સ્થિતિસ્થાપકતા સિદ્ધાંત - શેલ્સ

શેલ્સ એવા પૃષ્ઠીય આધાર છે, જેમની મધ્ય સપાટી સમતલ નથી પરંતુ સ્પષ્ટ રીતે ઉંચકાયેલી છે. તેમનું સ્થૈતિક વર્તન પ્લેટના વર્તનથી ઘણું જુદું હોય છે. જ્યારે તેમનો આકાર યોગ્ય હોય, ત્યારે તેમનો તણાવ ઘણો ઓછો, તેમની કઠોરતા અનુરૂપ વધુ અને ગણતરી મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં સરળ હોય છે.

દરેક શેલનું તાણ બે ભાગોમાં વહેંચી શકાય છે: પડદાસમાન તાણ અને વળાંક. પડદાસમાન તાણો, સમતલમાં ભારિત પટ્ટાના તાણોની જેમ, સ્પર્શીય સમતલમાં આવેલી કાપણી બળો દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે – ઉદાહરણ તરીકે, x=const. વિભાગમાં સામાન્ય બળ _Nx=_σx*t અને કાપણી બળ _Nxy=_τxy*t, જ્યાં t શેલની જાડાઈ છે. વળાંકથી ઉત્પન્ન તાણો પ્લેટ્સ જેવા જ છે અને તેમને વળાંક ક્ષણો Mx, ટોર્ષનલ ક્ષણો Mxy અને કાપણી બળો Qx દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે.

શેલોની મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓ એ વાત પર આધારિત છે કે નિયમ મુજબ વળાંકથી ઉત્પન્ન તાણોનું પરિમાણ અને મહત્વ પડદાસમાન તાણો જેટલું નથી હોતું, તેથી તેમને ઘણી વાર સંપૂર્ણપણે અવગણવામાં પણ આવે છે. આવી સ્થિતિમાં બધા તાણો શેલની જાડાઈમાં સમરૂપ રીતે વિતરિત હોય છે અને મધ્ય સપાટી પર સ્પર્શીય રીતે કાર્ય કરે છે. આ અનુમાનો પર આધારિત ગણતરીઓ શેલોની પડદાસમાન સિદ્ધાંતના ક્ષેત્રમાં આવે છે.

પરિભ્રમણ સમમિતિ ધરાવતી શેલ્સની, પરિભ્રમણ સમમિતિ ધરાવતા ભાર હેઠળની મેમ્બ્રેન સિદ્ધાંત

સામાન્ય સૂત્રો

સંકોણીય રેખાઓ તરીકે શેલની મધ્ય સપાટી પર મેરિડીયનો અને સમાનાંતર વર્તુળોને અપનાવવામાં આવે છે, તેથી સંયોજકો છે: અઝિમુથ ϑ (“ભૌગોલિક રેખાંશ”) અને સીમાવર્તી સપાટીના પ્રત્યે મેરિડીયન પરની સ્પર્શરેખાનો ઢાળો φ, જે સમમિતિ અક્ષને લંબ સમતલ સામે હોય છે (આકૃતિ 1a). તેથી છેદબળો આ પ્રમાણે છે: મેરિડીયન દિશામાં સામાન્ય બળ Nφ અને વલયમાં સામાન્ય બળ Nϑ (આકૃતિ 1b). કાતર બળો Nφϑ પરિભ્રમણ-સમમિત તાણમાં દેખાતા નથી. એકમ ક્ષેત્રફળ પરનો ભાર નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે (આકૃતિ 1b): Y મેરિડીયનને સ્પર્શક, φ વધે તેવી દિશામાં ધનાત્મક, Z શેલને લંબ, સમમિતિ અક્ષ તરફ ધનાત્મક.

ક્ર.1

ક્ર.2

ચાલો મેરિડિયનના વક્રતારેડિયસને r1 માનીએ. તે ખૂણો φ નો ફંક્શન છે, તેથી સમીકરણ _r1=r1(_φ) દ્વારા મેરિડિયનનો આકાર નક્કી થાય છે. આને મેરિડિયનનું સમીકરણ માનવામાં આવી શકે છે અને તે, ઉદાહરણ તરીકે, આ પ્રમાણે છે.

વર્તુળ માટે                                       r1=a=const.

પરાબોલા માટે                                  r1=a/cos3__φ

એલિપ્સ માટે          r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2

સામાન્ય બળ N__φ ને મેરિડીયન દિશામાં ગણવા માટે સમતોલનની શરત શેલના તે ભાગ માટે મૂકવી પડે છે, જે સમાનાન્તર વર્તુળ φ (આકૃતિ 2) ની ઉપર આવેલો છે. આ ભાગ પર કાર્ય કરતા ભાર Y અને Z ની પરિણામી R સમમિતિને કારણે ઊભી છે. તેનું પરિમાણ શેલની સપાટી ઉપર φ’=0 થી φ’=φ સુધી એકીકરણ કરીને મળે છે. શેલના તત્ત્વની સપાટી dF=r1d__φ’*rd__ϑ છે, એટલે ભારનો ઊભો ઘટક (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF થાય છે. φ’ અને φ’+dφ’ વર્તુળો વચ્ચે આવેલા સમગ્ર વળયાકાર શેલ ભાગ માટે બાહ્ય ભારની પરિણામી છે:

dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,

અહીંથી φ’ પ્રમાણે, φ’=φ સમાનાન્તર વર્તુળની ઉપર આવેલા શેલના ભાગ માટે સમાકલન કરતાં મળે છે:

સમી. 1

આ ભાર સમાન્તરરેખાના દિશામાં કાર્ય કરતી સામાન્ય બળો દ્વારા ધારણ કરવામાં આવે છે, જે દેખાતા વર્તુળની પરિઘ પર ક્રિયા કરે છે; આ બળોના પરિણામની ઊભી ઘટક 2__πr * N__φ sin__φ, છે, તેથી સમીકરણથી અહીંથી માંગેલ સામાન્ય બળ પ્રાપ્ત થાય છે

સમીકરણ 2

જો શેલ ઉપરના ભાગમાં φ=φ0 (ઉદાહરણ તરીકે, ગુંબજમાં પ્રકાશ માટેનું છિદ્ર) જેવી વર્તુળરેખા સાથે કાપવામાં આવ્યો હોય, તો એકીકરણની નીચલી સીમા સ્વાભાવિક રીતે φ0 હોય છે, શૂન્ય નહીં. જો આ રીતે બનેલા શેલની ધાર પર ભાર R0 પણ કાર્ય કરે, તો તેને પણ પરિણામબળ R સાથે ઉમેરવું જોઈએ (ચિત્ર 3).

ક્ર.3

સામાન્ય બળ N__ϑ નક્કી કરવા માટે, સ્પર્શીય સમતલને લંબ એવા શેલ તત્વ માટે સંતુલનની શરત મૂકવી પડે છે (આકૃતિ 4). આ દિશામાં બાહ્ય ભારનું પરિણામી મૂલ્ય Z r1 d__φ r d__ϑ થાય છે. મેરિડિયનલ સમતલમાં આવેલી N__φ*r d__ϑ બળો પરસ્પરમાં નાનો કોણ d__φ બનાવે છે, તેથી તેમની પરિણામી શેલના નોર્મલની દિશામાં N__φ r d__ϑ*dφ થાય છે. એ જ રીતે, આડવા વર્તુળની સમતલમાં આવેલી અને પરસ્પરમાં dϑ કોણ બનાવતી Nϑ r1 dφ બળોની પરિણામી Nϑ r1 dφ*dϑ પણ આડવા વર્તુળની સમતલમાં જ રહે છે અને તેથી શેલના નોર્મલ સાથે 0,5_π-φ_ કોણ બનાવે છે, તેથી સંતુલનની શરતમાં માત્ર તેનો ઘટક Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ જ સમાવિષ્ટ થાય છે. તેથી સંતુલનની શરત આ પ્રમાણે છે

અથવા, જ્યારે તેને r r1 dϑ dφ થી ભાગવામાં આવે ત્યારે:

એક.3

અહીં r2=r/sinφ વડે શેલનો બીજો મુખ્ય વક્રતા અર્ધત્રિજ્યા દર્શાવવામાં આવ્યો છે.

ક્ર.4

વર્તુળાકાર ગુંબજ

જ્યારે મેરિડિયનનો આકાર વિશ્લેષણાત્મક રીતે r1=r1(φ) સમીકરણથી આપેલો હોય અને Y(φ) તથા Z(φ) ભાર માટે વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિઓ આપેલી હોય, ત્યારે શેલમાં કાપબળ હંમેશાં બંધ સ્વરૂપે સમાકલન કરીને અથવા Simpson-ના નિયમનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યાત્મક રીતે નક્કી કરી શકાય છે. વ્યાસ a ધરાવતી વર્તુળાકાર ગુંબજ માટે આગળ કેટલાક ભારણ કેસોમાં કાપબળો નીચે આપેલ છે:

અંતિમ સૂત્ર, જે φ=0 માટે અનંત મોટા કાપણી બળ આપે છે, તે ફક્ત બળ લાગવાની બિંદુથી ચોક્કસ અંતરે જ લાગુ પડે છે. જ્યાં બળ કાર્ય કરે છે તેની તાત્કાલિક આસપાસમાં, ભલે તે નિશ્ચિત પરંતુ નાના વ્યાસના વર્તુળની સપાટી પર વિતરિત હોય, ભાર મુખ્યત્વે વળાંક દ્વારા સ્થાનાંતરિત થાય છે.

ઉપરના ભાગે ખુલ્લી શેલોના આકારો અગાઉના પરથી મેળવી શકાય છે, જો વાસ્તવિક ભાર પર શિખરે કલ્પિત ભાર P ઉમેરવામાં આવે, જેનું મૂલ્ય આ રીતે નક્કી થાય છે કે શેલના ઉપરના કિનારે ક્રિયાશીલ મેરિડિયન દિશાનો કુલ લંબ દબાણ φ=φ0 હોય Nφ=0, અથવા તે એવા કોઈ મૂલ્યને સમાન હોય જે શેલ અહીં સ્વીકારતા બાહ્ય બળો દ્વારા નક્કી થાય છે.

શંકુાકાર શેલ

ક્ર.5

શંકુ આકારની શેલમાં મેરિડિયનનો ઢાળ φ ને સમન્વય તરીકે ઉપયોગ કરી શકાય નહીં, કારણ કે તે તમામ બિંદુઓએ સમાન મૂલ્ય ધરાવે છે. તેના બદલે શિખરથી જનરેટ્રિક્સ along માપેલું અંતર s રજૂ કરવામાં આવે છે (ચિત્ર 5). અનુરૂપ, મેરિડિયન દિશામાંનું નોર્મલ બળ Ns તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. જરૂરી સ્વરૂપો ઉપર 1 આપેલમાંથી સીમા-પરિવર્તન કરવામાં આવે ત્યારે પ્રાપ્ત થઈ શકે છે. સમીકરણ (2)માંથી આ રીતે મળે છે

અને સમીકરણ (3)માંથી

Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.

ભારના સૌથી મહત્વના કેસો માટે નીચેના સૂત્રો લાગુ પડે છે:

મેરિડીયાનના મનપસંદ આકાર માટેની ગ્રાફિક પ્રક્રિયા

ફિગ. 6

જ્યારે મેરિડીયન વક્રતા વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ દ્વારા આપવામાં આવી ન હોય, પરંતુ, ઉદાહરણ તરીકે, ગ્રાફિક રીતે આપવામાં આવી હોય, ત્યારે વક્રતાની ત્રિજ્યા નક્કી કરવી અત્યંત મુશ્કેલ અને અત્યંત અચોક્કસ બને છે. એવા કિસ્સામાં ગ્રાફિક પદ્ધતિ (આકૃતિ 6)નો ઉપયોગ કરવો વધુ અનુકૂળ છે.

શેલને φ=const. ઘણા સમતલોથી વિભાજિત કરવામાં આવે છે, સમતલો વચ્ચે આવેલ વલયાકાર ઝોનના વજન Δ_R_ ગણવામાં આવે છે અને શ્રેષ્ઠ તો તેને તરત 2_π_ વડે ભાગી દેવું. આ બળો ΔR/2π બળ-આલેખમાં મૂકવામાં આવે છે (આકૃતિ 6b). જો પછી, ઉદાહરણ તરીકે, વિભાજન બિંદુ 7માંથી મેરિડિયનના બિંદુ 7 પર સ્પર્શરેખાને સમાનાંતર સીધી રેખા દોરવામાં આવે, તો બળ-આલેખની ઉપરની બિંદુમાંથી આવતી આડવી રેખા તેના પર R1/2π sinφ7 લંબાઈએ કાપશે, જેમાંથી સમીકરણ (2)ના આધાર પર યોગ્ય r થી ભાગીને મેરિડિયનની દિશામાં અનુરૂપ સામાન્ય બળ મળે છે.

રિંગોમાં બળો નક્કી કરવા માટે શેલના એક તત્વ પર આડી બળોના સંતુલનની શરત ઉપયોગમાં લેવાય છે. જો માત્ર ઊભા ભાર કાર્ય કરે, તો આ શરત આ રીતે છે (ચિત્ર 4):

જ્યારે અહીં dφ ને અંતિમ ફરક Δφ થી બદલી દેવાય છે, જે સ્વીકારેલી ખોળાની વિભાજનાને અનુરૂપ છે, અને r1 dφ ના બદલે મેરિડિયન તત્વની લંબાઈ Δs દાખલ કરવામાં આવે છે, ત્યારે અહીંથી પ્રાપ્ત થાય છે

જમણી બાજુના કોષ્ઠકમાં શક્તિ આલેખની આડી રેખા પરનું કાપું બતાવવામાં આવ્યું છે. તેથી આખી જમણી બાજુ આ રેખા પરના વિભાજન બિંદુઓ વચ્ચેના ખંડોને દર્શાવે છે. તેમને પૂરતી ચોકસાઈથી વાંચી શકાય તે માટે, શક્તિ આલેખ કાળજીપૂર્વક અને પૂરતી મોટી માપમાં દોરવો જોઈએ.

તાણમાં રહેલા અને દબાણમાં રહેલા વલયો

દરેક પરિભ્રમણ-સમતલી શેલ એક અથવા બે આડાં વર્તુળોથી મર્યાદિત હોય છે (આકૃતિ 7). આ કિનારીઓ પર સિદ્ધાંતરૂપે તે માત્ર એવા ભાર અને આધાર પ્રતિક્રિયાઓ સ્વીકારી શકે છે, જેઓ મેરિડીયન પરની સ્પર્શરેખાની દિશા ધરાવે છે. જો બાહ્ય બળોની દિશા બીજી હોય, જેમ કે રચનાના ઉપરના ભાગનો ભાર P અથવા આકૃતિ 97 માં દર્શાવેલા જળાશયના તળિયાની પ્રતિક્રિયા S, તો આ બળોને, જેમ આકૃતિમાં દર્શાવ્યું છે, આડાં વર્તુળ અને મેરિડીયનની સ્પર્શરેખાની દિશામાં ઘટકોમાં વિભાજિત કરવાં પડે છે. ઘટક P/sinφ0 અથવા S/sinφu મેરિડીયનની દિશામાં આવેલી સામાન્ય બળ Nφ બરાબર છે, જ્યારે આડું બળ Pctgφ0 અથવા Sctgφu સ્વીકારવા માટે તાણ, અથવા દબાણ, સ્વીકારતો વલય જરૂરી છે, જેમાં આ રેડિયલ ભારણ સામાન્ય બળ + P r0 ctgφ0, અથવા -S ru ctgφu ઉત્પન્ન કરે છે. આવા વલયો, શેલની કિનારીઓ સિવાય, મેરિડીયન વક્રતામાં જ્યાં પણ વળાંક આવે ત્યાં પણ મૂકવા પડે છે. તેઓ હંમેશા પડદાસમાન તાણસ્થિતિમાં વિક્ષેપ પેદા કરે છે.

ક્ર.7

પરિભ્રમણ સમમિત આવરણોમાં વાંકાથી ઉત્પન્ન થનારા તાણ

મેમ્બ્રેન સિદ્ધાંતના સ્વરૂપોમાં પૂરતા સંખ્યાના સંકલન સ્થિરાંકો નથી, જેથી તમામ તે સીમા શરતો પૂર્ણ કરી શકાય જે વાસ્તવમાં આપેલા કાર્યને અનુરૂપ હોય. ખાસ કરીને ફરતી-સમમિતિયુક્ત શેલોમાં, સંકલન સ્થિરાંકોની યોગ્ય પસંદગીથી એવું કરવું શક્ય નથી કે શેલની ધાર לאורך વલય દિશામાં વિસ્થાપન εϑ = Nϑ/Et શેલના કોઈ અન્ય રચનાત્મક ભાગના અનુરૂપ વિસ્થાપન જેટલું બને, જે ત્યાં તેની સાથે મજબૂત રીતે જોડાયેલો હોય. આ જ વાત તે શેલો પર પણ લાગુ પડે છે, જેમાં એક આડી વૃત્ત לאורך મેરિડિયનની વક્રતા, શેલની જાડાઈ અથવા એકક સપાટી દીઠ લોડમાં અચાનક ફેરફાર થાય છે. અને જ્યારે શેલ કોઈ ધાર boyunca વલયથી કડક બનાવવામાં આવ્યો ન હોય, પરંતુ આ જગ્યાએ એવા બળોથી ભારિત હોય કે જેમનો ઘટક શેલની લંબ નોર્મલ દિશામાં હોય (ઉદાહરણ તરીકે ચિત્ર 7 પરનો ભાર P, જ્યારે માનવામાં આવે કે વલય દૂર કરવામાં આવ્યો છે), ત્યારે તે આવા ભારોને માત્ર મેમ્બ્રેન બળો દ્વારા સહન કરી શકતો નથી. આવા સંજોગોમાં કાપણી બળ અને વાંકાના મોમેન્ટો (ચિત્ર 8) શેલમાં બળોના વિતરણમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે, જેને સ્થિતિસ્થાપક ગણતરીમાં ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે.

ક્ર. 8

વળાંક માટે શેલની ચોક્કસ ગણતરી, સૌથી સરળ વિશેષ કેસ એટલે કે નળાકાર શેલ સિવાય, અત્યંત મુશ્કેલ કાર્ય છે. પાતળી દિવાલવાળા શેલો માટે એક સરળ અને ખૂબ ઉપયોગી અંદાજી સિદ્ધાંત રચી શકાય છે, જે કડક સિદ્ધાંતમાંથી જાણીતા તથ્ય પર આધારિત છે કે વળાંકથી થતા તણાવો કિનારી પાસેની તુલનાત્મક રીતે સંકુચિત ઝોન સુધી મર્યાદિત રહે છે અને કિનારીથી અંતર વધતાં ઝડપથી ઘટે છે. આથી ચોક્કસ આંશિક સમીકરણમાંના ઘણા પદો અવગણવા શક્ય બને છે, અને તે સરળીકૃત સ્વરૂપ લે છે.

જો એકમાત્ર રસ ધરાવતી સીમા સ્તર અંદર _κ_ને સરેરાશ મૂલ્યથી બદલવામાં આવે, અને આ લગભગ હંમેશા શક્ય હોય, તો સમીકરણનું ઉકેલ છે

સમીકરણ 4 અને 5

જ્યાં a1, b1, a2, b2 સમાકલન સ્થિરાંકો છે. કારણ કે ઉકેલ માત્ર કિનારી φ=φ0 ની નજીક જ રસપ્રદ છે, તેથી આ કિનારીથી કોણીય અંતર ω=φ0-φ અથવા ω=φ-φ0 ને સહઅક્ષ તરીકે લેવું અનુકૂળ છે, અને ઉપર આપેલ ઉકેલનું રૂપાંતર કરીને બીજો ઉલ્લેખિત અભિવ્યક્તિ મળે છે. અહીં માત્ર બે સમાકલન સ્થિરાંકો A, B અથવા C, ψ દેખાય છે, કારણ કે ઉકેલનો બીજો ભાગ જે eκω ગુણાંક ધરાવે છે, અને તેથી ω વધતાં ઘટતો નથી, તેને વિચારણામાંથી બહાર કરી શકાય છે.

સમીકરણ 5ના આધારે, કટિંગ બળો અને મેરિડીયન સ્પર્શકના વળાંક κ માટે નીચેના મૂલ્યો પ્રાપ્ત થાય છે:

વૃત્તાકાર સિલિન્ડર આકારના સંગ્રહણોમાં વાંકાથી ઊભા થતા તણાવ

માનીએ કે h ઊંચાઈ ધરાવતો નળાકાર જળાશય પાણીથી ભરેલો છે (આકૃતિ 9), તો જળાશયની સપાટીથી x ઊંચાઈએ પાણીનું દબાણ p=γ(h-x) થશે. જો આ ઊંચાઈએ બે આડાં કાપો વચ્ચેના dx. અંતરે જળાશયમાંથી એક વલય કાપીને તેને એક વ્યાસ સાથે બે ભાગોમાં વહેંચવામાં આવે, તો તેમાંના એક ભાગના સંતુલનની શરત વલયમાંની પાતળી બાંધકામ બળ Nφ=pa આપે છે. જો આ સ્થાન પર જળાશયની જાડાઈ t હોય, તો વલયમાં વિકૃતિ εφ=Nφ/Et થાય છે અને તેથી જળાશયના અર્ધવ્યાસમાં વધારો (વિચલન) થાય છે

નીચલા કિનારે x=0 મુજબ તેથી

ક્ર.9

ન તો એક અને ન તો બીજું સામાન્ય રીતે સીમા શરતો સાથે સુસંગત નથી, કારણ કે ટાંકીના તળિયાં સાથેના જોડાણને કારણે દીવાલની વિકૃતિ અટકાયેલી છે. આ સમયે સિલિન્ડરના તળિયા અને દિવાલના જોડાણે આડ બળો Qx0 અને ક્ષણો Mx0 (આકૃતિ 11) દેખાય છે, જેમનું પરિમાણ એવું નક્કી કરવું જોઈએ કે તેઓ તાજેતરમાં ગણવામાં આવેલા ઝિલ્લાકીય બળો સાથે મળીને શેલની કિનારે એવી વિકૃતિ ઉત્પન્ન કરે જે તળિયા દ્વારા મંજૂર હોય.

ચિત્ર 10, 11, 12, ક્રમે

આંક. 11. dx*a dφ આવરણ તત્ત્વ તેના પર કાર્ય કરતી બળો સાથે દર્શાવેલ છે. આવરણને લંબ દિશામાં બળોના સંતુલનની શરત આપે છે

dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,

જ્યાંથી dx dφ વડે ભાગાકાર કરતાં:

a Q’x + Nφ = p a.

આ શરત પરથી કે સિલિન્ડર પરની આડી સ્પર્શરેખા અંગેનો ક્ષણ શૂન્ય છે, મળે છે:

dM/dx = M’x = Qx

આ બંને સમીકરણોમાંથી અનુલંબ બળ Qx ને દૂર કરતાં મળે છે

a M’’x + Nφ = p a.

સમી. 6

આ સમીકરણમાં આ અજ્ઞાત કાપણી બળોને વળાંક w દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે. Nφ માટે પહેલેથી Nφ=Etw/a, મળ્યું છે, અને ક્ષણ મેરિડીયનની વક્રતા w’’ ને અનુપાતમાં છે, એટલે કે Mx=Kw’’, જેમાં પ્લેટ્સની જેમ K=Et3/12(1-μ2) શેલની કઠિનતા છે, જે x સાથે બદલાઈ શકે છે. જો આ મધ્ય બળોના અભિવ્યક્તિઓ સમીકરણ (6) માં મૂકી દેવાય, તો જળાશય સિદ્ધાંતનું વિભેદ સમીકરણ મળે છે:

જે ટાંકીની દિવાલની જાડાઈ અપરિવર્તિત હોય, તેના માટે ઉકેલ આ પ્રમાણે છે:

એક.7

જ્યાં λ4=3(1-μ2)/a2t2. જો λh મોટું હોય (માનો કે, 3 થી મોટું), તો હાઇપરબોલિક કાર્યોની જગ્યાએ ઘાતાંક કાર્યો લાવવું વધુ અનુકૂળ છે, તેથી:

એક.8

ત્યારે નીચેની સીમા શરતોમાંથી A1, B1 સ્થિરાંકો એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે નક્કી કરી શકાય છે, અને ઉપરની ધારની સીમા શરતોમાંથી A2, B2; નિયમ મુજબ ત્યારે A2=B2=0 મળે છે. સમીકરણો (8) અને (7)ના આધારે કાપણી બળો મળે છે, જ્યારે ગણતરી ઉલ્ટા ક્રમમાં કરવામાં આવે અને સર્વત્ર સમીકરણ (8) અને (7) લાગુ કરવામાં આવે; તેથી ઉદાહરણ તરીકે A2=B2=0 માટે:

જ્યારે રિઝર્વોયરની દિવાલો પ્લેટમાં કઠોર રીતે જડિત હોય, અને રિઝર્વોયરના તળિયાનો ભાગ પૂરતો જાડો હોય જેથી તેને કઠોર માનવામાં આવે, ત્યારે સ્થિરાંક A1, B1 આ શરતો પરથી નક્કી કરવા જોઈએ કે x=0, w=0 અને w’=0 હોવાથી મળે છે:

જો ટાંકીનું તળિયું લવચીક પ્લેટ અથવા શેલ હોય, તો તળિયા અને સિલિન્ડરની દિવાલ વચ્ચેની કિનારી વૃત્ત לאורך ટ્રાન્સવર્સલ બળો Qx અને મોમેન્ટો Mx સ્થિતિસ્થાપક-અનિશ્ચિત પ્રણાલીઓના સિદ્ધાંતની પદ્ધતિઓ દ્વારા નક્કી કરવાં જોઈએ, એ શરતે કે Mx અને w’ બંને ભાગો માટે સમાન મૂલ્ય ધરાવે.