_シェル_とは、中間面が平坦ではなく、明らかに湾曲している面状構造体をいう。その静的挙動は、板の挙動とはかなり異なる。適切な形状を持つ場合、その応力はかなり小さく、剛性はそれに応じて大きく、計算も多くの場合より簡単である。
各シェルの応力は、膜応力と曲げの2つに分けられる。膜応力は、板が面内荷重を受ける場合の応力と同様に、接線面内の断面力で表せる。たとえば x=const. の断面では、法線力 _Nx=_σx*t とせん断力 _Nxy=_τxy*t があり、ここで t はシェル厚である。曲げによる応力は板の場合と同じで、曲げモーメント Mx、ねじりモーメント Mxy およびせん断力 Qx で表すことができる。
シェルの重要な特性は、通常、曲げによる応力が膜応力ほどの大きさも重要性も持たず、多くの場合完全に無視できるという事実に基づいている。この場合、すべての応力はシェル厚にわたって均一に分布し、中間面に接線方向に作用する。これらの仮定に基づく計算は、シェルの膜理論の範囲に属する。
回転対称荷重を受ける回転対称シェルの膜理論
一般式
座標線としては、殻の中間面上の子午線と平行円を採用し、座標は、方位角 ϑ（「地理経度」）と、子午線への接線が対称軸に垂直な平面となす傾き φ である（図 1a）。したがって断面力は、子午線方向の法線力 Nφ と、円周方向の法線力 Nϑ である（図 1b）。せん断力 Nφϑ は回転対称応力の場合には現れない。単位面積当たりの荷重は次のように表す（図 1b）： Y は子午線に接する方向で、φ が増加する向きを正とし、Z は殻に垂直で、対称軸に向かう向きを正とする。
図1
図2
子午面の曲率半径を r1 とする。これは角度 φ の関数であるから、式 _r1=r1(_φ) により子午面の形が定まる。これは子午面の方程式とみなすことができ、たとえば次のようになる。
円の場合 r1=a=const.
放物線の場合 r1=a/cos3__φ
楕円の場合 r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
周方向に沿う法線力 N__φ を算出するには、平行円 φ の上にある殻部分の釣合い条件を立てなければならない（図 2）。この部分に作用する荷重 Y および Z の合力 R は、対称性により鉛直である。その大きさは、殻の表面に沿って φ’=0 から φ’=φ まで積分することによって求められる。殻要素の面積は dF=r1d__φ’*rd__ϑ であるから、荷重の鉛直成分は (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF となる。円 φ’ と φ’+dφ’ の間にある殻の全周環部分については、外力の合力は次のとおりである：
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
そこから、平行円 φ’=φ の上にある殻部分について φ’ で積分すると、次の式が得られる:
式 1
この荷重は、観測された円周に沿って作用する子午面方向の法線力によって受け持たれる。これらの力の合力の鉛直成分は 2__πr * N__φ sin__φ, であり、ここから等式を立てることにより所要の法線力が得られる
式 2
上部で殻が円 φ=φ0 に沿って切断されている場合（例えばドームの採光開口部）、積分の下限は当然 0 ではなく φ0 である。もしこのようにして生じた殻の縁に荷重 R0 も作用するなら、それも合力 R（図 3）に加えなければならない。
図3
法線力 N__ϑ を求めるには、接平面に垂直な殻要素のつり合い条件を立てる必要がある（図 4）。この方向における外力の合力は Z r1 d__φ r d__ϑ である。子午面内にある力 N__φ*r d__ϑ は互いに小角 d__φ をなすので、その殻法線方向の合力は N__φ r d__ϑ*dφ となる。同様に、水平円の平面内にあり互いに角 dϑ をなす力 Nϑ r1 dφ の合力は Nϑ r1 dφ*dϑ であり、これも水平円の平面内にあるため、殻法線となす角は 0,5_π-φ_ である。したがってつり合い条件に入るのは、その成分 Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ のみである。したがって、つり合い条件は
または、_r r1 dϑ dφ_で割ると：
等式3
ここで r2=r/sinφ は殻の第2主曲率半径を表します。
図4
円形ドーム
メリディアンの形状が解析的に方程式 r1=r1(φ) で与えられ、荷重 Y(φ) および Z(φ) の解析式が与えられているとき、シェル内の断面力は、閉形式で積分するか、あるいは Simpson-の法則を用いて数値的に、常に求めることができる。直径 a の円形ドームについて、以下にいくつかの荷重条件に対する断面力を示す：
φ=0 のとき無限大となるせん断力を与える最後の式は、荷重作用点からある程度離れた位置でのみ成り立つ。力の作用点のごく近傍では、たとえそれが有限だが小さな直径の円の面積に分布していても、荷重は主として曲げによって伝達される。
上部が開いたシェルの形式は、実際の荷重に頂点で仮想荷重 P を加えることによって前記の形から導くことができる。その大きさは、シェル上縁に作用する子午線方向の総法線力 φ=φ0 が Nφ=0 となるように、またはシェルがここで受ける外力によって定まるある値に等しくなるように決める。
円錐殻
図5
円錐殻では、母線の傾き φ はすべての点で同じ値をとるため、座標として使用することはできない。その代わりに、母線に沿って測った頂点からの距離 s を導入する（図 5）。これに応じて、母線方向の法線力は Ns と表される。必要な式は、境界遷移を行えば前述の 1 から得ることができる。式（2）からこのようにして
および式 (3) から
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
最も重要な荷重の場合については、次の式が成り立つ:
任意形の子午線に対するグラフィック手順
図6
母線曲線が解析式ではなく、例えば図で与えられている場合、曲率半径の決定はあまりにも困難で、かつ不正確である。その場合は、図式的手法（図 6）を用いるほうが適している。
殻を多数の平面 φ=const. によって分割し、それらの平面の間にある環状帯の重量 Δ_R_ を求め、できれば直ちに2_π_ で割る。これらの力 ΔR/2π は力図に記入する（図6b）。その後、例えば分割点7を通って、子午線上の点7における接線に平行な直線を引くと、力図の上端を通る水平線は、その上で R1/2π sinφ7 の長さで切り、式（2）に基づき、対応する r で割ることで、子午線方向の対応する法線力が得られる。
リング内の力を求めるには、シェルの一要素における水平力のつり合い条件を用いる。鉛直荷重のみが作用する場合、この条件は次のようになる（図 4）：
ここで dφ を、採用した殻の分割に対応する有限差分 Δφ に置き換え、また r1 dφ の代わりに子午線要素の長さ Δs を入れると、ここから
右側の括弧には、力の多角形における水平直線上の切片が示されている。したがって右側全体は、この直線上の分点間の区間を表す。これらを十分正確に読み取れるようにするため、力の多角形は注意深く、十分大きな縮尺で作図しなければならない。
引張リングと圧縮リング
回転対称シェルは、それぞれ1本または2本の水平円で境界づけられている（図 7）。これらの縁では、原理的に、母線の接線方向を持つ荷重と支点反力のみを受けることができる。外力が他方向を向く場合、たとえば構造物上部の荷重 P や図 97 に示す貯水槽底部の反力 S のような場合には、図に示すように、これらの力を水平円方向成分と母線接線方向成分に分解しなければならない。成分 P/sinφ0 または S/sinφu は、その地点で作用する母線方向の法線力 Nφ に等しい。一方、水平力 Pctgφ0 または Sctgφu を受けるには、引張、または圧縮を受け、この放射状荷重によって法線力 + P r0 ctgφ0、または -S ru ctgφu を生じるリングが必要である。こうしたリングは、シェルの縁だけでなく、母線曲線に折れ点があるすべての箇所にも設けなければならない。これらは常に、膜応力状態の乱れを引き起こす。
図7
回転対称シェルにおける曲げによる応力
膜理論の式には、実際に与えられた課題に対応するすべての境界条件を満たすのに十分な数の積分定数が含まれていない。とりわけ回転対称殻では、適切な積分定数の選択によって、殻の縁に沿う円周方向の伸び εϑ = Nϑ/Et を、その位置でそれと剛結された他の構造部材の対応する伸びと等しくすることはできない。同じことは、ある水平円周に沿って母線曲率、殻厚、または単位面積当たりの荷重が段階的に変化する殻にも当てはまる。さらに、殻のある縁に沿ってリングで補強されていないが、その箇所で殻の法線方向成分を持つ力を受ける場合（たとえば、リングを除いたと仮定した図 7 の荷重 P）、そのような荷重を膜力だけで負担することはできない。このような場合、せん断力と曲げモーメント（図 8）が殻内の力の分配において重要な役割を果たし、静的計算でこれを考慮しなければならない。
図 8
たわみに対するシェルの厳密な計算は、最も単純な円筒シェルの特別な場合を除けば、非常に難しい課題である。薄肉シェルについては、厳密理論で知られている事実、すなわちたわみによる応力は縁の近くの比較的狭い領域に限定され、縁からの距離が増すと急速に減少する、に基づく簡便で非常に有用な近似理論を構築できる。これにより、正確な微分方程式中の多数の項を無視でき、その結果、式は簡略化された形をとる。
周辺の境界層の中で唯一重要な κ を平均値に置き換えると、そしてこれはほとんど常に可能であるが、そのとき方程式の解は
式 4 および 5
ここで、a1, b1, a2, b2 は積分定数である。解は境界 φ=φ0 近傍でのみ重要であるため、この境界からの角度差 ω=φ0-φ または ω=φ-φ0 を座標として導入するのが適切であり、上記の解を変換すると、別に示した第2の式が得られる。ここには積分定数 A, B または C, ψ の2つだけが現れる。なぜなら、因子 eκω を含み、したがって ω の増加とともに減少しない解の第2項は、考察から除外できるからである。
式 5 に基づいて、断面力および子午線接線の回転 κ について次の値が得られる:
円筒形貯槽における曲げによる応力
高さ h の円筒形貯水槽に水が満たされているとすると（図 9）、貯水槽底から高さ x の位置での水圧は p=γ(h-x) である。この高さで、間隔 dx の二つの水平断面から貯水槽の輪環を切り出し、これを一つの直径に沿って二つの部分に分けると、その一方のつり合い条件から、輪環内の膜力 Nφ=pa が得られる。この位置における貯水槽の厚さが t であれば、輪環のひずみは εφ=Nφ/Et であり、したがって貯水槽半径の増加（たわみ）は
したがって、下端 x=0 では
図9
どちらも原則として境界条件とは一致しません。これは、容器底部との接続により壁の変形が妨げられるためです。このとき、底部と円筒壁の接合部には横断力_Qx0_およびモーメント_Mx0_（図11）が生じ、その大きさは、ちょうど計算した殻の膜応力と合わせて、底部が許容する殻の縁でこの変形を引き起こすように定めなければなりません。
図 10、11、12、それぞれ
図 11 に、作用力を受けるシェル要素 dx*a dφ が示されている。シェルに対する法線方向の力のつり合い条件から
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
そこから、dx dφ で割ると：
a Q’x + Nφ = p a.
円筒の水平接線まわりのモーメントがゼロであるという条件から、次式が得られる:
dM/dx = M’x = Qx
これら二つの式から横力 Qx を消去すると、次のようになる。
a M’’x + Nφ = p a.
式 6
この式では、これらの未知の断面力をたわみ w によって表すことができる。Nφ についてはすでに Nφ=Etw/a が得られており、モーメントは母線の曲率 w’’ に比例する。すなわち Mx=Kw’’ であり、ここで板の場合と同様に K=Et3/12(1-μ2) はシェルの剛性で、x に応じて変化しうる。これらの平均力の式を方程式 (6) に代入すると、貯水槽理論の微分方程式が得られる:
壁厚が一定の貯水槽についての解は次のとおりである：
等7
ここで λ4=3(1-μ2)/a2t2 である。もし λh が大きい（たとえば 3 より大きい）なら、双曲関数の代わりに指数関数を導入する方が都合がよく、したがって：
等式8
そのとき、下端の境界条件から定数 A1、B1 を互いに独立に定めることができ、上端の境界条件から定数 A2、B2 を定めることができる。通常、その結果として A2=B2=0 が得られる。式（8）および（7）に基づいてせん断力が求められるが、その際は計算を逆方向に進め、式（8）および（7）を各所に導入する。したがって、たとえば A2=B2=0 の場合は：
貯水槽の壁が板に剛結されており、また十分厚くて剛体とみなせる貯水槽底については、定数 A1, B1 は x=0, w=0 および w’=0 という条件から求めなければならず、その結果、次式が得られる：
底板が弾性板または殻である場合、底板と円筒壁の境界円周に沿う横せん断力 Qx と曲げモーメント Mx は、両部分について Mx と w’ が同じ値になるという条件に基づき、静力不定系理論の方法で求めなければならない。