් ඇති විට ඒවායේ ආතතිය සැලකිය යුතු ලෙස අඩු වන අතර, ඒවායේ දැඩිභාවය සුදුසු පරිදි වැඩි වේ, තවද ගණනය බොහෝ අවස්ථාවල සරල වේ.
ඕනෑම ආවරණයක ආතතිය කොටස් දෙකකට බෙදිය හැකිය: පටලීය ආතතිය සහ වක්රණය. තලය තුළ බර දරා ඇති තහඩුවක ආතති මෙන්ම, පටලීය ආතතිද ස්පර්ශක තලයේ අංශ බල භාවිතයෙන් ප්රකාශ කළ හැක. උදාහරණයක් ලෙස x=const. අංශයේ සාමාන්ය බලය _Nx=_σx*t සහ කතන බලය _Nxy=_τxy*t වේ; මෙහි t යනු ආවරණයේ ඝනකමයි. වක්රණයෙන් ඇති ආතති තහඩු වල මෙන්ම එකම වන අතර, වක්රණ මොහොත Mx, භ්රමණ මොහොත Mxy සහ කතන බල Qx මගින් නිරූපණය කළ හැක.
ආවරණවල වැදගත් ලක්ෂණ පදනම් වන්නේ වක්රණයෙන් ඇති ආතති සාමාන්යයෙන් පටලීය ආතතිවල මෙන් ප්රමාණයෙන් හෝ වැදගත්කමෙන් නොපවතින බැවින්, බොහෝවිට ඒවා සම්පූර්ණයෙන්ම නොසලකා හැරිය හැකි යන කරුණ මතය. එවැනි අවස්ථාවක සියලු ආතති ආවරණයේ ඝනකම පුරා සමානව බෙදී ඇති අතර, මධ්ය පෘෂ්ඨයට ස්පර්ශකව ක්රියා කරයි. මෙම උපකල්පන මත පදනම් වූ ගණනයන් ආවරණවල පටලීය න්යාය තුළට අයත් වේ.
භ്രമණ-සමමිතික ආවරණ සඳහා භ്രമණ-සමමිතික භාර යටතේ ඇති මෙම්බ්රේන් න්යාය
සාමාන්ය රටා
සම්බන්ධක රේඛා ලෙස පිටුල් (meridians) සහ සමාන්තර වෘත්තයන් කවචයේ මධ්ය පෘෂ්ඨයේ ගනු ලබන අතර, එම නිසා සම්බන්ධීකරණයන් වන්නේ: අසිමූත් ϑ (“භූගෝලීය දේශාංශය”) සහ සමමිතියේ අක්ෂයට ලම්බ පෘෂ්ඨයට සාපේක්ෂව පිටුලට ස්පර්ශකයේ අනුනතිය φ (රූප. 1a). ඒ අනුව කප්පාදු බලයන් වන්නේ: පිටුල දිශාවේ සාමාන්ය බලය Nφ සහ වටය තුළ සාමාන්ය බලය Nϑ (රූප. 1b). භ්රමණ-සමමිතික ආතතියේදී කප්පාදු බලයන් Nφϑ පෙනී නොයයි. ඒකක පෘෂ්ඨයක බර පහත පරිදි සලකුණු කෙරේ (රූප. 1b): Y පිටුලට ස්පර්ශක, φ වැඩෙන දිශාවට ධන, Z කවචයට සාමාන්ය, සමමිතියේ අක්ෂය දෙසට ධන.
රූ. 1
රූපය 2
මධ්යරේඛාවේ වක්රතා අරය r1 යැයි ගනිමු. එය φ කෝණයේ ක්රියාවලියක් බැවින් _r1=r1(_φ) යන සමීකරණයෙන් මධ්යරේඛාවේ හැඩය තීරණය වේ. මෙය මධ්යරේඛාවේ සමීකරණය ලෙස සැලකිය හැකි අතර, උදාහරණයක් ලෙස මෙසේය.
වෘත්තය සඳහා r1=a=const.
parabolu සඳහා r1=a/cos3__φ
ඉලිප්සයක් සඳහා r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
සම්මිත අර්ධ රේඛා දිශාවෙන් සාමාන්ය බලය N__φ ගණනය කිරීමට, φ සමීකරණ වෘත්තයට ඉහළින් ඇති පීඨිකාවේ කොටසෙහි සමතුලිතතා කොන්දේසිය සකස් කළ යුතුය (රූප 2). සමමිතිය සැලකිල්ලට ගනිමින්, මෙම කොටසට ක්රියා කරන Y සහ Z බරවල ප්රතිඵලය R සිරස් වේ. එහි අගය ලබාගන්නේ φ’=0 සිට φ’=φ දක්වා පීඨිකා පෘෂ්ඨය පුරා ඒකාබද්ධ කිරීමෙන්ය. පීඨිකා මූලද්රව්යයේ පෘෂ්ඨ ප්රමාණය dF=r1d__φ’*rd__ϑ වේ, එවිට බරේ සිරස් සංඝටකය (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF වේ. φ’ සහ φ’+dφ’ වෘත්තයන් අතර ඇති සම්පූර්ණ වළලු ආකාර පීඨිකා කොටස සඳහා බාහිර බරේ ප්රතිඵලය මෙසේය:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
එතැන් සිට φ’ අනුව, φ’=φ සමාන්තර වෘත්තයට ඉහළින් පවතින කවචයේ කොටස සඳහා ඒකාකලනය කිරීමෙන් ලැබෙන්නේ:
සමී. 1
මෙම භාරය ගෙනයන්නේ මෙරිඩියන් දිශාවේ සාමාන්ය බලයන් වන අතර, ඒවා සලකුණු කරන වෘත්තයේ පරිධිය ඔස්සේ ක්රියා කරයි; මෙම බල들의 ප්රතිඵලයේ සිරස් සංඝටකය 2__πr * N__φ sin__φ, වන අතර, එහි සමානීකරණයෙන් මෙතැනින් අවශ්ය සාමාන්ය බලය ලබාගනී
සමීක. 2
ඉහළ කොටසෙහි පටිල්ල φ=φ0 රේඛාව ඔස්සේ කපන ලද්දේ නම් (උදා: ගෝලාකාර කුපොලයේ ආලෝකකරණ විවරය), ඒ අනුව සංයෝගකයේ පහළ සීමාව, සැබවින්ම, φ0 වන අතර ශූන්ය නොවේ. මේ ආකාරයෙන් ඇති වූ පටිල්ලේ දාරය මත R0 නම් බරක්ද ක්රියා කරන්නේ නම්, එයද ප්රතිඵල බලය R වෙත එක් කළ යුතුය (රූ. 3).
රූ. 3
සාමාන්ය බලය N__ϑ තීරණය කිරීමට තැන්ජෙන්ෂීය තලයට ලම්බව ෂෙල් මූලද්රව්යයේ සමතුලිතතා කොන්දේසිය පිහිටුවිය යුතුය (රූ. 4). මෙම දිශාවේ බාහිර බරෙහි ප්රතිඵලය Z r1 d__φ r d__ϑ වේ. මැරිඩියන තලයේ පිහිටි N__φ*r d__ϑ බලයන් එකිනෙකා අතර d__φ කුඩා කෝණයක් සාදන බැවින්, ෂෙල්ට සාමාන්ය දිශාවේ ඒවායේ ප්රතිඵලය N__φ r d__ϑ*dφ වේ. ඒ හා සමානව, තිරස් වෘත්තයේ තලයේ පිහිටි Nϑ r1 dφ බලයන් එකිනෙකා අතර dϑ කෝණයක් සාදන අතර ඒවායේ ප්රතිඵලය Nϑ r1 dφ*dϑ වන අතර, එයද තිරස් වෘත්තයේ තලයේම පිහිටන බැවින්, ෂෙල්ට සාමාන්ය දිශාව සමඟ 0,5_π-φ_ කෝණයක් සාදයි, එබැවින් සමතුලිතතා කොන්දේසියට ඇතුළත් වන්නේ ඒවායේ සංඝටකය පමණි Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. එබැවින් සමතුලිතතා කොන්දේසිය මෙසේය
හෝ, r r1 dϑ dφ මගින් බෙදූ විට:
එකක්.3
මෙහි r2=r/sinφ මගින් කවචයේ වක්රතාවයේ දෙවන ප්රධාන අරය දක්වා ඇත.
රූ. 4
වෘත්තාකාර ගෝලාකාර වහලය
මෙරිඩියානයේ හැඩය විශ්ලේෂණාත්මකව r1=r1(φ) යන සමීකරණයෙන් ද, බරයන් Y(φ) සහ Z(φ) සඳහා විශ්ලේෂණාත්මක ප්රකාශ ලබා දී ඇති විට, ශෙල් එකේ අංශ බලයන් සෑම විටම සෘජු ඒකාබද්ධකරණයෙන් හෝ සංඛ්යාත්මකව, Simpson-ගේ නියමය භාවිතයෙන් තීරණය කළ හැක. විෂ්කම්භය a වූ වෘත්තීය ගෝලාකාර ආවරණයක් සඳහා පහත දැක්වෙන්නේ සමහර බර දමා ඇති අවස්ථාවල අංශ බලයන්ය:
φ=0 සඳහා අතිවිශාල කප්පාදු බලයන් ලබාදෙන අවසන් සූත්රය, බලය ක්රියා කරන ස්ථානයෙන් එක් නිශ්චිත දුරකින් පසුව පමණක් වලංගු වේ. බලය ක්රියා කරන ස්ථානයට ආසන්න ප්රදේශයේදී, එය නිශ්චිත නමුත් කුඩා විෂ්කම්භයක වෘත්තයක පෘෂ්ඨය පුරා බෙදා හැර තිබුණද, බර ප්රධාන වශයෙන් වක්රණයෙන්ම සම්ප්රේෂණය වේ.
ඉහළ කොටසින් විවෘත වූ ශෙල් සඳහා ආකාරයන් පෙර ඒවායෙන්導ද කරගත හැකි ය, ඒ සඳහා සැබෑ බර මත කේන්ද්රයේදී කල්පිත බර P එකතු කර එහි ප්රමාණය මෙසේ නියම කරයි: ශෙල් φ=φ0 හි ඉහළ දාරය මත ක්රියා කරන meridian දිශාවේ මුළු සාමාන්ය බලය Nφ=0 නම්, හෝ මෙහි ශෙල් ලබාගන්නා බාහිර බල මඟින් නියමිත යම් අගයකට සමාන නම්.
කෝණාකාර පීඨිකාව
රූ. 5
කෝනික ලෙල්ලකදී මධ්යරේඛාවේ නැඹුරුව φ සමාන අගයක් සෑම ස්ථානයකම ඇති බැවින් සම්බන්ධිකාංකයක් ලෙස භාවිත කළ නොහැක. එහි වෙනුවට ජනිත රේඛාව දිගේ මැනුම් කළ කුපේ හිසෙහි සිට ඇති දුර s හඳුන්වා දෙනු ලැබේ (රූ. 5). ඒ අනුව මධ්යරේඛා දිශාවේ සාමාන්ය බලය Ns ලෙස සලකුණු කරයි. අවශ්ය ආකෘති ලබා ගත හැක්කේ සීමාමය පරිවර්තනය සිදු කළ විට පහත 1 දක්වා ඇති ඒවායෙන් ය. සමීකරණය (2) මඟින් එමගින්
හා සමානතාව (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
වැදගත්ම බර දරණ අවස්ථා සඳහා පහත සූත්ර අදාළ වේ:
මර්ඩියනියේ අත්තනෝමතික හැඩය සඳහා ග්රාෆික ක්රමය
රූපය. 6
මධ්යකේන්ද්රීය වක්රය විශ්ලේෂණාත්මක ප්රකාශයකින් නොව, උදාහරණයක් ලෙස ග්රාෆිකව දක්වා ඇති විට, වක්රතා අරය තීරණය කිරීම අතිශය දුෂ්කර සහ අතිශය අක්රමික වේ. එවැනි අවස්ථාවකදී ග්රාෆික ක්රමය භාවිතා කිරීම වඩාත් සුදුසුය (sl. 6).
ෂෙල් පෘෂ්ඨය φ=const. වන බොහෝ සමතලයන්ගෙන් බෙදා, එම සමතලයන් අතර පිහිටි වළල්ලාකාර කලාපවල බර Δ_R_ ගණනය කර, 2_π_ න් වහාම ভাগ කිරීම හොඳය. මෙම බල ΔR/2π බල රූපයට (රූපය 6b) යොදනු ලැබේ. ඉන්පසු, උදාහරණයක් ලෙස, බෙදුම් ලක්ෂ්ය 7 හරහා, මෙරිඩියන් ලක්ෂ්යය 7 හි මෙරිඩියන්ට ස්පර්ශකයට සමාන්තර සෘජුවක් ඇඳුවහොත්, බල රූපයේ ඉහළ ලක්ෂ්යය හරහා යන තිරස් රේඛාව එහි R1/2π sinφ7 දිගේ කපයි. එයින්, සමාකරණය (2) අනුව, සුදුසු r න් ভাগ කිරීමෙන් මෙරිඩියන් දිශාවේ සුදුසු සාමාන්ය බලය ලබාගත හැක.
වළයන්හි බල තීරණය සඳහා ශෙල් එකක එක් අංගයක තිරස් බල සමතුලිතතා කොන්දේසිය භාවිතා කරයි. තිරස් භාර පමණක් ක්රියාකරන විට, මෙම කොන්දේසිය මෙසේය (රූ. 4):
මෙහි dφ අවසන් වෙනස Δφ මඟින්, තෝරාගත් ආවරණ බෙදීමට අනුරූපව, ආදේශ කළ විට සහ r1 dφ වෙනුවට මැරිඩියන් මූලද්රව්යයේ දිග Δs ඇතුළත් කළ විට, මෙයින් ලැබෙන්නේ
දකුණු පැත්තේ වරහන් තුළ බල සැලැස්මේ තිරස් රේඛාවේ කැපීම් දක්නට ලැබේ. ඒ අනුව සම්පූර්ණ දකුණු පැත්ත මෙම රේඛාවේ බෙදුම් ලක්ෂ්ය අතර ඇති කොටස් නිරූපණය කරයි. ඒවා ප්රමාණවත් නිරවද්යතාවයෙන් කියවීමට නම්, බල සැලැස්ම ඉතා සැලකිලිමත්ව සහ ප්රමාණවත් විශාල පරිමාණයකින් ඇඳිය යුතුය.
ඇදූ සහ සම්පීඩිත වළලු
සෑම භ්රමණ-සමමිතික ආවරණයකම තිරස් වෘත්තාකාර දෙකකින් හෝ එකකින් සීමා කර ඇත (රූ. 7). මෙම අಂಚුවලදී, මූලධර්මයෙන් එයට ලබා ගත හැක්කේ මධ්ය රේඛාවේ ස්පර්ශකයට සමාන්තර දිශාවක් ඇති බර සහ ආධාරක ප්රතිචාර පමණි. බාහිර බලවලට වෙනත් දිශාවක් තිබේ නම්, උදාහරණයක් ලෙස ව්යුහයේ ඉහළ කොටසෙන් ඇති බර P හෝ රූ. 97 හි දැක්වූ ටැංකියේ පතුලේ ප්රතිචාර S වැනි, මෙම බලයන් රූපයේ පෙන්වා ඇති පරිදි තිරස් වෘත්තයේ දිශාවට සහ මධ්ය රේඛාවේ ස්පර්ශක දිශාවට සංඝටකවලට බෙදිය යුතුය. P/sinφ0 හෝ S/sinφu සංඝටකය එම ස්ථානයේ ක්රියා කරන මධ්ය රේඛා දිශාවේ සාමාන්ය බලය Nφ ට සමාන වේ; තිරස් බලය Pctgφ0 හෝ Sctgφu ලබා ගැනීමට ඇදීම හෝ පීඩනය දරා ගන්නා වළල්ලක් අවශ්ය වේ, සහ එහිදී මෙම රේඩියල් බර + P r0 ctgφ0 හෝ -S ru ctgφu සාමාන්ය බලයක් ඇති කරයි. මෙවැනි වළලු, ආවරණයේ අಂಚුවලට අමතරව, මධ්ය රේඛාවේ වක්රය බිඳීම් ඇති සියලු ස්ථානවලද සවි කළ යුතුය. ඒවා සෑම විටම පටලීය ආතති තත්ත්වය බිඳදැමීමක් ඇති කරයි.
රූ. 7
භ්රමණ-සමමිතික ෂෙල් වල නැමීම නිසා ඇතිවන ආතති
ඝටක සමාකලන න්යායේ ආකෘතිවලින්, ඇත්තටම දී ඇති කාර්යයට ගැලපෙන සියලුම සීමා කොන්දේසි සපුරාලීමට ප්රමාණවත් සමාකලන නියත ගණනක් අඩංගු නොවේ. විශේෂයෙන් භ්රමණ-සමමිත ලෙල්ලන් සඳහා, සමාකලන නියතයන් සුදුසු ලෙස තෝරා ගැනීමෙන් ලෙල්ලේ අಂಚය දිගින් වට මුදු දිශාවේ විස්තාරණය εϑ = Nϑ/Et එම ස්ථානයේ එයට දෘඪව සම්බන්ධ වූ වෙනත් ව්යුහාත්මක කොටසක අදාළ විස්තාරණයට සමාන කර ගැනීමට නොහැක. එක් තිරස් වෘත්තයක් දිගේ මධ්ය රේඛාවේ වක්රතාව, ලෙල්ලේ ඝනකම හෝ ඒකක පෘෂ්ඨයකට පැටවීම හදිසියේ වෙනස් වන ලෙල්ලන්ටද මෙයම අදාළ වේ. ලෙල්ලක් කිසියම් අංචයක් දිගින් වටකිරීමට දැඩි කර නොතිබුණත්, එම ස්ථානයේ ලෙල්ලට සෘජුව සාමාන්ය දිශාවේ සංරචකයක් ඇති බලයන්ගෙන් බර දැරුවද (උදා., මුදුය ඉවත් කර ඇතැයි සිතා බලන විට රූ. 7 හි ඇති P බර), එයට මෙවන් බරයන් සම්පූර්ණයෙන්ම ඝටක බලයන් මඟින් පමණක් ගන්නට නොහැක. එවැනි අවස්ථාවලදී කපන බලය සහ නැමීමේ මොහොතු (රූ. 8) ලෙල්ලේ බල බෙදාහැරීමේදී වැදගත් භූමිකාවක් ඉටු කරයි; එය ස්ථිතිමය ගණනයේදී සැලකිල්ලට ගත යුතුය.
රූ. 8
වක්රණයට ලක් වූ ශෙල් එකක නිවැරදි ගණනය, සරලම සිලින්ඩර් ශෙල් විශේෂ අවස්ථාව හැර, ඉතා අපහසු කාර්යයකි. සිහින් බිත්ති ඇති ශෙල් සඳහා, දැඩි න්යායෙන් දන්නා කරුණක් මත පදනම් වූ සරල සහ ඉතා ප්රයෝජනවත් ආසන්න න්යායක් ගොඩනගා හැකිය: වක්රණයෙන් ඇති වන ආතතීන් අද්දරට ආසන්නව තිබෙන සාපේක්ෂව පටු කලාපයකට සීමා වන අතර, අද්දර සිට දුර වැඩිවීමත් සමඟ ඉක්මනින් අඩුවේ. මෙය නිවැරදි අවකල සමීකරණයේ බොහෝ සංගුණක නොසලකා හැරීමට ඉඩ සලසන අතර, එය සරල ආකාරයක් ලබා ගනී.
උනන්දුව ඇති එකම අගය වූ දාර කලාපය තුළ κ මධ්ය අගයකින් ප්රතිස්ථාපනය කළහොත්, මෙය බොහෝ විට හැකි වන අතර, සමාකරණයේ විසඳුම වන්නේ
4 හා 5
එහි a1, b1, a2, b2 යනු ඒකාබද්ධන නියතයන් වේ. විසඳුම φ=φ0 අಂಚය අසල පමණක් රසවත් වන බැවින්, එම අಂಚයෙන් කෝණීය දුර ω=φ0-φ හෝ ω=φ-φ0 ලෙස ඛණ්ඩාංකයක් ලෙස හඳුන්වා දීම සුදුසුය; එවිට ඉහත සඳහන් විසඳුම පරිවර්තනය කිරීමෙන් දෙවන සඳහන් ප්රකාශය ලැබේ. මෙහි දිස්වන්නේ ඒකාබද්ධන නියතයන් දෙකක් පමණි A, B හෝ C, ψ, මන්ද eκω සාධකය අඩංගු විසඳුමේ දෙවන කොටස, ඒ අනුව ω වැඩිවන විට අඩුවෙන්නේ නැති නිසා, සැලකිල්ලෙන් ඉවත් කළ හැක.
සමීකරණය 5 මත පදනම්ව, අංශීය බල සහ මධ්යරේඛා ස්පර්ශකයේ κ හැරීම සඳහා පහත අගයන් ලැබේ:
වෘත්තාකාර සිලින්ඩර ආකාරයේ ගබඩා ටැංකිවල නැමීම නිසා ඇතිවන ආතති
h උස ඇති සිලින්ඩරාකාර ජලාශයක් ජලයෙන් පිරී ඇතැයි සිතමු (රූ. 9); එවිට ජලාශ දෙකකට ඉහළින් x උසෙහි ජල පීඩනය p=γ(h-x) වේ. මෙම උසෙහි dx දුරකින් වෙන් වූ තිරස් කොටස් දෙකකින් ජලාශයෙන් වළල්ලක් කපාගෙන එය විෂ්කම්භයක දිශාවෙන් කොටස් දෙකකට වෙන් කළහොත්, ඒවායින් එකක සමතුලිතතා කොන්දේසියෙන් වළල්ලේ පටල බලය Nφ=pa ලැබේ. මෙම ස්ථානයේ ජලාශයේ ඝනකම t නම්, වළල්ලේ දිගුව εφ=Nφ/Et වන අතර ඒ අනුව ජලාශයේ අර්ධවිශ්කම්භයේ වැඩිවීම (වියැකුම) වන්නේ
පහළ අද්දාරියේ x=0 වන හෙයින්,
රූ. 9
ඒ දෙකෙන් එකක්වත් සාමාන්යයෙන් සීමා කොන්දේසි සමඟ අනුකූල නොවේ, මන්ද ටැංකියේ පතුල සමඟ ඇති සම්බන්ධතාවය නිසා බිත්තියේ විකෘතිය වැළැක්වී ඇත. ඒ සමඟම, සිලින්ඩර බිත්තිය සහ පතුල අතර සම්බන්ධයේදී හරස් බල Qx0 සහ මොමෙන්ට් Mx0 (රූ. 11) හට ගනී; ඒවායේ ප්රමාණය එසේ නිර්ණය කළ යුතුය, ඒවා අලුතින් ගණනය කළ පටල බල සමඟ එක්ව කවචයේ කෙළවරේ පතුල ඉඩදෙන මෙම විකෘතිය ඇති කරන ලෙස.
රූ. 10, 11, 12, අනුරූපයෙන්
රූපය 11 හි ඒ මත ක්රියාකරන බලයන් සමඟ dx*a dφ කවච මූලද්රව්යය දක්වා ඇත. කවචයට ලම්බ දිශාවේ බල සමතුලිතතාවේ කොන්දේසිය ලබා දෙන්නේ
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
එහි සිට dx dφ වලින් බෙදීමෙන්:
a Q’x + Nφ = p a.
තිරස් ස්පර්ශ රේඛාවට වටා ඇති මොමෙන්තුව ශූන්ය බව යන කොන්දේසියෙන් ලැබෙන්නේ:
dM/dx = M’x = Qx
මෙම සමීකරණ දෙකෙන් අනුලම්බ බලය Qx ඉවත් කිරීමෙන් ලැබෙන්නේ
a M’’x + Nφ = p a.
ගණ. 6
මෙම සමීකරණයේදී මෙම නොදන්නා අංශ බල w වංගු වීම භාවිතයෙන් ප්රකාශ කළ හැක. Nφ සඳහා දැනටමත් Nφ=Etw/a, ලෙස සොයාගෙන ඇති අතර, මොහොත w’’ මධ්ය රේඛාවේ වක්රතාවයට අනුපාතිකය, එනම් Mx=Kw’’, වන අතර, තහඩු වල මෙන්ම K=Et3/12(1-μ2) යනු ආවරණයේ දැඩිබවයි; එය x සමඟ වෙනස් විය හැක. මෙම සාමාන්ය බල සඳහා වූ ප්රකාශ සමීකරණයට (6) ඇතුළත් කළහොත්, ටැංකි න්යායේ අවකල සමීකරණය ලැබේ:
බිත්ති ඝනත්වය අස්ථිර නොවන ටැංකියකට විසඳුම මෙසේය:
එකක්.7
මෙහි λ4=3(1-μ2)/a2t2 වේ. λh විශාල නම් (උදාහරණයක් ලෙස, 3 ට වඩා වැඩි නම්), අධිභාසීය ක්රියා වෙනුවට ඝාතීය ක්රියා හඳුන්වාදීම වඩාත් පහසුය, එනිසා:
එකක්.8
එවිට එකිනෙකින් ස්වාධීනව A1, B1 නියතයන් පහළ අಂಚයේ සීමා කොන්දේසිවලින්, සහ A2, B2 නියතයන් ඉහළ අಂಚයේ සීමා කොන්දේසිවලින් තීරණය කළ හැක; සාමාන්යයෙන් A2=B2=0 ලැබේ. සමීකරණය (8) සහ (7) මත පදනම්ව කත්තිර බලයන් ලැබේ, ගණනය ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවෙන් සිදු කර සෑම තැනම සමීකරණය (8) සහ (7) යොදන විට; එබැවින් උදාහරණයක් ලෙස A2=B2=0 සඳහා:
ටැංකියේ බිත්ති තැටියට දෘඩව ගිලවා ඇති විට, සහ ටැංකියේ පතුල ප්රමාණවත් ඝනකමින් යුක්තව දෘඩ ලෙස සැලකිය හැකි විට, නියත A1, B1 තීරණය කළ යුත්තේ x=0, w=0 සහ w’=0 යන කොන්දේසි වලින් වන අතර, එවිට ලැබෙන්නේ:
ටැංකියේ පතුල නම්ය පත්රයක් හෝ ලෙල්ලක් නම්, පතුල සහ සිලින්ඩර බිත්තිය අතර පරිධිය දිගේ ඇති අಡ್ಡ බල Qx සහ මොහොතු Mx ස්ථිතික අනිර්ණිත පද්ධති න්යායේ ක්රම මඟින්, Mx සහ w’ දෙකම කොටස් දෙකටම එකම අගයක් තිබිය යුතුය යන අවශ්යතාව මත පදනම්ව තීරණය කළ යුතුය.